Математические основы управления

УДК 519.71:69
ББК 22.18:38
М74
Рецензенты:
кандидат технических наук С.И. Дубинский, 
технический эксперт НЦ «РСТМ» АО «ВНИИЖТ»;
 кандидат технических наук, доцент П.Д. Челышков,
заведующий кафедрой автоматизации и электроснабжения НИУ МГСУ
Мокрова, Н.В.
М74	 	
Математические основы управления [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Н.В. Мокрова, А.В. Дорошенко ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Московский государственный 
строительный университет, кафедра автоматизации и электроснабжения. — Электрон. 
дан. и прогр. (3,7 Мб). — Москва : Издательство МИСИ – МГСУ, 2020. — Режим доступа: http://lib.mgsu.ru/Scripts/irbis64r91/cgiirbis64.exe?C21COM=F&I21DBN=IBIS&P21DBN=
IBIS — Загл. с титул. экрана.
	
	
ISBN 978-5-7264-2150-6 (сетевое)
	
	
ISBN 978-5-7264-2149-0 (локальное)
В учебно-методическом пособии содержатся краткие сведения о содержании дисциплины «Математические основы управления», предложены основные методики ее освоения. В соответствии с 
тематикой практических занятий приведены краткие теоретические положения разделов дисциплины, примеры выполнения расчетных заданий, каждая работа содержит вопросы для контроля знаний и навыков. 
Для обучающихся по направлениям подготовки 27.03.04 Управление в технических системах, 
профиль «Интеллектуальные системы и автоматика в строительстве» и 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств, профиль «Автоматизация инженерных систем и строительных технологий».
Учебное электронное издание
© Национальный исследовательский 
Московский государственный 
строительный университет, 2020

Редактор Л.В. Себова
Корректор В.К. Чупрова
Верстка и дизайн титульного экрана Д.Л. Разумного 
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2010, Adobe InDesign CS6, ПО Adobe Acrobat
Подписано к использованию  28.01.2020 г. Объем данных 3,7 Мб.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования 
«Национальный исследовательский 
Московский государственный строительный университет».
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ. 
Тел.: (495) 287-49-14, вн. 13-71, (499) 188-29-75, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

Оглавление
Введение.
...........................................................................................................................................  5
1. Основные сведения о дисциплине .
............................................................................................  5
2. Основы математического описания систем автоматического управления.
...........................  6
3. Содержание практических работ...............................................................................................  8
3.1. Дробно-рациональные и импульсные функции.
................................................................  8
3.2. Разложение дробно-рациональных функций на элементарные дроби .
..........................12
3.3. Преобразования Фурье и Лапласа.
......................................................................................17
3.4. Решение дифференциального уравнения первого порядка 
с использованием преобразования Лапласа.......................................................................22
3.5. Решение дифференциального уравнения второго порядка 
с использованием преобразования Лапласа.......................................................................26
3.6. Получение передаточных функций динамических звеньев.............................................30
3.7. Передаточные функции ориентированных графов.
...........................................................36
3.8. Математические модели в пространстве состояний.........................................................41
3.9. Понятия управляемости и наблюдаемости системы.........................................................45
4. Типовые задания для выполнения практических работ и промежуточной аттестации......47
5. Аналитические задания для самостоятельной работы.
...........................................................49
Тематика самостоятельной работы................................................................................................50
Библиографический список............................................................................................................55

ВВЕДЕНИЕ
Данное учебно-методическое пособие к практическим занятиям и самостоятельной работе составлено в соответствии с рабочими программами по направлениям подготовки 27.03.04 
Управление в  технических системах, профиль «Интеллектуальные системы и  автоматика 
в строительстве» и 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств, профиль «Автоматизация инженерных систем и строительных технологий» для обучающихся 
по образовательным программам бакалавриата в федеральном государственном бюджетном 
образовательном учреждении высшего образования «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет». 
Практические занятия нацелены на изучение математических основ современных методов 
теории автоматического управления (ТАУ) для решения задач анализа и синтеза систем автоматического управления (САУ). 
1. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИСЦИПЛИНЕ 
Основной задачей дисциплины «Математические основы управления» является изучение 
математических методов расчета и анализа систем автоматического управления.
В ходе освоения дисциплины обучающиеся овладеют:
–
– рядом классических и современных методов математического анализа и синтеза систем 
управления;
–
– способами математического описания систем управления и их переходных, частотных 
характеристик и параметров;
–
– правилами составления и линеаризации дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования (САР);
–
– методами построения математических и графоаналитических моделей объектов и систем управления, составления структурных схем и математического описания линейных систем автоматического управления, в том числе многомерных.
Материал дисциплины «Математические основы управления» содержит теоретические 
и практические вопросы изучения и применения математических методов для конструирования и изучения систем автоматического управления динамическими объектами на уровне их 
математического описания с использованием аппарата преобразований, дифференциального 
исчисления и векторно-матричных моделей.
Теоретическая часть курса дает представление о методах математического анализа и синтеза систем управления с использованием современной теории пространства состояния, операционного исчисления и других математических методов.
Изучение практических вопросов позволяет сформировать навыки по составлению математического описания систем управления, построению и использованию векторно-матричных моделей электромеханических систем в задачах автоматического управления. 
Для успешного освоения дисциплины необходимы знания, полученные на курсах «Высшая математика» — дифференциальное, интегральное и операционное исчисление, матричная алгебра, теория дифференциальных уравнений и «Теоретические основы электротехники»  — математическое описание электрических цепей, переходные процессы в  линейных 
и нелинейных цепях.
Полученные на курсе сведения используются в дальнейшем при изучении практически 
всех профилирующих дисциплин специальности, выполнении курсовых и дипломных проектов, в первую очередь «Теории автоматического управления» — принципов построения и элементного состава систем автоматического управления, преобразования Лапласа, передаточных функций, графов и структурных схем.
Содержание разделов дисциплины приведены в табл. 1.1.
5

