Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2024, № 6

Российская академия наук
ПОВЕРХНОСТЬ
РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ  
И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
№ 6      2024      Июнь
Журнал основан в 1982 году  
Выходит 12 раз в год 
ISSN: 1028-0960 
Издается под руководством  
Отделения физических наук РАН
Главный редактор
Член-корреспондент РАН А.А. Левченко
Редакционная коллегия:
Г.Е. Абросимова, д.ф.-м.н. (заместитель главного редактора); В.Ю. Аристов, д.ф.-м.н.;  
А.С. Аронин, д.ф.-м.н.; А.В. Белушкин, д.ф.-м.н., член-корр. РАН; В.А. Бушуев, д.ф.-м.н.;
Н.В. Волков, д.ф.-м.н.; А.Э. Волошин, д.ф.-м.н.; С.В. Григорьев, д.ф.-м.н.;
В.П. Дмитриев, д.ф.-м.н.; А.П. Захаров, д.ф.-м.н.; В.М. Каневский, д.ф.-м.н.;
М.В. Ковальчук, д.ф.-м.н., член-корр. РАН; Д.П. Козленко, д.ф.-м.н.;
О.В. Коновалов, к.ф.-м.н.; С.В. Коновалов, д.т.н.;  
Э.А. Коптелов, д.ф.-м.н. (заместитель главного редактора);
Е.С. Клементьев, к.ф.-м.н. (ответственный секретарь); А.А. Лебедев, д.т.н.;  
Д.В. Рощупкин, д.ф.-м.н.; А.В. Солдатов, д.ф.-м.н.; В.Г. Станкевич, д.ф.-м.н.;  
Д.Ю. Чернышов, к.ф.-м.н.; Н.И. Чхало, д.ф.-м.н.; Xizhang Chen, PhD
Редакционный совет:
Председатель: В.А. Матвеев, д.ф.-м.н., академик РАН;
В.Л. Аксенов, д.ф.-м.н. член-корр. РАН; Ю.А. Владимиров, д.б.н., академик РАМН;  
О.Д. Далькаров, д.ф.-м.н.; В.В. Кведер, д.ф.-м.н., академик РАН;
Г.Н. Кулипанов, д.ф.-м.н., академик РАН; И.Г. Неизвестный, д.ф.-м.н. член-корр. РАН;  
Э.В. Суворов, д.ф.-м.н.
Заведующая редакцией Н.В. Еременко
Научные редакторы: Н.Е. Новикова, О.Н. Хрыкина
Адрес редакции: Москва, ул. Бутлерова, 17а
Телефон: +7 (499) 743-00-32
E-mail: surf@crys.ras.ru
INTERNET: http://www.issp.ac.ru/journal/surface/
Ɇɨɫɤɜɚ
ɎȽȻɍ ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ©ɇɚɭɤɚª
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала «Поверхность. 
Рентгеновские, синхротронные и нейронные  
исследования» (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Номер 6, 2024
Вихревое движение на поверхности мелкой и глубокой воды
А. В. Поплевин, А. А. Левченко, А. М. Лихтер, С. В. Филатов, Л. П. Межов-Деглин 
3
Использование возможностей машинного обучения для прогнозирования двойных фосфатных 
систем для биомедицинских применений
Е. Р. Коломенская, В. В. Бутова, Ю В. Русалев, Б. О. Проценко, А. В. Солдатов, М. А. Бутакова 
13
Исследование особенностей структуры высокодисперсного NiO–SiO2 катализатора 
рентгенографическим методом анализа функции распределения атомных пар
М. Д. Михненко, С. В. Черепанова, А. Н. Шмаков, М. В. Алексеева, Р. Г. Кукушкин, В. А. Яковлев, 
В. П. Пахарукова, О. А. Булавченко 
23
О сдвиге максимума полярного углового распределения распыленных атомов в МД-модели 
распыления грани (001) Ni
А. И. Мусин, В. Н. Самойлов 
31
Определение потенциала взаимодействия ион–твердое тело из эксперимента и его влияние 
на профили имплантированных частиц
 А.Н. Зиновьев, П.Ю. Бабенко, В.С. Михайлов, Д.С. Тенсин 
38
Эволюция нанотвердости двухкомпонентных растворов на основе титана при наложении кручения
 под высоким давлением
Ю. Д. Заворотнев, Г. С. Давдян, В. Н. Варюхин, А. Г. Петренко, Е. Ю. Томашевская, Б. Б. Страумал 
44
Влияние постоянного магнитного поля на плотность стареющего сплава бериллиевой бронзы БрБ-2
 Ю. В. Осинская, С. Г. Магамедова, С. Р. Макеев 
50
Управление хиральностью магнитных вихрей в системе ферромагнитный диск–нанопроволока
Д. А. Татарский, Е. В. Скороходов, О. Л. Ермолаева, В. Л. Миронов, А. А. Фраерман 
56
Эффект скорости при синтезе нанопор с некруговым поперечным сечением методом травления 
треков быстрых тяжелых ионов в оливине
С. А. Горбунов, П. А. Бабаев, А. Е. Волков, Р. А. Воронков, Р. А. Рымжанов 
62
Формирование покрытий из ускоренных ионов фторированного фуллерена C60(CF3)12 
В. Е. Пуха, А. А. Бельмесов, Е. Н. Кабачков, Г. В. Нечаев, И. Н. Лукина, 
Е. И. Дроздова, О. П. Черногорова 
70
Методика изготовления и характеризация ван-дер-ваальсовых гетероструктур
А. Ф. Шевчун, М. Г. Прокудина, С. В. Егоров, Е. С. Тихонов 
80
Новые полиморфные разновидности нитрида бора с алмазоподобными фазами ТА-типа
Д.С. Ряшенцев, В.А. Бурмистров 
87
Накопление и стирание радиационно-индуцированного заряда в МОП-структурах
Д. В. Андреев 
93
Спектрометрия по времени замедления нейтронов в свинце II: данные сечений 
243Cm(n, f ), 244Cm(n, f ), 245Cm(n, f ), 246Cm(n, f ), 247Cm(n, f ), 248Cm(n, f ) при энергии до 100 кэВ
Э. А. Коптелов 
99

