Современная математика и ее творцы

В.Ф. ПАНОВ
СОВРЕМЕННАЯ 
МАТЕМАТИКА
 И ЕЕ ТВОРЦЫ
Под редакцией доктора технических наук,
профессора В.С. Зарубина
2-е издание, исправленное

УДК 51(091); 51(092)
ББК 22.1г
П16
Рецензенты:
зав. кафедрой математики Военной академии РВСН имени Петра Великого,
д-р техн. наук, профессор В.В. Блаженков;
канд. физ.-мат. наук, доцент А.Н. Канатников
Панов, В. Ф.
Современная математика и ее творцы / В. Ф. Панов ; под ред. В. С. Зару- 
П16
бина. — 2-е изд., испр. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2019. — 662, [2] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4938-5
В доступной форме рассказано о развитии традиционных разделов 
 
математики во второй половине XIX в. — начале XXI в., создании новых 
разделов математики. Представлены основные вехи жизненного и творческого пути многих отечественных и зарубежных математиков. Отражена 
взаимосвязь математики и философии.
Для студентов, аспирантов, учителей математики, а также всех, кто интересуется историей науки.
УДК 51(091); 51(092)
ББК 22.1г
© Панов В.Ф., 2011
© Панов В.Ф., 2019, с изменениями
© Оформление. Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-4938-5	
                      им. Н.Э. Баумана, 2019  

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   10
Часть I.	 МАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .   13
Глава 1.	 Особенности современной математики  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .   17
Приоритеты в математике ХХ века .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17
Аксиоматизация и систематизация математики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .   25
Споры сторонников абстрактной и прикладной математики .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . .   28
«Архитектура» современной математики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . .   33
Глава 2.	 Роль международных математических конгрессов в развитии
математики  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39
Первые международные контакты .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .   39
Первый Международный конгресс математиков .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . .   40
Второй Международный конгресс математиков .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . .   40
Доклад Гильберта «Математические проблемы» .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . .   41
Международные математические конгрессы в ХХ и XXI веках  .  .  .  .  .  . . . . . .   44
Нерешенные (открытые) математические проблемы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . .   48
Глава 3.	 Награды, вручаемые в области математики  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .   53
Международные награды по математике .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . .   53
Международные награды, в которых одной из номинаций является 
«математика» .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   64
Часть II.	СТАНОВЛЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ.
	
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . .   71
Глава 4.	 Как начиналась современная математика  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . .   75
Об истории пятого постулата Евклида .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . .   75
Сущность неевклидовой геометрии .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .   76
Н.И. Лобачевский  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   78
Янош Больяй  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   81
Алгебраизация математики и математическая логика .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .   82
Эварист Галуа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   85
Джордж Буль  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   89
Создание теории бесконечных множеств .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . .   91
Георг Кантор  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   99
~ 3 ~

Оглавление
Глава 5.	 Споры относительно оснований математики  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .  102
Интуиция и логика в математике .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  102
Логицизм, интуиционизм, формализм .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . .  104
Алфред Уайтхед  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  115
Бертран Рассел  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  117
Лейтзен Брауэр  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  118
Открытия Курта Гёделя и Пола Коэна. Создание конструктивной 
математики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  121
А.А. Марков-младший  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  126
Курт Гёдель  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  129
Пол Коэн  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  133
Глава 6.	 Петербургская математическая школа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  135
Основание петербургской математической школы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . .  135
П.Л. Чебышёв  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  136
А.А. Марков  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  139
А.М. Ляпунов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  142
В.А. Стеклов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  145
Н.М. Гюнтер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  146
В.И. Смирнов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  148
Глава 7.	 Немецкая математическая школа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . .  150
Система обучения в университетах Германии в XIX веке .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . .  150
Карл Вейерштрасс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  152
Бернхард Риман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  153
Юлиус Дедекинд  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  156
Феликс Клейн  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  156
Давид Гильберт  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  159
Герман Минковский  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  166
Герман Вейль  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  168
Рихард Курант  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  172
Разгром немецкой математической школы нацистами .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .  175
Глава 8.	 Французская математическая школа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  179
Система образования во Франции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  179
Анри Пуанкаре  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  181
Жак Адамар  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  189
Эмиль Борель  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  190
Анри Лебег  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193
Глава 9.	 Московская математическая школа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . .  196
Организация математических исследований до 1941 года .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . .  196
Н.Е. Жуковский  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  201
Д.Ф. Егоров  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  204
Н.Н. Лузин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  206
А.Н. Колмогоров  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  211
«Лузитания» .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  216
Внедрение диалектики в математику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Организация математических исследований в годы 
Великой Отечественной войны и послевоенное время .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .  225
~ 4 ~

