Акустический журнал, 2024, № 5

Российская академия наук
АКУСТИЧЕСКИЙ 
 
ЖУРНАЛ
Том 70     № 5     2024     Сентябрь–Октябрь
Журнал основан в январе 1955 г.
Выходит 6 раз в год 
 
ISSN: 0320-7919
Журнал издается под руководством 
 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
И.Б. Есипов
Редакционная коллегия:
Ю.И. Бобровницкий (зам. главного редактора), 
 
М.Л. Лямшев (отв. секретарь),
С.В. Егерев, В.Ю. Зайцев, А.А. Карабутов,  
Т.К. Козубская, В.Ф. Копьев, А.И. Коробов, 
 
А.И. Малеханов, М.А. Миронов,
В.Г. Петников, Е.В. Чарная
Редакционный совет:
Ю.В. Гуляев, С.Н. Гурбатов, С.А. Никитов, 
 
Л.А. Островский, О.В. Руденко, А.П. Сарвазян,
Б.Н. Четверушкин
Зав. редакцией В.А. Гусев
Научн. редакторы В.А. Гусев, Е.Д. Баженова
Адрес редакции: 119991 Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ 
 
Тел.: (495) 939-29-18; E-mail: acoust-journal@physics.msu.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия “Акустического журнала” 
     (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 70, номер 5, 2024
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА 
Особенности демодуляции импульсных акустических сигналов  
в сильно нелинейных режимах распространения
 А. В. Квашенникова,  М. С. Сергеева,  П. В. Юлдашев,  
И. Б. Есипов,  В. А. Хохлова 
651
ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА 
Щелевые сдвиговые волны в квази PT-симметричной пьезоэлектрической  
гетероструктуре вблизи точки вырождения мод
Е. А. Вилков, О. А. Бышевский-Конопко, Д. В. Калябин, С. А. Никитов 
663
Особенности разделения механизмов спин-фононного взаимодействия  
для 23Na в кристалле NaF в зависимости от температуры  
и количества парамагнитных центров
А. М. Рочев,  В. М. Микушев,  Е. В. Чарная,  А. Ю. Серов 
672
Об оценке пористости металлов, полученных методом  
горячего изостатического прессования,  
на основе анализа структурного акустического шума
А. А. Хлыбов,  А. Л. Углов 
680
АТМОСФЕРНАЯ И АЭРОАКУСТИКА
О механизме боковой асимметрии излучения шума воздушного винта,  
установленного вблизи крыла 
В. Ф. Копьев,  Н. Н. Остриков,  Г. А. Фараносов,   
В. А. Титарев,  С. Л. Денисов,  Р. В. Акиньшин 
692
Валидация квадрупольной модели звукового излучения турбулентной струи  
на основе использования многомикрофонных акустических измерений
В. Ф. Копьев,  С. А. Чернышев,  Г. А. Фараносов,  А. А. Коробов 
710
Быстрая оценка характеристик звукового удара от сверхзвукового  
пассажирского самолета в стандартной атмосфере  
на основе точных решений. Крейсерский режим полета
А. О. Корунов,  В. А. Гусев,  В. С. Горбовской 
725
 АКУСТИЧЕСКАЯ ЭКОЛОГИЯ. ШУМЫ И ВИБРАЦИИ
Изменение параметров вибрации конструкции летательных аппаратов  
при росте их акустического нагружения 
П. А. Попов 
740
Физическое моделирование гидроакустического поля гребного винта
А. В. Стуленков,  В. В. Артельный,  П. И. Коротин,  А. С. Суворов, 
И. Е. Горбунцов,  М. С. Норкин,  С. Г. Зайцева 
747
Исследование акустической заметности транспортных средств,  
движущихся с постоянной скоростью
А. О. Субботкин,  Г. Н. Кузнецов,  Е. В. Талачев,   
Г. А. Романенко,  А. С. Тюрин 
757

Проектирование звукопоглощающих сотовых материалов с геометрией  
трижды периодических поверхностей минимальной энергии (ТППМЭ)
Е. И. Сысоев,  М. М. Сычев,  Л. Н. Шафигуллин,  С. В. Дьяченко 
765
 ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.  
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Импульсный источник возбуждения в речевом сигнале
В. Н. Сорокин 
778
Определение минимального числа компенсирующих монопольных источников,  
требуемых для подавления интегрального уровня излучения
И. Ш. Фикс, Г. Е. Фикс  
795
ИНФОРМАЦИЯ 
Новые возможности сайта архива “Акустического журнала”
А. Б. Горшков,  В. Г. Шамаев 
801

