Акустический журнал, 2024, № 4

Российская академия наук
АКУСТИЧЕСКИЙ 
 
ЖУРНАЛ
Том 70     № 4     2024     Июль–Август
Журнал основан в январе 1955 г.
Выходит 6 раз в год 
 
ISSN: 0320-7919
Журнал издается под руководством 
 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
И.Б. Есипов
Редакционная коллегия:
Ю.И. Бобровницкий (зам. главного редактора), 
 
М.Л. Лямшев (отв. секретарь),
С.В. Егерев, В.Ю. Зайцев, А.А. Карабутов,  
Т.К. Козубская, В.Ф. Копьев, А.И. Коробов, 
 
А.И. Малеханов, М.А. Миронов,
В.Г. Петников, Е.В. Чарная
Редакционный совет:
Ю.В. Гуляев, С.Н. Гурбатов, С.А. Никитов, 
 
Л.А. Островский, О.В. Руденко, А.П. Сарвазян,
Б.Н. Четверушкин
Зав. редакцией В.А. Гусев
Научн. редакторы В.А. Гусев, А.М. Романовская
Адрес редакции: 119991 Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ 
 
Тел.: (495) 939-29-18; E-mail: acoust-journal@physics.msu.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия “Акустического журнала” 
     (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 70, номер 4, 2024
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ  
ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
Влияние геометрии на распространение изгибной волны в разрезных стержнях 
А. А. Агафонов, М. Ю. Изосимова, Р. А. Жостков, А. И. Кокшайский, А. И. Коробов, Н. И. Одина 
469
Звуковые волны в среде с резонансными включениями дипольного типа
Н. Г. Канев, М. А. Миронов 
478
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
Влияние структуры материала и его пластической деформации на нелинейный акустический параметр
А. В. Ванягин, А. В. Иляхинский, В. М. Родюшкин 
485
ФИЗИЧЕСКАЯ АКУСТИКА
Регулируемая акустическая линия задержки как фазовращатель
Б. Д. Зайцев, И. А. Бородина, А. А. Теплых, А. П. Семёнов 
492
Особенности сонолюминесценции атомарного натрия в процессе пузырькового коллапса  
в кавитационном облаке методом время-корреляционного счета одиночных фотонов
М. В. Казачек, Т. В. Гордейчук 
499
Динамика сферической полости в кавитирующей жидкости с непрерывно изменяющейся  
концентрацией кавитационных зародышей
В. К. Кедринский, А. А. Черевко 
507
АКУСТИКА ОКЕАНА. ГИДРОАКУСТИКА
О средней интенсивности поля и отдельных мод низкочастотного звукового сигнала в мелководном  
волноводе со статистически неровной донной границей
О. Э. Гулин, И. О. Ярощук, Р. А. Коротченко 
517
Физическое моделирование метода когерентного зондирования малоконтрастных донных слоев  
в лабораторном бассейне
В. И. Калинина, П. Н. Вьюгин, И. А. Капустин 
536
Применение низкочастотных акустических сигналов для исследования подводных газовых факелов
Д. А. Костеев, Н. А. Богатов, А. В. Ермошкин, И. А. Капустин, А. А. Мольков, Д. Д. Разумов, М. Б. Салин 
551
Оценка расстояния до сосредоточенной неоднородности на акустической трассе в мелком море  
при наличии фоновых возмущений
А. А. Луньков, М. А. Шерменева 
566
Изменчивость кавитационного порога морской воды в натурных условиях
Н. П. Мельников 
582
Совместное влияние ветрового волнения и внутренних волн на когерентность низкочастотных  
акустических сигналов и эффективность их пространственной обработки в мелком море 
М. А. Раевский, В. Г. Бурдуковская 
592

АТМОСФЕРНАЯ И АЭРОАКУСТИКА
Модификация метода Дина для определения импеданса при неоднородном звуковом поле  
в резонаторе
В. В. Пальчиковский 
608
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ АКУСТИКИ
Многоэлементный излучатель низкочастотного ультразвука для создания фокусированных  
акустических пучков высокой интенсивности в воздухе
Ш. А. Асфандияров, С. А. Цысарь, О. А. Сапожников 
622
Автономные вертикальные акустико-гидрофизические измерительные системы «Моллюск-19»  
и «Моллюск-21»
А. Н. Рутенко, Д. Г. Ковзель, В.А. Гриценко 
636

АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ,  2024, том 70, № 4,  с.  469–477
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ 
И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.23
ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ  
ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ В РАЗРЕЗНЫХ СТЕРЖНЯХ 
© 2024 г. А. А. Агафоновa, М. Ю. Изосимоваа, Р. А. Жостковb,  
А. И. Кокшайскийа, А. И. Коробова,*, Н. И. Одинаа
aМосковский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет,  
Ленинские горы, Москва, 119991 Россия
bИнститут физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, Грузинская ул. 10, стр. 1,  
Москва, 123995 Россия
*е-mail: aikor42@mail.ru
Поступила в редакцию 07.12.2023 г.
После доработки 07.12.2023
Принята к публикации 19.06.2024 г.
Исследовано распространение изгибных упругих волн в металлических разрезных стрежнях прямоугольного сечения с увеличением глубины прорезей по степенному закону с помощью численного 
моделирования и экспериментально методом лазерной сканирующей виброметрии. Рассмотрены три 
типа расположения прорезей: равномерное, учащенное и разреженное к концу стержня. Такие конструкции проявляют свойства акустической черной дыры. В диапазоне частот 10-100 кГц экспериментально обнаружено увеличение амплитуды и уменьшение длины изгибной волны по мере приближения волны к концу стержня для всех исследуемых образцов. Показано, что существует критическая 
частота, выше которой моды имеют участок с сильно уменьшенным значением амплитуды колебаний.
Ключевые слова: изгибные волны в стержне, разрезной стержень, лазерная виброметрия, численное моделирование, эксперимент
DOI: 10.31857/S0320791924040019   EDN: XGABGF  
1. ВВЕДЕНИЕ
Структуры, называемые «акустическими черными дырами» (АЧД), как элементы метаматериалов, привлекают интерес исследователей в течение нескольких последних десятилетий [1–3]. Их 
основные приложения находятся в сфере структурной акустики и шумопоглощения. Структуры, 
проявляющие эффект АЧД, имеют направления, 
вдоль которых скорость распространения упругих 
волн должна уменьшаться до нуля на конечном 
расстоянии. Распространение акустических волн в 
этом направлении должно происходить бесконечно долго, а отраженная волна будет отсутствовать. 
Реализовать структуру с описанными упругими 
свойствами можно с помощью различных модификаций геометрии [4–6]. 
амплитуды при приближении изгибной волны к 
кромке пластины. В настоящее время уже ряд исследователей проводили как теоретические, так и 
экспериментальные исследования, посвященные 
распространению изгибных волн Лэмба в таких 
структурах [7–9].
Интересны недавние работы, в которых рассматриваются различные модификации упругих 
стержней для достижения в них эффекта АЧД [10–
12]. В статье [12] для превращения упругого стержня в образец АЧД предлагается использовать тонкие прорези, глубина которых нарастает к концу 
стержня, рассматривается распространение изгибной волны в этом образце и определяется значение 
критической часты, выше которой стержень является АЧД. В статье [13] нами были проведены численные и экспериментальные исследования распространения изгибных волн в разрезном стержне, 
проявляющем свойства АЧД. Целью настоящей работы является определение влияния порядка расположения прорезей на стержне на его характеристики как акустической черной дыры. 
Одной из первых рассмотренных структур с эффектом АЧД является пластина со степенным профилем: толщина пластины уменьшается до нуля 
вдоль выделенного направления [1]. Для данного типа АЧД описано изменение длины волны и 
469

АГАФОНОВ 
 и др.
×10‒8
2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
25
20
0.2
15
0.15
10
0.1
m
0.05
5
0
0
Рис. 2. Изгибная мода в образце № 2 на частоте 8.1 кГц.
   
,
где s(x) – толщина профиля стержня, которая остается между прорезями, h(x) — глубина прорезей соответственно, xi  — координаты прорезей, H – общая толщина стержня, L – длина участка стержня с 
разрезами. При этом xi  определяется следующими 
формулами.
1. Образец № 1 с учащением прорезей к концу 
стержня: 
   
73
, , ,
,
,





.
i
N
x
i
N L
i
N
L
i
=
…
{
}
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2 3
2
3
1
3
2. Образец № 2 с эквидистантным расположением прорезей: 
                i
N
x
i
N L
i
=
…
{
}
=
1 2 3
, , ,
,
,





.
3. Образец № 3 с разрежением прорезей к концу 
стержня: 
    
