Избранные задачи и парадоксы в физике

А.Н. ПАРШАКОВ
ИЗБРАННЫЕ  ЗАДАЧИ  
И  ПАРАДОКСЫ В ФИЗИКЕ
2021

À.Í. Ïàðøàêîâ
Èçáðàííûå  çàäà÷è è  ïàðàäîêñû â ôèçèêå: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / À.Í. Ïàðøàêîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2021. – 160 ñ.
ISBN 978-5-91559-287-1
Íîâîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ ñâîåîáðàçíîé êóëüìèíàöèåé çíàìåíèòîé ñåðèè êíèã «Ôèçèêà â êëþ÷åâûõ çàäà÷àõ» À.Í.
Ïàðøàêîâà.
Ýòà ñåðèÿ ñòàëà çàìåòíûì äîñòèæåíèåì îòå÷åñòâåííîé íàó÷íî-îáðàçîâàòåëüíîé ëèòåðàòóðû ïî ôèçèêå. Êíèãè ýòîé ñåðèè óæå
âûõîäÿò íîâûìè äîïîëíåííûìè èçäàíèÿìè.
Àâòîð âûáðàë èç îãðîìíîãî ìíîæåñòâà ïàðàäîêñîâ èìåííî òå,
êîòîðûå ìîæíî èñ÷åðïûâàþùå îáúÿñíèòü â ðàìêàõ êóðñà îáùåé
ôèçèêè.
Âûáîð ðÿäà ðàñøèðåííûõ è ïåðåðàáîòàííûõ çàäà÷ èç ÷èñëà
ðàíåå îïóáëèêîâàííûõ Àâòîðîì ïðîäèêòîâàí ýñòåòè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè, ðîëü êîòîðûõ â ôèçèêå òðóäíî ïåðåîöåíèòü.
Äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè÷åñêèõ è èíæåíåðíûõ ôàêóëüòåòîâ óíèâåðñèòåòîâ, ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ëèöååâ è âñåõ
ëþáèòåëåé ôèçèêè.
ISBN 978-5-91559-287-1
© 2020, À.Í. Ïàðøàêîâ
© 2021, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ОГЛАВЛЕНИЕ
П р е д и с л о в и е  а в т о р а  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
5
П р е д и с л о в и е  и з д а т е л я   
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
6
1. Механика  
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
7
1.1. Системы отсчета в кинематике. Относительная скорость 
 . . . . . .  
7
1.2. Плот, лодка и деревня 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
9
1.3. Грузовик и легковой автомобиль  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
10
1.4. Мухи в треугольнике 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
10
1.5. Минимальный снос лодки 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
11
1.6. Бегущий от дождя человек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
12
1.7. Человек и автобус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
13
1.8. Лиса и заяц 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
14
1.9. Мальчик на эскалаторе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
15
1.10. Маятник Фуко . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
17
1.11. Апория Зенона: Ахиллес и черепаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
18
1.12. Какие приливы сильнее — солнечные или лунные? 
 . . . . . . . . . .  
19
1.13. Шарик на наклонной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
20
1.14. Падающий лифт. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
22
1.15. Разгоняющийся автомобиль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
22
1.16. Парадокс катящегося колеса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
24
1.17. Заглушка Леонова  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
25
1.18. Парадокс спутника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
28
1.19. Использование полей тяготения для разгона 
космических кораблей 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
30
1.20. Гравилет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
34
2. Механика жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
38
2.1. Жидкость в капилляре 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
38
2.2. Столкновение струй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
39
2.3. Падение струи на плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
40
2.4. Кумулятивный эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
41
2.5. Парадокс Даламбера (Даламбера–Эйлера) 
 . . . . . . . . . . . . . . . . .  
45