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ,  2024, том 70, № 5,  с.  651–662
 
 НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА  
УДК 534.2
ОСОБЕННОСТИ ДЕМОДУЛЯЦИИ  
ИМПУЛЬСНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В СИЛЬНО 
НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЖИМАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
© 2024 г. А. В. Квашенниковаa, *,  М. С. Сергееваa,  П. В. Юлдашевa,  
И. Б. Есиповb,  В. А. Хохловаa
aМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Физический факультет,  
Ленинские горы, ГСП-1, Москва, 119991 Россия
bРоссийский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина,  
Ленинский проспект 65, Москва, 119991 Россия
*е-mail: kvashennikovaav@my.msu.ru
Поступила в редакцию 24.06.2024 г. 
После доработки 24.06.2024 г.  
Принята к публикации 05.09.2024 г.
Рассмотрена одномерная нелинейная задача о параметрической генерации низкочастотного 
излучения в случае импульсного высокочастотного начального возбуждения, способного образовать ударные фронты в профиле волны. Развит численный алгоритм решения уравнения 
Бюргерса во временном представлении с использованием удароулавливающей схемы типа Годунова. Рассмотрены примеры распространения модельных частотно-модулированных сигналов 
с различной формой огибающей при различном соотношении нелинейных и диссипативных 
эффектов, ограничивающих длину взаимодействия волн накачки. Приводятся примеры эволюции профилей и спектров сигналов при самодемодуляции высокочастотного сигнала накачки, 
которая проявляется на меньших расстояниях при сильном проявлении нелинейных эффектов за счет дополнительного затухания энергии волны на образующихся ударных фронтах. Показано, что эффективность генерации низкочастотного излучения в ударноволновых режимах 
увеличивается.
Ключевые слова: параметрические взаимодействия, импульсная накачка, самодемодуляция, уравнение 
Бюргерса, схема Годунова
DOI: 10.31857/S0320791924050019, EDN: XCRORJ
ВВЕДЕНИЕ
При распространении в нелинейной среде двух 
интенсивных гармонических волн с близкими частотами происходит генерация множества новых 
спектральных компонент как вверх, так и вниз по 
спектру. На некотором расстоянии от источника, 
которое определяется затуханием высокочастотных 
волн накачки, сформированное низкочастотное 
излучение, включающее в себя разностную частоту 
и другие комбинационные низкочастотные составляющие спектра, начинает распространяться независимо от начального возбуждения. В этом случае 
нелинейная среда выполняет роль параметрической антенны бегущей волны [1–2], что обеспечивает высокую, в пределах нескольких градусов, 
направленность сгенерированного низкочастотного излучения, низкий уровень боковых лепестков 
диаграммы направленности, а также возможность 
использования излучателей небольших размеров 
по сравнению с длиной волны низкочастотного излучения. Наряду с важными практическими 
преимуществами такого подхода, его недостаток 
связан с небольшой эффективностью преобразования энергии волн накачки в энергию волны разностной частоты [2].
При возбуждении среды мощными высокочастотными импульсами происходит генерация низкочастотного импульсного излучения, т.е. проявляется эффект нелинейной самодемодуляции [3]. Ряд 
особенностей импульсной генерации низкочастотного звука делает параметрический подход одним из 
важных инструментов теоретических и экспериментальных исследований в области подводной [2–4], 
 
воздушной [5–7] и медицинской акустики [8–10]. 
Так, в подводной акустике важным свойством низкочастотного излучения является его способность 
651

