Фундаментальные основы расчета строительных конструкций

УДК 539.3
ББК 22.251
Ц27
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор О.В. Мкртычев, 
профессор кафедры сопротивления материалов НИУ МГСУ;
доктор физико-математических наук, профессор Р.А. Турусов, 
главный научный сотрудник Института химической физики РАН
Цветков К.А. 
Ц27      Фундаментальные основы расчета строительных конструкций [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / К.А. Цветков ; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Московский государственный строительный 
университет, кафедра сопротивления материалов. — Электрон. дан. и прогр. (8,5Мб). — Москва : Издательство МИСИ – МГСУ
, 2020. — Режим доступа: http://lib.mgsu.ru/Scripts/irbis64r91/
cgiirbis64.exe?C21COM=F&I21DBN=IBIS&P21DBN=IBIS. — Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-7264-2147-6
Содержатся теоретические сведения об основных понятиях механики деформируемого твердого тела: 
перемещениях, деформациях, внутренних силах, напряжениях, прочности, жесткости и др., которые положены в основу расчетов строительных конструкций по методу предельных состояний. Для лучшего освоения теоретического материала приводятся примеры простейших расчетов.
Для обучающихся по направлению 01.03.04 Прикладная математика.
Учебное электронное издание
©	Национальный исследовательский
Московский государственный
строительный университет, 2020

Редактор, корректор М.Л. Манзюк
Компьютерная верстка А.Г. Сиволобовой
Дизайн первого титульного экрана Д.Л. Разумного 
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2013, Adobe InDesign CS6, ПО Adobe Acrobat
Подписано к использованию 03.02.2020. Объем данных 8,5 Мб.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования 
«Национальный исследовательский 
Московский государственный строительный университет»
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ
. 
Тел. (495) 287-49-14, вн. 13-71, (499) 188-29-75, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................................................................6
§ 1. Основные понятия, гипотезы и модели.
...................................................................................................6
1. Понятие о механике деформируемого твердого тела и ее разделах....................................................6
2. Основные понятия механики деформируемого твердого тела.
............................................................6
3. Модель твердого тела, используемая в механике деформируемого твердого тела............................7
4. Принцип независимости действия сил.
..................................................................................................8
5. Принцип Сен-Венана...............................................................................................................................8
Ключевые понятия § 1.
.................................................................................................................................9
§ 2. Основные принципы построения расчетных схем строительных конструкций..................................9
1. Понятие о расчетной схеме.
.....................................................................................................................9
2. Классификация строительных конструкций исходя из геометрических соображений.
....................9
3. Типы опор и опорные реакции стержней.
............................................................................................ 11
4. Классификация нагрузок.......................................................................................................................13
5. Пример построения расчетной схемы..................................................................................................15
Ключевые понятия § 2.
...............................................................................................................................16
ГЛАВА 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ..................16
§ 3. Интегральный смысл геометрических характеристик. 
Геометрические характеристики относительно центральных осей...........................................................16
1. Основные геометрические характеристики поперечных сечений стержней...................................16
2. «Особенные» оси сечения.....................................................................................................................18
3. Определение геометрических характеристик относительно центральных осей.............................19
Ключевые понятия § 3.
...............................................................................................................................22
§ 4. Определение геометрических характеристик относительно осей, параллельных центральным. 
Геометрические характеристики симметричных сечений.
..........................................................................22
1. Определение геометрических характеристик относительно осей, 
параллельных центральным......................................................................................................................22
2. Определение положения главных центральных осей сечения 
с двумя и одной осями симметрии.
...........................................................................................................24
3. Пример определения геометрических характеристик относительно главных центральных осей 
(сечение с одной осью симметрии).
..........................................................................................................26
Ключевые понятия § 4.
...............................................................................................................................28
§ 5. Геометрические характеристики несимметричных сечений.
...............................................................28
1. Определение моментов инерции относительно осей, повернутых на произвольный угол α, 
относительно исходных (изменение моментов инерции при повороте осей)......................................28
2. Определение положения главных центральных осей несимметричного сечения 
и главных моментов инерции относительно этих осей..........................................................................30
3. К вопросу определения центробежных моментов инерции уголка относительно осей, 
параллельных полкам.
................................................................................................................................31
Ключевые понятия § 5.
...............................................................................................................................32
ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ.
.....................................................................................32
§ 6. Перемещения. Деформации. Внутренние силы. Напряжения.............................................................32
1. Перемещения..........................................................................................................................................32
2. Деформации............................................................................................................................................33
3. Внутренние силы. Метод сечений........................................................................................................34
4. Напряжения.
............................................................................................................................................35
Ключевые понятия § 6.
...............................................................................................................................35
§ 7. Напряженное состояние в окрестности точки.......................................................................................36
1. Компоненты полного напряжения. Тензор напряжений. 
Закон парности касательных напряжений...............................................................................................36
2. Напряжение на наклонной площадке...................................................................................................36
3. Нормальные и касательные напряжения на произвольной наклонной площадке, выраженные 
через компоненты тензора напряжений...................................................................................................38
4. Главные площадки и главные напряжения..........................................................................................38
5. Виды напряженного состояния.............................................................................................................39
4