Оглавление
Глава 10.	Американская математическая школа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  230
Система образования в США .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  230
Джордж Биркгоф  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  233
Соломон Лефшец  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  234
Джеймс Александер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  236
Марстон Морс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  237
Джон фон Нейман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  239
Хасслер Уитни  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  245
Сондерс Маклейн  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Часть III. РАЗВИТИЕ ТРАДИЦИОННЫХ РАЗДЕЛОВ СОВРЕМЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  249
Глава 11.	Математическая статистика и теория вероятностей  .  .  .  .  .  .  . . . . . . .  252
Математическая статистика .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  253
Карл Пирсон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  256
Уильям Госсет (Стьюдент)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  257
Е.Е. Слуцкий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Роналд Фишер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  260
Ежи Нейман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  262
Эгон Пирсон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  264
Теория вероятностей .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  265
А.Я. Хинчин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  268
Б.В. Гнеденко  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  271
Киёши Ито  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  274
Шриниваса Варадхан  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  275
Венделин Вернер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  276
Глава 12.	Топология первой половины ХХ века  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  278
Чем занимается топология .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  278
Феликс Хаусдорф  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  283
П.С. Урысон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  285
П.С. Александров  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  287
Хейнц Хопф  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  290
Л.В. Келдыш  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  291
Шэншэнь Чжэнь (Черн)  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  293
Глава 13.	Вычислительная математика  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . .  295
Численные и аналитические методы .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . .  295
А.Н. Крылов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  299
Б.Г. Галёркин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  300
А.Н. Тихонов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  303
А.А. Дородницын  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  306
Г.И. Марчук  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  308
А.А. Самарский  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  311
Глава 14.	Теория дифференциальных уравнений  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  313
Обыкновенные дифференциальные уравнения .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  313
Дифференциальные уравнения с частными производными .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . .  318
~ 5 ~

Оглавление
С.Н. Бернштейн  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  319
И.А. Лаппо-Данилевский  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  322
М.А. Лаврентьев  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  323
И.Г. Петровский  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  326
М.В. Келдыш  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  329
Ларс Хёрмандер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  332
Седрик Виллани  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  333
Глава 15.	Теория функций и функциональный анализ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .  335
Теория функций .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  335
Функциональный анализ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  337
Гёста Миттаг-Лёффлер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  340
Константин Каратеодори  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  342
Харальд Бор  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  343
Стефан Банах  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  344
Д.Е. Меньшов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  346
М.Я. Суслин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  348
Н.К. Бари  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  351
Рольф Неванлинна  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Л.А. Люстерник  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  354
П.С. Новиков  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  355
Ларс Альфорс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  357
С.Л. Соболев  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  358
И.М. Гельфанд  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  362
Чарльз Фефферман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  365
Ален Конн  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  366
С.К. Смирнов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  367
Глава 16.	Абстрактная алгебра  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  369
Развитие алгебры в Европе .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  369
Фердинанд Фробениус  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  372
Эмми Нётер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  373
Эмиль Артин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  375
Бартел Ван дер Варден  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  377
Джон Томпсон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  379
Развитие алгебры в СССР .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  380
Д.А. Граве  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  384
О.Ю. Шмидт  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  385
Н.Г. Чеботарёв  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  387
А.И. Мальцев  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  389
И.Р. Шафаревич  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  391
Г.А. Маргулис  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  393
Е.И. Зельманов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  394
Глава 17.	Геометрия в России в XX – начале XXI века  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .  395
Очерк развития современной геометрии .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . .  395
С.П. Фиников  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  398
Б.Н. Делоне  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  400
~ 6 ~

Оглавление
А.Д. Александров  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  402
А.В. Погорелов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  406
М.Л. Громов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  408
Часть IV.	
КОРЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ РАЗДЕЛОВ 
	
МАТЕМАТИКИ ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ  .  .  .  .  . . . .  411
Глава 18.	 Николя Бурбаки — коллективный псевдоним группы 
математиков  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  415
Возникновение объединения французских математиков .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . .  415
Бурбаки и реформа математического образования .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . .  422
Анри Картан  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  425
Андре Вейль  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  426
Клод Шевалле  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  428
Лоран Шварц  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  429
Жан-Пьер Серр  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  430
Джон Тейт  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  432
Александр Гротендик  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  433
Жак Титс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  436
Глава 19.	Теоретическая физика и математика  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  438
О проблемах теоретической физики .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . .  438
Стандартная модель физики элементарных частиц .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . .  440
Теория суперструн .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  444
Н.Н. Боголюбов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  450
Ричард Фейнман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  454
Роджер Пенроуз  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  456
Л.Д. Фаддеев  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  459
Шинтан Яу  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  461
Эдвард Виттен  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  463
Воган Джонс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  464
М.Л. Концевич  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  465
Глава 20.	Топология второй половины ХХ века  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  467
Новые идеи в топологии .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  467
В.А. Рохлин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  472
Рене Том  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  474
Стивен Смейл  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  475
Джон Милнор  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  477
Майкл Атья  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  478
С.П. Новиков  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  480
Гипотеза Пуанкаре .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  482
Уильям Тёрстон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  484
Майкл Фридман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  485
Саймон Дональдсон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  486
Г.Я. Перельман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  487
Глава 21.	Алгебраическая геометрия  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  491
Очерк развития алгебраической геометрии  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . .  491
Кунихико Кодаира  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  495
~ 7 ~

