Особенности моделирования железобетонных конструкций при помощи программных комплексов

УДК 624.012
ББК 38.53
К93
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор Вл.И. Колчунов, профессор кафедры 
уникальных зданий и сооружений Юго-Западного государственного 
университета (г. Курск);
кандидат технических наук В.Н. Симбиркин, главный инженер ООО «ЕВРОСОФТ», 
завсектором лаборатории ЛАИПС ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко 
АО «Научно-исследовательский центр «Строительство» 
   Курнавина, С.О.
К93		-
- -  
Особенности моделирования железобетонных конструкций при помощи программных комплексов [Электронный ресурс] : [учебное пособие для обучающихся по направлению подготовки 
08.03.01 Строительство] / С.О. Курнавина, В.В. Курнавин, С.С. Федоров ; Министерство науки 
и высшего образования Российской Федерации, Национальный исследовательский Московский 
государственный строительный университет, кафедра железобетонных и каменных конструкций. — Электрон. дан. и прогр. (12 Мб). — Москва : Издательство МИСИ –  МГСУ
,  2020.  — 
Режим доступа: http://lib.mgsu.ru/Scripts/irbis64r91/cgiirbis64.exe?C21COM=F&I21DBN=IBIS&P 
21DBN=IBIS. — Загл. с титул. экрана.		
ISBN 978-5-7264-2124-7 (сетевое)		
ISBN 978-5-7264-2123-0 (локальное)
В учебном пособии приведены общие сведения о работе с конечно-элементными моделями на примере возможностей программного комплекса STARK ES, особенностях работы с частичными проектами, порядке создания расчетных схем и расчета железобетонных конструкций. 
Для обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 Строительство. 
Учебное электронное издание
© Национальный исследовательский 
Московский государственный 
строительный университет, 2020

Редактор, корректор Л.М. Волкова
Компьютерная верстка  В.В. Дёмкина
Дизайн первого титульного экрана  Д.Л. Разумного 
Для создания электронного издания использовано:
Microsoft Word 2010, Adobe InDesign, Adobe Acrobat
Подписано к использованию 27.01.2020 г. Объем данных 12 Мб.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования 
«Национальный исследовательский 
Московский государственный строительный университет».
129337, Москва, Ярославское ш., 26.
Издательство МИСИ – МГСУ
. 
Тел.: (495) 287-49-14, вн. 13-71, (499) 188-29-75, (499) 183-97-95.
E-mail: ric@mgsu.ru, rio@mgsu.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РАСЧЕТА........................................................................   5
1.1. Особенности компьютерного моделирования.
..............................................................................................   5
1.2. Связь между методом конечных элементов и классическими 
методами строительной механики................................................................................................................ 10
2. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РАБОТЫ С ПК STARK ES............................................................................................. 27
2.1. Основные расчеты, выполняемые на основе метода конечных элементов в ПК STARK ES.................. 27
2.2. Особенности работы с крупноразмерными задачами.................................................................................. 28
2.3. Рекомендуемые правила организации хранения материалов проекта на жестком диске........................ 29
2.4. Правила работы с ПК STARK ES................................................................................................................... 29
3. ФОРМИРОВАНИЕ СТЕРЖНЕВОЙ МОДЕЛИ НА БАЗЕ FEA-ПРОЕКТА ПК STARK ES.
.......................... 38
3.1. Геометрия.......................................................................................................................................................... 38
3.2. Шарниры........................................................................................................................................................... 40
3.3. Опорные закрепления...................................................................................................................................... 44
3.4. Материалы.
........................................................................................................................................................ 45
4. СБОР НАГРУЗОК И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К УЗЛАМ И ЭЛЕМЕНТАМ 
РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ FEA-ПРОЕКТА........................................................................................................... 48
4.1. Нагрузки, действующие на здания................................................................................................................. 48
4.2. Порядок задания нагрузок.
.............................................................................................................................. 53
4.3. Расчет модели и анализ результатов.
.............................................................................................................. 56
4.4. Комбинации нагрузок и расчетные сочетания усилий.
................................................................................ 56
5. КОНСТРУКТИВНЫЕ СИСТЕМЫ И РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ ЗДАНИЙ. 