73
, , ,
,
,





.
i
N
x
i
N L
i
N
L
i
=
…
{
}
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2 3
4
3
1
3
Численное моделирование распространения 
акустических волн в моделях разрезных стержней выполнено методом конечных элементов в 
программном пакете COMSOL Multiphysics 5.3 
(лицензия № 9600341) с подключенным модулем 
«Структурная механика». Особенности построения численной модели (разбиение образцов на 
конечные элементы, сетки датчиков и прочее), 
использованной в данной работе, описываются в 
статье [13]. 
В качестве образцов были заданы стержни с размерами 3.9×6.8×200 мм. 28 прорезей расположены 
на участке стержней длиной 90 мм на разных расстояниях друг от друга в зависимости от образца. 
Рассматривались три типа закона распределения 
разрезов вдоль стержня (рис. 1): образец № 1 с учащением прорезей к концу стержня (вдоль оси X); 
образец № 2 с одинаковым расстоянием между 
прорезями; образец № 3 с разрежением прорезей 
к концу стержня. 
В моделировании были использованы упругие параметры материала образцов, соответствующие дюралюминию Д16: плотность — 2680 кг/м3, 
скорость распространения продольных волн  – 
6400 м/с, поперечных — 3130 м/с. Для пьезокерамических элементов: плотность — 4700 кг/м3, 
скорость распространения продольных волн – 
6562 м/с, поперечных — 3582 м/с.
Расстояние между прорезями в образце № 1 по 
мере приближения к торцу стержня уменьшалось 
от 4.6 до 2.2 мм вблизи торца стержня. В стержне 
с равномерным расположением прорезей (образец 
№ 2) расстояние между прорезями было равно 3.2 
мм. В стержне с разреженным к концу расположением прорезей (образец № 3) расстояние между 
прорезями увеличивалось от 1.9 до 4.2 мм.
Зависимость глубины разреза от его координаты 
для образцов стержней заданы в соответствии с исследованиями [12, 13] следующим образом:
Образец № 1
Образец № 2
Образец № 3
Рис. 1. Общий вид образцов разрезных стержней.
Количество прорезей N = 28 было выбрано таким образом, чтобы обеспечить не менее 5 прорезей на длину волны в начале стержня, и при этом 
расстояние между прорезями на учащенном участке было как минимум в два раза больше ширины 
прорези (0.75 мм). Пример выходных данных моделирования представлен на рис. 2.
Для образцов № 1, 2 и 3 с помощью численного моделирования были определены собственные частоты и формы мод изгибных волн в диапазоне частот 1−100 кГц. С помощью преобразования Гильберта были рассчитаны функции, 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 4
2024

 
ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ В РАЗРЕЗНЫХ СТЕРЖНЯХ  471
(а)
100
80
60
40
Частота, кГц
20
0
0
50
Расстояние, мм
200
150
100
(б)
100
80
60
40
Частота, кГц
20
0
0
50
Расстояние, мм
200
150
100
(в)
100
80
60
40
Частота, кГц
20
0
0
50
Расстояние, мм
200
150
100
Рис. 3. Распределение амплитуды изгибной волны 
вдоль центральной линии поверхности стержней 
с огибающими в образцах (а) — № 1, (б) — № 2, 
(в) — № 3.
Из рис. 3 можно установить, что моды успешно 
возбуждаются в стержне при условии, что локальная длина волны в моде превышает или равна двум 
длинам фрагмента разрезного стержня. В идеальном случае, на длину волны должно приходиться 
достаточно много прорезей. Резонансные особые 
моды наблюдаются при равенстве этих длин, когда 
половина длины волны соответствует длине фрагмента стержня. В частности, для особой моды в образце № 1, в области 15 мм вблизи торца фрагменты стержня, разделенные разрезами, смещаются 
как единое целое и соответствуют длине изгибной 
волны (рис. 4). Описанная картина нарушается для 
смежных мод.
ортогональные исходным модам и восстановлены 
формы огибающих для этих мод. Распределение 
амплитуды некоторых изгибных мод вместе с соответствующими огибающими вдоль центральной линии поверхности стержня представлены 
на рис. 3. Частота каждой моды отображается на 
оси ординат таким образом, что ноль амплитуды 
колебаний моды соответствует значению ее собственной частоты. Под каждым графиком находится профиль образца стержня, которому соответствуют рассчитанные моды.
На профилях огибающих наблюдаются фрагменты, соответствующие прорезям в стержне. На 
всех наблюдаемых модах во всех образцах происходит уменьшение длины изгибной волны при приближении к торцу стержня. Таким образом, можно 
сделать вывод, что на проявление эффекта АЧД основное влияние оказывает глубина прорезей. При 
приближении к торцу стержня происходит увеличение амплитуды мод, на величину около нескольких десятков процентов. В образце № 1 на низких 
частотах увеличение достигает 2.5 раз, а на высоких 
частотах — 1.7 раз. В образце № 2 на низких частотах увеличение достигает 3 раз, на высоких — 1.9 
раза. В образце № 3 на низких частотах увеличение 
достигает 2.6 раз, на высоких — 1.75 раза. Таким 
образом, наибольший рост амплитуды наблюдается для образца с равномерным распределением 
прорезей. Тем не менее, подобный рост амплитуды 
незначителен по сравнению с ростом амплитуды 
изгибной волны в параболическом клине (в эксперименте наблюдался рост примерно в 20 раз) [9].
В каждом исследованном образце обнаружены особые (граничные) резонансные моды, после которых распределение амплитуды меняет 
свой характер. Такая мода появляется на частоте 
52.9 кГц в образце № 1, на частоте 43.24 кГц в образце № 2, в образце № 3 на частоте 38.1 кГц. На 
данных частотах наблюдается резкое возрастание 
амплитуды этой моды. Для образца № 1 амплитуда особой моды возрастает в 10 раз и максимальна 
на расстоянии 6 мм от свободного торца стержня. 
В образце № 2 максимальное увеличение амплитуды равно 4 и наблюдается на расстоянии 12 мм 
от торца. В образце № 3 амплитуда особой моды 
возрастает в 3 раза на расстоянии 16 мм от торца. 
Также, как и в образце № 1, в стержнях № 2 и № 3 
особая мода разделяет спектр собственных частот 
на моды с отсечением хвоста и без. Моды, частоты 
которых выше собственной частоты особой моды, 
имеют область вблизи торца стержня, в которой их 
амплитуды много меньше средней. С повышением 
частоты пространственный размер этой области 
возрастает. 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 4
2024

