Основы теории представлений конечных групп с применением в квантовой механике

Г.М. ЖИСЛИН 
ОСНОВЫ ТЕОРИИ  
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ  
ГРУПП С ПРИМЕНЕНИЕМ  
В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
2024

Жислин Г.М.
Основы теории представлений конечных групп с применением в квантовой механике: Учебное пособие / Жислин Г.М.
Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2024. – 170 с.
ISBN 978-5-91559-320-5
В учебном пособии приведены и доказаны основные утверждения теории конечных групп и их представлений. При этом главное внимание уделено изучению подходов и методов теории представлений применительно к классификации  по свойствам симметрии связанных состояний квантовых систем и к нахождению
разрешённых и запрещённых переходов. Изучены основные точечные группы симметрии молекул и пространственные группы
симметрии кристаллов и их представления. Приведены примеры и
даны задания для самостоятельной работы.
Настоящее издание предназначено для студентов физиков и
математиков старших курсов. Оно также будет полезно всем интересующимся теорией групп и теорией представлений и их применением. Может служить введением в общую теорию представлений.
ISBN 978-5-91559-320-5
© 2024, Жислин Г.М.
© 2024, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригинал-макет,
оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7
I. 
Не совсем для чайников: что содержит книга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7
II. 
Для «чайников» и не только: о чём эта книга 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8
В.1. 
Вводные замечания  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8
В.2. 
Симметрия волновых функций 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9
В.3. 
Случай оператора Штурма  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9
В.4. 
Случай оператора Шредингера  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10
В.5. 
Разрешённые и запрещённые переходы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
13
В.6. 
Переходы и симметрия  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
15
В.7. 
Переходы для оператора Штурма  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
15
В.8. 
Переходы для оператора Шредингера  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
16
В.9. 
Принцип Паули  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
17
Часть I.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Глава 1. Основные понятия 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
21
1.1. Группа. Примеры групп  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
21
1.1.1. Преобразования симметрии квантовых систем  . . . . . . . . . . . . . . . 
21
1.1.2. Что такое группа? 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
22
1.1.3. Конечные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
22
1.1.4. Бесконечные группы 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
25
1.1.5. Лемма о сдвиге  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
26
1.2. Подгруппа. Смежные классы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
27
1.2.1. Подгруппа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
27
1.2.2. Смежные классы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
27
1.3. Классы сопряжённых элементов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
28
1.3.1. Определение классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
28
1.3.2. Классы сопряженных элементов группы чистых вращений. . . . . 
29
1.3.3. Классы сопряженных элементов полной группы вращений  . . . . 
30
1.3.4. Классы сопряженных элементов подгруппы. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
31
1.4. Инвариантная подгруппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
31
1.4.1. Определение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
31
1.4.2. Фактор- 
группа  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
31
Глава 2. Изоморфизм и гомоморфизм. Представления групп. . . . . . . . . . . . . . . . . 
33
2.1.  Изоморфные группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
33
2.1.1.  Изоморфизм групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
33
2.1.2. Гомоморфизм групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
34

