Физика Земли, 2024, № 4

Российская академия наук 
Физика Земли
№ 4       2024       Июль–Август
Основан в 1965 г.
Выходит 6 раз в год  
ISSN: 0002-3337
Журнал издается под руководством  
Отделения наук о Земле РАН
Главный редактор 
чл.-корр. РАН Ю.А. Морозов
Редакционная коллегия:
академик В.В. Адушкин, канд. физ.-мат. наук И.М. Алешин,
академик А.А. Барях, д-р физ.-мат. наук М.Л. Владов,
д-р физ.-мат. наук А.Н. Галыбин, академик А.Д. Гвишиани,
академик А.О. Глико, профессор А. Канева (Колумбия),
д-р физ.-мат. наук Г.Г. Кочарян, д-р физ.-мат. наук Ю.О. Кузьмин (зам. гл. редактора),
чл.-корр. РАН П.С. Мартышко, чл.-корр. РАН В.О. Михайлов,
д-р геол.-мин. наук В.В. Мордвинова, д-р физ.-мат. наук В.Э. Павлов,
д-р физ.-мат. наук А.В. Пономарев, д-р геол.-мин. наук П.Ю. Пушкарёв,
д-р физ.-мат. наук В.Б. Смирнов (зам. гл. редактора), чл.-корр. РАН А.А. Соловьев,
д-р физ.-мат. наук А.А. Спивак, чл.-корр. РАН С.А. Тихоцкий,
чл.-корр. РАН В.П. Трубицын, Е.А. Фаттахов (отв. секретарь),
д-р физ.-мат. наук С.Л. Шалимов, профессор Н.М. Шапиро (Франция),
чл.-корр. РАН П.Н. Шебалин, академик НАН Грузии Т.Л. Челидзе (Грузия),
д-р физ.-мат. наук В.П. Щербаков, академик М.И. Эпов, д-р физ.-мат. наук А.Г. Ягола
Зав. редакцией Л.Л. Стороженко
Адрес редакции: 123995, Москва, ул. Б. Грузинская, 10, ИФЗ РАН,  
тел.: (499)254-93-41 
E-mail: journal@ifz.ru
©	Российская академия наук, 2024
©	
Редколлегия журнала “Физика Земли”  
(составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Номер 4, 2024
Закон продуктивности землетрясений в модели Олами–Федера–Кристенсена–Журкова
А.С. Черепанцев, В.Б. Смирнов
3
Постсейсмические процессы в области землетрясения Чигник на Аляске 29.07.2021 г. Часть I: 
результаты моделирования
А.М. Конвисар, В.О. Михайлов, В.Б. Смирнов, Е.П. Тимошкина
21
Постсейсмические процессы в области землетрясения Чигник на Аляске 29.07.2021. Часть II: 
развитие смещений во времени и связь с афтершоковой активностью
В.Б. Смирнов, В.О. Михайлов, А.М. Конвисар
35
Характерное распределение глубин коровых землетрясений Южной Сибири
П.А. Малютин, А.А. Скоркина, И.А. Воробьева, С.В. Баранов, 
С.Д. Маточкина, А.П. Молокова, П.Н. Шебалин
50
Компенсационные движения в очаговой зоне высокомагнитудного роя землетрясений 2023 г. 
в провинции Герат, Афганистан
Р.Э. Татевосян, А.В. Пономарев, Е.П. Тимошкина, Ж.Я. Аптекман
64
Новейшая тектоническая эволюция Кавказа: современные вертикальные движения 
и механизм деформирования земной коры
В.Н. Татаринов, В.И. Кафтан, А.И. Маневич, Б.А. Дзебоев, Б.В. Дзеранов, 
А.М. Авдонина, И.В. Лосев, А.А. Королькова
76
Подход к интерпретации естественных индикаторов состояния космической погоды 
для оценки эффектов ее воздействия на высокоширотные энергосистемы
А.В. Воробьев, А.Н. Лапин, А.А. Соловьев, Г.Р. Воробьева
100
О геомагнитных и ионосферных вариациях после сильного извержения вулкана Шивелуч 2023 г.
С.А. Рябова, С.Л. Шалимов
111
Магнитная стратиграфия нижнедевонских отложений острова Западный Шпицберген 
(свита Френкельриджен)
А.Г. Иосифиди, Н.В. Сальная
123
Низкое палеополе в протерозое: определение палеонапряженности на вулканитах 
Украинского щита возрастом 1.75 млрд лет
В.В. Щербакова, Г.В. Жидков, В.П. Щербаков, Н.А. Афиногенова
142