Contents
No. 6, 2024
Vortex Motion on the Surface of Shallow and Deep Water
A. V. Poplevin, A. A. Levchenko, А. М. Likhter, S. V. Filatov, L. P. Mezhov-Deglin 
3
Using of Machine Learning Capabilities to Predict Double Phosphate Structures for Biomedical Applications
E. R. Kolomenskaya, V. V. Butova, Yu. V. Rusalev, B. O. Protsenko, A. V. Soldatov, M. A. Butakova 
13
Structural Features Investigation of a Highly Dispersed NiO–SiO2 Catalyst by X-Ray Analysis 
of the Atomic Pair Distribution Function
M. D. Mikhnenko, S. V. Cherepanova, A. N. Shmakov, M. V. Alekseeva, R. G. Kukushkin, V. A. Yakovlev,
V. P. Pakharukova, O. A. Bulavchenko 
23
On the Shift of the Maximum of the Polar Angular Distribution of Sputtered Atoms in the MD Model 
of the (001) Ni Face Sputtering
A. I. Musin, V. N. Samoilov 
31
Determination of the Ion–Solid Interaction Potential from the Experiment and Its Influence on the Profiles 
of Implanted Particles
A.N. Zinoviev, P.Yu. Babenko, V.S. Mikhailov, D.S. Tensin 
38
Evolution of Nanohardness of Binary Titanium-Based Solutions under High-Pressure Torsion
Yu. D. Zavorotnev, G. C. Davdjan, V. N. Varyukhin, A. G. Petrenko, E. Yu. Tomashevskaya, B. B. Straumal 
44
Influence of the Constant Magnetic Field on the Density of an Aging Alloy of Beryllium Bronze BrB-2
Yu. V. Osinskaya, S. G. Magamedova, S. R. Makeev 
50
Chirality Control of Magnetic Vortices in Ferromagnetic Disk–Nanowire System
D. A. Tatarskiy, E. V. Skorokhodov, O. L. Ermolaeva, V. L. Mironov, A. A. Fraerman 
56
Velocity Effect in Synthesis of Noncircular Nanopores by Etching Tracks of Swift Heavy Ions in Olivine
S. A. Gorbunov, P. A. Babaev, A. E. Volkov, R. A. Voronkov, R. A. Rymzhanov 
62
Formation of coatings from accelerated ions of fluorinated fullerene C60 (CF3)12
V. E. Pukha, A. A. Belmesov, E. N. Kabachkov, G. V. Nechaev, I. N. Lukina, E. I. Drozdova, 
O. P. Chernogorova 
70
Procedure for Fabrication and Characterization of Van-der-Waals Heterostructures
A. F. Shevchun, M. G. Prokudina, S. V. Egorov, E. S. Tikhonov 
80
New Polymorphic Varieties of Boron Nitride with Diamond-Like TA-Type Phases
D. S. Ryashentsev, V. A. Burmistrov 
87
Accumulation and Erase of Radiation-Induced Charge in MOS Structures
D. V. Andreev 
93
Lead Slowing-Down Neutron Spectrometry II: Cross-Section Data for 243Cm(n, f ), 244Cm(n, f ), 245Cm(n, f ), 
246Cm(n, f ), 247Cm(n, f ), 248Cm(n, f )  at Energies up to 100 keV
E. A. Koptelov  
99