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ........................................................................... 60
5.1. Формирование позиционной модели............................................................................................................. 60
5.2. Основные этапы работы с моделями в ПК STARK ES................................................................................ 80
6. АРМИРОВАНИЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ И ПОДБОР АРМАТУРЫ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТОВ РАСЧЕТНОЙ СХЕМЫ..................................................................................................................... 92
6.1. Расчет армирования стержневых элементов средствами ПК STARK ES.................................................. 92
6.2. Особенности армирования ребер плит.......................................................................................................... 95
6.3. Расчет армирования плоских конструкций................................................................................................... 98
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................................................................................ 101

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ РАСЧЕТА
1.1. Особенности компьютерного моделирования
Современное архитектурно-строительное проектирование трудно представить без использования компьютерных технологий. Компьютер и программное обеспечение к нему не только оказывают неоценимую помощь в работе инженера, но и позволяют рассматривать задачи, решение которых 
ранее не представлялось возможным.
Расчетные задачи, встречающиеся при проектировании несущих строительных конструкций, 
можно условно разделить на два класса [16]:
1) задачи строительной механики по определению напряженно-деформированного состояния 
конструкций при действии нагрузок и воздействий;
2) задачи по определению параметров конструктивных решений в соответствии с указаниями используемых норм проектирования.
Современное развитие вычислительных средств позволяет с той или иной степенью достоверности смоделировать весь жизненный цикл сооружения, включая моделирование [13]:
•
• процесса нагружения;
•
• процесса возведения;
•
• процессов приспособляемости.
Основные этапы компьютерного расчета
Компьютерный расчет здания включает следующие этапы:
1)	 постановку задачи — определение необходимых результатов расчета и требуемых исходных 
данных для решения задачи;
2)	 выбор программного обеспечения для реализации поставленной задачи;
3)	 формирование расчетных моделей в зависимости от видов расчетных ситуаций;
4)	 проверку моделей и получаемых результатов;
5)	 ЦИКЛ — проведение расчетов, анализ результатов, внесение корректировок в расчетную модель с последующим перерасчетом;
6)	 оформление отчета на основании окончательных принятых конструктивных решений и соответствующих им расчетных моделей.
В процессе расчета инженеру приходится переходить от реальной конструкции к идеализированной расчетной схеме, которая отражает фактическую работу конструкции только с определенной долей приближения.
Конструктивная система здания — это описание взаимодействия фактических (реальных) несущих конструкций (элементов) между собой. При «описании» конструктивной системы существует множество пограничных состояний, осложняющих описание системы и принятие конструктивных решений.
Расчетная схема в строительной механике — это упрощенная модель конструктивной системы 
здания, используемая при проведении расчетов. Расчетную схему, описанную средствами выбранного программного обеспечения, будем называть компьютерной моделью1.
Расчетные схемы, которые применяются в конечно-элементных программных комплексах, могут быть произвольными, и решения по их выбору принимаются пользователями комплексов. Проблема выбора адекватной расчетной схемы сооружения является одной из самых основных и сложных проблем, возникающих при расчете конструкций.
При переходе от расчетной схемы к компьютерной модели также используется ряд упрощающих 
гипотез, позволяющих представить работу конструкции через небольшое число расчетных параметров, например: гипотеза плоских сечений, гипотеза сплошности (неразрывности) материала, гипотеза однородности и т. п. [11, 13].
Основные отличия расчетной схемы от конструктивной системы здания
1. Конструктивная система является более общей по отношению к расчетной схеме. Для одной 
конструктивной системы может существовать несколько расчетных схем, каждая из которых описы1  
Используемая терминология по-разному трактуется разными специалистами. В данном курсе используются термины, 
приведенные в более узкой формулировке, необходимой для понимания изложенного материала.
5

вает определенную расчетную ситуацию, состоящую из различных сочетаний элементов конструкций, краевых условий, свойств материала, внутренних и внешних воздействий.
2. Расчетная модель описывает расчетную ситуацию с использованием строгих математических 
и физических методов и алгоритмов.
3. Чаще всего основные элементы расчетной схемы, в отличие от конструктивной схемы, являются геометрически одномерными или двумерными (за исключением 3D-объемных элементов). 