КВАШЕННИКОВА и др.
узконаправленно распространяться на дальние расстояния, что используется в акустической томографии водной среды, для зондирования дна океана и 
осуществления подводной связи [11–12]. В библиотеках, музеях или вендинговых аппаратах параметрические громкоговорители могут передавать информацию только для одного конкретного посетителя в результате генерации пучка слышимого звука 
высокой направленности [13]. В медицинских приложениях параметрически сгенерированное низкочастотное излучение используется, например, в 
задачах визуализации тканей и обнаружения опухолей [8–9], а также для ультразвуковой визуализации 
с использованием контрастных агентов [10].
Основные результаты теоретических и численных исследований нелинейной самодемодуляции 
до последнего времени были получены в квазилинейном приближении, т.е. в условиях слабого проявления нелинейных эффектов [2–3, 14]. Главным 
фактором, ограничивающим область параметрических взаимодействий в этом случае, являются 
диссипативные эффекты, приводящие к уменьшению с расстоянием амплитуды волн накачки. В 
случае сильнонелинейных режимов распространения, когда в профиле волны формируются ударные 
фронты, происходит дополнительное уменьшение 
области генерации низкочастотного излучения за 
счет эффективного поглощения энергии волны 
на разрывах и соответствующего дополнительного уменьшения амплитуды взаимодействующих 
волн накачки. Рассмотрение ударноволновых режимов параметрических взаимодействий представляет несомненный интерес. Несмотря на то, 
что поглощение энергии волны на разрывах укорачивает область нелинейных взаимодействий, их 
эффективность растет, что обеспечивает потенциальный механизм получения бόльших уровней 
низкочастотных сигналов. Такие задачи исследованы гораздо менее полно, поскольку связаны с 
необходимостью разработки специальных численных подходов, учитывающих совместное влияние 
нелинейных и диссипативных эффектов, использования больших объемов компьютерной памяти и 
длительностью расчетов [10, 15]. В данной работе 
реализован новый численный алгоритм для исследования процессов генерации и распространения 
низкочастотного излучения в режимах сильного 
проявления нелинейных эффектов на основе одномерного уравнения Бюргерса [16].
Наиболее сложным для численного решения 
уравнения Бюргерса, а также более общих нелинейно-дифракционных уравнений Хохлова-Заболотской-Кузнецова [17] и Вестервельта [18], является оператор нелинейности, который может 
рассчитываться как в спектральном [19–21], так 
и во временном представлениях [15, 22–25]. В 
спектральном подходе, при образовании ударного фронта в профиле исходно гармонической волны, для корректного описания ее распространения 
необходимо учитывать порядка тысячи спектральных компонент (гармоник основной частоты) [21, 
26]. В случае двухчастотного параметрического 
взаимодействия волн накачки число необходимых 
спектральных компонент в алгоритме увеличивается до нескольких тысяч или даже десятков тысяч [27]. Поскольку количество операций в спектральном алгоритме пропорционально квадрату 
числа гармоник [20], это существенно затрудняет 
вычисления и делает их фактически невозможными, например, в трехмерной постановке задачи. 
На данный момент были реализованы оптимизированные спектральные алгоритмы, предназначенные для описания двухчастотного взаимодействия 
гармонических волн накачки и основанные на идее 
отсечения слабоамплитудных спектральных компонент, дающих малый вклад в генерацию низкочастотного сигнала [27–29]. Данный подход позволил уменьшить число гармоник на порядки и был 
применен для решения задачи о параметрическом 
взаимодействии в трехмерном волновом пучке с 
мощной бигармонической накачкой [29].
Для импульсных сигналов с широким исходным 
спектром количество спектральных компонент возрастает в десятки раз по сравнению с двухчастотным 
возбуждением, и спектральный подход становится 
неприменим. Целью данной работы являлась реализация и верификация временного алгоритма расчета 
нелинейного оператора при импульсной генерации 
низкочастотного излучения, в том числе в ударноволновых режимах распространения. Такая задача 
исследовалась ранее [10, 15] с использованием нелинейного алгоритма [22–24], построенного на основе 
точного решения уравнения простых волн в неявном виде [16]. Однако для описания профиля волны 
в режимах образования ударных фронтов такой нелинейный алгоритм требует использования порядка 
50 узлов временной сетки на ударном фронте [30] 
и, следовательно, нескольких тысяч узлов только на 
один высокочастотный период импульсного сигнала, что делает решение трехмерных задач практически нереализуемым. В данной работе используется 
удароулавливающая схема типа Годунова [31], для 
которой требуется всего лишь 2–3 узла временной 
сетки на ударный фронт волны при решении одномерных нелинейных задач [30, 32–33] и несколько 
больше, 7–8 узлов, при решении дифракционных 
задач для корректного описания больших пространственных градиентов поля давления в поперечном к 
оси пучка направлении [34].
Предварительная верификация построенного временного алгоритма была проведена ранее на 
примере параметрического взаимодействия двух 
плоских гармонических волн накачки. Сравнивались результаты моделирования уравнения Бюргерса, полученные с использованием спектрального 
и временного подходов [35]. Для временного алгоритма был отмечен выигрыш по времени вычислений в сотни раз по сравнению со спектральным 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 5
2024