ПОВЕРХНОСТЬ.  РЕНТГЕНОВСКИЕ,  СИНХРОТРОННЫЕ  И  НЕЙТРОННЫЕ  ИССЛЕДОВАНИЯ,  2024,  № 6,  c. 3–12
УДК 532.5
ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ  
МЕЛКОЙ И ГЛУБОКОЙ ВОДЫ
©   2024 г.    А. В. Поплевинa, b, *, А. А. Левченкоa, b, А. М. Лихтерc, С. В. Филатовa, b, 
Л. П. Межов-Деглинa
aИнститут физики твердого тела имени Ю.А. Осипьяна РАН, Черноголовка, 142432 Россия 
bИнститут теоретической физики имени Л.Д. Ландау РАН, Черноголовка, 142432 Россия 
cАстраханский государственный университет имени В.Н. Татищева, Астрахань, 414056 Россия 
*e-mail: faraldos@issp.ac.ru 
Поступила в редакцию 14.12.2023 г. 
После доработки 10.02.2024 г. 
Принята к публикации 10.02.2024 г.
Исследовано затухание вихревого движения на поверхности мелкой и глубокой воды. Вихревое 
течение формировалось двумя взаимно перпендикулярными волнами, возбуждаемыми плунжерами 
на частоте 6 Гц (длина волны λ = 5.6 см) на поверхности воды размерами 70 × 70 см и глубиной 
h. После достижения стационарного состояния в вихревой системе накачка волн выключалась,  
и регистрировалось затухание поверхностного течения. На поверхности мелкой воды, λ/2π ≈ h, 
когда характерный размер вихрей L превосходит глубину жидкости, L >> h, зависимость от времени 
энергии вихревого течения Е(t) описывается экспоненциальной функцией при всех уровнях накачки, 
а зависимость энстрофии Ф(t) = Ω2(t) имеет экспоненциальную зависимость только в диапазоне 
волновых векторов 0–0.3 см–1. На поверхности глубокой воды λ/2π < h, L ≈ h зависимости Е(t) и Ф(t) 
далеки от экспоненциальных во всех диапазонах волновых чисел. При высоких амплитудах волн 
накачки зависимости Е(t) и Ф(t) немонотонны, что можно связать с влиянием объемных течений. 
Ключевые слова: нелинейные поверхностные волны, вихри, турбулентность, мелкая вода, глубокая вода, затухание, спектр энергии.
DOI: 10.31857/S1028096024060015, EDN: DWCPXU
ВВЕДЕНИЕ
В наших экспериментах вихревые течения 
формируются волнами, распространяющимися 
по поверхности воды перпендикулярно друг к 
другу [4]. После включения накачки на поверхности формируется решетка вихрей [5] с периодом 
равным длине волны λ. Затем при высоких уровнях накачки в результате нелинейного взаимодействия волн и вихрей формируются большие 
вихри с размерами D близкими к длине стороны 
экспериментальной ванны L – устанавливается 
обратный поток энергии [6]. 
Вихри и волны на поверхности жидкости затухают в силу вязких потерь в объеме, в результате трения о стенки и дно экспериментальной ванны [1]. 
 