6. Правило знаков для напряжений.
..........................................................................................................40
Ключевые понятия § 7.
...............................................................................................................................41
§ 8. Деформированное состояние в окрестности точки.
..............................................................................41
1. Компоненты полной деформации и их использование 
для определения деформированного состояния в окрестности точки..................................................41
2. Аналогия между деформированным и напряженным состояниями. 
Тензор деформаций. Закон взаимности угловых деформаций.
..............................................................42
3. Главные оси деформированного состояния и главные деформации.................................................43
4. Виды деформированного состояния.
....................................................................................................43
Ключевые понятия § 8.
...............................................................................................................................43
§ 9. Связь между перемещениями и деформациями, между деформациями и напряжениями...............44
1. Связь между перемещениями и деформациями — соотношения Коши.
..........................................44
2. Деформационные характеристики материалов...................................................................................44
3. Закон Гука при одноосном напряженном состоянии..........................................................................46
4. Обобщенный закон Гука........................................................................................................................46
5. Другие формы записи обобщенного закона Гука................................................................................48
Ключевые понятия § 9.
...............................................................................................................................49
ГЛАВА 3. РАСЧЕТ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО МЕТОДУ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ.......49
§ 10. Предельные состояния. Коэффициенты надежности. Критерии прочности и жесткости..............49
1. Понятие о предельном состоянии. Группы предельных состояний..................................................49
2. Сущность расчета конструкций по методу предельных состояний. 
Коэффициенты надежности......................................................................................................................49
3. Расчет на прочность...............................................................................................................................51
4. Три постановки задачи расчета стержней на прочность....................................................................51
5. Условие жесткости.................................................................................................................................52
Ключевые понятия § 10.
.............................................................................................................................53
ГЛАВА 4. ОСЕВОЕ (ЦЕНТРАЛЬНОЕ) РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) СТЕРЖНЕЙ.............................................53
§ 11. Внутренние усилия в стержнях.............................................................................................................53
1. Внутренние силы и внутренние усилия в поперечных сечениях стержней.....................................53
2. Связь внутренних усилий с внешними нагрузками............................................................................54
3. Интегральная связь внутренних усилий с напряжениями.................................................................55
Ключевые понятия § 11.
.............................................................................................................................56
§ 12. Усилия и напряжения при осевом (центральном) растяжении (сжатии) стержня. 
Расчет растянутых стержней на прочность.
..................................................................................................56
1. Осевое или центральное растяжение (сжатие) стержня.....................................................................56
2. Напряжение в поперечном сечении стержня.......................................................................................57
3. Определение внутреннего усилия в сечении.......................................................................................58
4. Пример построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений 
в стержне ступенчато-переменного сечения.
...........................................................................................59
5. Дифференциальная зависимость между N и q....................................................................................61
6. Условие прочности при осевом растяжении и сжатии.......................................................................61
Ключевые понятия § 12.
.............................................................................................................................63
§ 13. Определение деформаций и перемещений..........................................................................................63
1. Перемещения..........................................................................................................................................63
2. Наиболее часто встречающиеся функции перемещений.
...................................................................64
3. Жесткость стержня при осевом растяжении (сжатии).
.......................................................................64
4. Абсолютная деформация стержня (укорочение или удлинение стержня)........................................65
5. Примеры определения деформаций стержня......................................................................................65
6. Дифференциальная зависимость между u(х) и σ(x) 
и ее использование при построении эпюры осевых перемещений.
......................................................67
7. Пример построения эпюры осевых перемещений.
.............................................................................68
Ключевые понятия § 13.
.............................................................................................................................71
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.......................................................................................................................71
5