Относительная палеонапряженность геомагнитного поля за последние 9000 лет 
по донным осадкам озера Шира, северная Хакасия, определенная по методу псевдо-Телье
Д.М. Кузина, В.П. Щербаков, Н.В. Сальная, А.Р. Юсупова, Х-Ч. Ли, Д.К. Нургалиев
161
Дискуссия
Актуальные вопросы гидрогеологии сейсмогенных разломных зон
Г.Г. Кочарян, И.В. Шатунов
182
О флюидометаморфическом режиме глубинных разломных зон (в связи со статьей Г.Г. Кочаряна 
и И.В. Шатунова “Актуальные вопросы гидрогеологии сейсмогенных разломных зон”)
М.В. Родкин
212
 

ФИЗИКА ЗЕМЛИ,  2024,  № 4,  с.  3–20
 
УДК 550.34.01+550.348.433
ЗАКОН ПРОДУКТИВНОСТИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ 
В МОДЕЛИ ОЛАМИ–ФЕДЕРА–КРИСТЕНСЕНА–ЖУРКОВА
© 2024 г.    А. С. Черепанцев1, *, В. Б. Смирнов2,3, **
1Южный федеральный университет, г.Ростов-на-Дону, Россия
2Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, 
г. Москва, Россия
3Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва, Россия
*E-mail: s6319a@mail.ru
**E-mail: vs60@mail.ru
Поступила в редакцию 17.01.2024 г.
После доработки 29.01.2024 г.
Принята к публикации 05.02.2024 г.
Обобщенная клеточная модель, основанная на модели клеточного автомата Олами–Федера–
Кристенсена и модифицированная посредством учета долговечности материала на основе кинетической концепции прочности твердых тел академика С.Н. Журкова, использована для моделирования и прояснения природы статистического закона продуктивности землетрясений. 
Модифицированной модели дано название модель Олами–Федера–Кристенсена–Журкова 
(ОФКЖ). В модели ОФКЖ реализуются основные статистические закономерности сейсмичности: законы Гутенберга–Рихтера и Омори–Утсу, закон Бота, фрактальная геометрия сейсмичности, закон продуктивности землетрясений. Показано, что кластеризация модельных событий 
(аналогов землетрясений), отвечающая закону продуктивности землетрясений, обусловлена кинетической компонентой модели ОФКЖ. Получены зависимости величины продуктивности от 
прочности материала и температуры среды, рассмотрено влияние на продуктивность параметра 
Журкова и параметра связи ячеек в клеточной модели (степени диссипативности модели). Показано, что выявленные зависимости продуктивности от прочности и температуры согласуются 
с имеющимися эмпирическими данными.
Ключевые слова: продуктивность землетрясений, клеточная модель, кинетика разрушения, компьютерное моделирование.
DOI: https://doi.org/10.31857/S0002333724040017, EDN: FXXIPY
ВВЕДЕНИЕ
>
t
t
r
t
t
j
i
⋅
−
10
,