Вязкие потери волны в объеме доминируют в случае 
глубокой воды, когда глубина жидкости h превосходит величину λ/2π, где λ – длины волны. При 
условии h < λ/2π доминирующим становится трение волн о дно – мелкая вода. Отметим, что также 
возможна передача энергии вихрей в систему волн, 
распространяющихся по поверхности [2]. В экспериментах [3] было показано, что при распространении волн на поверхности жидкости в ее объеме 
наблюдаются вихри с различно направленной завихренностью, т. е. объемные вихревые течения могут 
взаимодействовать с поверхностными вихрями.
Поэтому в наших экспериментах реализуются 
две различные ситуации. Глубокая вода: глубина 
жидкости в ванне, равная 19 см, превосходит величины λ/2π и D/2π, так как на частоте накачки 
6 Гц длина волны равна 5.2 см, а размер вихрей 
3

ПОПЛЕВИН и др.
4
D близок к 30 см. При глубине воды равной 2 см 
для больших вихрей жидкость является мелкой, 
а для волн частотой 6 Гц остается переходной от 
глубокой к мелкой воде, т.е. волны частотой 6 Гц 
хорошо распространяются по поверхности и могут формировать вихревые течения [4]. 
В настоящих экспериментах мы сосредоточились на исследованиях процессов затухания 
в системе вихрей. Особенности стационарных 
вихревых состояний были рассмотрены ранее [7]. 
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕТОДИКА
Рис. 1. Схема установки: 1 – видеокамера, 2 – приводы плунжеров, 3 – плунжеры, 4 – вода, 5 – ванна.
частота съемки позволяет выбрать снимки колеблющейся поверхности, находящейся в одной фазе 
волны и исключить из дальнейшей обработки 
осциллирующую составляющую перемещения 
пробной частицы, плавающей на поверхности. 
Снимки затем суммируются для выявления треков движения частиц на поверхности. 
Съемка камерой и генерация волн волнопродукторами синхронизируется. Варьировать 
параметры накачки и съемки (амплитуда волн, 
частота накачки, частота съемки) можно было в 
программе MATLAB.
При обработке полученного видеоизображения используется пакет PIVlab [9] для MATLAB, 
позволяющий 
методом 
кросскорреляционной 
обработки двух изображений получать поле смещений между этими изображениями и рассчитывать скорость течения жидкости v и rotv. Процесс 
обработки видеосъемки, а также алгоритм обработки представлен в работе [10].
Исследования проводились на экспериментальной установке, схема которой изображена на 
рис. 1. В установке используется ванна под номером 5, размерами 70 × 70 × 20 см, изготовленная 
из стекла толщиной 10 мм. Она размещена на виброизолирующем столе Standa с пневмонической 
подвеской. Ванна заполняется дистиллированной 
водой, уровень воды изменялся от 2 см до 19 см. 
Сверху ванна закрывается крышкой из оргстекла, плотно прилегающая к ванне во избежание 
попадания внутрь пыли, которая образует пленку 
на поверхности воды и значительно искажает результаты эксперимента [8]. На рамную конструкцию монтируются волнопродукторы, состоящие 
их привода 2 и плунжера 3 и необходимые для 
возбуждения волн. Камера 1 устанавливается 
сверху на расстоянии около 1 метра от поверхности воды. Плунжеры изготовлены из тонкостенной трубки нержавеющей стали диаметром 10 мм 
и длиной 68 см. Они располагаются параллельно 
стенкам ванны на расстоянии около 20 мм от них. 
Приводами служили сабвуферы TS-W254R фирмы Pioneer с номинальной мощностью 250 Вт, 
 
