Сопротивление материалов. Напряженное и деформированное состояние при центральном растяжении-сжатии и изгибе стержней

УДК  624.04
ББК 30.121
И49
Рецензенты: 
доктор технических наук О.В. Мкртычев, профессор 
кафедры сопротивления материалов НИУ МГСУ; 
доктор физико-математических наук, профессор Р.А. Турусов, 
главный научный сотрудник Института химической физики РАН
   Ильяшенко, А.В.
И49 		- -- -       Сопротивление материалов. Напряженное и деформированное состояние при центральном 
растяжении-сжатии и изгибе стержней : учебно-методическое пособие / А.В. Ильяшенко, 
А.Я. Астахова, А.Н. Леонтьев ; Министерство науки  и высшего образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, кафедра сопротивления материалов. — Электрон.дан. и прогр. (5,2 Мб). — Москва: Издательство МИСИ – МГСУ
, 2020. — Режим доступа: http://lib.mgsu.ru. — Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-7264-2339-5 (сетевое)
ISBN 978-5-7264-2340-1 (локальное)
Учебно-методическое пособие содержит разделы: «Центральное растяжение и сжатие стержней», 
«Геометрические характеристики поперечных сечений стержней», «Изгиб стержней». Каждый раздел 
включает в себя теоретическое вступление «Ключевые правила и формулы», в котором приведены основные формулы этих разделов. Содержит тестовые задачи с вариантами ответов и комментарием к решению. 
Все тестовые задания сформулированы в соответствии с общими требованиями для тестовых заданий базового уровня. Рассмотрены разнообразные типы задач, даны подробные комментарии к решениям.
Для обучающихся по направлениям подготовки 08.03.01 Строительство и 08.05.01 Строительство 
уникальных зданий и сооружений.
Учебное электронное издание
© ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2020

Редактор, корректор Е.В. Антошина 
Компьютерная вёрстка  О.Г. Горюнова
Дизайн первого титульного экрана  Д.Л. Разумного 
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2007, Adobe InDesign CS5, Adobe Acrobat
Подписано к использованию 24.08.2020. Объём данных 5,2 Мб.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования 
«Национальный исследовательский 
Московский государственный строительный университет».
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ
. 
Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.
.........................................................................................................................................................   5
ЧАСТЬ 1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ.
................................................................   6
Введение. Ключевые правила и формулы............................................................................................................   6
Раздел 1.1. Продольная сила. Напряжения и деформации.
................................................................................. 10
Раздел 1.2. Испытание конструкционных материалов на растяжение и сжатие.............................................. 13
Раздел 1.3. Механические свойства материалов.................................................................................................. 16
Раздел 1.4. Расчёты стержней на прочность и жёсткость................................................................................... 20
ЧАСТЬ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ.................. 28
Введение. Ключевые правила и формулы............................................................................................................ 28
Раздел 2.1. Статические моменты. Центр тяжести поперечного сечения.
........................................................ 35
Раздел 2.2. Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции 
при параллельном переносе осей.
................................................................................................................. 38
Раздел 2.3. Главные оси и главные моменты инерции поперечного сечения................................................... 45
Раздел 2.4. Моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции поперечных сечений.
.............. 49
ЧАСТЬ 3. ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ.................................................................................................................................. 53
Введение. Ключевые правила и формулы............................................................................................................ 53
Раздел 3.1. Определение поперечной силы и изгибающего момента 
в поперечных сечениях стержней................................................................................................................. 58
Раздел 3.2. Характерные особенности эпюр поперечных сил «Q» и изгибающих моментов «М».
............... 65
Раздел 3.3. Напряжения в поперечных сечениях балки...................................................................................... 69
Раздел 3.4. Расчёты на прочность.......................................................................................................................... 75
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.
........................................................................................................................................... 79

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебно-методическое пособие позволит студентам проверить и расширить свои знания и навыки 
в освоении теоретического и практического материала по темам «Центральное растяжение и сжатие 
стержней», «Геометрические характеристики поперечных сечений стержней», «Изгиб стержней». 
С помощью представленных тестов можно подготовиться к прохождению тестирования по соответствующим расчётно-графическим работам. Так как каждый тест снабжён комментируемым ответом, учащиеся могут контролировать уровень своей подготовки в режиме «самотестирования». 
К каждому тесту (заданию) предлагается пять вариантов ответа. Причём все ответы помечены или 
символом «○» (кружок), или символом «□» (квадрат). Символом «○» обозначены ответы, из которых 
только один является правильным, а символом «□» — ответы, из которых правильными являются 
несколько из пяти предложенных (но не более четырех). Таким образом, тестируемому даётся некоторая подсказка, в целом упрощающая задание. В следующих за ответами комментариях содержится решение поставленной в тесте задачи и краткие сведения по соответствующему теоретическому 
материалу. В конце каждого теста предлагается правильный ответ.
При прохождении реального аудиторного тестирования на кафедре сопротивления материалов 
действуют такие же принципы. Студенту необходимо ответить на пять вопросов, включающих три 
задачи и два теоретических задания. Время тестирования — 15 минут. Для получения удовлетворительной оценки необходимо правильно ответить на три вопроса из пяти предложенных. В учебнометодическом пособии использована система единиц СИ, а также традиционные для курса сопротивления материалов обозначения: сила — P, площадь поперечного сечения стержня — A. 
При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы измерения используется 
также кН/см2 (1 кН/см2 = 10 МПа).