Остальные характеристики (толщина, ширина, площадь поперечного сечения, моменты инерции и 
т. д.) задаются численно.
4. В расчетной схеме ненесущие элементы обычно учитываются только в виде нагрузок, также 
могут удаляться и те несущие элементы, работа которых не оказывает существенного влияния на результаты расчета данного элемента или модели в целом.
5. Идеализируются связи элементов между собой и связи, накладываемые на расчетную модель 
извне.
6. Применяются существенные упрощения при задании внешних воздействий.
7. Вводятся упрощающие предпосылки и накладываются дополнительные ограничения, касающиеся работы конструкций. Факторы, незначительно влияющие на напряженно-деформированное 
состояние системы, не учитываются.
8. В процессе работы c расчетной схемой необходимо структурировать все накладываемые ограничения (на схему) и учитывать их при разработке конструктивных решений на последующих этапах жизненного цикла здания.
В процессе моделирования решаются следующие задачи.
1. Выделение несущей части конструктивного решения.
При этом могут возникнуть следующие сложности:
•
• при разных режимах нагружения одни и те же элементы в одном случае могут не участвовать 
в работе системы, а в другом — оказывать существенное влияние на напряженно-деформированное 
состояние. Например, в каркасных зданиях жесткость кирпичного заполнения при расчете на статические воздействия можно не учитывать, а в расчетах на динамические воздействия она играет существенную роль;
•
• при изменении интенсивности нагрузки ненесущие элементы (например, перегородки, провисающие растяжки и т.д.) могут включаться в работу или, наоборот, выключаться из нее (разрушаемые связевые панели в сейсмостойких зданиях с гибким нижним этажом);
•
• при различных режимах функционирования сооружения (а также с учетом стадии изготовления конструкций, их перевозки, монтажа и т.д.) роль конструкции в сооружении и схема ее работы 
может меняться.
2. Идеализация геометрических характеристик объектов.
Рассматривается как переход на математическое описание идеальных геометрических элементов. При этом «идеализация» происходит на двух уровнях:
•
• первый уровень — за счет упрощения описания трехмерных тел и перехода на одномерные и 
двумерные, а также учитывая гипотезы теории упругости возможен переход от тензора напряжений 
в пространственной постановке к усилиям в сечениях элементов;
•
• второй уровень — отбрасывание геометрических деталей, не влияющих на работу несущей системы (например, фасок, скруглений и т.п.), идеализация объектов для придания им симметричности и регулярности (если это несущественно влияет на работу конструктивной схемы).
3. Идеализация материалов.
Чаще всего материал наделяется свойствами идеальной упругости или идеальной пластичности. 
Свойства материала (модуль упругости, коэффициент Пуассона) задаются одинаковыми в пределах 
конструкции или ряда конструкций. Для стальных конструкций такой подход оправдан, так как изменчивость свойств стали невелика. Для бетона и тем более грунта такой подход не всегда оправдан2.
В динамических расчетах часто используется осредненный логарифмический декремент затухания (что тоже не всегда оправдано, поскольку он различен для разных материалов и конструкций).
2  
Подобные проблемы можно решить при помощи учета физической и геометрической нелинейности материалов, однако следует учитывать, что нелинейная работа материала напрямую зависит от истории нагружения. Следует убедиться, что используемые диаграммы материалов пригодны для данной истории нагружения.
6

Идеализация конструктивного решения — замена более сложных конструкций каким-либо материалом с приведенными характеристиками (например, ввод ортотропных материалов для моделирования пустотных настилов).
4. Идеализация нагрузок.
Воздействие — это явление природного или техногенного происхождения, в результате которого 
изменяется напряженно-деформированное состояние несущих конструкций сооружения.
Нагрузка — это математическая модель воздействия, реализованная в расчетной схеме или компьютерной модели. Некоторые воздействия для удобства описываются несколькими нагружениями 
(см. п. 4.1).
Воздействия на сооружение обладают значительной изменчивостью и во многих случаях носят 
вероятностный характер или являются физическими абстракциями (главным образом динамические 
воздействия). Особенно сложным является моделирование поведения конструкции во времени при 
динамических воздействиях (например, учет взаимовлияния форм колебаний при сейсмических и 
ветровых воздействиях).