(1)
f
i
=
−
(
)⋅





	
ηij
j
i
ij
d
bm
t
t
≤
j
i
,
,
∞




Закон продуктивности землетрясений отражает степенной характер распределения кластеров в определенном смысле связанных землетрясений по количеству сейсмических событий 
в кластере [Шебалин и др., 2018; Баранов и др., 
2020; Shebalin et al., 2020; 2022]. Под продуктивностью понимается величина, обратная к показателю экспоненциального распределения, 
численно равная среднему количеству событий 
в кластере. Для выявления кластеризованных 
событий используется мера близости землетрясений в пространстве–времени–энергии, опирающаяся на представления обобщенного закона повторяемости землетрясений (известного 
также как закон подобия землетрясений) [Baiesi, 
Paczuski, 2004; Zaliapin et al., 2008]:
где: t – время соответствующего события; rij – 
расстояние между событиями; df – фрактальная 
размерность пространственного распределения 
событий; mi – магнитуда i-го события; b – параметр Гутенберга–Рихтера. Кластер определяется заданием порога близости событий в метрике (1). Для выбора порога, отделяющего кластеризованные события от фоновых, используется 
процедура “перемешивания” событий каталога 
по времени, разрушающая временную связность 
сейсмических событий [Shebalin et al., 2020].
Вопрос о физике закона продуктивности землетрясений остается пока открытым. Известны 
3

ЧЕРЕПАНЦЕВ, СМИРНОВ
исследования, направленные на прояснение 
природы закона продуктивности как со статистических позиций [Molchan et al., 2022], так 
и посредством поиска физических факторов, 
влияющих на параметры этого закона [Shebalin 
et al., 2020; Малютин, 2023; Маточкина, 2023; 
Trugman, Ben-Zion, 2023; Baranov et al., 2024; 
Моторин и др., 2024]. 
В настоящей работе мы использовали обобщенную клеточную модель, основанную на 
модели клеточного автомата Олами–Федера–
Кристенсена и модифицированную [Черепанцев, 2023] введением в нее представлений о долговечности материала на основе кинетической 
концепции прочности твердых тел академика 
С.Н. Журкова [Журков, 1957; 1968]. Целью работы было выявление зависимостей величины 
продуктивности от параметров модели, имеющих физическое содержание.
КЛЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ 
ОЛАМИ–ФЕДЕРА–КРИСТЕНСЕНА
решетки в модели обеспечивается путем задания 
приращения параметра σi j
,  на каждом шаге на 
заданную величину. При достижении или превышении значениями σi j
,  в ячейках предельной 
величины σmax, значение в ячейке сбрасывается 
в ноль (ячейка “разрушается”), а соседние ячейки получают приращение ∆=
⋅
α σi j
, . Параметр α 
называемый иногда параметром связи, является 
основным параметром модели. Для двумерной 
решетки и четырех соседних элементов α может 
принимать значения 0
1 4
<
<
α
/ . Модель в этом 
случае является диссипативной, поскольку при 
каждом сбросе ячейки происходит диссипация 
на величину 1
4
−
(
)
α σi j
, . Если “разрушение” происходит одновременно в соседних ячейках, то их 
объединяют в единое событие – сброс, величина S которого определяется количеством составляющих его ячеек. Применительно к сейсмологии такое множество ячеек размера S соотносят 
с очагом землетрясения. Поскольку в рамках 
самоподобной модели очага землетрясения [Aki, 
1967] его энергия пропорциональна кубу линейного размера очага l, а магнитуда связана с энергией соотношением lg
.
E
M
=
+
1 5
const, магнитуда землетрясения пропорциональна логарифму 
площади поверхности очага: M
l
∝lg 2 [Касахара, 
1985]. Это позволяет соотносить логарифм величины S в модели ОФК с магнитудой землетрясения. Величину σi j
,  в некоторой ячейке соотносят обычно с напряжениями в некоторой точке 
среды.
Модель ОФК с открытыми граничными условиями после конечного числа итераций переходит в стационарное состояние [Christensen, 
1992]. Оно характеризуется степенной зависимостью распределения сбросов по размерам 
F S
S
( )
−
∼
τ с показателем τ  0 8
. , близким к значению параметра Гутенберга–Рихтера b в законе 
повторяемости землетрясений и фрактальным 
распределением эпицентров сбросов на поверхности решетки с фрактальной размерностью 
d2
1 5
 . , близкой к наблюдаемому значению d2 
для эпицентров землетрясений.
В работах [Hergarten, Neugebauer, 2002; 
Helmstetter et al., 2004] была рассмотрена возможность возникновения афтершоковых последовательностей в диссипативной модели 
ОФК. Авторами показано наличие временных 
структур, напоминающих последовательности 
афтершоков в реальных сейсмических каталогах. При этом афтершоки в модели ОФК не 
могут наблюдаться, если отсутствует приращение параметра σi j
, , в отличие от общепринятого подхода к афтершокам как релаксационном 
отклике на землетрясение большой магнитуды. 
Применение концепции клеточных автоматов на основе модели Олами–Федера–Кристенсена (ОФК) [Olami et al., 1992] для задач физики 
сейсмического режима и объяснения статистических закономерностей сейсмичности имеет 
давнюю историю. Эта модель использовалась 
для интерпретации некоторых степенных распределений параметров сейсмичности как проявлений самоорганизованной критичности. Обзор истории вопроса и основных достижений, 
полученных в этом направлении, можно найти в работах [Christensen., 1992, Lise, Paczuski, 
2001; Hergarten, Krenn, 2011]. Отметим при этом, 
что несмотря на простоту модели, в настоящее 
время нет пока общепринятого мнения о возможности достижения критического состояния 
в диссипативной модели ОФК. Ряд авторов находят критичность состояния системы при увеличении размера решетки и проверки условия 
конечно-размерного скейлинга [Miller, Boulter, 
2001], другие же, используя подходы теории ветвящихся процессов, определяют состояние как 
“почти критическое” [Carvalho, Prado, 2000].
Клеточная модель ОФК рассматривается 
иногда как упрощенная компьютерная реализация (приближение) блоковой модели 
Барриджа–Кнопова [Burridge, Knopoff, 1967; 
Christensen, Olami, 1992]. Модель ОФК задается системой элементов (ячеек) двумерной решетки. Каждому элементу приписывается параметр σi j
,  с исходным случайным значением в 
диапазоне 0≤
<
σ
σ
i j
,
.
max  Эволюция состояния 
	