АГАФОНОВ 
 и др.
(а)
1.0
75
13.02 кГц
15.82 кГц
60
25.07 кГц
0.5
34.8 кГц
45
52.9 кГц
75.14 кГц
30
99.51 кГц
0.0
15
Длина волны, мм
‒0.5
0
150
200
100
50
0
Нормированная амплитуда
‒15
Расстояние, мм
(б)
0.10
‒1.0
0.15
75
x, м
0.20
13.3 кГц
19.2 кГц
60
28.9 кГц
38.3 кГц
45
Рис. 4. Распределение нормированной амплитуды вдоль стержня (образец № 1) на особой частоте 
(52.9 кГц).
43.2 кГц
61.2 кГц
30
104.3 кГц
15
Длина волны, мм
0
150
200
100
50
0
‒15
Расстояние, мм
(в)
75
13.7 кГц
60
19.8 кГц
29.4 кГц
45
38.6 кГц
30
54 кГц
72 кГц
15
Длина волны, мм
106.8 кГц
0
150
200
100
50
0
‒15
Расстояние, мм
Рис. 5. Длина изгибной волны в стержне в зависимости от расстояния: (а) — образец № 1, (б) — образец 
№ 2, (в) — образец № 3.
По полученным распределениям амплитуды изгибной волны вдоль стержня были рассчитаны значения локальной длины волны для образцов № 1, 
2 и 3 (рис. 5а−5в). 
Для всех исследованных частот график зависимости длины волны от пройденного расстояния 
имеет в целом монотонный убывающий характер. 
Однако, для высоких частот на расстоянии нескольких десятков миллиметров от торца, уменьшение длины волны практически не происходит, 
что связано с тем, что данный образец стержня 
имел 5 одинаковых по глубине прорезей на конце. 
Вблизи конца стержня для некоторых мод, частоты которых приближаются к частотам особых мод, 
зависимость длины волны от расстояния имеет 
локально немонотонный характер, что вероятно, 
связано с неточным совпадением локального значения длины изгибной волны в этой области с размером фрагмента стержня.
С повышением частоты длина волны уменьшается, и вблизи конца стержня наблюдается минимальное значение длины волны для данной моды. 
Однако, при достижении частоты особой резонансной моды, достигается минимальная возможная длина волны для каждого образца. Дальнейшее 
повышение частоты не приводит к уменьшению 
длины волны у конца стержня ниже этого значения, а приводит к резкому спаду амплитуды волны в области вблизи конца стержня. При этом, на 
высоких частотах длина волны стремится к этому 
минимальному значению при приближении к концу стержня, но выход на минимальное для данной 
моды значение происходит при все более меньших 
значениях пройденного расстояния.
Для образца № 1 значение минимальной длины волны достигается при частоте особой моды 
52.9 кГц и равно 4.8 мм. В образце № 2 минимальное значение длины волны составило 6.0 мм и 
достигается при частоте особой моды 43.2 кГц. В 
образце № 3 минимальное значение длины волны 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 4
2024