на которые подавался синусоидальный сигнал, задающийся двуканальным генератором 
 
Agilent 35022B. Разница фаз сигналов составляла 
90q. Частоты колебаний волнопродукторов задавались в программе MATLAB и выбирались из 
условий создания стоячих волн. 
Энергия вихревых течений на поверхности 
воды вычислялась по формуле [7]: 
Es = ∫V 2dS,                                (1)
где V – скорость течения жидкости.
Энстрофия вихревых течений рассчитывали по 
формуле
Ф = Es = ∫Ω2dS,                            (2)


  



, Vx и Vy – скорости 
где Ф(t) = Ω2, a 
 
y
x
V
V
y
x
Для визуализации течения жидкости применяли порошок полиамида белого цвета со средним 
диаметром гранул около 30 мкм, который насыпали на поверхность воды. Плотность частиц близка 
к плотности воды, поэтому частицы полностью 
увлекаются потоками жидкости в вязком подслое, 
так как глубина вязкого подслоя, равная 0.016, превосходит размер частиц. Частицы на поверхности 
подсвечиваются светодиодами, расположенными 
по периметру ванны. Запись колеблющейся поверхности осуществлялась фотоаппаратом Canon 
EOS 70D с частотой 24 кадра в секунду. Такая 
течения жидкости по координатам Х и У. 
ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ     № 6     2024

ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ МЕЛКОЙ И ГЛУБОКОЙ ВОДЫ
5
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ  
И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Мелкая вода
в основном, на волновом числе 0.1 см–1. Можно заключить, что энергия из области накачки 
масштаба λ/2 передается в большие масштабы.  Характерные пики на распределении Е(k) связаны с 
формированием вихревого движения поверхностными резонансными модами, которые возникают 
в результате нелинейного взаимодействия волн 
[6]. Таким способом энергия передается в область 
больших масштабов, спектр вихревых движений 
является дискретным. Это связано, по-видимому, 
с сильным затуханием волн на поверхности мелкой 
воды, за исключением нескольких резонансных 
мод. Отметим, что в диапазоне волновых чисел 
0.2–0.3 см–1 наблюдается локальный минимум 
энергии, а энергии сосредоточена, в основном, в 
пике с максимумом на волновом числе близким к 
0.1 см–1. 
На рис. 2а представлены фотографии треков 
полиамидных частиц, полученные через 1200 секунд после включения переменного напряжения, 
подаваемого на приводы плунжеров на частоте 
 
6 Гц. Время накачки было много больше вязкого 
времени для возбуждаемой волны τ = (2νk)–1 = 
= 25 с [1], где ν – коэффициент кинематической 
вязкости, k  – волновой вектор волны частотой 
6 Гц. Таким образом, перед выключением накачки 
состояние вихревого движения можно полагать 
стационарным. Амплитуда волн на поверхности 
воды глубиной 2 см составляла 0.21 мм. На рис. 2б 
 