ФИЗИКА ЗЕМЛИ	
№ 4	
2024

	
ЗАКОН ПРОДУКТИВНОСТИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ...
5
	
τ
τ
γσ
=
−
0
0
exp
,
U
kT

(2)
где: U0  – энергия диссоциации межатомной 
связи; τ0
Кроме того, в модели ОФК количество событий, 
происходящих во временном окне T до и после 
основного события, должно быть равным, тогда 
как в натурной сейсмичности форшоковая активизация (если она присутствует) бывает выражена гораздо слабее, чем афтершоковая.
Другой подход введения в модель ОФК механизма временной связности сбросов основан 
на задании внешнего приращения параметра 
σi j
,  на каждом шаге итерации не на постоянное 
значение, а согласно временной функции, описывающей максвелловскую вязкоупругую связь 
[Nakanishi, 1992]. Такая модель является клеточным приближением механической упруго-блоковой модели, расположенной на вязкоупругом 
основании, движущимся с постоянной скоростью. Полученные в работе модельные расчеты показывают возможность возникновения 
последовательности афтершоков с параметром 
Омори, близким к значениям для природных 
афтершоков. Такой результат можно соотнести 
с гипотезой, объясняющей убывание природной 
афтершоковой активности процессами вязкой 
релаксацией напряжений.
Иерархическая клеточная модель рассмотрена в работе [Narteau et al., 2000]. В модели получены пространственно-временная кластеризация событий, реалистичные афтершоковые 
последовательности, подчиняющиеся закону 
Омори, и степенное распределение событий по 
размерам (закон Гутенберга–Рихтера).
МОДЕЛЬ ОЛАМИ–ФЕДЕРА–
КРИСТЕНСЕНА–ЖУРКОВА
Концепция рассмотрения процесса разрушения твердых тел с позиций физической кинетики была предложена академиком С.Н. Журковым [Журков, 1957; 1968]. Схожая концепция долговечности материалов известна также 
как коррозия напряжений [Scholz, 1968a], обзор этого направления можно найти в работах 
[Anderson, Grew, 1977; Hill, Prejean, 2015].
Идея кинетической концепции Журкова 
заключается в том, что разрушение материала развивается постепенно вследствие термически активируемых кинетических процессов 
на микроуровне и проявляется в накоплении 
микроразрушений. Это приводит к тому, что 
макроразрушение материала определятся не 
только уровнем напряжений, но и временем, 
в течение которого материал находится в напряженном состоянии. Формула Журкова для долговечности материала под нагрузкой имеет вид: 
13
10