 
ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ В РАЗРЕЗНЫХ СТЕРЖНЯХ  473
равно 7.7 мм и достигается на частоте 38.1 кГц также для особой моды. Таким образом, самое сильное замедление волны происходит в образце, где 
количество прорезей увеличивается к его торцу. 
3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ  
ИССЛЕДОВАНИЯ
Для проведения экспериментальных исследований из сплава Д16 были изготовлены экспериментальные образцы разрезных стержней с размерами и прорезями, заявленными для моделирования (рис. 6). Погрешности изготовления прорезей 
составили 0.5 мм.
Как в пластинах с параболическим профилем 
невозможно изготовить бесконечно тонкую кромку, так и для разрезных стержней проблематично 
изготовить разрез с малой шириной s(x) между 
щелями вблизи конца стержня (см. рис. 1). Образцы стержней становились хрупкими вблизи торца 
и поэтому ближайшие к торцу 5 прорезей были 
изготовлены с одинаковой максимально возможной глубиной. Расстояние между щелями для них 
было равно 0.95 мм. 
Исследования проводились с использованием экспериментальной установки, разработанной 
для исследования пластины с параболическим 
профилем [9]. Способ возбуждения сигнала и методика экспериментальных исследований подробно описываются в статье [13]. 
Особенности определения модового состава у 
стержней при моделировании позволяют получить только значения собственных частот и распределение мод на этих частотах. Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для образцов разрезного стержня с тремя типами расположения 
прорезей (№ 1, 2 и 3) были получены экспериментально при возбуждении свип-сигнала в диапазоне 10−100 кГц (рис. 7).
Обнаружено, что в исследованных образцах 
происходит эффективная генерация стоячих волн 
в диапазоне частот от 10 до 100 кГц. При этом в 
образце № 1 усредненная по образцу амплитуда 
изгибных колебаний на собственных частотах в 
среднем выше в 1.5−2 раза, чем в образцах 2 и 3. 
На частотах до 50 кГц наблюдается большая плотность резонансных пиков, чем на частотах выше 
50 кГц. В образце № 2 более частый и более редкий участки спектра разделяются частотой 40 кГц. 
В образце № 3 спектр является таким же плотным, 
как в других образцах на частотах ниже 20 кГц. 
Для резонансных частот из представленных 
АЧХ приведены измеренные распределения мод 
вдоль стержня для всех исследованных образцов 
разрезных стержней (рис. 8).
В исследованных образцах стержня происходит уменьшение длины изгибной волны по мере 
приближения к торцу стержня, что соответствует 
результатам численного моделирования для данных образцов. 
(а)
(б)
Рис. 6. (а) — Экспериментальные образцы № 1, 2, 3 и (б) — закрепленный стержень № 3 для возбуждения в нем 
изгибных волн.
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 4
2024

АГАФОНОВ и др.
(а)
3
Таблица. Особые (граничные) моды в образцах разрезного стержня.
Образец № 1
2
1
0
Амплитуда, мкм/с
10
Образец
Моделирование, 
кГц
Эксперимент, 
кГц
1
52.9
55.7
2
43.24
40
3
38.6
20
Частота, кГц
40
70
100
(б)
3
Образец № 2
2
1
Для всех исследованных образцов были выполнены расчеты зависимости длины изгибной волны от расстояния вдоль стержня для экспериментально исследованных мод и проведено сравнение 
результатов этих расчетов с результатами моделирования (рис. 9).
0
Амплитуда, мкм/с
10
Частота, кГц
40
70
100
(а)
100
(в)
80
3
Образец № 3
60
2
40
1
Частота, кГц
20
0
Амплитуда, мкм/с
0
10
Частота, кГц
40
70
100
0
50
Расстояние, мм
200
150
100
Рис. 7. АЧХ в разрезных стержнях с тремя типами 
расположения прорезей.
(б)
120
100
80
60
40
Частота, кГц
20
0
0
50
Расстояние, мм
200
150
100
Аналогично результатам численного моделирования, к эксперименте наблюдается небольшое 
увеличение амплитуды волны по мере приближения к торцу стрежней: в образце № 1 на низких 
частотах амплитуда изгибной волны увеличивается примерно в 2.2 раза, а на высоких частотах — в 
1.4 раза. В образце № 2 на низких частотах коэффициент увеличения амплитуды изгибной волны 
достигает 1.8 раза, на высоких частотах — 1.5 раза. 
В образце № 3 на низких частотах — 2.2 раза, 1.7 
раза на высоких частотах. 
Рис. 8. Моды изгибных волн в образцах (а)  —
№ 1, (б) — № 2, (в) — № 3.
В результате эксперимента также были обнаружены особые моды, разделяющие спектр собственных колебаний образцов, которые тем не 
менее отличаются от полученных при моделировании (см. табл.).
Наличие области в пространстве, в которой 
амплитуда волны практически близка к уровню 
шума или отсутствует, может быть связано с приближением длины изгибной волны к размерам перемычки между соседними фрагментами стержня, 
образованными с помощью разрезов. 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 4
2024