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Основные понятия, гипотезы и модели
1. Понятие о механике деформируемого твердого тела и ее разделах
Механика деформируемого твердого тела (МДТТ) — наука, в которой рассматриваются законы 
движения и равновесия твердых тел в условиях их деформирования при различных воздействиях.
Как известно, деформирование — это изменение формы и размеров тела.
В зависимости от того, какие особенности деформирования учитываются в рассматриваемых 
моделях твердого тела, выделяют следующие разделы механики деформируемого твердого тела.
Теория упругости рассматривает деформирование твердого тела в предположении, что после 
исключения воздействия (например, снятия нагрузки) деформации полностью исчезают (такие деформации называются упругими).
Теория пластичности предполагает возможность возникновения пластических (остаточных) деформаций, которые сохраняются в теле и после исключения воздействия.
Теория ползучести рассматривает модели, в которых увеличение деформаций происходит без 
увеличения воздействия (такое явление называется ползучестью).
В инженерной практике многие конструкции и детали (колонны, балки, валы машин и пр.) могут 
быть, исходя из геометрических соображений, отнесены к категории «стержни». Стержни рассматривает особый раздел МДТТ — сопротивление материалов, в котором на основании подтвержденных экспериментально гипотез получены простые алгебраические формулы, необходимые для 
инженерных расчетов.
В данном издании будут рассматриваться в основном вопросы сопротивления материалов и основ теории упругости.
2. Основные понятия механики деформируемого твердого тела
В результате внешнего воздействия точки тела совершают перемещения. Перемещения различных точек тела различны, что приводит к его деформированию (тело меняет свою форму и размеры) 
(рис. 1.1).
Рис. 1.1. Деформирование стержня
В теле возникают внутренние силы, которые препятствуют деформированию тела и стремятся 
вернуть его в недеформированное состояние (1-я трактовка внутренних сил). Кроме того, внутренние силы характеризуют взаимодействие частей тела при его деформировании (2-я трактовка внутренних сил).
Внутренние силы, отнесенные к единице площади, называются напряжением.
Значения напряжений и деформаций в каждой точке тела составляют его напряженно-деформированное состояние (НДС).
Определение НДС является основной задачей МДТТ. Знание НДС тела необходимо для расчета 
конструкций или деталей машин на прочность, устойчивость и жесткость.
Поскольку настоящее издание ориентировано на студентов математических направлений строительных вузов, то в дальнейшем мы будем говорить прежде всего о строительных конструкциях.
Под прочностью строительной конструкции понимают ее способность воспринимать внешнее 
воздействие без разрушения или перехода в пластическое состояние в течение всего срока эксплуатации. (Материал переходит в пластическое состояние при возникновении значительных пластических деформаций, этот вопрос будет рассматриваться в дальнейшем.)
6

Под устойчивостью строительной конструкции понимают ее способность сохранять первоначальную форму равновесия в течение всего срока эксплуатации (рис. 1.2).
Устойчивым  
является  
вертикальное,  
неискривленное  
положение стержня
Произошла потеря  
устойчивости  
(искривленное положение 
стержня наравне  
с вертикальным стало  
устойчивым положением)
Рис. 1.2. Потеря устойчивости
Под жесткостью понимают способность строительной конструкции воспринимать внешнее 
воздействие без развития чрезмерных (превышающих установленные в нормах значения) перемещений, деформаций и колебаний.
3. Модель твердого тела, используемая в механике деформируемого твердого тела
Любой процесс и явление наука рассматривает применительно к моделям. Модель должна включать в себя все значительные для целей изучения черты, а с другой стороны, должна быть освобождена от несущественных аспектов, усложняющих процесс изучения. Формирование модели происходит благодаря введению ряда допущений, упрощений и т.п., которые формулируются в виде 
гипотез (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Гипотезы, формирующие модель твердого тела, применяемую в МДТТ
Название 
гипотезы
Содержание
Значение для модели
Примечание
1
2
3
4
О малости 
перемещений
Расчет можно вести по недеформированной схеме
Применяется с ограничениями
Перемещения, возникающие в 
результате воздействия на тело, 
считаются малыми по сравнению с размерами тела
Применяется только в теории 
упругости и сопротивлении материалов
Об идеальной 
(абсолютной) 
упругости 
тела
Тело считается идеально (абсолютно) упругим, т.е. деформации полностью исчезают после 
снятия нагрузки
Позволяет устанавливать линейную связь между деформациями 
и напряжениями.
Позволяет не учитывать историю нагружения (последовательность нагружения тела различными нагрузками)
О сплошности тела
Тело считается непрерывным 
(без нарушения сплошности, 
пустот, пор и т.п.) как до, так и 
после приложения нагрузки
Позволяет рассматривать перемещения точек тела как непрерывные функции координат и 
использовать аппарат математического анализа
Непрерывность распространяется на любой сколько угодно 
малый объем тела, что, по сути, 
не учитывает даже молекулярное 
строение вещества, но для задач 
определения НДС это оказывается приемлемым
Об однородности тела
Свойства материала осреднены 
по всему объему тела
Если физико-механические характеристики тела одинаковы по 
всем направлениям, оно называется изотропным, в противном 
случае — анизотропным
Позволяет свойства материала в 
бесконечно малом объеме принимать равными характеристикам материала, которые получены на основании испытания 
стандартных образцов
7

4. Принцип независимости действия сил
Формулировка: результат действия нагрузки (перемещения, деформации, напряжения и т.д.) 
можно представить как сумму аналогичных результатов действия по отдельности всех составляющих нагрузки (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Принцип независимости действия сил
Принцип независимости действия сил выполняется только в моделях, где не допускается возникновение пластических деформаций.
5. Принцип Сен-Венана
Формулировка 1: напряженное состояние тела на достаточном удалении от области действия локальных нагрузок очень мало зависит от способа приложения этих нагрузок (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Демонстрация принципа Сен-Венана в его первой формулировке
Формулировка 2: напряжения, вызванные действием взаимоуравновешенных нагрузок в малой 
области, имеют местный характер и быстро уменьшаются при удалении от области приложения нагрузок (принцип локального эффекта действия взаимоуравновешенных нагрузок в малой области) 
(рис. 1.5).
Рис. 1.5. Демонстрация принципа Сен-Венана в его второй формулировке
8