Современные методы математического моделирования задач теоретической и математической физики

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего образования
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Ф.М. ДОСТОЕВСКОГО
И.С. Попов
Современные методы
математического моделирования
задач теоретической и математической
физики
Учебно-методическое пособие
c
○Попов И.С., 2024
c
○ФГАОУ ВО «ОмГУ
им. Ф.М. Достоевского», 2024
ISBN 978-5-7779-2672-2
Омск
2024

УДК 53+519.8
ББК 22.311я73я05
П580
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук Р.Ю. Симанчев
(Омский научный центр СО РАН),
канд. физ.-мат. наук С.М. Добровольский
(ОмГУ им. Ф.М. Достоевского)
Попов, И. С.
П580
Современные
методы
математического
моделирования
задач теоретической и математической физики : учебнометодическое пособие / И. С. Попов. – Омск : Издательство
Омского государственного университета, 2024. – 1 CD-ROM. –
Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-7779-2672-2
Представлено достаточно подробное описание конечно-объемного вычислительного метода ADER-WENO для решения одномерных гидродинамических задач. Приведен необходимый теоретический материал и примеры постановки задач. Предложены задания
различной степени сложности для работы на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов по курсам «Численные
методы», «Математическое моделирование уравнений математической физики» и «Вычислительная физика».
Для студентов физических факультетов высших учебных заведений.
УДК 53+519.8
ББК 22.311я73я05
Текстовое электронное издание
Самостоятельное электронное издание
Минимальные системные требования:
процессор с частотой 1,3 ГГц или выше; ОЗУ 512 Мб; Microsoft Windows XP/
Vista/7/8/10 и выше; Adobe Acrobat Reader 8.0 и выше; CD-ROM; мышь
c
○Попов И.С., 2024
c
○ФГАОУ ВО «ОмГУ
им. Ф.М. Достоевского», 2024

Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1. Квазилинейные системы уравнений и законы сохранения . . . . . . .
6
1.2. Уравнения газодинамики и магнитогидродинамики . . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Одномерные задачи газодинамики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Методы конечного объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Общая форма конечно-объемной дискретизации . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Методы решения задачи Римана о распаде разрыва. . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Конечно-объемный вычислительный метод ADER-WENO . 22
3.1. Узловой функциональный базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1. Определение базисных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.2. Квадратурная формула Гаусса – Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3. Представление функций в узловом базисе . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.4. Представление линейных операторов в узловом базисе . . . 28
3.2. Эталонные конечные объемы и конечные элементы . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Локальный пространственно-временной DG предиктор . . . . . . . . . 33
3.3.1. Локальное дискретное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2. Формулировка системы уравнений предиктора . . . . . . . . . . . 34
3.3.3. Методы решения системы уравнений предиктора. . . . . . . . . 41
3.3.4. Структура матриц и матричных операций предиктора . . . 43
3.4. Конечно-объемная ADER-WENO схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.1. Дискретизация конечно-объемной ADER-WENO схемы . . 46
3.4.2. Постановка начальных и граничных условий . . . . . . . . . . . . . 50
3.5. WENO реконструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.1. Реконструкция решения на шаблоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.2. Нелинейное взвешивание реконструированных решений . . 57
3.6. Структуры данных и организация вычислительного процесса . . 59
3.6.1. Организация вычислительного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.2. Структуры данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.7. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Список использованной и рекомендуемой литературы. . . . . . . . 67
3

Введение
Использование методов математического моделирования прочно
вошло в практику проведения научных исследований, особенно в области современной теоретической и математической физики. Среди
математических моделей, возникающих в решении современных задач теоретической физики, отдельное место занимают краевые задачи для квазилинейных систем уравнений законов сохранения [1; 2].
Традиционно квазилинейные системы уравнений законов сохранения возникают в решении задач гидродинамики, газодинамики,
магнитогидродинамики и теории деформируемого твердого тела.
Однако решение задач физической и радиационной гидродинамики
(RHD), релятивистской магнитогидродинамики (RMHD и GRMHD),
квантовой гидродинамики квантовых жидкостей и газов (QHD,
QHEM), а также решение задач общей теории относительности
(CCZ) аналогично сталкиваются с необходимостью решения квазилинейных систем уравнений законов сохранения. Данную область
знаний традиционно относят к вычислительной гидродинамике – одному из крупнейших разделов вычислительной физики и вычислительной математики.
Одними из наиболее современных численных методов решения
квазилинейных систем уравнений законов сохранения являются методы, основанные на использовании парадигмы ADER (Arbitrary
high order DERivative) – ADER-DG (Discontinuous Galerkin methods)
и ADER-FV (Finite Volume methods – конечно-объемные методы) с WENO реконструкцией (weighted essentially non-oscillatory).
Использование парадигмы ADER позволяет создавать численные
методы, отличающиеся невероятно высокой точностью численного решения и возможностью эффективной коррекции численных
артефактов, возникающих в численном решении. Можно сказать,
что в последнее десятилетие разработка численных методов, основанных на парадигме ADER, является основным направлением в создании методов решения квазилинейных систем уравнений законов
сохранения.
Литература учебного и учебно-методического характера по данной области знаний на русском языке практически отсутствует. Опи4