показаны треки частиц через 60 секунд, а на 
 
рис. 2в – через 100 секунд после выключения 
накачки. Отметим, что перед выключением на 
поверхности воды сформировался один большой 
вихрь с диаметром близким к длине стороны 
ванны L. Диаметр вихря много больше глубины 
жидкости D >> h, то есть вихрь сформировался 
на поверхности “мелкой воды” и при движении 
трется о дно ванны. На рис. 2а видны также малые 
вихри, сформировавшиеся на масштабе накачки. 
Глубокая вода
Через 60 секунд после выключения накачки 
(рис. 3а, кривая 2) полностью исчез пик на волновом числе 1.3 × 2 см–1, и энергия уменьшились 
более, чем в 10 раз в диапазоне волновых числах 
0.3–5.0 см–1. В тоже время высота пика на волновом числе 0.1 см–1 изменилась всего в два раза. 
Видно, что через 100 секунд после выключения 
накачки (рис. 3а, кривая 3) исчезло вихревое течение с волновыми числами более 0.6 см–1. Таким 
образом, можно заключить, что после выключения накачки каскад вихревой энергии затухает 
со стороны больших волновых чисел. В диапазоне волновых чисел 0.2–0.3 см–1 наблюдается 
локальный минимум энергии на всех временах 
затухания. На распределении энстрофии (рис.4а, 
кривая 2) по волновому числу нужно обратить 
внимание на наличие локального минимума в 
диапазоне волновых чисел 0.2–0.25 см–1. Таким 
образом, можно заключить, что в этом диапазоне 
отсутствуют значительные вихревые движения.
Глубокая вода
На рис. 2 показаны треки полиамидных частиц 
в стационарном состоянии (г), через 60 секунд (д) 
и через 100 секунд (е) после выключения накачки 
на поверхности воды глубиной 19 см. Характерный размер вихрей D, на котором наблюдается 
скорректированное соленоидальное движение, 
близок к половине длины стороны стенки ванны 
D = L/2. Диаметр вихрей D близок также к глубине 
жидкости, залитой в ванну. Нужно отметить, что в 
стационарном состоянии на поверхности наблюдаются два больших вихря и много малых вихрей 
с характерным размером λ/2. Характерный размер 
больших вихрей D близок к половине длины стороны стенки ванны D ≈ L/2 и к глубине воды h, 
залитой в ванну.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ  
ПО ВОЛНОВОМУ ЧИСЛУ k
Давайте теперь рассмотрим распределение 
энергии по волновому вектору Е(к) для вихревых 
состояний, представленных на рис. 2. 
Мелкая вода
Рис. 3а накачка, отмеченная на рисунке стрелкой, производится на волновом числе 1.3 × 2 см–1. 
Однако 
видно, 
что 
энергия 
сосредоточена, 
На рис. 3б представлено распределение энергии Е(k) на поверхности глубокой волны. В стационарном состоянии до выключения накачки, 
когда энергия вводится в систему вихрей (рис. 3б 
кривая 1) отчетливо виден пик на k, равный волновому вектору накачки, умноженному на 2. На 
рисунке он отмечен стрелкой. Однако основная 
энергия сосредоточена в пике, с максимумом на 
волновом числе приблизительно равном 0.1 см–1, 
т. е. энергия из области накачки передается в область малых волновых векторов. Через 60 секунд 
после выключения накачки (рис. 3б, кривая 2) 
пик на волновом числе накачки полностью исчез. 
Причиной этого является полное затухание волны частотой 6 Гц. Характерное время затухания 
энергии такой волны на поверхности воды составПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ     № 6     2024

ПОПЛЕВИН и др.
6
                                                  (а)                                                                                                        (б)
30
30
20
20
10
10
0
0
y, см
y, см
–10
–10
–20
–20
–30
–30
–30
–20
–10
0
10
20
30
x, см
–30
–20
–10
0
10
20
30
x, см
                                                  (в)                                                                                                        (г)
30
30
20
20
10
10
0
y, см
0
y, см
–10
–10
–20
–20
–30
–30
–30
–20
–10
0
10
20
30
–30
–20
–10
0
10
20
30
x, см
x, см
                                                  (д)                                                                                                        (е)
30
30
20
20
10
10
0
0
y, см
y, см
–10
–10
–20
–20
–30
–30
–30
–20
–10
0
10
20
30
–30
–20
–10
0
10
20
30
x, см
x, см
Рис. 2. Треки полиамидных частиц на поверхности воды глубиной 2 см (а), (в), (д) и 19 см (б), (г), (е). Рис. (в) и (г) 
получены через 60, (д) и (е) 100 секунд после выключения накачки.
ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ     № 6     2024

ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ МЕЛКОЙ И ГЛУБОКОЙ ВОДЫ
7
ляет τ/2 = (4νk2)–1 = 12.5 с, где ν – коэффициент 
кинематической вязкости. То есть к 60 секунде 
поверхностная волна практически полностью 
затухает. Однако мы наблюдаем каскад энергии в 
диапазоне волновых чисел 0.1 см–1 – 5 см–1. Можно 
предположить в этот промежуток времени в системе вихрей на поверхности воды устанавливается прямой каскад энергии. Энергия передается 
от больших вихрей в малые, где и затухает из-за 
вязкого трения. На 100-ой секунде (рис. 3б, кривая 3) наблюдается затухание каскада со стороны 
больших волновых чисел.  
На рис. 4 показаны спектры энстрофии Ф(t) 
на мелкой (а) и глубокой воде (б) в стационарном 
состоянии, кривые 1, и через 60 (кривые 2) и 
100 (кривые 3) после выключения накачки. В стационарном состоянии наблюдается пик на волновом числе накачки. На мелкой воде присутствует 
минимум энстрофии в диапазоне 0.2–0.3 см–1, 
также, как и зависимостях Е(k). Через 60 секунд 
после выключения накачки пик на масштабе 
накачки исчез, но энстрофия сосредоточена на 
волновых векторах более 1 см–1. Через 100 секунд после выключения накачки энстрофия на 
(а)
(а)
100
1 – 0 c
2 – 60 c
3 – 100 c
1 – 0 c
2 – 60 c
3 – 100 c
100
1
1
10–2
2
10–2
2
3
3
Ýíñòðîôèÿ :2, 1/ñ2
10–4
10–4
Âèõðåâàÿ ýíåðãèÿ Eâèõð, ñì2/ñ2
10–1
100
10–1
100
Âîëíîâîå ÷èñëî k, ñì–1
Âîëíîâîå ÷èñëî k, ñì–1
(б)
(б)
1 – 0 c
2 – 60 c
3 – 100 c
1 – 0 c
2 – 60 c
3 – 100 c
100
100
1
1
2
10–2
2
10–2
3
3
10–4
Ýíñòðîôèÿ :2, 1/ñ2
10–4
Âèõðåâàÿ ýíåðãèÿ Eâèõð, ñì2/ñ2
10–1
100
10–1
100
Âîëíîâîå ÷èñëî k, ñì–1
Âîëíîâîå ÷èñëî k, ñì–1
Рис. 3. Распределение энергии по волновому числу 
на поверхности воды глубиной 2 см (а) и 19 см (б). 
Кривые 2 и 3 получены через 60 и 100 секунд после 
выключения накачки.
Рис. 4. Спектры энстрофии на поверхности воды 
глубиной 2 см (а) и 19 см (б). Кривые 1 – стационарное состояние. Кривые 2, 3 получены через 60 и  
100 секунд после выключения накачки.
ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ     № 6     2024

ПОПЛЕВИН и др.
8
масштабах >1 см–1 полностью затухла, что связано 
с сильной диссипацией, в первую очередь, мелкомасштабных течений. Это наблюдение согласуется со спектром энергии E(k) на рис. 3, кривая 3.
воде наблюдаются два максимума энергии в 
распределении по диагонали, рис. 5в, которые соответствуют большому кольцеобразному вихрю. 
 
В середине ванны амплитуда энергия значительно меньше. Характерный масштаб этого пятна 
примерно 20–25 см, что соответствует волновому 
числу около 0.25 см–1, при котором наблюдается 
минимум на рис. 4а. Этот вихрь не является когерентным, так как не имеет постоянного распределения энергии по радиусу [11, 12, 13].
 На глубокой воде после выключения накачки, 
рис. 5г, на распределении наблюдаются четыре 
максимума, которые соответствуют двум вихрям 
на рис. 2д. Хорошо видно, что энергия сосредоточена в центре ванны и на периферии. Два 
минимума энергии, которые соответствуют кору 
(центральная область) вихрей располагаются по 
обе стороны от центра ванны. Ширина минимумов составляет 10–15 см, или 0.4–0.6 см–1 в обратЕще раз обратим внимание на наличие минимума в спектрах энергии Е(k) и энстрофии Ф(k) в 
узком диапазоне волновых чисел 0.2–0.3 см–1 на 
поверхности мелкой воды. Причина появления 
этой особенности заключается, по-видимому, в 
формировании на мелкой воде кольцеобразного 
вихря. Такой вихрь виден на рис. 2б. Он занимает 
площадь всей ванны. На рис. 5а приведено распределение энергии течения мелкой жидкости на 
прямых линиях, проходящих через центр вихря. В 
стационарном состоянии энергия распределена 
по всему диаметру, вдали от центра энергия выше, 
чем в центре. На глубокой воде (рис. 5б) энергия 
сосредоточена в центре ванны и в ее углах. Через 
60 секунд после выключения накачки на мелкой 
                                                  (а)                                                                                                        (б)
                                                  (в)                                                                                                        (г)
Рис. 5. Распределения вихревой энергии по диагонали ванны на поверхности мелкой (а), (в) и глубокой (б), (г) воды. 
Рис. а, б – стационарное состояние при включенной накачке, рис. в, г – через 60 с после выключения накачки.
ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ     № 6     2024

ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ МЕЛКОЙ И ГЛУБОКОЙ ВОДЫ
9
ном пространстве. Примерно в этом интервале 
на распределении Е(k) (рис. 4б) и наблюдаются 
небольшие особенности.
ЗАТУХАНИЕ ЭНЕРГИИ И ЭНСТРОФИИ 
ПОСЛЕ ВЫКЛЮЧЕНИЯ НАКАЧКИ
позволяет заключить, что на поверхности мелкой 
воды энергия вихревого движения сосредоточена, 
в основном, в больших вихрях. Они же, как видно, 
доминируют на рис. 2. Можно сделать вывод, что 
затухание вихревого движения на мелкой воде в 
наших экспериментах обусловлено трением о дно 
ванны. Это довольно удивительно: вихри на поверхности мелкой жидкости живут много дольше 
волн, которые их сформировали.
Глубокая вода
Обратимся теперь к зависимостям от времени 
энергии и энстрофии вихревого движения и после 
выключения накачки. Полные исходные зависимости были приведены в работе [7].
Мелкая вода
На рис. 6а показана зависимость энергии вихревого движения в диапазоне волновых чисел 
0–5 см–1 от времени Еk(t) после выключения 
накачки при разных амплитудах волн накачки. 
Нужно отметить, что энергия вихревого движения затухает по экспоненциальному закону с 
характерным временем, равным τэ ≈ 58 с при всех 
амплитудах накачки. Это время превосходит в 
16 раза время затухания энергии волны в результате вязких потерь в объеме жидкости. При малой 
амплитуде волн зависимость Еk(t) также близка к 
экспоненциальной. 
На поверхности глубокой воды затухание энергии вихревого движения кардинально отличается 
от экспоненциального процесса на поверхности 
мелкой воды. На рис. 7 приведены зависимости 
от времени затухания энергии в трех диапазонах 
волновых чисел: 0–5 см–1, 0–0.3 см–1 и 0.3–5 см–1 
при разных уровнях исходной накачки. Во-первых, отчетливо видно, что затухание энергии не 
носит экспоненциальный характер, зависимости 
Еk(t) немонотонны и пересекаются. Во-вторых, 
зависимости Еk(t) в диапазонах волновых чисел 
0–5 см–1 и 0–0.3 см–1 подобны и близки по абсолютным значениям. Можно констатировать, 
что затухающая энергия также сосредоточена на 
больших масштабах.  В диапазоне 0.3–5 см–1 при 
амплитуде волн накачки равной 0.5 мм можно 
видеть процессы возрастания энергии в двух 
временных интервалах. Причиной этому могут 
быть вихревые течения в объеме жидкости, 
которые отдают часть своей энергии поверхностным структурам в результате нелинейного 
 
взаимодействия.
Рассмотрим теперь затухание энстрофии после 
выключения накачки. 
В диапазоне волновых чисел 0–0.3 см–1 наблюдается экспоненциальная зависимость Еk(t) 
с характерным временем близким к τэ ≈ 58 с. 
 
В диапазоне больших волновых чисел 0.3–5 см–1 
энергия также затухает по экспоненциальному 
закону с характерным временем близким к τэ≈ 49 с. 
Отметим, что абсолютные значения энергии в 
этом диапазоне в несколько раз меньше, чем в 
диапазоне 0–0.3 см–1, т.е. энергия сосредоточена 
на больших масштабах. Сравнение экспериментальных графиков, представленных на рис. 6, 
Рис. 6. Зависимость энергии вихревого движения в диапазоне волновых чисел 0–5 см–1 (a), 0–0.3 см–1 (б) и  
0.3–5 см–1 (в) от времени Еk(t) при постоянной накачке волнами разной амплитуды и после ее выключения на глубине 2 см. Выключение накачки происходит на нулевой минуте.
ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ     № 6     2024