Таблица 1.1
Воздействия
Силовые
Кинематические
Внешние
Нагрузки
Заданные перемещения опор
Внутренние
Контролируемое предварительное -
напряжение
Температурные перемещения
Сложность моделирования воздействия заключается в том, что многие воздействия (в частности, 
ветровые или сейсмические) слабо поддаются изучению и носят вероятностный характер, обладают изменчивостью во времени (климатические воздействия) и требуют соответствующей статистической обработки. 
От величины нагрузки зависит, с одной стороны, надежность строительных конструкций, а с 
другой — экономическая составляющая, при увеличении интенсивности воздействия увеличивается себестоимость конструктивных решений. Для стандартизации подходов решения данной проблемы и обеспечения минимального уровня надежности государство регламентирует применение нормативных значений нагрузок. Различная степень изученности тех или иных нагрузок, а также их 
вариативность нашли отражение в строительных нормах путем ввода коэффициентов надежности 
по нагрузке gf . Чем лучше изучена нагрузка и чем меньше ее вариативность, тем коэффициент меньше (например, для нагрузок от собственного веса gf  = 1,05, или 1,1, а для ветровой нагрузки — 1,4).
В соответствии с принципом предельных состояний расчеты проводят на максимальные значения нагрузок. Но возможны случаи, когда наихудшими для конструкции являются какие-то промежуточные значения нагрузок (а для некоторых нагрузок даже минимальные значения или полное их 
отсутствие). Примером может служить балка с односторонними опорами, поставленными с зазором 
[13]. На рис. 1.1 показана реакция в средней опоре.
Рис. 1.1. Система с односторонними связями
5. Идеализация связей.
Распространяется на идеализацию законов взаимодействия элементов системы друг с другом. 
В природе не существует чисто жесткого закрепления или чистого шарнира. Решение об идеализации того или иного конструктивного узла принимает инженер.
7

Рис. 1.2. Пример идеализации условий опирания балки на кирпичную стену
Часто идеализация проводится исходя не из кинематических условий сопряжения, а из силовых 
[13]. Например, шарнир в стальных фермах вводится исходя из гипотезы о малой роли изгибающих 
моментов при узловых нагружениях схемы.
Неопределенность в моделировании порождается:
•
• недоступностью исчерпывающих знаний об объекте моделирования и воздействиях на него 
(например, обо всех возможных режимах работы конструктивной системы, в первую очередь о нагрузках);
•
• неполнотой знаний об объекте моделирования (например, невозможно точно описать все свойства в каждой точке железобетонной конструкции, еще более сложным представляется описать работу здания в целом).
Кроме того, неопределенность также создают ошибки аппроксимации (намеренное или вынужденное упрощение математического описания, в частности, аппроксимирующих функций). 
Пример  — применение сосредоточенных сил к пластинчатым элементам, которые не способны 
уравновесить сосредоточенные силы конечными значениями поперечных сил и приводят к несоответствующим действительности значениям поперечных сил.
Способы преодоления неопределенности:
•
• использование теории вероятностей, когда в основе принимаемого решения находится предыдущий объективный опыт;
•
• использование экспертных оценок (принятие решений на основе субъективного опыта эксперта);
•
• экстремальная оценка (решение принимается из числа возможных по наихудшему сценарию 
работы конструкции);
•
• сравнение с экспериментом.
Большинство расчетов (за исключением уникальных сооружений) проводится для традиционных конструктивных решений, основанных на большом опыте проектирования. Но при этом может 
возникнуть ошибка, вызванная распространением традиционных подходов, отраженных в учебной, 
справочной и нормативной литературе, на объекты, выходящие за область применения традиционных методов (которая в большинстве случаев не указывается).
Примером может служить спектральная теория, заложенная в нормы по расчету сейсмостойких 
конструкций и основанная на применении консольной модели. Эта теория должна с осторожностью 
применяться к пространственным моделям и неприменима к сооружениям, размеры которых совместимы с длиной сейсмической волны.