 
ОСОБЕННОСТИ ДЕМОДУЛЯЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 
653
(а)
(б)
Ɵ
1
j + 1
j + 1/2
P
j
0
алгоритмом без его оптимизации и в несколько раз 
по сравнению с оптимизированным спектральным 
алгоритмом [27–28]. В данной работе с использованием развитого временного алгоритма демонстрируются особенности параметрической генерации низкочастотного излучения при импульсной накачке с 
различной формой огибающей импульсов.
j ‒ 1/2
j ‒ 1
‒π
π
0
n + 1
n
‒1
Ɵ
Z
Рис. 1. (а) — Шаблон удароулавливающей шеститочечной 
схемы типа Годунова и (б) — пример одного периода профиля нелинейной волны с ударным фронтом, полученного 
при моделировании с использованием 3 узлов временной 
сетки на разрыв.
1. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ 
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 
ВО ВРЕМЕННОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В приближении плоских волн задача о параметрической генерации низкочастотного излучения 
высокочастотной импульсной накачкой описывается одномерным нелинейным уравнением Бюргерса, которое в безразмерном виде можно записать следующим образом [16]:
2
2
2
⎛
⎞
⎞
⎞
 
∂
∂
=
∂
∂
+ ∂
∂
P
Z
P
P
1
2
2
Г
θ
θ
.  
(1)
n
+
−
=
⎛
Н
Z
P
P
j
j
j
±
±
±
2
1
4
(
)
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟+
⎛
1
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
+
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
1
2
1
2
⎝
⎠
,
n
±
⎞
+
−
a
Z
P
P
j
(
)
,
+
−
⎛
j
j
±
±
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
1
2
1
2
1
2
2
n
+
где a
Z
P
P
j
j
j
±
±
±
−
=
1
2
1
2
1
2
(
)
max
,
 — локальная скорость 
распространения волны в центре ячейки, а давления справа и слева от узла сетки (n, j) равны, 
соответственно:
n
Δ
(
)
,
P
P
Z
P
j
j
n
+
2
θ
θ
=
−
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
j
1
2
1
1
+
+
+
n
Δ
θ
−
(
)
P
P
Z
P
,
=
+
∂
j
j
n
+
2
θ
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
j
1
2
 
 
(3)
n
+
P
P
Z
P
j
j
n
2
Δ
θ
θ
=
−
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
−
j
(
)
,
1
2
n
−
P
j
n
j
−
1
1
2
(
)
.
Δθ
θ
j
1
2
=
+
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
−
−
P
Z
P
Здесь P = p/p0 — акустическое давление, нормированное на максимальную величину давления в начальном импульсном сигнале, Z = z/labs — координата 
распространения волны в единицах длин поглощения, labs = 2c0
3/δω0
2, на характерной частоте исходного сигнала f0 = ω0/2π, θ = ω0(t — z/c0) – время в бегущей системе координат, Γ = δρ0ω0/(2βp0) = lsh/labs — 
 
число Гольдберга, равное отношению длины нелинейности lsh = ρ0c0
3/βω0p0 к длине поглощения labs, 
c0 — скорость звука в среде, ρ0 — плотность среды, β 
и δ — коэффициенты нелинейности и термовязкого 
поглощения, соответственно.
Уравнение Бюргерса (1) моделировалось во временном представлении с помощью явной шеститочечной консервативной схемы типа Годунова [31] 
второго порядка точности по времени θ, шаблон 
которой представлен на рис. 1а. Преимущество 
этой удароулавливающей схемы заключается в том, 
что она позволяет с высокой точностью описывать 
разрывные решения (1) с использованием 2–3 узлов временной сетки на ударном фронте волны 
[30, 32–33] (рис. 1б). Решение уравнения (1) на 
каждом последующем шаге (n + 1) по координате 
распространения волны Z для всех временных узлов j строилось следующим образом [31]:
n
P
⎞
n
n
+
θ
,
1
 в выражении (3) для повыj j
Производные ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
±
(
)
(
)
P
P
Z H
Z
H
Z
=
+
−
⎛
j
n
j
n
j
j
+
−
θ
1
Г
Δ
Δ
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟+
1
1
2
1
2
 (2)
 