− с – период тепловых колебаний атомов; T – температура; k – постоянная 
Больцмана. Параметр γ  – структурно-чувствительный параметр Журкова, определяющий 
уменьшение прочности межатомной связи под 
действием напряжений σ. Величина γ  пропорциональна перенапряжению на межатомных 
связях по сравнению со средним значением напряжения в образце. Предел прочности материала σ0, определяемый как порог напряжений, 
при достижении которого материал мгновенно 
разрушается, равен согласно (2) σ
γ
0
0
=U / . Если 
напряжения меньше предела прочности, то согласно кинетической концепции (в отличие от 
инженерной концепции предела прочности) 
разрушение тоже происходит, но спустя некоторое время, определяемое формулой Журкова (2). 
Кинетическая концепция прочности (или аналогичная ей концепция коррозии напряжений) 
находит различные применения в физике сейсмического процесса и, в частности, в объяснении закономерностей релаксационных и других переходных режимов сейсмичности [Scholz, 
1968b; Narteau et al., 2002; 2003; Смирнов и др., 
2010; 2019; Baranov et al., 2024]. Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в работе 
[Смирнов, Пономарев, 2020].
В работе [Черепанцев, 2023] была предложена 
модификация клеточной модели ОФК с помощью 
кинетической концепции Журкова, позволившая 
моделировать афтершоковые последовательности, подчиняющиеся закону Омори. Идея модификации состоит в том, что разрушение ячейки 
может происходить при величине σi j
, , меньшей, 
чем пороговое значение σmax. Будем обозначать эту 
модифицированную модель как ОФКЖ (модель 
Олами–Федера–Кристенсена–Журкова). 
В модели ОФКЖ будем трактовать величину σi j
,  как напряжения, действующие в некоторой точке среды. Критерий сброса напряжений 
в  ячейке решетки по достижении порогового значения (критерий прочности) заменяется критерием достижения времени нахождения 
ячейки под нагрузкой пороговой долговечности 
в соответствии с (2). Этот критерий в случае переменного во времени напряжения σ, входящего в (2), реализуется согласно рекомендациям 
работы [Регель и др., 1974] на основе принципа 
Бейли [Bailey, 1939], отражающего физический 
процесс накопления дефектов в материале под 
нагрузкой.
ФИЗИКА ЗЕМЛИ	
№ 4	
2024

ЧЕРЕПАНЦЕВ, СМИРНОВ
Время ∆tf, необходимое для достижения дефектности порогового значения D =1 при начальных условиях σ0
0
,
:
D
(
)
Условие сброса ячейки определяется суперпозицией временных участков накопления дефектов с разной скоростью, зависящей от изменения во времени напряжений σi j t
,
:
( )
*



1
1
0
0

(6)
∆
k
l





ln
exp
.
	