Оглавление
2.2.  Конечномерные представления групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
35
2.2.1.  Определение представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
35
2.2.2.  Эквивалентные представления  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
36
2.3.  Представления в пространствах 
со скалярным произведением 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
37
2.3.1.  Унитарные операторы и матрицы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
37
2.3.2.  Существование унитарного представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
38
2.4.  Представления групп в задачах квантовой механики 
 . . . . . . . . . . . . . . . . 
39
2.4.1.  Инвариантность гамильтонианов 
при преобразованиях симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
39
2.4.2.  Представления групп симметрии 
в собственных подпространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
40
Глава 3. Приводимые и неприводимые представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
42
3.1. Приводимые представления и их разложение на неприводимые . . . . . . 
42
3.1.1. Определения приводимых и неприводимых представлений  . . . . 
42
3.1.2. Разложение пространства представления  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
43
3.2. Леммы Шура. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
45
3.2.1. Первая лемма Шура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
45
3.2.2. Вторая лемма Шура  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
46
3.3. Соотношения ортогональности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
47
3.3.1. Случай неэквивалентных представлений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
47
3.3.2. Случай эквивалентных представлений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
48
3.3.3. Общая формулировка результатов 
в терминах унитарных пространств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
49
Глава 4. Теория характеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
51
4.1. Характеры и их свой 
ства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
51
4.1.1. Определение и простейшие свой 
ства характеров . . . . . . . . . . . . . . 
51
4.1.2. Характеры классов сопряженных элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
52
4.1.3. Характеры неприводимых представлений — 
ортонормированные векторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
52
4.1.4. Разложение приводимых представлений 
на неприводимые с помощью характеров  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
53
4.2. О числе неприводимых представлений 
и их размерностях (теоремы Бернсайда) 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
54
4.2.1. Первая теорема Бернсайда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
54
4.2.2. Вторая теорема Бернсайда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
56
4.2.3. Применение теорем Бернсайда  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
59
Глава 5. Алгебра теории представлений. Простые приложения. . . . . . . . . . . . . . . 
61
5.1. Базисные функции неприводимых представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
61
5.1.1. Определения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
61
5.1.2. Построение канонического базиса 
неприводимого представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
62
5.2. Свой 
ства операторов P j
(
i
α)  и P 
(α)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
64
5.2.1. Свой 
ства операторов Pji
(α)   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
64
5.2.2. Свой 
ства операторов P 
(α)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
65
5.2.3. Важные замечания 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
66

Оглавление
5.3. Свой 
ства функций канонических базисов 
и оценка матричных элементов (простое правило отбора)  . . . . . . . . . . . 
67
5.3.1. Свой 
ства канонического базиса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
67
5.3.2. Оценка матричных элементов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
68
5.3.3. Разрешённые и запрещённые переходы 
с учетом симметрии 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
69
5.3.4. Простое правило отбора  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
70
5.4. Разложение пространства представления 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
71
5.4.1. Стандартный подход  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
71
5.4.2. Альтернативный вариант. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
72
Глава 6. Прямое (тензорное) произведение матриц и представлений. 
Прямое произведение групп  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
74
6.1. Облегчающий пример. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
74
6.2. Тензорное произведение и его свой 
ства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
76
6.2.1. Тензорное произведение пространств, 
матриц и операторов (определения) 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
76
6.2.2. Свой 
ства тензорного произведения матриц  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
79
6.3. Тензорное произведение представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
80
6.3.1. Свой 
ства тензорного произведения представлений. . . . . . . . . . . . 
80
6.3.2. Разложение тензорного произведения 
неприводимых представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
81
6.4. Прямое произведение групп 
и его представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
82
6.4.1.  Облегчающий пример  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
82
6.4.2. Определение прямого произведения групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
82
6.4.3. Прямое произведение представлений 
перемножаемых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
84
6.4.4. Связь неприводимых представлений прямого произведения групп 
с неприводимыми представлениями групп- 
сомножителей  . . . . . 
85
Глава 7. Разрешённые и запрещённые переходы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
87
7.1. Обобщённое правило отбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
87
7.1.1. Постановка задачи 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
87
7.1.2. Предварительные результаты — 1  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
87
7.1.3. Предварительные результаты — 2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
89
7.1.4. Окончательные выводы и формулировки  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
90
7.2. Правила отбора: примеры  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
92
7.2.1. Группа D3 и её представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
92
7.2.2. Правила отбора для группы D3, когда возмущение — оператор 
электрического дипольного момента 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
93
Часть II. 
ТОЧЕЧНЫЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ 
И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Глава 1. Точечные группы и их представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
99
1.1. Определения. Сопряжённые элементы групп и подгрупп 
 . . . . . . . . . . . . 
99
1.2.  Группы Cn, Cnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
103

