Численные методы и математическое моделирование в задачах теоретической физики

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Ф.М. ДОСТОЕВСКОГО
И.С. Попов, В.Н. Бородихин
Численные методы
и математическое моделирование
в задачах теоретической физики
Учебно-методическое пособие
c
○Попов И.С., Бородихин В.Н., 2024
c
○ФГАОУ ВО «ОмГУ
им. Ф.М. Достоевского», 2024
ISBN 978-5-7779-2670-8
Омск
2024

УДК 53+519.6
ББК 22.311я73я05
П580
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук В.В. Гольтяпин
(Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН),
канд. физ.-мат. наук С.М. Добровольский
(ОмГУ им. Ф.М. Достоевского)
Авторы:
канд. физ.-мат. наук И.С. Попов (гл. 2),
канд. физ.-мат. наук В.Н. Бородихин (гл. 1)
Попов, И. С.
П580
Численные методы и математическое моделирование в задачах теоретической физики : учебно-методическое пособие
/ И. С. Попов, В. Н. Бородихин. – Омск : Издательство Омского государственного университета, 2024. – 1 CD-ROM. – Загл.
с титул. экрана.
ISBN 978-5-7779-2670-8
Представлены некоторые основные численные методы решения задач теоретической физики. Приведен необходимый теоретический материал и примеры постановки задач. Предложены задания различной степени сложности для работы на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов по курсам «Численные методы», «Математическое моделирование уравнений математической физики» и «Вычислительная физика».
Для студентов физических факультетов высших учебных заведений.
УДК 53+519.6
ББК 22.311я73я05
Текстовое электронное издание
Самостоятельное электронное издание
Минимальные системные требования:
процессор с частотой 1,3 ГГц или выше; ОЗУ 512 Мб; Microsoft Windows XP/
Vista/7/8/10 и выше; Adobe Acrobat Reader 8.0 и выше; CD-ROM; мышь
c
○Попов И.С., Бородихин В.Н., 2024
c
○ФГАОУ ВО «ОмГУ
им. Ф.М. Достоевского», 2024

Оглавление
Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Глава 1. Численные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1. Основные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1. Основные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3. Системы нелинейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Основные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1. Основные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. Индивидуальные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.1. Основные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.2. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Глава 2. Численные методы решения задачи Коши
для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Методы Рунге – Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Адаптивное управление размером шага дискретизации . . . . . . 23
2.4. Методы Розенброка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3

2.5. Экстраполяция Ричардсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6. Метод длины дуги интегральной кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7. Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.1. Описание индивидуального задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.2. Список методов Рунге – Кутты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.3. Список методов Розенброка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.4. Список систем дифференциальных уравнений . . . . . . . . . 47
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4

Введение
Использование численных методов и математического моделирования прочно вошло в практику проведения научных исследований,
особенно в области современной теоретической физики. Решение задач теоретической физики обычно требует использования численных методов. Связано это зачастую с отсутствием точного аналитического решения уравнений, сформулированных в рамках математических моделей физических явлений. Приближенные аналитические решения обычно получаются в рамках введения определенных допущений, обоснованно выполняющихся в предельных случаях, однако их обоснованность в общем случае бывает сомнительной
и требует независимого обоснования. В таких случаях сопоставление качественных и приближенных аналитических решений с численным решением занимает очень важное место в процессе исследования. Поэтому формирование знаний об использовании численных методов для решения классических задач является необходимым в процессе подготовки исследователей в области современной
физики. Среди таких классических задач можно выделить вычисление определенных интегралов, решение систем нелинейных алгебраических уравнений, получение решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятно, что классические численные методы
входят в состав большей части современных пакетов прикладных
программ и программных библиотек математического обеспечения,
которые обладают хорошо проработанными интерфейсами, достаточно подробно протестированы и эффективно реализованы в плане
оптимизации вычислительных ресурсов. Однако использование готовых реализаций не может подменить понимания самих численных
методов, что необходимо в рамках подготовки физиков и математиков. Во-первых, выбор численного метода для решения конкретной задачи требует базовых представлений о возможностях числен5

ных методов. Во-вторых, многие численные методы демонстрируют
артефакты, такие как численная диссипация, которые необходимо
выявлять в численном решении и принимать меры для компенсации и устранения данных явлений. В-третьих, многие современные
задачи требуют разработки новых численных методов, что требует
хорошего понимания основ данной области знаний.
Учебно-методическое пособие содержит учебный материал по
некоторым основным численным методам решения задач теоретической физики. Приведены необходимый теоретический материал,
примеры постановки задач и индивидуальные задания для классических численных методов. Глава 1 посвящена классическим численным методам вычисления определенных интегралов, решения систем
линейных и нелинейных алгебраических уравнений, аппроксимации
функций и решения интегральных уравнений. Глава 2 посвящена
классическим численным методам решения задачи Коши для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
6