Рис. 1.3. Деформации линейно-протяженной конструкции 
при прохождении продольной сейсмической волны
8

Верификация моделей
Все используемые в процессе расчета модели нуждаются в проверке их обоснованности (верификации). Верификация включает:
•
• проверку исходных данных (большое значение имеет наглядность графического отображения);
•
• проверку общего равновесия системы (сумма реакций равна сумме нагрузок);
•
• проверку локального равновесия подсистем;
•
• проверку соответствия видимой картины деформирования заданным условиям опирания;
•
• проверку условий симметрии;
•
• оценку общей картины напряженно-деформированного состояния (НДС)конструкций, сопоставление деформаций с распределением внутренних сил.
Общие правила моделирования
Расчетная модель должна быть выбрана и построена в соответствии с целью выполняемого расчета, она должна принципиально правильно отражать те особенности работы конструкций, оценку 
которых необходимо выполнить.
В большинстве случаев можно рекомендовать соблюдение следующих правил.
1.	 Применение расчетных моделей конструкций и воздействий, максимально полно представляющих интересующие свойства моделируемого ими объекта. Методы расчета должны исходить из 
форм разрушений и деформаций, подтвержденных опытом строительной практики.
2.	 Учет особенностей работы конструкций (например, геометрической и физической нелинейности).
3.	 Учет истории возведения и нагружения конструкций.
4.	 Учет совместной работы несущих конструкций, фундаментов и основания.
5.	 Рассмотрение аварийных воздействий и ситуаций, защита конструкций от прогрессирующего обрушения.
6.	 Использование разных расчетных схем для описания различных состояний конструкции (например, в зависимости от скорости, длительности, числа циклов и интенсивности нагружения).
7.	 Целесообразно иметь не одну модель, а систему аппроксимирующих моделей работы сооружения, каждая из которых определяет свои границы применения.
8.	 Расчетная гипотеза должна ставить конструкцию в менее благоприятные условия, чем те, 
в которых находится действительная конструкция.
9.	 Применение обоснованных и апробированных методик расчета.
10.	Выполнение параллельных расчетов с использованием альтернативных расчетных средств. 
Учет опыта проектирования, строительства, эксплуатации и экспериментальных исследований конструкций, подобных проектируемым конструкциям.
11.	Обеспечение не только прочности, устойчивости, но и экономичности принятого решения.
12.	Использование по мере возможности простых моделей, чтобы расчет не становился слишком громоздким.
Одна из частых ошибок моделирования конструкций — чрезмерная детализация расчетной схемы, учет факторов, несущественно влияющих на искомые параметры конструкций. Очевидно, что 
точность моделирования строительных конструкций должна соответствовать точности используемых для расчета исходных данных, которая, как правило, невысока [16]. Чрезмерная детализация 
модели приводит к повышению времени и трудоемкости расчета, неизбежному росту количества 
ошибок, более высоким погрешностям численного решения и затруднению анализа результатов расчета. При числе шагов конечно-элементной (КЭ) сетки, равном n, количество неизвестных перемещений равно С · n3 (С — постоянная, зависящая от типа конечного элемента).
Следует также помнить, что элементы расчетной схемы соединяются не непосредственно между 
собой, а только через узлы [13].
9

а
б
Рис. 1.4. Представление расчетной схемы в процессе компьютерного моделирования:
а — традиционное; б — детальное
Например, на рис. 1.5 изображены два варианта представления балки с заделкой на одном конце 
и шарнирной опорой на другом. В варианте (а) на оба конца балки наложены связи по всем степеням свободы, а в конечной точке стержневого элемента установлен шарнир. В варианте (б) шарнир 
отсутствует, но конечный узел не закреплен от поворота. С точки зрения кинематических свойств 
балки оба варианта равноправны. Но с точки задания усилий эти варианты различаются. Пусть в конечном узле балки (соответствующем шарнирной опоре) приложен сосредоточенный момент. Схема (б) передает момент на стержень, и узел 2 в этой схеме будет иметь поворот, а в схеме (а) момент 
не передается, и узел не будет иметь поворота.