 
ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИИ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗГИБНОЙ ВОЛНЫ В РАЗРЕЗНЫХ СТЕРЖНЯХ  475
(а)
120
75
15.82 кГц
16 кГц эксп
60
100
25.07 кГц
24.8 кГц эксп
45
44.05 кГц
43.05 кГц эксп
80
30
99.51 кГц
95.87 кГц эксп
15
60
Образец 1, Эксперимент
Длина волны, мм
Образец 2, Эксперимент
Частота, кГц
0
150
200
100
50
0
40
Образец 3, Эксперимент
‒15
Расстояние, мм
Образец 1, моделирование
20
Образец 2, моделирование
(б)
Образец 3, моделирование
75
19.2 кГц
0
19.4 кГц эксп
60
160
150
170
28.9 кГц
180
190
200
Расстояние, мм
28.8 кГц эксп
45
50.8 кГц
49.9 кГц эксп
Рис. 10. Прямые, отделяющие область стержня около торца, в которой амплитуда волны мала.
30
97.6 кГц
95.6 кГц эксп
15
Длина волны, мм
0
150
200
100
50
0
‒15
Расстояние, мм
(в)
75
19.8 кГц
19.3 кГц эксп
60
26.3 кГц
27.6 кГц эксп
35.1 кГц
35.6 кГц эксп
45
54 кГц
52.3 кГц эксп
30
88.6 кГц эксп
85.2 кГц
15
Длина волны, мм
0
150
200
100
50
0
‒15
Расстояние, мм
Рис. 9. Длина изгибной волны в стержне с учащенным к концу расположением прорезей в зависимости от пройденного расстояния.
7.0 и 8.7 мм в образцах № 1, 2 и 3 соответственно. Однако в силу зашумленности сигнала ближе 
к торцу стержня, погрешность определения длины 
волны увеличивается от 1 до 4 мм, поэтому приведенные значения носят скорее ознакомительный 
характер. Кроме того, расхождение моделирования 
и экспериментальных результатов может быть связано с неточностью изготовления стержня (выполнения прорезей).
Для исследованных образцов были построены прямые, отделяющие область вблизи торца 
стержня, в которой на высоких частотах не распространялась изгибная волна. Проведено сравнение результатов этих расчетов для экспериментально измеренных распределений амплитуд мод с 
результатами моделирования (рис. 10). Как видно 
из рисунка, длина области, запрещенной для прохождения, для всех образцов увеличивается с частотой линейно и коэффициент пропорциональности примерно одинаков для всех образцов (3.2 ± 
0.1) кГц/мм. Для моделирования разброс оказывается больше и равен (3.6 ± 0.4) кГц/мм. Интересно, 
что частота отсечки сильно зависит от типа геометрии образца: для образца № 1 эта частота равна 
примерно 60 кГц, для образца 2 примерно 40 кГц, 
для образца 3 — 25 кГц.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Для всех исследованных образцов стержня наблюдается уменьшение длины изгибной волны в 
стержне в зависимости от пройденного расстояния. Характер изменения длины волны на расстоянии около 30 мм от торца качественно соответствует результатам численного моделирования, в силу 
наличия как в эксперименте, так и в моделировании ряда одинаковых по глубине прорезей вблизи 
конца стержня. Минимальное экспериментально 
полученное значение длины волны составило 6.5, 
Для всех исследованных образцов как в эксперименте, так и по результатам численного моделирования наблюдается уменьшение длины 
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
том 70
№ 4
2024