ЧАСТЬ 1. 
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ
Введение 
КЛЮЧЕВЫЕ ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ
Центральное растяжение-сжатие — это напряжённо-деформированное состояние, вызываемое нагрузками, действующими вдоль продольной оси стержня Оx (рис. 1.1, а). В результате в поперечных сечениях стержня возникает только одно внутреннее усилие — продольная сила N(x). Далее 
при решении задач будем писать просто N.
Рис. 1.1
● Правило знаков для продольной силы N.
N > 0, если вектор усилия вызывает растяжение и направлен «от сечения» (рис. 1.2, а). И наоборот, N < 0, если вектор усилия вызывает сжатие и направлен «в сечение» (рис. 1.2, b). Правило действует независимо от того, с какой стороны стержня ведётся расчёт: «слева направо» или «справа 
налево».
Численно продольная сила равна сумме проекций на ось Оx всех сил (включая реакции), расположенных с одной стороны от рассматриваемого сечения. Тогда из рис. 1.1, а следует, что при определении N в сечении m-m можно пойти двумя путями:
1) рассмотреть равновесие левой части стержня (рис. 1.1, b):
	
N + P1 = 0;  N = –P1; 	
(1.1)
2) рассмотреть равновесие правой части стержня (рис. 1.1, с):
	
N + P1 – qa = 0;  N = qa – P1.	
(1.2)
Так как стержень находится в равновесии, то решения (1.1) и (1.2) являются эквивалентными.
6

a)

x
0

x
0
N
0
N
0
b)

x
0

x
0
N
0
N
0
Рис. 1.2
● Напряжения при центральном растяжении-сжатии. 
В поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения sx. Они равномерно 
распределены по площади А поперечного сечения (рис. 1.1, b, c) и определяются по формуле:
	
x
N
A
s =
.	
(1.3)
● Правило знаков для нормальных напряжений sx.
При растяжении sx > 0, и вектор напряжения направлен «от сечения» (рис. 1.2, а). При сжатии 
sx < 0, и вектор напряжения направлен «в сечение» (рис. 1.2, b). Правило действует вне зависимости 
от выбранного хода.
Закон Гука показывает, что нормальные напряжения пропорциональны относительным продольным деформациям:
	
x
x
E
s =
e ,	
(1.4)
где E — модуль упругости первого рода.
Далее индекс «x» будем опускать: 
E
s =
e.
Коэффициент Пуассона n связывает продольные e и поперечные e′ относительные деформации:
	
'
e
n = e .	
(1.5)
● Дифференциальная зависимость между продольным усилием N и распределённой нагрузкой q:
	
( )
( )
dN x
q x
dx
= −
.	
(1.6)
● Характерные особенности эпюр продольных сил N и нормальных напряжений s:
1. Если на участке стержня распределённая нагрузка q = 0, то в пределах этого участка продольная сила N = const. При условии, что на данном участке площадь поперечного сечения A = const, напряжения s = const.
2. Если на участке стержня распределённая нагрузка q = const, то продольная сила N в пределах этого участка изменяется по линейному закону. Если площадь поперечного сечения на данном 
участке A = const, то напряжения s также изменяются по линейному закону.
3. Если на участке стержня распределённая нагрузка q изменяется по линейному закону, то продольная сила N в пределах этого участка изменяется по закону квадратной параболы. При условии, 
что на данном участке A = const, напряжения s также изменяются по закону квадратной параболы.
4. В сечении стержня, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре N возникает скачок, численно равный величине этой силы. 
● Осевое перемещение u(x) определяется по формуле (предполагается отсутствие температурной 
нагрузки):
x
u x
u
dx
E
s
=
+∫
.	
(1.7)
	
0
0
( )
7

При E = const формула приобретает вид:
s
W
=
+
,	
(1.8)
	
[
]
0,
0
( )
x
u x
u
E
где u0 — перемещение начального сечения при x = 0; 
[
]
0,x
s
W
 — площадь эпюры напряжений s, ограниченная начальным x = 0 и заданным сечением x (рис. 1.3).
Рис. 1.3
● Правило знаков для осевого перемещения u(x).
Осевое перемещение u(x) > 0, если оно совпадает с направлением выбранного хода.
Удобно при решении задач использовать следующие формулы.
Полное удлинение – укорочение стержня от силы P, приложенной на конце (EA  =  const) 

(рис. 1.4, a, b):
	
Pl
l
EA
D = ±
;	
(1.9)
полное удлинение – укорочение стержня от нагрузки q = const, равномерно распределённой по 
всей длине стержня (EA = const) (рис. 1.5, a, b):
2
	
ql
l
EA
D = ±
.	
(1.10)
2
Рис. 1.4
8

Рис. 1.5
● Условия прочности при центральном растяжении и сжатии по методу предельных состояний 
записываются так:
	
рас
рас
рас
c
N
R
A
s
=
≤g
;	
(1.11)
	
сж
сж
сж
c
N
R
A
s
=
≤g
.	
(1.12)
Здесь продольные усилия берутся в опасных сечениях по модулю. Из этого же условия определяется допустимая расчётная нагрузка, то есть решается задача о грузоподъёмности стержня или 
стержневой системы.
● Разрушающая нагрузка Pраз. 
⌂ Для стержней из пластичного материала полагается:
1) в случае статически определимой задачи разрушающая нагрузка Pраз определяется из условия, что в наиболее опасном сечении (или в наиболее опасном стержне системы) возникают напряжения, равные пределу текучести s = sт;
2) в случае статически неопределимой задачи разрушающая нагрузка Pраз определяется из условия, что во всех сечениях стержня (или во всех стержнях системы) образуются напряжения, равные пределу текучести s = sт .
⌂ Для стержней из хрупкого материала за разрушающую нагрузку Pраз принимают такую силу, 
при которой в наиболее опасном сечении (или в наиболее опасном стержне системы) возникают напряжения, равные пределу прочности s = sв . Это условие относится и к статически определимым, и 
к статически неопределимым задачам.