∆
θ
β
β
θ
σ
θ
t
A
S
D
f =
+
−






−
(
)











	
D
t
t
t
i j
k
l
τ σ
≥

(3)
i j
l
,
,
,
( )=
( )
(
)
=1
1
∑
В модели ОФКЖ так же, как и в модели 
ОФК, макросброс формируется из набора сбросов соседних ячеек. При этом приращение напряжения от соседней сброшенной ячейки не 
меняет в текущий момент времени значение D, 
но определяет рост скорости дефектообразования и достижение критической величины за 
малый интервал времени. В качестве масштаба 
процесса формирования макросброса выбирается минимальное характерное время, задаваемое (2) и (3): τ
τ
min=
=
A
0.
где: τ σi j t
, ( )
(
) – время разрушения элемента i j
,
(
) 
согласно (2); l
k
=1,...,  – номер временной итерации; k – номер итерации, на которой происходит сброс. Будем называть данный параметр 
степенью дефектности элемента, диапазон его 
изменений до наступления разрушения 0
1
≤D < . 
Если трактовать величину τ σ
( ) из (2) как среднее время до разрушения при постоянном напряжении σ, то при ступенчатом изменении 
напряжения во времени отношение ∆
(
)
tl
i j
/
,
τ σ
 
имеет смысл вероятности разрушения на l-ом 
шаге, а повреждаемость D
t
i j
k
, ( ) – вероятности 
разрушения к моменту времени tk.
Общая схема реализации клеточной модели 
ОФКЖ выглядит следующим образом.
1. Задаются параметры модели: L
L
×  – размер 
решетки элементов, β – приращение напряжений в единицу времени, α – параметр связи соседних ячеек, A S
,
,
* θ – параметры кинетической модели разрушения.
2. Для модели с открытыми граничными 
условиями определяется случайное распределение напряжений в ячейках σi j
,
{
} в диапазоне 
от 0 до S * и нулевая во всех ячейках дефектность 
Таким образом, в клеточной модели ОФКЖ 
состояние элемента (ячейки) в произвольный 
момент времени t определяется массивом значений напряжений σi j
,
{
} и массивом значений 
степени дефектности Di j
,
{
} элементов.
Для удобства численной реализации модели 
ОФКЖ перепишем (2) в виде:
−
A e
σ
θ
=
	
τ
⋅
S*
, 
(4)
где S
U
*
/
=
0
γ  – инженерный предел прочности 
(мгновенная прочность); A = τ0; 
θ
γ
= kT / .
Di j
,
.
=
{
}
0
3. С помощью (6) определяется ближайший 
сбрасываемый элемент k l
,
(
) Dk l
, =
(
)
1  и время, 
необходимое для этого ∆t1. С помощью (5) рассчитывается эволюция состояний σi j
i j
D
,
,
,
(
) элементов решетки за время ∆t1.
При задании линейного во времени роста 
напряжений в элементах σ
σ
β
t
t
t
t
( )=
( )+
−
(
)
0
0
0  
(что применительно к натурным условиям соответствует линейной аппроксимации изменения тектонических напряжений за характерный 
период повторяемости землетрясений) скорость 
дефектообразования:
1
v
t
.
*

A
S
t
t
D( )=
−
−
−
(
)

4. Определяются элементы, для которых 
степень дефектности D равна (или больше) единицы.
5. Четыре соседние ячейки k
l
±
(
)
1, , k l
, ±
(
)
1  
получают приращение напряжения ∆σ
α⋅σ
=
k l
, . 
Проверяется достижение этими ячейками условия сброса (5) D ≥1. Если оно выполняется, то 
в этих ячейках сбрасываются в ноль значения 
σk l
k l
D
,
,
,
.