Оглавление
1.3. Группа Cnv  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
107
1.4.  Группы Dn, Dnh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
112
1.5.  Группа Dnd  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
117
1.6. Группы симметрии тетраэдра: T, Td  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
120
1.7.  Группы симметрии октаэдра: O, Od. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
127
Глава 2. Cимметрия кристаллов 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
130
2.1. Бесконечный кристалл и его симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
130
2.2.  Конечный кристалл. 
Условие Борна — фон Кармана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
133
2.3.  Обратная решётка. Зона Бриллюэна  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
137
2.4.  Теорема Блоха. Правила отбора 
для трансляционной симметрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
139
Глава 3. Пространственные группы и их представления 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
144
3.1.  Пространственные группы кристаллов 
без включений и с включениями  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
144
3.2.  Разбиение пространства неприводимого представления 
пространственной группы. Звезда вектора k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
147
3.3.  Группа вектора k. Малые представления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
150
Глава 4. Построение представлений пространственной группы. . . . . . . . . . . . . . . 
154
4.1.  Восстановление «большого» представления по известному малому  . . . 
154
4.2.  Построение представлений пространственной группы  . . . . . . . . . . . . . . 
157
4.3.  Как это работает: пример 
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
161
Список литературы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
169

ВВЕДЕНИЕ
Даже если знания раздаются задаром, 
надо приходить со своей тарой…
Китайская пословица
I. 
НЕ СОВСЕМ ДЛЯ ЧАЙНИКОВ: 
ЧТО СОДЕРЖИТ КНИГА
Данный курс состоит из двух частей. В первой части опре 
деляются основные понятия: группа, полгруппа, смежные классы по 
подгруппе, классы сопряжённых элементов, изоморфизм и гомоморфизм 
групп, представление группы (операторами и матрицами), приводимые 
и неприводимые представления. Доказывается, что каждое приводимое 
представление можно разложить на неприводимые. После этого устанавливваются свой 
ства матриц неприводимых представоений (леммы 
Шура, соотношения ортогональности). Далее вводится понятие характера 
представления, устанавливаются свой 
ства характеров неприводимых 
представлений и показывается, как с помощью характеров можно разложить приводимое представление на неприводимые. Доказываются 
теоремы Бернсайда о числе неприводимых представлений группы 
и о размерностях этих представлений. Далее определяются проекционные операторы, с помощью которых можно находить подпространства 
функций, преобразующихся по данному неприводимому представлению. Эти операторы позволяют получить правила отбора разрешённых 
и запрещённых переходов. Сначала мы устанавливаем простое правило 
отбора, когда возмущающий оператор коммутирует с оператором представления, а потои находим правила отбора в самом общем случае. Для 
получения последнего результата — и в интересах второй части пособия — мы предварительно ввели важные понятия — прямого (тензорного) 
произведения пространств, операторов, матриц и представлений, а также 
изучили прямое произведение групп и свой 
ства прямого произведения 
представлений в обоих случаях.