Оглавление
Хейсуке Хиронака  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  496
Дэвид Мамфорд  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  496
Пьер Делинь  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  497
Герд Фалтингс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  498
Сигефуми Мори  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  499
В.А. Воеводский  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  500
Глава 22.	Теория чисел  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  503
Основные направления исследований .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . .  503
Годфри Харди  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  508
Шриниваса Рамануджан  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  510
И.М. Виноградов  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  513
Л.Г. Шнирельман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  514
А.О. Гельфонд  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  516
Атле Сельберг  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  519
Клаус Рот  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  520
Алан Бейкер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  521
Энрико Бомбьери  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  521
Ю.В. Матиясевич  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  522
Теренс Тао  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  524
Глава 23.	Великая теорема Ферма  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  526
Предыстория Великой теоремы Ферма .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . .  526
Гипотеза Таниямы — Шимуры .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  529
Завершающие атаки на Великую теорему Ферма  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . .  532
Эндрю Уайлс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  533
Роберт Ленглендс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  536
В.Г. Дринфельд  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  537
Лоран Лаффорг  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  538
А.Ю. Окуньков  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  539
Бао Чау Нго  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  541
Часть V.	 РАЗВИТИЕ НОВЫХ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ
	
ПОСЛЕ ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . .  543
Глава 24.	Теория алгоритмов, кибернетика, вычислительная техника  .  .  . . .  546
Из предыстории вычислительной техники .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . .  546
Теория алгоритмов .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  547
Кибернетика .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  551
Математика и вычислительная техника  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . .  554
Ада Лавлейс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  555
Норберт Винер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  556
Алан Тьюринг  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  558
Клод Шеннон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  560
В.М. Глушков  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  562
Глава 25.	Исследование операций и теория управления  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .  565
Исследование операций и круг рассматриваемых задач .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . .  565
Теория управления .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  569
~ 8 ~

Оглавление
Агнер Эрланг  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  570
Л.С. Понтрягин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  572
Ричард Беллман  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  575
Л.В. Канторович  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  577
Н.Н. Моисеев  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  580
Джон Форбс Нэш-младший  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  582
Лотфи Заде  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  584
Глава 26.	Нестандартные методы анализа  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . .  588
Расхождение современных физических представлений с идеями 
математического анализа .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  588
Нестандартный (инфинитезимальный) анализ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . .  590
Бесконечно малые величины в трактовке Лейбница .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . .  597
Отношение ученых к идее бесконечно малых величин .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . .  598
Булевозначный анализ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  601
Туральф Сколем  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  602
Абрахам Робинсон  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  603
Петр Вопенка  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  604
Глава 27.	Динамические системы. Порядок и хаос.
	
Создание фрактальной геометрии  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . .  606
Поиск единых законов эволюции .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  606
Ключевые понятия качественной теории сложных нелинейных
систем .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  608
Варианты качественной теории сложных нелинейных систем .  .  .  .  .  .  . . . . . . .  610
Фракталы  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  618
А.С. Безикович  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  624
И.Р. Пригожин  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  626
Эдвард Лоренц  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  628
Бенуа Мандельброт  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  631
Юрген Мозер  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  633
В.И. Арнольд  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  634
Жан-Кристоф Йоккоз  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  637
Элон Линденштраусс  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  638
Заключение  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  639
Литература  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  643
Именной указатель  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  647

ПРЕДИСЛОВИЕ
Никакая иная наука не обладает таким совершенным представлением об истинности 
и ложности суждений, как математика… 
Математическое творчество требует абсолютно точного соблюдения законов мышления, 
дисциплинирует и формирует личность, помогая ей выработать систему ценностей высокой 
пробы.
А.В. Архангельский
Математика является обязательным предметом при обучении в школах и 
преподается во всех технических вузах. Но это лишь знакомство с элементарной 
математикой и несколькими классическими разделами высшей математики.
Грандиозный «город» современной математики с его «небоскребами» различных разделов, иногда стоящих особняком, но чаще связанных общей инфраструктурой, для подавляющего большинства выпускников технических 
вузов — «терра инкогнита». Даже для профессионалов-математиков многое 
остается непознанным, так как в настоящее время наблюдается тенденция к 
сужению диапазона математических интересов.
Раньше была такая специальность — «математик», потом удобнее стало 
говорить о профессиональном математике «геометр» или «алгебраист», или 
«аналитик», а сегодня и такое деление представляется крупным. Ибо основные 
математические дисциплины — геометрия и алгебра, арифметика (теория чисел) и математический анализ — распались на ряд школ и направлений, каждое из которых характеризуется своим подходом, своим специфическим «языком». И вот уже, кажется, специалисты по геометрии «в малом» разучились 
понимать специалистов по геометрии «в целом»; специалисты по алгебраической теории чисел — специалистов по аналитической теории чисел; ученые, 
разрабатывающие математический аппарат теории относительности, — специалистов по математическим методам квантовой механики.
В одной из своих статей выдающийся математик-универсал ХХ в. Джон 
фон Нейман писал, что если хороший физик-теоретик может активно ориентироваться практически в половине своего предмета, то сомнительно, что ктонибудь из математиков обладает хотя бы четвертью математических знаний.
В большинстве современных учебников математика излагается как вневременная и безликая совокупность более или менее согласованных определений, 
~ 10 ~