Оглавление
3. Колебания и волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
49
3.1. Антирезонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
49
3.2. Пружинный маятник на ленте транспортера. . . . . . . . . . . . . . . .  
52
3.3. Маятник Капицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
56
3.4. Модель Лотки–Вольтерра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
59
3.5. Сверхзвуковой самолет. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
63
3.6. Пластиковый снаряд  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
65
4. Молекулярная физика и термодинамика  
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
69
4.1. Изменение энтропии при измерении температуры тела 
 . . . . . . .  
69
4.2. Осмотическое давление 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
70
4.3. Парадокс Гиббса  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
76
4.4. Демон Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
77
4.5. Зарядка конденсатора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
80
4.6. Динамическое отопление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
81
4.7. О гипотезе «тепловой смерти Вселенной». . . . . . . . . . . . . . . . . .  
83
5. Электромагнетизм  
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
88
5.1. Заряд около проводящей плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
88
5.2. Разгоняющийся заряд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
89
5.3. Принцип суперпозиции 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
90
5.4. Соединение конденсаторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
95
5.5. Складывание треугольника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
98
5.6. Энергетические превращения в конденсаторе. . . . . . . . . . . . . . .  
99
5.7. Распределение токов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
101
5.8. Соединение проводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
103
5.9. Магнитное поле треугольной пластины 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
106
5.10. Вектор Пойнтинга 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
107
5.11. Момент импульса электромагнитного поля  . . . . . . . . . . . . . . . .  
113
6. Оптика, квантовая физика и теория относительности . . . . . . . . . . . . . .  
118
6.1. Принцип Ферма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
118
6.2. Возникновение радуги 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
119
6.3. Глубина резкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
120
6.4. Просветление оптики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
123
6.5. Сложение колебаний эквидистантных частот . . . . . . . . . . . . . . .  
125
6.6. Гладкий шарик вместо объектива . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
131
6.7. Принцип работы линзы 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
133
6.8. Отрицательная групповая скорость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
137
6.9. Отрицательный показатель преломления 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
142
6.10. Волоконный кольцевой интерферометр 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
146
6.11. Туннельный эффект и соотношение неопределенностей. . . . . . .  
148
6.12. Парадокс близнецов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
150
6.13. Ускоритель на встречных пучках  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
152
6.14. Почему наш мир таков, каким мы его видим? 
 . . . . . . . . . . . . . .  
154

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В данной небольшой по объему книге собраны задачи из 
курса общей физики, решение которых требует хорошей физической 
интуиции и умения правильно представить адекватную физическую 
модель. Высокая степень понимания физики определяется не только 
умением использовать известные фундаментальные законы, но и методологические принципы физики (симметрии, относительности и др.) 
истинный смысл которых проявляется именно при решении нестандартных задач. Некоторые задачи являются прекрасной иллюстрацией 
того, как привычные представления («здравый смысл») могут привести 
к совершенно неверному выводу. Особенно это касается некоторых 
известных физических парадоксов. В широком смысле парадокс — высказывание, мнение, рассуждение, которое расходится с общепринятым 
мнением и кажется нелогичным, или противоречащим здравому смыслу 
(зачастую лишь при поверхностном понимании). Детальный разбор парадокса позволяет получить более полное представление о физической 
стороне рассматриваемого явления.
Надеемся, что рассмотренные задачи и парадоксы помогут избежать 
многих ошибок, которые часто проявляются именно при решении 
нестандартных задач в курсе общей физики.
А.Н. Паршаков

ПРЕДИСЛОВИЕ ИЗДАТЕЛЯ
Эстетические критерии играют огромную роль и в физике, 
и в её преподавании.
В новой книге в расширенном виде использован и ряд наиболее 
красивых задач из созданной Автором серии «Физика в ключевых задачах», ставшей, как и его же современный учебник по физике колебаний, пожалуй, самым заметным достижением научно-образовательной 
отечественной литературы по физике последнего десятилетия. Обилие 
собственных методических находок, ясность изложения и прекрасный 
язык позволяют поставить эти учебные пособия в один ряд с лучшими 
образцами советского времени и непревзойдённым Берклеевским курсом 
физики.
Многие из предлагаемых задач разъясняют волнующие парадоксы в 
физике — источник удивления в разные времена и во многих случаях 
двигатель развития науки.
Книга станет праздником не только для студентов и преподавателей, 
но и для всех настоящих любителей физики.
Очень важно, что огромный опыт Автора связан с преподаванием 
физики в техническом университете. Ведь глубокое понимание физики 
является важнейшим фундаментом инженерного образования.
Л.Ф. Соловейчик