шения устойчивости алгоритма рассчитывались 
следующим образом:
Z
P
+
j
+
2
1
n
j
n
j
n
P
P
−
+
(
)
−
2
1 .
Δ
Δ
θ
η
n
j
n
j
n
−
P
P
P
Δ
θ
θ
min mod
,
1
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟=
−
(
)
⎛
j
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
n
η
P
P
−
1
j
n
j
n
+
−
В численной схеме (2) ΔZ и Δθ — шаги сетки по 
координате распространения волны и времени, соответственно; H
j
±1
2
 — потоки через центры ячеек, 
1
1
2
Δ
Δ
θ
θ
,
,
P
P
j
n
j
n
+ −
(
)⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
которые вычисляются как
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 5
2024

КВАШЕННИКОВА и др.
(а)
(в)
×10‒6
1
2
P
P

0
1
‒1
0
(б)
(г)
×10‒6
1
2
P
P

0
1
‒1
0
1
0
2
‒70π
‒35π
35π
70π
0
f/f0
Ɵ
Рис. 2. (а, б) — Начальные профили и (в, г) — спектры 
частотно-модулированных сигналов с (а, в) — гауссовской и (б, г) — гипергауссовской огибающей и линейной 
частотной модуляцией (ЛЧМ).
при этом значение весового коэффициента η выбирается из промежутка 1 ≤ η ≤ 2. В данной работе было выбрано η = 2, что обеспечивает наиболее 
точное решение при минимальном сеточном поглощении, в то время как η = 1 соответствует наибольшему сеточному поглощению и, следовательно, более устойчивому численному алгоритму.
Третье слагаемое в схеме (2) является центрально-разностной аппроксимацией оператора поглощения в уравнении Бюргерса (1). Введенная 
таким образом явная численная схема имеет второй порядок точности по времени θ и первый – 
по координате распространения волны Z. Отметим, что повысить точность численного решения 
уравнения (1) можно с помощью метода расщепления по физическим факторам [22], например, 
вычисляя решение на каждом шаге сетки по Z как 
P(θ, Z+ΔZ) = LA,ΔZ/2LN,ΔZLA,ΔZ/2P(θ, Z). Операторы 
поглощения LA и нелинейности LN при этом рассчитываются независимо с использованием своих оптимальных численных схем, а итоговый алгоритм приобретает второй порядок точности по 
координате Z за счет дробления полного шага ΔZ 
на подшаги. В этом случае диссипативную задачу удобно решать в спектральном представлении, 
поскольку для каждой гармоники поля давления 
существует точное аналитическое решение в виде 
затухающей экспоненты [21]. Сравнение расчетов для оператора поглощения, записанного в частотном и временном представлениях, показало 
различие менее чем на 1%, поэтому в этой работе 
было решено использовать полностью временной 
конечно-разностный алгоритм, как для оператора 
нелинейности, так и для оператора поглощения.
третьего примера был рассмотрен импульсный 
сигнал с прямоугольной огибающей, состоящий 
из суммы гармонической волны на частоте 
f0 = 150 кГц и волны с ЛЧМ в диапазоне 135–145 кГц 
(рис. 3а), характерный для работы подводной параметрической антенной решетки [11]. Первый и последний циклы под его огибающей, демонстрирующие изменение частоты от начала к концу импульса, представлены на рис. 3в. Отметим, что для всех 
трех импульсных сигналов частота осцилляций 
увеличивается от начала к концу импульса. На рисунках 2в, 2г и 3б представлены начальные спектры 
P  описанных выше импульсных сигналов. Относительная ширина ЛЧМ спектра прямоугольного 
(а)
(б)
×10‒3
1
1.5
1
P
P

0
0.5
‒1
0
1
0
2
Ɵ
‒450π
450π
0
f/f0
(в)
1
P
0
2. НАЧАЛЬНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИГНАЛЫ 
И ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Численное моделирование задачи о параметрической генерации низкочастотного излучения высокочастотной импульсной накачкой проводилось 
на примере трех характерных начальных сигналов 
с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) и различными типами огибающей. Для верификации 
алгоритма и возможности сравнения полученных 
в работе результатов с более ранними исследованиями [15] были рассмотрены два примера модельных импульсов с ЛЧМ, центральной частотой f0 = 3.5 МГц и гауссовской и гипергауссовской 
функциями огибающей:
‒1
0
P
Z
E
=
=
+
=
θ
θ
θ
ϕ θ
m
( ,
)
( )sin(
( ))
2
Ɵ
‒440π
‒420π
‒400π
Ɵ
422π
428π
434π
2
⎛
⎞
⎞
 
