Философия и математика: высшие идеи и числа в Древнем мире и античности

Г.И. Ловецкий
ФИЛОСОФИЯ И МАТЕМАТИКА:
ВЫСШИЕ ИДЕИ И ЧИСЛА
В ДРЕВНЕМ МИРЕ
И АНТИЧНОСТИ

УДК 51.01
ББК 87:22.1
Л68
Рецензенты:
д-р филос. наук, профессор КГПУ им. К.Э. Циолковского  А.С. Стрельцов;
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики
КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана  С.Е. Степанов
Л68
Ловецкий Г.И. Философия и математика: высшие идеи и числа в
Древнем мире и античности. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. — 756 с.
ISBN 978-5-7038-3339-1
В монографии показано, как математическая и философская мысль Древнего Востока и античности пришла к убеждению, что постижение наук, в особенности математики — науки о высших числах, — подготавливает наш ум к
постижению высшей истины — блага. Использованы работы Пифагора, Демокрита, Сократа, Платона, Аристотеля, Евдокса, Евклида, Архимеда, Эратосфена, Гиппарха, Герона, Диофанта, Плотина и других ведущих философов и
математиков античности. Часть текстов (Приложение) приводится на английском языке. Всё это отвечает задачам разносторонней и глубокой подготовки
молодых ученых.
Материалы исследования могут быть полезны учителям школ, преподавателям колледжей и вузов, студентам и аспирантам, которые в период острого
кризиса современного образования и математизации знаний хотели бы восполнить и обогатить философскую, математическую и языковую культуру.
УДК 51.01
ББК 87:22.1
© Ловецкий Г.И., 2009
© Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-3339-1
им. Н.Э. Баумана, 2009

Введение
3
ВВЕДЕНИЕ.
КРИЗИС ОБРАЗОВАНИЯ В КОНТЕКСТЕ
ИСТОРИИ ФИЛОСОФИИ И МАТЕМАТИКИ
Мечтатели, сибиллы и пророки
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли — вне сознания — далёко,
Туда, где светят царственные числа.
Предчувствие разоблачает тайны,
Проводником нелицемерным светит,
Едва откроется намёк случайный,
Объемлет нас непредсказанный трепет.
Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!
Свободные, бесплотные, как тени,
Вы радугой связующей повисли
К раздумиям с вершины вдохновенья!
/Валерий Брюсов. Числа/
История познания показывает, что новые идеи, коренным образом меняющие старые представления, возникают не только в результате строго логических рассуждений. Нередко они являются как бы скачком в познании
объекта, перерывом непрерывности в развитии мышления. Для интуитивного
постижения действительности характерна свернутость рассуждений, осознание не всего их хода, а отдельного наиболее важного звена, в частности
окончательных выводов. Полное логическое и опытное обоснование этих выводов им находят позднее, когда они уже были сформулированы и вошли в
ткань науки.
Известный французский физик Луи де Бройль справедливо писал о том,
что наука, по существу рациональная в своих основах и по своим методам,
может осуществлять свои наиболее замечательные завоевания лишь путем
небезопасных внезапных скачков ума, когда проявляются способности, освобожденные от тяжелых оков строгого рассуждения, которые называют
воображением, интуицией, остроумием. А его соотечественник, крупнейший математик А. Пуанкаре, говорил о том, что в науке нельзя все доказать
и нельзя все определить, а поэтому приходится всегда делать заимствование
у интуиции.
Действительно, интуиция не просто догадка, хотя и догадка дорогого
стоит. Развитая интуиция предполагает высокую культуру мышления, она
требует напряжения всех познавательных способностей человека, в нее