Введение
Вторая часть пособия является по сути развёрнутым введением в теорию представлений групп симметрии молекул и кристаллов. Здесь на 
основе результатов части I мы изучаем большое число конкретных групп 
симметрии и их неприводимые представления для различных квантовых 
систем.
Для молекул рассматриваются точечные группы Cn, Cnh, Cnν, Dn, Dnh, 
Dnd, T, Td, O, Od. Для них мы проводим разбиение на классы сопряжённых элементов, строим для некоторых n неприводимые представления 
и во многих случаях приводим примеры функций, принадлежащих этим 
представлениям. Проведённые рассуждения дают возможность находить 
для молекул разной симметрии запрещённые и разрешённые переходы 
(см. Часть I), проводить классификацию по симметрии электронных 
состояний молекул в адиабатическом приближении и т.д.
Для кристаллов мы рассмотрим точечную и трансляционную симметрию конечного и бесконечного кристалла, структуру групп симметрии 
кристаллов с включениями и без них. Нами будет исследована связь 
неприводимых представлений пространственной группы G симметрии 
кристалла и группы Hk симметрии волнового вектора k из зоны Бриллюэна 
и построены неприводимые представления G, определяемые неприводимыми представлениями группы Hk и звездой вектора k.
Автор выражает искреннюю благодарность А. Чубарову сыгравшему 
решающую роль в технической подготовке пособия к печати, а также 
указавшему на ряд описок и неточностей в первоначальном тексте.
II. 
ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» ИbНЕ ТОЛЬКО: 
ОbЧЁМ ЭТА КНИГА
В науке нет широкой столбовой 
дороги…
Карл Маркс
В.1. 
Вводные замечания
Настоящий курс посвящен теории представлений конечных групп с применениями к некоторым задачам физики твердого тела. 
Одновременно предлагаемый материал можно использовать как введение 
в общую теорию представлений. Изложение ведется на математическом 
уровне строгости и требует для понимания (если отвлечься от некоторых 
примеров и приложений) главным образом знания линейной алгебры 
в объёме университетского курса.
Ниже мы обсудим ряд вопросов, ответы на которые могут быть даны 
с помощью теории представлений. Некоторые полученные при этом результаты будут использованы и в основной части курса.

Введение
В.2. 
Симметрия волновых функций
Обозначим через 
( )
0
h
x  оператор Штурма
 
( )
( )
(
)
( )
0
,
d
d
h
x
p x
V x
dx
dx
=+
  
 (0.1)
где 
( )
[
]
1
,
,
0
p x
C
l
l
l
Î
- +
>
 — произвольное число. Оператор 
( )
0
h
x  рас+
l
сматривается в пространстве 
[
]
( )
( )
2
2
,
|
.
ì
ü
ï
ï
ï
ï
- + =
<+¥
í
ý
ï
ï
ï
ï
î
þ
ò

 
-
l
l
l
x
x
dx
ψ
ψ
Введём в пространстве 
[
]
2
,
l
l
- +

 скалярное произведение 
+
l
(
)
( )
( )
,
,
1
2
,
ψ
ψ ψ
=
 и определим оператор 
( )
0
h
x  
-
=ò
 норму 
(
)
l
x
x dx
ϕ ψ
ϕ
ψ
в такой области 
[
]
0
2
,
h
С
l
l
Ì
- +

, что оператор 
( )
0
h
x  в 
0
h
 будет эрмитов 
в 
[
]
2
,
.
l
l
- +

Предположим, что оператор 
( )
0
h
x  и область его определения 
0
h
 инвариантны относительно инверсии 
 
,
ix
x
=, т.е., что
 
а) 
(
)
( ) 
0
0
h
x
h
x
-
=
 и б) 
(
)  
0
h
y
x
-
Î
 при 
( )  
0
h
y x
"
Î.  
 (0.2)
Для справедливости a) достаточно, чтобы 
(
)
( )
(
)
( )
,
,
p
x
p x
V
x
V x
-
=
-
=
 
а для выполнения б) можно взять, например,
 
( )
( )
[
]
( )
{
}
0
0
'
2
|
,
,
0
h
h
y x
y x
C
l
l
y x
x
l
=
=
Î
- +
=
= 


или
2
( )
( )
[
]
( )
( )
σ
''
|
,
,
0


.
 
h
h
0
0
( )
( )
,
0
,
0
σ
σ
ì
ü
ï
ï
Î
- +
+
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
=
=í
ý
ï
ï
ï
ï
=-
=
= +
³
ï
ï
ï
ï
î
þ
dy x
y x
y x
C
l
l
y x
dx
dy x
x
l
y x
x
l
dx
Отметим, что для выполнения (0.2б) граничные условия при x
l
= +  и 
 x
l
=-  должны переходить друг в друга при замене 
 