exp
=
−⎡
⎟
⎟
⎟
⎟
2
50
275
 
(4)
θ
π
⎟
+
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
sin
,
θ
θ
π
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎦
⎥
⎥
⎣
⎢
⎢
⎤
⎠
⎝
Рис. 3. (а) — Начальный профиль и (б) — спектр импульсного сигнала в виде суммы гармонической волны и волны с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). (в) – Первый и последний циклы под прямоугольной огибающей 
импульса.
где m = 1 и m = 5 соответствуют огибающим в 
виде гаусса и гипергаусса (рис. 2а и 2б). В качестве 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 5
2024

 
ОСОБЕННОСТИ ДЕМОДУЛЯЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 
655
Таблица 1. Физические параметры среды распространения для различных типов начального импульсного 
возбуждения.
среда
c0, м/с
ρ0, кг/м3
β
δ, м2/с
Модельные ЛЧМ импульсы
глицерин
1920
1260
5.4
2 × 10–5
Гарм. волна + ЛЧМ 
вода
1502.25
996.81
3.5
4.42 × 10–4
Таблица 2. Максимальная амплитуда давления в импульсе, характерные величины длин поглощения labs и 
нелинейности lsh и их отношения Г = lsh/labs.
p0, МПа
lsh, м
labs, м
Γ
Модельные ЛЧМ 
импульсы
0.051–0.51 0.15–1.5
1.5
0.1–1
Гарм. волна + ЛЧМ
0.06–0.6
1.7–17
17
0.1–1
Таблица 3. Параметры численного алгоритма.
ΔZ
Δθ
M
N
Модельные ЛЧМ 
импульсы
(1.3–5.3) × 10–4 0.06 120 12000
Гарм. волна + ЛЧМ (3.1–7.8) × 10–4 0.08
80
72000
параметрических взаимодействий, является только поглощение на ударных фронтах, реализуемое 
внутри самой численной схемы для нелинейного 
оператора (сеточное поглощение). Время расчетов 
на персональном компьютере с 64 Гб оперативной 
памяти и восьмиядерным процессором [29] составляло 10–30 минут в режиме слабой нелинейности 
(Γ = 1) и 30–100 минут в ударноволновом режиме 
(Γ = 0.1) при распространении сигналов до расстояния Z = 25.
Для определения наиболее выигрышных режимов излучения волн накачки также был исследован 
вопрос об эффективности параметрической генерации низкочастотного излучения для описанных 
выше трех случаев импульсного начального возбуждения. Во-первых, рассматривалось отношение амплитуды демодулированных импульсов к 
амплитуде исходных импульсов накачки. В качестве второй метрики рассчитывалась энергия низкочастотного излучения Elow как сумма квадратов 
модулей дискретных низкочастотных спектральных компонент с номерами n = 1…nmax, амплитуда 
которых спадала в 105 раз относительно максимума 
низкочастотной части спектра, отнесенная к полной энергии начального сигнала E0, рассчитанной 
путем суммирования энергии всех дискретных гармоник в спектре n = 1…Nmax:
n
N
max
max
2
2
,
 
(5)
low =
=
 
E
P
E
P
n
n
n
n
1
0
0
1
,
.
=
=
∑
∑
3. РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Для первичной апробации работы численного 
алгоритма в случае импульсной накачки результаты моделирования распространения гауссовского 
и гипергауссовского высокочастотных импульсов 
сравнивались с известным аналитическим решением на больших расстояниях Z ب 1, полученным 
в квазилинейном приближении [15]. В этом случае, при наличии частотной модуляции, решение 
для низкочастотного демодулированного импульса в квазилинейном приближении определяется 
формой исходной огибающей E(θ) и видом фазомодулирующей функции ϕ(θ) и пропорционально 
функции
2
 
