Основы динамики и устойчивости стержневых систем

УДК 624.04  
ББК 38.112  
Г19  
Рецензенты:  
доктор физико-математических наук, профессор А.А. Локтев,  
заведующий кафедрой «Транспортное строительство»  
Российского университета транспорта (РУТ МИИТ);  
доктор технических наук А.М. Ибрагимов,  
профессор кафедры металлических и деревянных конструкций НИУ МГСУ 
Ганджунцев, М.И.  
Г19   
Основы динамики и устойчивости стержневых систем [Электронный ресурс] : учебнометодическое пособие / М.И. Ганджунцев, Р.М. Аль Малюль, А.Ю. Ушаков ; Министерство 
науки и высшего образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет, кафедра строительной и теоретической механики. — Электрон. дан. и прогр. (9,1 Мб). — Москва : Издательство МИСИ – МГСУ, 2020. — 
Режим доступа : http://lib.mgsu.ru/. — Загл. с титул. экрана.  
ISBN 978-5-7264-2334-0 (сетевое)  
ISBN 978-5-7264-2335-7 (печатное)  
В учебно-методическом пособии рассмотрены наиболее характерные задачи расчета стержневых 
систем на наиболее часто встречающиеся динамические воздействия и устойчивость. Приведены подробные примеры расчета с необходимыми пояснениями, которым предшествует краткое изложение 
теоретических основ расчетов.  
Для обучающихся по направлению подготовки 08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений.  
Учебное электронное издание 
© ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ», 2020 

Редактор, корректор М.Ю. Ледовский
Компьютерная верстка О.Г. Горюновой
Дизайн первого титульного экрана Д.Л. Разумного
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2010, Adobe InDesignCS5.5, ПО Adobe Acrobat
Подписано к использованию 27.08.2020 г. Объем данных 9,1 Мб.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования 
«Национальный исследовательский 
Московский государственный строительный университет».
129337, Москва, Ярославское ш., 26
Издательство МИСИ – МГСУ. 
Тел.: (495) 287-49-14, вн. 14-23, (499) 183-91-90, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.
........................................................................................................................... 5
1.	 ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ..................................................... 6
1.1.	Общие сведения о динамических расчетах конструкций......................................... 6
1.1.1.	Основные виды динамических воздействий.................................................... 6
1.1.2.	Степень свободы в динамике сооружений....................................................... 7
1.1.3.	Способы решения задач динамики сооружений............................................. 8
1.2.	Свободные колебания системы без учета затухания................................................. 9
1.2.1.	Свободные колебания системы с одной степенью свободы без учета  
затухания.
........................................................................................................... 9
1.2.2.	Свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы...... 13
1.3.	Свободные колебания системы с одной степенью свободы с учетом затухания.....20
1.4.	Энергетический способ определения частоты собственных колебаний системы...23
1.5.	Вынужденные колебания системы без учета затухания.......................................... 27
1.5.1.	Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы без учета  
затухания.
......................................................................................................... 27
1.5.2.	Вынужденные колебания системы с конечным числом степеней свободы  
без учета затухания.......................................................................................... 29
1.6.	Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы с учетом  
затухания................................................................................................................... 44
1.7.	Использование симметрии при динамическом расчете рам.................................. 47
2.	 РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬ....................................... 52
2.1.	Понятие о потере устойчивости и критической нагрузке.
...................................... 52
2.2.	Устойчивость 1-го рода, методы расчета................................................................. 54
2.3.	Дифференциальное уравнение центральносжатого стержня и его решение......... 60
2.4.	Расчет плоских рам на устойчивость первого рода методом перемещений........... 66
2.5.	Деформационный расчет рам на устойчивость второго рода................................. 76
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
.............................................................................. 84

ВВЕДЕНИЕ
Динамика и устойчивость сооружений — специальные разделы курса строительной 
механики, использующие ее принципы и методы расчета.
Динамическими принято называть нагрузки, действующие на сооружение, величина, направление и положение которых меняются в течение короткого промежутка времени.
При этом динамические нагрузки сообщают массам сооружения ускорения, в результате чего появляются дополнительные силы — силы инерции, сопровождающиеся возникновением колебаний этого сооружения.
Задачей динамического расчета сооружения является определение закона движения 
масс деформирующейся системы и величины инерционных сил, что в результате позволяет провести проверку системы на резонанс и дать оценку прочности и жесткости 
рассчитываемого сооружения.
По мере совершенствования методов расчета на прочность при проектировании 
конструкций они становились все более легкими и гибкими. При этом на первый план 
вышла необходимость их проверки на устойчивость. Постановка проблемы и первое 
решение задачи устойчивости тонкого сжатого стержня принадлежат Л. Эйлеру и датированы 1757 годом. Следует заметить, что в то время основными конструкционными материалами были дерево и камень. Особенности физико-механических свойств 
этих материалов явились причиной создания массивных конструктивных элементов, 
для которых вопрос упругой устойчивости не имел принципиального значения. Поэтому теоретическое решение Эйлера в отношении устойчивости гибких стержней долго оставалось невостребованным. Только с момента проектирования и строительства 
стальных мостов в начале XX века расчеты на устойчивость приобрели актуальность и 
стали широко применяться на практике. В разработку практических методов расчета 
на устойчивость существенный вклад внесли Ф. Энгессер, Ф.С. Ясинский, С.П. Тимошенко, Н.В. Корноухов и др.
Современный инженер должен уметь использовать на практике принципы и методы расчета на прочность и устойчивость при проведении расчетов сооружений на воздействие статических и динамических нагрузок.

1. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1.1. Общие сведения о динамических расчетах конструкций
1.1.1. Основные виды динамических воздействий
Задачей динамики сооружений является разработка принципов и методов расчета 
сооружений на действие динамических нагрузок. Особенностью воздействия динамических нагрузок является возникновение колебаний, и это становится причиной возникновения сил инерции, действующих на сооружение со стороны движущихся масс 
системы. При периодическом повторении динамических воздействий в определенных 
условиях происходит накопление энергии системы, выражающееся в постепенном увеличении размаха колебаний, а вместе с ним и интенсивности инерционных сил до 
очень больших значений. Подобное явление, называемое резонансом, особенно опасно для разного рода сооружений тем, что потеря ими эксплуатационных свойств, а порой и разрушение может произойти при малых величинах динамических воздействий. 
Целью динамического расчета является не только определение т.н. динамической 
прочности сооружений, но также и динамических перемещений, ускорений и скоростей, которые при воздействии на людей и точные приборы не должны превышать 
определенных пределов.
В процессе эксплуатации сооружения подвергаются различного рода динамическим 
воздействиям, которые можно подразделить на следующие основные виды: 
а) вибрационная нагрузка — периодические вибрационные воздействия от движения 
неуравновешенных частей машин и механизмов, в частности, электромоторов, ткацких станков и др.
Из всех периодических нагрузок весьма характерен случай, когда воздействия изменяются во времени, подчиняясь гармоникам синуса. Такая нагрузка и называется 
гармонической. Она появляется при наличии эксцентриситета вращающегося якоря 
электромотора (рис. 1.1). При равномерном вращении с постоянной угловой скоростью α появляется центробежная сила Р. Если ее разложить на составляющие, получается, что на систему воздействуют две периодические силы (рис. 1.1):
Px = P cos αt; Py = P sin αt.
Рис. 1.1. Вращающийся якорь электромотора 
Нагрузки этого вида почти не зависят от свойств конструкций, на которые они действуют, но являются основным источником их колебаний;
б) ударная нагрузка, создаваемая падающими частями механизмов (молотов, копров 
и др.). Эти нагрузки характеризуются небольшой продолжительностью действия 
(рис. 1.2, а). Максимальная величина нагрузки и время ее действия зависят от упругих 
и инерционных свойств конструкций, воспринимающих удар;
в) подвижная нагрузка, положение которой изменяется во времени, например, нагрузка от движения железнодорожного состава, мостовых кранов и т.п.;
6

г) импульсное воздействие: взрыв, волновая нагрузка, вызывающие резкое изменение давления (рис. 1.2, б) по поверхности сооружения;
Рис. 1.2. Нагрузки:  
а — ударная; б — подвижная 
д) сейсмические воздействия на здания и сооружения, вызываемые землетрясением, 
являющиеся причиной возникновения перемещений основания, изменяющиеся во 
времени по сложному закону — сейсмограмме (рис. 1.3) и, как следствие, вызывающие колебания сооружения. Параметры сейсмического воздействия невозможно точно задать заранее.
Рис. 1.3. Сейсмограмма
Такие воздействия рассматриваются как случайные величины или случайные функции, и расчет на их воздействие производится с привлечением не только методов динамики сооружений, но также и методов теории вероятности. Такие воздействия называют недетерминированными (неопределенными), а соответствующие им 
расчеты — вероятностными;
е) ветровая нагрузка.
1.1.2. Степень свободы в динамике сооружений
Наименьшее количество независимых геометрических параметров, определяющих 
положение колеблющихся масс в любой момент времени, называется числом степеней свободы этой системы. Число степеней свободы удобно определять как число связей, которые надо наложить на систему, чтобы массы остались в покое. Подсчет степеней свободы при кинематическом анализе в статике сооружений производится без 
учета деформаций стержней, которые считаются абсолютно жесткими. В динамике же 
сооружений при определении степени свободы системы рассматриваются именно упругие деформации ее элементов.
Число степеней свободы зависит от вида расчетной модели, при помощи которой 
аппроксимируется реальная конструкция. Для упрощения расчетов часто принимается, что стержень не имеет массы, которая сосредоточена в одной или нескольких точках.7