МЕХАНИКА
Г Л А В А 
 1
 
1.1. Системы отсчета в кинематике. Относительная скорость. Одним из основных понятий механики является понятие системы 
отсчета (СО). В рамках кинематики все системы отсчета — покоящиеся, 
движущиеся равномерно и прямолинейно или ускоренно, вращающиеся и т.д. равноправны. Выбор той или иной СО, если она не задана 
заранее, определяется здравым смыслом и удобством. Удачный выбор 
СО существенно упрощает, а иногда делает просто устным решение 
многих физических задач. При неудачном (но привычном) выборе СО 
и недостаточной математической подготовке иногда в принципе не 
удается довести решение задачи до конца.
При переходе из одной СО в другую многие физические величины, 
описывающие механическое движение тел, изменяются. Это касается, 
например, скорости и ускорения. При этом для скорости много меньшей 
скорости света выполняется известный закон сложения:
 



v
v
v
=
¢ +
0 ,  
 (1.1)
где 
v  — скорость какого-либо тела относительно условно неподвижной 
СО (чаще всего относительно Земли), ¢
v  — скорость тела относительно 
движущейся поступательно СО, 
v0  — скорость подвижной СО относительно неподвижной. Аналогичное соотношение существует и для 
ускорений.
При одновременном движении двух и более тел важное значение 
имеет понятие относительной скорости 
v12 :
 



v
v
v
12
1
2
=
-
, 
(1.2)
где 
v1  и 
v2  — скорости первого и второго тела, измеренные в покоящейся или движущейся поступательно СО. Это соотношение напрямую 
вытекает из закона сложения скоростей (1.1). Из него следует, что 

Глава 1. Механика
Рис. 1.1.


v
v
12
21
= -
, но v
v
12
21
=
. Кроме того, относительная скорость только 
тогда равна нулю, когда равны вектора абсолютных скоростей. По 
своему физическому смыслу относительная скорость двух тел — это 
скорость одного тела, которую видит наблюдатель, находящийся на 
другом теле. Введение относительной скорости позволяет, прежде всего, уменьшить число движущихся тел. Особенно эффективно это при 
движении двух тел. В этом случае в задаче остается только одно движущееся тело. Подчеркнем, что соотношение (1.2) выполняется только 
для движущихся поступательно систем отсчета (правда, как правило, 
это наиболее частый случай).
Для пояснения сказанного рассмотрим очень простую ситуацию. На 
вращающемся диске на разных расстояниях от центра сидят две мухи. 
Их относительная скорость 
v12 , очевидно, равна нулю, т.к. расстояние 
между ними не изменяется. Но их абсолютные скорости 
v1  и 
v2 , измеренные 
относительно Земли, разные.
Несколько более сложный пример. 
В океане движутся два корабля с одинаковыми по модулю скоростями V. 
Один из них движется прямолинейно, 
другой — по окружности радиуса R 
(рис. 1.1). В некоторый момент времени 
они оказались на самом малом расстоянии l. Чему равна в этот момент их 
относительная скорость? 
Из соотношения (1.2) сразу следует 
«очевидный» ответ — она равна нулю. 
На самом деле это не так. Связано это с тем, что движущийся по окружности корабль находится фактически во вращающейся СО. В этом случае 
классический закон сложения скоростей (1.1), следствием которого и 
является выражение для относительной скорости (1.2), уже не применим, т.к. он работает только для поступательно движущихся СО. Если 
одна из систем отсчета кроме поступательного движения со скоростью 

v0  совершает еще и вращательное движение с угловой скоростью , то 
переход от скоростей какой-либо точки A, измеренных в разных СО, 
описывается выражением:
 




v
v
v
=
¢ +
+ [
]
0
r . 
 (1.3)