d
d
E
d
d
θ
θ
ϕ
θ
( )
/
.
1
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 
(6)
импульса в области f < f0 (рис. 3б) меньше, чем у 
модельных спектров импульсов с гауссовской и гипергауссовской временными огибающими (рис. 2в 
и 2г), которые имеют близкую по величине ширину 
и сосредоточены симметрично вокруг центральной 
частоты f0.
При моделировании распространения модельных ЛЧМ импульсов и смешанного гармонического с ЛЧМ сигнала использовались физические 
параметры сред, приведенные в табл. 1 и соответствующие предшествующим исследованиям 
[11, 15, 27–29, 35]: глицерин (более диссипативная 
среда) и вода (менее диссипативная среда).
Были рассчитаны характерные длины образования разрыва lsh для периодов с максимальной 
амплитудой давления p0 в профиле волн накачки, 
длины поглощения labs высокочастотной накачки 
на центральной частоте f0 и числа Гольдберга Γ. 
Значения этих величин, а также параметры численного алгоритма, такие как безразмерные шаги 
пространственной (ΔZ) и временной (Δθ) численных сеток, число точек M на период волны накачки на частоте f0 и общее число точек временного 
окна N приведены в табл. 2 и 3, соответственно. 
Пространственный шаг ΔZ варьировался в зависимости от режима распространения для обеспечения устойчивости численного алгоритма (2). 
Также был промоделирован предельный случай 
Г = 0, когда механизмом, ограничивающим длину 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 5
2024

КВАШЕННИКОВА и др.
На рис. 4 представлены результаты такого сравнения нормированных на максимум давления, 
отличающийся для различных режимов распространения, безразмерных профилей давления модельных гауссовского (рис. 4а) и гипергауссовского 
(рис. 4б) импульсов [15] на расстоянии 25 длин поглощения labs (Z = 25). Как видно из рисунка, численные решения, полученные для случая слабой 
нелинейности (Γ = 1) в отсутствие частотной модуляции (черные штриховые кривые) и с ЛЧМ (синие 
штриховые кривые), в точности совпадают с соответствующими аналитическими решениями (серые 
и голубые кривые, соответственно), что свидетельствует о корректности работы алгоритма. В случае 
сильного проявления нелинейных эффектов для 
ЛЧМ импульсов (Γ = 0.1, ударноволновой режим, 
красные кривые) численные решения качественно 
повторяют поведение аналитического. Отметим, 
что для импульса с гипергауссовской огибающей 
(а)
1
0
P/Pmax
‒1
(б)
1
0
P/Pmax
‒1
‒70π
‒35π
35π
70π
0
Ɵ
Г = 0.1
с ЛЧМ
Г = 1
с ЛЧМ
Г = 1
без ЛЧМ
аналит. реш. в квазилин. случ. без ЛЧМ
аналит. реш. в квазилин. случ. с ЛЧМ
Рис. 4. Сравнение аналитического квазилинейного решения с результатами численного моделирования для профилей модельных импульсных сигналов с (а) — гауссовской и (б) — гипергауссовской огибающими на расстоянии 
Z = 25: аналитическое решение в отсутствие (Г = 1, серые 
кривые) и при наличии линейной частотной модуляции 
(ЛЧМ) (Г = 1, голубые кривые), численное решение без 
ЛЧМ (Г = 1, черные штриховые кривые), численные решения с ЛЧМ в квазилинейном (Г = 1, синие штриховые кривые) и ударноволновом (Г = 0.1, красные кривые) режимах 
распространения.
(рис. 2б) наблюдается более несимметричная форма демодулированного импульса (рис. 4б): амплитуда положительной фазы импульса больше, чем 
амплитуда следующей за ней отрицательной фазы. 
Асимметрия демодулированного профиля объясняется увеличением частоты сигнала от начала к 
концу исходного импульса накачки, что приводит 
к усилению нелинейных эффектов, более раннему 
формированию ударных фронтов и дополнительному к линейному поглощению энергии высокочастотной волны в конце импульса. Бóльшая асимметрия для исходного импульса с гипергауссовской 
огибающей (рис. 4б) по сравнению с гауссовской 
(рис. 4а) обусловлена наличием бóльшего числа 
высокоамплитудных высокочастотных периодов в 
конце начального профиля волны.
На рис. 5 показана эволюция безразмерных 
спектров P  гауссовского (рис. 5а, 5б) и гипергауссовского (рис. 5в, 5г) импульсов при прохождении различных расстояний Z = z/labs, равных 0 
(серые кривые), 0.1 (черные кривые), 0.5 (розовые 
кривые), 1 (синие кривые), 3 (зеленые кривые) 
и 25 (красные кривые), для различных режимов 
распространения волны: квазилинейный режим 
(Γ = 1) и ударноволновой режим (Γ = 0.1). Как 
видно из рис. 5, с увеличением расстояния исходно высокочастотный спектр обоих типов сигналов 
переходит в область низких частот, что является демонстрацией эффекта самодемодуляции [3]. Насыщение низкочастотной части спектра происходит 
на расстояниях порядка Z = 1 в ударноволновом 
(Γ = 0.1) и Z = 3 квазилинейном (Γ = 1) режимах 
распространения. При этом амплитуда высокочастотной накачки на этих расстояниях еще велика 
по сравнению с амплитудой низкочастотного излучения и становится сравнимой с ней лишь при 
Z = 3 для Γ = 0.1 и Z = 6 для Γ = 1. Тенденция более раннего насыщения в ударноволновом режиме 
(Γ = 0.1) связана с дополнительным, помимо линейного, поглощением энергии волны накачки на 
образующихся в профиле волны разрывах. Однако, несмотря на такое уменьшение длины параметрических взаимодействий, максимальная безразмерная амплитуда низкочастотной части спектра 
в этом случае приблизительно в 5–6 раз больше, 
чем для квазилинейного режима. Таким образом, с 
точки зрения максимально достижимой амплитуды 
давления низкочастотного излучения, его генерация происходит более эффективно в ударноволновых режимах. Отметим, что при распространении 
от Z = 3 (рис. 5, зеленые кривые) до Z = 25 длин 
поглощения (рис. 5, красные кривые) форма низкочастотной части спектра практически не меняется, но для демодулированного спектра гипергаусса 
(рис. 5в, 5г) начинают сказываться эффекты поглощения в области высоких частот.
На рис. 6 показана эволюция формы безразмерных профилей импульсов с исходно гауссовской 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 5
2024