Философия и математика: высшие идеи и числа в Древнем мире и античности
4
вкладывается весь опыт предшествующего социокультурного и индивидуального развития человека — его чувственно-эмоциональной сферы (чувственная интуиция) или его разума, мышления (интеллектуальная интуиция). Но откуда берутся интуиция, озарение, инсайт как прорывы в научном познании?
Истоки подлинно продуктивной интуиции таятся в глубинах сознания,
которое одновременно и рационально и нерационально, оно думающее и чувствующее. Что это такое? Хороший вопрос для молодых исследователей!
Существует мнение (его разделял известный методолог науки К. Поппер), что у крупных ученых наука начинается зачастую не с наблюдений, а
именно с проблем, и её развитие есть переход от одних проблем к другим, от
менее глубоких к более глубоким. Проблемы возникают, по его мнению, либо как следствие противоречия в отдельной теории, либо при столкновении
двух различных теорий, либо в результате столкновения теории с наблюдениями. Если мы согласимся, что проблема — это осознанное противоречие,
тогда следует признать эвристическую значимость проблем (апорий, как говорили древние, имея в виду затруднения в мышлении перед принципиально
новой задачей). Формально умение решать проблемы начинается с решения
задач, с выработки навыков логического мышления.
В этой связи выдающийся американский математик и педагог Дж. Пойа
указывает, что решение задач — специфическое достижение разума, которым
наделен человек, ибо основная часть сознательного мышления связана у него
с решением задач. Кому-то может показаться, чего проще, дайте ребенку в
школе побольше задач, и из него выйдет смышленый, толковый специалист.
Однако задача является только слабым отражением проблемы.
Поясним данное утверждение. Многие интеллектуалы наивно уверены в
том, что мир будет неуклонно меняться к лучшему, пока они будут производить новое знание. Но сколько людей стали несчастными еще в школьные
годы, так и не поняв красоты математики, физики, химии, литературы, потому что вместо исследования идей, которыми когда-то жила настоящая наука,
эти предметы давно превратились в свою тень, умерщвленные формализованными схемами дидактики. Так считает не только ученый-математик Пол
Локхарт (Paul Lockhart. A Mathematician's Lament), с ним согласились бы
многие его коллеги в разных странах мира. Пройдя мимо красоты, дети ожесточаются, теряют веру в себя, хотя именно в детстве они переполнены метафизическими новациями. В этой связи системе образования следовало бы
найти новые решения в преподавании математики, чтобы сделать её наглядно-образной, живой наукой. Попытки такого рода неоднократно предпринимались в течение всего ХХ в. (это изданная в 1901 г. известная книга Н.Н. Аменицкого «Забавная арифметика», книга А.М. Воронца и Д.Н. Горячева «Задачи,
вопросы и софизмы», а в середине 1960-х годов появляются книги П.Я. Перельмана, в начале ХХI в. профессор А.Ф. Малышевский создает учебные
пособия нового поколения, закладывая методологические основания всей
системы современного школьного образования.
Мы живем в эпоху математизации (так называют повсеместное использование математического языка для регистрации, обработки и интерпретации

Введение
5
экспериментальных данных). Динамика проникновения математических описаний и моделей в структуру наук видна на примере физики, биологии и информатики, и она указывает на ускорение темпов математизации в ХХ столетии. Крутые скачки диаграмм математизации [121] связаны с созданием относительно изолированных научных центров на базе общественной поддержки. В древности так возникли школа Пифагора, финансируемая римским городом Рене, и несколько академий, поддерживаемых Империей. В Новое
время скачок совпал с созданием систем учебных и исследовательских институтов, как государственных, так и на базе частных структур.
e
hijk l
m
n
o
p
q
r
s
t
b
a
c d
f
g
6
5
4
3
2
1
0
Тыс. лет назад
Рис. В.1. Этапная динамика математической физики:
а — календарь (Египет); b — нумерология (каббала); с — эмпирическая геометрия
и арифметика (Пифагор); d — логика (Платон, Аристотель); е — аксиоматика (Евклид);
f — эмпирическая механика, пропорции (Архимед); g — механическая модель космологии
(Птолемей); h — гелиоцентрия (Коперник); i — координаты (Декарт); j — кинематика
(Галилей); k — динамика (Ньютон); 1 — электричество (Кулон, Гальвани, Фарадей);
m — энтропия, термодинамика (Клаузис, Фурье, Больцман); n — энергия, импульс,
инварианты (Гамильтон); о — кванты (Планк); р — релятивизм (Эйнштейн); q — тензоры,
кривизна пространства-времени (Эйнштейн, Минковский, Гильберт); r — квантовая
электродинамика (Фейнман); s — калибровка поля; t — струны, суперсимметрия
При этом плотная серия новых этапов в эти периоды не означает замену
ступенчатого развития на монотонное. Дело в том, пишет Коганов, что такие
этапы непоследовательны в причинно-следственном смысле, а представляют
собой параллельную серию прорывов в разных направлениях. Каждый такой
прорыв порождает длительный период исследовательской работы без новых
этапных изменений.
Следующая схема демонстрирует путь, проделанный человечеством от
наскальных рисунков, в которых фиксировались начала формирования языка
и счета, до возникновения математической логики и программирования.
Отсутствие динамики в развитии знаний на определенных историкокультурных этапах развития человечества может быть продемонстрировано
на примере Пифагора, который был вынужден бежать из Греции в зарождающуюся Римскую империю под страхом смерти после попытки заниматься