Таблица 1.1
Содержание дисциплины
Наименование
раздела дисциплины
Тема и содержание занятия
1. Классификация САУ
. Основные характеристики систем управления. Обзор прикладных программ для расчета САУ
. 
Раздел 1. 
Основы математического описания 
систем автоматического управления
2. Дробно-рациональные и импульсные функции. Нули и полюсы на комплексной плоскости. Формы Боде и Хевисайда
1. Дискретные сигналы в  САУ
. Преобразование Лорана. Преобразование 
Раздел 2. 
Математический аппарат преобразований
Фурье и Хартли. Ряды Фурье. Свойства преобразований.
2. Преобразование Лапласа, непрерывное и дискретное. Алгоритм преобразования, таблицы преобразований. Основные теоремы преобразования 
Лапласа. 
3. Методы решения дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений с использованием преобразований Лапласа и Фурье
Раздел 3. 
Математическое описание систем 
управления
1. Понятие математической модели. Статическая характеристика объектов 
управления. Линеаризация статических характеристик. Линеаризация дифференциальных уравнений. Разложение в ряды Тейлора.
2. Разностные уравнения. Задача Коши для линейного разностного уравнения. Метод ломаных Эйлера.
3. Понятие линейного динамического звена. Способы математического 
описания линейных динамических звеньев. Временные и частотные характеристики.
4. Идентификация параметров математической модели системы автоматического управления.
5. Понятие многомерной системы автоматического управления. Ориентированные графы. Формула Мейсона.
6. Структурная схема многомерной системы. Структурные схемы и передаточные матрицы. Математические модели САУ в пространстве состояний.
7. Критерии управляемости и  наблюдаемости линейных стационарных 
многомерных объектов управления. Примеры моделей механических систем. Восстанавливаемость системы
Раздел 4. 
Методы оценки качества систем 
управления
1. Понятие устойчивости в теории управления. Анализ на устойчивости 
при помощи матричных методов.
2. Интегральные оценки качества переходных процессов. Численное интегрирование, погрешности методов. Вычисление линейных интегральных 
оценок
Раздел 5. 
Случайные процессы в системах 
управления
1. Числовые характеристики случайных величин. Корреляционные функции. Стационарный и эргодический случайные процессы.
2. Спектральная плотность. Свойство спектральных плотностей. Расчет линейных систем при случайных воздействиях
2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
В данном разделе приведем основные характеристики систем управления, рассмотрим 
классификацию САУ
, а также обзор прикладных программ для их расчета.
Осуществление совокупности воздействий, выбранных из множества возможных на 
основании определенной информации и  направленных на поддержание или улучшение 
функционирования какого-либо процесса в соответствии с поставленной целью, называется 
управлением. 
В технических средах управление осуществляется системами управления. Если управление 
осуществляется системой без участия человека, то такие системы называют автоматическими, 
а само управление — автоматическим.
Классифицируют САУ по различным признакам. На рис. 2.1 представлен один из вариантов 
классификации. 
6

Рис. 2.1. Классификация систем автоматического управления
По характеру математических соотношений различают линейные и нелинейные системы 
(в зависимости от описывающих реальные процессы дифференциальных уравнений).
По характеру используемой информации об условиях работы: неадаптивные (с жестким законом управления и структурой) и адаптивные системы (с изменяемыми структурой и законом 
управления). К адаптивным системам относят: системы автоматической настройки; самообучающие; самоорганизующие; с переменной структурой; с самонастройкой программы; с самонастройкой параметров; с самонастройкой структуры.
По характеру изменения задающего воздействия: системы автоматической стабилизации; 
программного управления; следящие; самонаведения; сопровождения; автопилотирования.
По характеру изменения величин: дискретные и дискретно-непрерывные (системы непрерывного действия — аналоговые; импульсного действия; дискретного действия; релейного действия); стационарные и нестационарные.
По принципу управления: системы с управлением по разомкнутому циклу; по замкнутому 
циклу; комбинированного управления.
По количеству выходных координат объекта управления различают одномерные и многомерные системы автоматического управления. Многомерные системы могут быть связанного 
(отдельные управляющие устройства соединены между собой внешними связями) и несвязанного типа.
По характеру используемых для управления сигналов: непрерывные (или аналоговые) и дискретные системы автоматического управления. К дискретным относятся импульсные системы; 
релейные; цифровые.
По типу ошибки в статике системы делятся на статические и астатические. Астатические обладают более высокой точностью, так как в них отсутствует статическая составляющая ошибки.
Наиболее удобным признаком являются характер и объем используемой для целей управления информации. По этому признаку все системы делятся на обыкновенные, самонастраивающиеся, игровые (или поисковые) и оптимальные. 
Обыкновенные САУ не обладают способностью приспосабливаться к изменяющимся условиям и свойствам управляемого процесса, а потому они менее помехозащищенные и для качественного ведения процесса управления требуют наибольшего количества начальной информации. Другие виды систем обладают свойствами адаптации, т.е. они более помехозащищенные. 
Обыкновенные САУ по степени помехозащищенности делятся на разомкнутые и замкнутые. 
Замкнутые системы обладают более высокой степенью помехозащищенности. 
По способу преобразования сигналов обыкновенные САУ делятся на аналоговые и дискретные. Все САУ состоят из отдельных элементов, каждый из которых строго направленного действия, т.е. сигнал в них проходит в одном направлении со входа на выход. Если во всех элементах 
САУ непрерывное изменение входной величины сигнала приводит к непрерывному изменению 
7