0
0
⋅
σ
β
θ
exp






Увеличение степени дефектности за время 
∆t
t
t
= −0:
t
β∆
exp
t
t
+
0
1









−
.
(5)
D
=
( )
=
0

∆
∫
D
v
t dt
A
	
∆
θ
β
S
t
−

0
exp
*




6. Пункты 4 и 5 повторяются до тех пор, пока 
не будут обработаны все элементы, получающие 
в ходе перераспределения сбрасываемых напряжений значения D ≥1. При образовании сбросов в смежных ячейках регистрируются макросбросы, представляющие собой связные области 
объединения смежных сброшенных ячеек. Макросбросы рассматриваются как “сейсмические 
события”, им приписывается размер, равный 
θ
σ
θ






	
ФИЗИКА ЗЕМЛИ	
№ 4	
2024

	
ЗАКОН ПРОДУКТИВНОСТИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ...
7
Второе слагаемое в (7) определяет первый 
механизм приращения дефектов, первое слагаемое, соответственно, второй механизм. Тогда 
* = 2  определяет временусловие ∆
τ
t <<
*, где τ
θ
β
ной масштаб, на котором кинетика является 
определяющей в дефектообразовании.
Временной масштаб формирования события (макросброса) путем объединения соседних 
сброшенных ячеек определяется значением параметра A в (3). 
Таким образом, для наших исследований параметры модели ОФКЖ следует выбирать исходя из выполнения условий:
количеству составляющих их ячеек, время, координаты (координаты центра массы макросброса – аналог координат центроид-момента 
землетрясения), координата первой сброшенной ячейки, входящей в макросброс (аналог 
инструментальных координат очага землетрясения), координаты сброшенной ячейки, внесшей 
последней приращение напряжения в данный 
макросброс.
7. Переход к пункту 3 и циклическое повторение всех расчетных процедур до достижения 
исходно заданных значений параметров числа 
рассчитываемых макросбросов или достижения 
заданного времени эволюции модели.
Результатом расчета является каталог макро	
T
A
1 >>
>>
τ*
.
(8)
Характерные значения параметров, использовавшихся, в настоящей работе составляют: 
A ≈
−
10 4, θ = −
4
9, S *
,
≥103  β
⋅
=
−
2 10 2, α ≈0 2
. . Соответствующие временные масштабы: T
1
4
10
=
, 
τ
⋅
*
,
≈−
4
9 102  A ∼10 4
− удовлетворяют условию (8). 
В качестве иллюстрации модельных расчетов на рис. 1 представлен фрагмент временной 
последовательности событий в модели ОФКЖ. 
Видно образование крупных событий и их афтершоковых последовательностей (показаны 
вверху).
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ 
“СЕЙСМИЧНОСТИ” В МОДЕЛИ ОФКЖ
сбросов, включающий в себя параметры, перечисленные в п. 6. Будем далее называть такие 
макросбросы событиями.
Выбор параметров модели для расчета определялся задачей разделения временных масштабов различных процессов с учетом компьютерных вычислительных возможностей: процесса генерации событий за счет линейного роста 
“тектонических” напряжений (назовем такой 
процесс фоновым), кинетического процесса 
роста степени дефектности элемента модели 
и процесса формирования события. 
Временной масштаб фонового процесса 
можно определить средним периодом сбросов 
отдельных элементов с учетом приращения напряжения во времени со скоростью β плюс приращения напряжения за счет сброса четырех 
соседних элементов: Т
S
1
1
4
=
−
(
)
*
.
α
В работе [Черепанцев, 2023] было показано, 
что в определенном диапазоне параметров модель ОФКЖ позволяет воспроизвести некоторые статистические закономерности сейсмичности. Кратко проиллюстрируем это на примерах.
Закон Гутенберга–Рихтера
На рис. 2 представлены кумулятивные графики повторяемости по данным модельных каталогов событий. Напомним, что привычная для 
сейсмологии магнитуда события определится 
в модели как M
S
=
+
lg
const.
β
Вклад в приближение ячейки к порогу сброса вносит как скорость роста “тектонических” 
напряжений β, так и собственно кинетика разрушения при постоянных значениях напряжения. Чтобы выделить второй механизм, найдем 
соотношение параметров модели, когда первым 
механизмом можно пренебречь (в случае преобладания первого механизма модель ОФКЖ переходит просто в модель ОФК). 
Приращение степени дефектности за счет 
первого механизма в соответствии с (5) и при 
t <1:
условии β∆
θ
2