1.2. Плот, лодка и деревня
Это выражение отличается от (1.1) наличием дополнительного 
слагаемого 
r
[
] , где 
r  — радиус-вектор точки A относительно оси 
вращения.
Если выбрать корабль, движущийся по окружности, за вращающуюся 
СО, тогда скорость движущегося прямолинейно корабля с точки зрения 
второго (это v¢ в выражении (1.3)) будет равна
 



v12 =
-[
]
V
r

(в нашем случае 
v0 =0). Учитывая, что угловая скорость =V
R
/
 и в 
момент наибольшего сближения r = l + R, получаем:
 
v12
0
=
-
+
= -
¹
V
V
R l
R
V l
R
(
)
.
Знак минус показывает, что с точки зрения движущегося по окружности корабля корабль, движущийся прямолинейно, отстает от него. 
Проведя аналогичные рассуждения с точки зрения движущегося прямолинейно корабля, получим естественно ожидаемый ответ:
 
v21 =V l
R .
Попытаемся теперь понять, почему относительная скорость этих 
кораблей не равна нулю. Для этого, прежде всего, нужно выяснить, 
а как вообще ее можно измерить. Пусть наблюдение за движущимся 
прямолинейно кораблем ведется с палубы второго корабля, на которой 
жестко установлена подзорная труба. Ее оптическая ось перпендикулярна продольной оси корабля и проходит через центр окружности, по 
которой движется корабль. Теперь легко представить, что «пойманный» 
в центр объектива до точки максимального сближения движущийся 
прямолинейно корабль начнет постепенно отставать. Это и означает, 
что относительная скорость кораблей в данном случае не равна нулю.
Рассмотрим теперь несколько задач, иллюстрирующих насколько 
полезным является разумный выбор системы отсчета.
 
1.2. Плот, лодка и деревня. Вниз по течению в направлении деревни плывет плот. Когда до деревни оставалось 15 км, от плота 
отошла лодка. Через 45 мин она достигла деревни и, повернув обратно, 
подошла к плоту, когда до деревни оставалось расстояние 9 км. Какова 
скорость течения?

Глава 1. Механика
Психологически мы вольно или невольно размещаем СО так, чтобы 
она соответствовала тексту задачи. В данном случае мы видим ситуацию 
с точки зрения берега, и присутствуют два движущихся тела. Поэтому 
самое разумное здесь перейти в СО, связанную с плотом. В этой СО вода 
неподвижна и скорость лодки относительно плота одинакова во всех 
направлениях. Это означает, что время обратного движения лодки до 
плота также равно 45 минутам. Таким образом, полное время движения 
лодки составляет 1,5 часа. За это время плот, двигаясь со скоростью 
течения, прошел путь 6 км. Значит, скорость течения равна 4 км/ч.
 
1.3. Грузовик и легковой автомобиль. По шоссе со скоростью 90 км/ч движется грузовик. Впереди него в том же направлении 
движется со скоростью 54 км/ч легковой автомобиль. Когда расстояние 
между автомобилями стало равным 50 м, водитель легкового автомобиля, пытаясь избежать столкновения, «нажал на газ» и стал двигаться с 
постоянным ускорением. Каково должно быть минимальное ускорение, 
при котором удастся избежать столкновения?
Описанная ситуация становится особенно простой, если ее рассматривать с точки зрения водителя грузовика. Он видит, что на него 
надвигается со скоростью v = 36 км/ч легковой автомобиль и на расстоянии S = 50 м его скорость начинает падать до нуля с постоянным 
ускорением. Это ускорение легко определить по формуле для равноускоренного движения:
 
a
S
= v2
2
=1 м/с2.
Попробуйте решить эту задачу с точки зрения Земли!
 
1.4. Мухи в треугольнике. В вершинах равностороннего 
треугольника со стороной a сидят три мухи. В некоторый момент они 
начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью v, причем первая муха движется в направлении второй, вторая — на 
третью, третья — на первую. Через какое время они встретятся?
Так как скорость мух постоянна по модулю, то для определения 
времени достаточно найти их путь до встречи. А вот это уже является 
проблемой. При движении мух треугольник, который они образуют, 
оставаясь равносторонним, поворачивается вокруг центра и стягивается в точку встречи мух (рис. 1.2), а сами мухи двигаются по довольно 
сложной траектории, форма которой нам неизвестна. Для определения