Рис. 1.5. Варианты представления балки в конечно-элементной модели
Еще до построения расчетной модели проектировщик явно или неявно руководствуется набором гипотез и предпосылок, которые опираются на ожидаемые свойства решения задачи. Например, 
предположение о малости перемещений и углов поворота служит основанием для решения задачи 
в геометрически линейной постановке. Предположение об отсутствии концентраторов напряжений 
лежит в основе применения примерно равномерной сетки конечных элементов. В связи с этим необходим апостериорный анализ полученного решения на соответствие исходным предпосылкам и при 
необходимости корректировка расчетной схемы.
Анализ результатов
Анализ результатов должен включать:
•
• рассмотрение деформированной схемы сооружения, эпюр и изополей усилий, анимации колебаний и форм потери устойчивости;
•
• анализ порядка усилий, напряжений и перемещений; контроль соответствия между порядком 
величин результатов и порядком величин нагрузок;
•
• установление соответствия опорных реакций суммарным равнодействующим нагрузок по каждому из нагружений;
•
• установление соответствия полученных результатов инженерному представлению о работе 
конструкции, получаемому на основании рассмотрения упрощенных моделей или из опыта строительства, эксплуатации и экспериментального исследования подобных конструкций.
1.2. Связь между методом конечных элементов и классическими 
методами строительной механики
1.2.1. Общие сведения о методе конечных элементов
Метод конечных элементов (МКЭ), лежащий в основе большинства современных вычислительных комплексов, является одним из методов строительной механики.
Суть метода в том, что континуальная (непрерывная) конструкция разбивается на некоторое число малых, но конечных по размерам частей различной формы, обладающих различными свойствами, называемых конечными элементами. При этом принимаются равными потенциальная энергия 
исходной конструкции и потенциальная энергия конечно-элементной модели, которая ее заменяет.
10

Метод конечных элементов является дискретным методом. В отличие от реального сооружения в 
дискретной модели конечные элементы связываются между собой только в узлах, где и выполняется 
условие совместности. В остальных точках перемещения конструкции задаются приближенно при 
помощи так называемых аппроксимирующих функций. В большинстве случаев в основе метода конечных элементов лежат вариационные принципы, основанные на законе сохранения энергии.
Возможные перемещения — это воображаемые бесконечно малые перемещения системы, допускаемые связями в данный момент времени, т.е. перемещения без освобождения связей. Виртуальным (возможным) перемещениям соответствуют изменения параметров в фиксированный момент времени.
Принцип возможных перемещений гласит, что для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работ dAi всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю.
Физическая интерпретация принципа возможных перемещений — принцип возможных работ 
[19].
Сущность принципа:
T
T
B
ST
S
iT
i
	
V
V
S
dV
U
f dV
U
f dS U
P
e t
=
⋅
+
⋅
+
⋅
∫
∫
∫
,
где t — истинные напряжения; U — поле возможных перемещений; e — соответствующие возможные деформации; f 
B, f 
S, P 
i — объемные поверхностные и сосредоточенные нагрузки. 
Работа внутренних сил на возможных перемещениях равна работе внешней нагрузки на этих 
перемещениях.
1.2.2. Этапы решения задач методом конечных элементов
1. Конструкция разбивается на конечные элементы. В каждом узле i принимаются за неизвестные возможные перемещения узла (для плоской задачи ui и vi), а перемещения любой точки конечного элемента u(x,y), v(x,y) выражаются в виде полиномов, где параметрами являются перемещения 
узла.
Например, для стержня:
( )
2
1
2
3
...
u x
x
x
= a + a ⋅+ a ⋅
+
,
где x — переменная по длине элемента; u(x) — локальное перемещение элемента; α1, α2, α3 — обобщенные координаты.
Для пластины:
u x y
x
y
x y
,
= a + a ⋅+ a ⋅
+ a ⋅⋅
(
)
1
2
3
4
v x y
x
y
x y
,
= b +b ⋅+b ⋅
+b ⋅⋅
,
(
)
1
2
3
4
где коэффициенты a1…b4, называемые обобщенными координатами, выражаются через перемещения узлов u1…un и v1…vn.
Эти полиномы называются аппроксимирующими, интерполирующими или базисными 
функциями.
В общем виде базисная функция для области W (так называемые звезды конечных элементов) 
имеет вид [11].
Рис. 1.6. Звезда конечных элементов, примыкающих к узлу j
11