+
.
*

(7)

∆
β∆
θ
D
t
A
S
t
t
(
)≈
−




1
1
2
0



exp
Видно, что график повторяемости близок 
к линейному, и величина его наклона близка 
к  значению характерному для натурной сейсмичности. Пунктирной стрелкой на рис. 2 показана величина максимально возможного события, определяемого размером решетки L
L
× . 
Этим ограничением, вероятно, обусловлен загиб 
графика повторяемости на больших событиях.
	
∆
∆
σ
θ










ФИЗИКА ЗЕМЛИ	
№ 4	
2024

ЧЕРЕПАНЦЕВ, СМИРНОВ
103
103
101
101
209.4
209.6
209.8
311.20
311.24
311.28
S
103
102
101
100
0
100
200
300
400
t
Рис. 1. Фрагмент временной последовательности событий в модели ОФКЖ (нижний рисунок). На верхних рисунках более подробно показаны примеры модельных афтершоковых последовательностей для главных событий 
величиной S > 103. Параметры модели: L × L = 500 × 500, α = 0.235, A = 1 ⋅ 10–4, S * = 103, θ = 9, β = 0.02.
ОФК α = 0.2
N
ОФКЖ α = 0.2; θ = 4
105
ОФКЖ α = 0.2; θ = 9
Фоновый процесс α = 0.2; θ = 4
104
Фоновый процесс α = 0.2; θ = 9
103
S = L2
102
b = 0.8
101
100
100
101
102
103
104
105
S
Рис. 2. Кумулятивный график повторяемости событий в модели ОФКЖ (распределение событий по их величине: 
N s
S
(
))
≥
 при различных значениях θ. Пунктирные кривые соответствуют распределению с удаленными афтершоками. Для сравнения показаны результаты для модели ОФК (предельный переход от ОФКЖ к ОФК достигается 
при θ →0).
	
ФИЗИКА ЗЕМЛИ	
№ 4	
2024

	
ЗАКОН ПРОДУКТИВНОСТИ ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ...
9
Фрактальная геометрия множества эпицентров
Афтершоковые последовательности: 
закон Омори–Утсу, закон Бота
На рис. 4 представлен пример пространственного и временного распределений афтершоковой последовательности для большого 
главного события S = 11 012 в модели ОФКЖ.
Граница главного события представляет собой фрактальную изрезанную линию. Афтершоки расположены вдоль границы главного 
На рис. 3 представлены корреляционные интегралы, построенные по координатам событий 
в модели ОФКЖ. Видно, что в диапазоне расстояний, перекрывающем более двух порядков, 
графики корреляционных интегралов прямолинейны, а величина корреляционной размерности близка к значению, характерному для природной сейсмичности.
C2
ОФК α = 0.2
ОФКЖ α = 0.2; θ = 4
ОФКЖ α = 0.2; θ = 9
10–1
d2 = 1.5
10–2
10–3
10–4
101
102
103
r
Рис. 3. Оценка фрактальной размерности d2 множества событий на двумерной сетке по корреляционному интегралу в модели ОФКЖ на сетке L × L = 500 × 500, при α = 0.2 и с различными значениями параметра θ.
(а)
(б)
S = 25
S = 400
400
S = 1200
S
104
300
MainShock S = 11012
103
102
200
101
100
0.000
0.005
0.010
0.015
t
200
300
0
100
Рис. 4. Пространственное и временное распределения афтершоков в ОФКЖ модели на решетке L
L
×
×
=500
500 
с параметрами α = 0.235, θ = 9, A = 10–4, S* = 1000, β = 0.002 (а) – пространственное. Пространственное положение основного события (синий) и афтершоковых событий; (б) – временная. Временная последовательность 
афтершоковых событий.
ФИЗИКА ЗЕМЛИ	
№ 4	
2024