Так, например, невесомая балка (рис. 1.4, а) с одной точечной массой имеет одну 
степень свободы, так как положение этой массы определяется только одним параметром y. Напомним, что при этом считается, что стержень нерастяжим и несжимаем, а 
посему масса не имеет возможности перемещаться по горизонтали. Если учесть не 
только деформации от изгиба, но и продольные, то балка будет иметь две степени свободы. Масса сможет перемещаться и по горизонтали, и по вертикали (рис. 1.4, б). Если 
массу рассматривать не как точечную, то необходимо учитывать инерцию ее вращения, и тогда число степеней свободы будет равно трем, так как положение массы в этом 
случае определяется уже не только горизонтальными и вертикальными перемещениями, но и углом ее поворота.
Рис. 1.4. Невесомая балка:  
а — с одной точечной массой; б — с одной степенью свободы 
Рама, показанная на рис. 1.5, с двумя сосредоточенными массами имеет три степени свободы, так как расположение первой массы характеризуется только ее вертикальным перемещением, а расположение второй — двумя ее перемещениями: горизонтальным и вертикальным.
Рис. 1.5. Рама с двумя сосредоточенными массами
Для того, чтобы определить положение всех точек стержня, имеющего распределенную массу, необходимо задание бесконечно большого числа перемещений. Поэтому 
такие элементы рассматриваются как системы с бесконечным числом степеней свободы.
1.1.3. Способы решения задач динамики сооружений
Статический способ основан на применении уравнений динамического равновесия, 
которые, в отличие от уравнений статического равновесия, учитывают возникающие 
при колебаниях силы инерции, равные произведению массы на ускорение.
Энергетический способ основан на применении закона сохранения энергии М.В. Ломоносова, согласно которому сумма потенциальной и кинетической энергии упругой 
системы при колебаниях остается постоянной величиной в любой момент времени.
8

1.2. Свободные колебания системы без учета затухания
1.2.1. Свободные колебания системы с одной степенью свободы  
без учета затухания
Рассмотрим систему с одной степенью свободы в виде невесомой балки, несущей 
точечную массу (рис. 1.6). Под действием силы веса, равного произведению массы на 
величину ускорения свободного падения mg, точка ее приложения переместится вниз 
на величину т.н. «статического прогиба» Yст. Упругая линия балки от статического действия ее веса изображена пунктирной линией. Она уравновешивается начальной силой реакции системы, поэтому ее можно исключить из рассмотрения. Если эту балку 
в результате некоторого внешнего воздействия вывести из состояния равновесия, то 
после его прекращения система начнет совершать колебания около своего положения 
статического равновесия. Подобные колебания в динамике сооружений называют свободными.
Рис. 1.6. Невесомая балка с одной точечной массой
Для составления уравнения движения воспользуемся принципом Даламбера. При 
свободных колебаниях балки на массу, отклонившуюся от положения статического 
равновесия на величину Y, будет действовать восстанавливающая сила R и сила инерции J.
Рассмотрим каждую из этих сил, считая положительными силы и перемещения, направленные вниз.
Восстанавливающая сила R — это реакция системы, возникающая при отклонении 
массы от положения статического равновесия, стремящаяся вернуть массу в положение первоначального равновесия. Эта реактивная сила направлена в сторону, противоположную перемещению, и поэтому будет отрицательной и равной произведению 
величине отклонения Y точки, в которой сосредоточена масса, на жесткость системы:
R = –ry.
Для определения жесткости системы необходимо определить реакцию балки в рассматриваемой точке при перемещении этой точки, равным единице (рис. 1.7, а). Иногда удобнее пользоваться податливостью системы δ = 1/r.
Рис. 1.7. Определение жесткости системы методом:  
а — сил; б — перемещений
9

Для определения податливости необходимо вначале рассчитать систему (рис. 1.7, б) 
на действие единичной силы, приложенной по направлению колебаний массы. Затем 
по обычным правилам определения перемещений с помощью формулы Моpa могут 
быть вычислены значения δ, и r = 1/δ.
Сила инерции J равна произведению массы m на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную перемещению:
2
2 .
d y
J
m
dt
= −
⋅
Уравнение динамического равновесия всех сил, действующих на массу, в проекции 
на ось у выглядит так:
R + J = 0.
Подставляя вместо сил R и J их выражения, получим:
2
2
0.
d y
m
ry
dt
−
⋅
−
=
Разделив полученное выражение на массу m и поменяв при этом знак, получаем 
обыкновенное однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
2
2
2
0.
d y
y
dt
+ ω
=
	
(1.1)
	
Здесь
1 .
r
m
m
ω =
=
δ
	
(1.2)
	
Характеристическое уравнение в этом случае выглядит так: k2 + ω2 = 0. Два корня 
этого уравнения k1 = iω и k2 = –iω определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:
	
y = C1 cos ωt + C2 sin ωt,	
(1.3)
где C1 и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий при 
t = 0:
y = y0, dy/dt = ν0.
Из этих условий найдем, что С1 = y0 и С2 = ν0/ω. Тогда решение для свободных колебаний можно записать так:
y = y0 cos ωt + ν0/ω sin ωt.
Положим, что
	
y0 = A sin φ0;	
(1.4)
	
ν0/ω = A cos φ0,	
(1.5)
где А и φ0 — новые постоянные. 
10