сание численных методов данного семейства можно найти преимущественно только в журнальных статьях и научных монографиях.
Существует прекрасно изложенный лекционный материал, в особенности [3], но он представлен только на английском языке и рассчитан на подготовленного студента. Всё это существенно затрудняет
изучение данной области студентами. В современных учебниках [4–
6] изложение ограничено методами RKDG и WENO-FV на основе
TVD-RK. Поэтому актуальной задачей является издание небольшого
учебно-методического пособия, изучение которого поможет студенту
начать изучать научную литературу по данной тематике. Численные
методы, основанные на использовании парадигмы ADER, отличаются громоздкостью математического аппарата и высокой сложностью
алгоритмической и программной реализации. Поэтому в рамках данного учебно-методического пособия автором была поставлена задача
не описать широкий набор существующих методов из данного семейства, а представить достаточно подробное описание только одного конечно-объемного вычислительного метода ADER-WENO, изначально предложенного в работе [7], и ограничиться подробным описанием только самого численного метода. Численный метод ADERWENO-FV используется как самостоятельно, так и в качестве ограничителей в методах ADER-DG, при этом в нем задействованы все
основные особенности парадигмы ADER в ее современном состоянии.
Основными физическими задачами, к решению которых прилагается
данный численный метод, были выбраны классические одномерные
задачи гидродинамики.
5

1. Постановка задачи
1.1. Квазилинейные системы уравнений и законы сохранения
В данном учебно-методическом пособии будут рассмотрены некоторые современные методы семейства ADER решения квазилинейных систем уравнений законов сохранения, представимых в следующей форме [1]:
𝜕U
𝜕𝑡+ ∇: F (U) = S (U; r, 𝑡) ,
(1.1)
где U – вектор консервативных переменных, F – тензор потоковых
членов, S – вектор источниковых членов. Система координат, в которой определено поле векторов r, выбрана в эйлеровом представлении
описания движения – система координат определяется неподвижной
системой отсчета, внешней по отношению к изучаемой системе, при
этом временные зависимости полей материальных переменных определяются в точках r данной системы координат.
Система квазилинейных уравнений (1.1) является дифференциальной формой записи системы законов сохранения, представимых
в следующей интегральной форме:
𝑑
S (U(r, 𝑡); r, 𝑡) 𝑑𝑉,
(1.2)
𝑑𝑡
∫︁
U(r, 𝑡) 𝑑𝑉+
∮︁
F (U(r, 𝑡)) 𝑑𝜎=
∫︁
Ω
Ω
𝜕Ω
где Ω – неподвижный объем в системе координат r, 𝜕Ω – ориентируемая замкнутая граница объема Ω, 𝑑𝑉= 𝑑𝑑𝑟– элемент объема в системе координат r, 𝑑𝜎= n 𝑑𝜎– направленный элемент поверхности 𝜕Ω,
поле нормалей n направлено наружу объема Ω. Интегральная форма
записи (1.2) является более слабой формой представления законов
сохранения по сравнению с дифференциальной формой записи (1.1).
Интегральное представление допускает строгое описание процессов
и явлений, описываемых решениями, для которых не определены
корректно классические производные, входящие в состав системы
уравнений (1.1), – такие решения укладываются в представления об
ослабленных и обобщенных решениях.
Формирование сильных и слабых разрывных компонентов решения является классической особенностью решений квазилинейных
6

систем уравнений законов сохранения [2]. Поэтому далее под решением системы уравнений (1.1) будет пониматься обобщенное решение
в общепринятом смысле [2], для которого в областях гладкости решения предполагается использование системы уравнений (1.1), а в областях разрывных компонентов решения и их окрестностях – использование системы уравнений (1.2).
В декартовых координатах r = (𝑥, 𝑦, 𝑧) система уравнений (1.1)
может быть записана в виде
𝜕U
𝜕𝑡+ 𝜕F𝑥
𝜕𝑥+ 𝜕F𝑦
𝜕𝑦+ 𝜕F𝑧
𝜕𝑧= S (U; r, 𝑡) ,
(1.3)
где тензор потоковых членов F = (F𝑥, F𝑦, F𝑧) определяется векторами потоков вдоль отдельных координатных направлений (𝑥, 𝑦, 𝑧).
1.2. Уравнения газодинамики и магнитогидродинамики
Классическими примерами применения квазилинейных систем
уравнений законов сохранения (1.1) являются задачи идеальной газовой динамики, в рамках которых проводится описание движения
сжимаемой идеальной жидкости, и задачи идеальной магнитогидродинамики, в рамках которых проводится описание движения идеально электропроводящей среды в магнитном поле.
Система уравнений Эйлера движения сжимаемой идеальной жидкости представляет совокупность законов сохранения массы, импульса и энергии, записанных в дифференциальной форме, и имеет
следующий вид:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ ∇(𝜌u) = 0;
𝜕
(1.4)
𝜕𝑡(𝜌u) + ∇(𝜌u ⊗u + 𝑝I) = f;
𝜕𝜀
𝜕𝑡+ ∇[(𝜀+ 𝑝) u] = 𝑆𝑒+ f · u,
где
𝜌
–
плотность,
u = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
–
скорость,
𝑝
–
давление,
𝜀= 𝑒+ 1
2𝜌u2 – объемная плотность энергии, состоящая из плотностей внутренней энергии 𝑒и кинетической энергии 1
2𝜌u2, ⊗– оператор диадного произведения, I – единичная матрица размером 3 × 3,
7