.
x
x
 Кроме того, 
очевидно, что это условие не будет выполняться, если вместо отрезка 
[
]
,
l
l
- +  взять отрезок [
]
,
с d  при c
d
¹- .
В.3. 
Случай оператора Штурма
Выясним, какие свой 
ства собственных функций оператора 
( )
0
h
x  в области 
0
h
 порождаются инвариантностью этого оператора 
и его области определения относительно преобразования инверсии: 
 
.
x
x
 Пусть
 
( )
( )
( ) ( )
( )
{
}
0
0
|
,
h
U
y x
y x
h
x y x
y x
λ
λ
=
Î
=


Введение
cобственное подпространство оператора 
( )
0
h
x , отвечающее его собственному значению λ. Если ( )
0,
h
y x Î 
 то в силу (0.2б) и (
)
0.
h
y
x
-
Î 
 Поэтому и так 
как равенство 
( ) ( )
( )
0
h
x y x
y x
λ
=
 верно при 
 
y
U λ
Î
 для 
[
]
,
,
x
l
l
" Î - +
 мы 
можем заменить в нём x на –x. Сделав это, получим 
(
) (
)
(
)
0
h
x y
x
y
x
λ
-
-
=
-
, 
откуда вследствие (0.2а) имеем
 
( ) (
)
(
)
0
h
x y
x
y
x
λ
-
=
-
.  
 (0.3)
В силу (0.3) 
(
)
;
y
x
U λ
-
Î
 но собственное подпространство Uλ одномерно [1], и поэтому a
$ Î  такое, что 
(
)
( )
y
x
ay x
-
=
. Заменяя здесь x на –x, 
получим 
( )
(
)
( )  
2
,
y x
ay
x
a y x
=
-
=
 откуда 
1,
a = 
 т.е. 
(
)
( )
y
x
y x
-
=
 или 
(
)
( )
y
x
y x
-
=. Таким образом, все собственные функции оператора 
( )
0
,
h
x
 отвечающие произвольно взятому собственному значению λ, или 
чётные или нечётные. Следовательно, не находя собственных функций 
оператора 
( )  
0
,
h
x
 мы выяснили возможное их поведение при преобразовании, не меняющем 
( )
0
h
x  и область его определения. Из сказанного 
выше следует, что множество всех собственных значений оператора 
( )
0
h
x  
распадается на подмножества:
 
(
)
( )
{
}
|
при
B
y
x
y x
y
U λ
λ
=
-
= 
" Î
,
состоящие соответственно из собственных значений, которым отвечают 
чётные (В+) и нечётные (В–) собственные функции. Методами вариационного исчисления можно показать, что оба эти подмножества бесконечны; в случае постоянных коэффициентов 
( )
( )
 
1
2
(
0,
p x
d
V x
d
=
>
=
) оператора 
( )
0
h
x  это проверяется непосредственно, поскольку собственные 
функции и собственные значения оператора 
( )
0
h
x  находятся в явном 
виде; сделайте это для 
(
)
 
 
 
0
0
0
0
0
,
для
при
0
h
h
h
h
h
σ
¢
¢¢
¢¢
=
=
-
=





.
В.4. 
Случай оператора Шредингера
В разделах В.2, В.3 мы рассмотрели оператор очень простого вида в пространстве функций одной переменной. Именно поэтому 
множество преобразований, оставляющих инвариантным оператор и область его определения, состояло (не считая тождественного преобразования) только из инверсии, благодаря чему мы смогли описать поведение 
собственных функций оператора 
( )
0
h
x  при этом преобразовании (инверсии). Рассмотрим теперь более сложный оператор, зависящий от 
многих переменных.
Пусть H0 — оператор энергии молекулы с n электронами и тремя тождественными ядрами, расположенными в вершинах Ai правильного треугольника 
1
2
3
A A A
Δ
. Пусть e — заряд электрона, 
0e
N
-
 — заряд ядра Ai,