 
ОСОБЕННОСТИ ДЕМОДУЛЯЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ 
657
(а)
(в)
×10‒6
×10‒8
2
×10‒8
2
2
1
P

1
1
0
0
0.2
0.3
0.1
0
0
0.05
0.1
0
(б)
(г)
×10‒6
×10‒7
×10‒7
1
1
2
0.5
0.5
P

Г = 0.1
Г = 1
1
0
0
0
0.2
0.3
0.1
0
0.05
0.1
0
1
0
2
4
3
5
1
0
2
4
3
5
f/f0
f/f0
0.1labs
0.5labs
1labs
3labs
25labs
0labs
Рис. 5. Спектры импульсных сигналов с (а, б) — гауссовской и (в, г) — гипергауссовской огибающими для случаев 
 
(а, в) — квазилинейного (Г = 1) и (б, г) — ударноволнового (Г = 0.1) режимов распространения, построенные на 
различных расстояниях Z = z/labs: 0 (серые кривые), 0.1 (черные кривые), 0.5 (розовые кривые), 1 (синие кривые), 
 
3 (зеленые кривые) и 25 (красные кривые). На вставках представлена низкочастотная часть спектров.
3
(а.I)
×10‒2
2
(а.II)
×10‒3
2
(а.III)
×10‒3
0
0
0
1
(а)
‒2
‒3
P
0
3
(а.IV)
×10‒2
8
(а.V)
×10‒3
‒2
8
(а.VI)
×10‒3
‒1
0
0
0
Ɵ
‒70π
‒35π
35π
70π
0
‒8
‒8
‒3
6
(б.I)
×10‒2
8
(б.II)
×10‒3
8
(б.III)
×10‒3
0
0
0
1
(б)
‒8
‒8
‒6
P
0
6
(б.IV)
×10‒2
3
(б.V)
×10‒2
3
(б.VI)
×10‒2
‒1
0
0
0
Г = 0.1
Г = 1
Г = 0.1
Г = 1
Ɵ
‒70π
‒35π
35π
70π
0
‒3
‒3
‒6
Ɵ
‒70π
‒35π
35π
70π
0
Ɵ
‒70π
‒35π
35π
70π
0
4labs
0labs
Ɵ
‒70π
‒35π
35π
70π
0
10labs
25labs
Рис. 6. Эволюция безразмерных профилей импульсных сигналов с (а) — гауссовской и (б) — гипергауссовской огибающими в квазилинейном (Г = 1) и ударноволновом (Г = 0.1) режимах распространения на различных расстояниях 
 
Z = z/labs: 0, 4, 10 и 25.
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 5
2024