Философия и математика: высшие идеи и числа в Древнем мире и античности
6
наукой в дельфийском храме. Известно, что лишь век спустя его знания вернулись туда с учениками, образовавшими пифагорейское братство после разгрома школы.
i
j
k
l
Религиозный языческий культ
Описательный этап
h
g
f
e
d
c
b
a
6
5
4
3
2
1
0
Тыс. лет назад
Рис. В.2. Этапная динамика математики в биологии:
а — культовое описание животных (Вавилон, Египет, Индия);
b — научное oписание наблюдаемых свойств животных и растений (Аристотель);
с — электрофизиология наблюдения и измерения (Гальвани); d — систематика
(Линней); e — эволюционная теория (Дарвин): f — генетика (Мендель); g — инстинкты;
h — условные рефлексы (Павлов); i — нейрофизиология; j — теория автоматов
и сетей Петри; k — расшифровка хромосом и генов; 1 — модели биоценоза
Распространение
знаний
Демократизация
знаний
Накопление
понятий
и знаний
Формирование
языка
b
c
d e f gh i
j k lm
n
o
p
a
100
6
5
4
3
2
1
0
Тыс. лет назад
Рис. В.3. Этапная динамика математической информатики:
a — наскальные рисунки; b — иероглифы; с — алфавит; d — абстрактные числа;
е — софистика; f — геометрические чертежи (Пифагор); g — логика (Платон);
h — пропорции (Архимед); i — механические модели (Птолемей); j — десятичный счет;
k — уравнения и координаты (Декарт); l — уравнения в приращениях (Ньютон, Лейбниц);
m — математическая логика (Буль); n — универсальный алгоритм (Тьюринг, Марков,
Колмогоров); о — системное программирование; р — сетевое программирование
До недавнего времени в основе изучения истории математики была прогрессистская методология, согласно которой «старый» математический текст
считался содержательным постольку, поскольку в нем удавалось выделить

Введение
7
содержание, являвшееся нормативным для современной математики. Этот в
целом достаточно примитивный подход преодолевается в русле непрогрессистской реконструкции, предполагающей прочтение математических текстов
другими текстами, нематематическими. «Самая реальная альтернатива состоит в возможности сопоставлять старые математические тексты со старыми
философскими текстами. В философских текстах мы можем найти прежние
объяснения того, что такое математика, какой она должна быть и к чему
должна стремиться. В отличие от специальных наук философия имеет понимание в качестве своего предмета» — пишет А.В. Родин [217].
Начала и кризисы в обосновании математической науки. Громадный
сдвиг, осуществленный греческой математикой, заключается в введении доказательств или дедуктивных выводов. Уже пифагореизм — первая философская
теория математики — рассматривает математическое знание как необходимую
основу всякого другого знания и наиболее истинную её часть. Греки заметили,
что арифметические действия обладают особой очевидностью, необходимостью, принудительной для разума силой. Математические истины для Платона
врожденны, математическое познание — это припоминание. Для Демокрита
геометрические фигуры — это сущности, состоящие из атомов. А для Аристотеля объекты математики — мысленное отвлечение от реальных вещей. Однако именно ему принадлежит честь создателя формальной логики, которая в
течение почти двух тысяч лет оставалась затем фактически неизменной.
В истории науки хорошо известны ситуации, когда ученые сталкиваются
со значительными трудностями, преодоление которых невозможно в рамках
уже сложившейся системы знания. Их разрешение требует непременного выхода за её пределы, что связывается с необходимостью коренного пересмотра
важнейших принципов науки и её концептуального аппарата, ведущего к
принятию её новой парадигмы (Т. Кун). Этот период нередко называют революцией в той или иной области научного познания. В математике традиционно выделяют три таких периода. Каждому из них предшествовала ситуация
кризиса, связанная с проблемами, коренящимися в её основаниях.
Первый кризис математики связывают, как правило, с открытием пифагорейцами несоизмеримых отрезков. Для античной математики это открытие
стало поворотным пунктом в истории, ибо нарушало имевшуюся гармонию
между геометрией и арифметикой. Более того, это ставило под сомнение
обоснованность построенной ими модели мира. Однако значение открытия
несоизмеримых отрезков состояло не столько в том, что оно разрушило раннюю систему пифагорейцев, сколько в том, что привело к созданию новых,
очень тонких и глубоких теорий.
С введением Аристотелем понятий актуальной и потенциальной бесконечности и разработкой им достаточно убедительной концепции последней,
острота ситуации в определенной мере была снята. А в «Началах» Евклида,
который учел и достижения пифагорейцев, и уроки решения знаменитых задач о трисекции угла, квадратуре круга, удвоении куба, и вытекающие из
этих уроков требования об ограничениях на средства геометрических построений (идеальные циркуль и линейка), кризис основ древнегреческой математики (для того уровня развития науки и философии) был преодолен.

Философия и математика: высшие идеи и числа в Древнем мире и античности
8
В обучении определение играет роль эффективного средства, позволяющего, во-первых, исключать специальные или малоизвестные обучаемым выражения путем сведения их к выражениям, им известным; во-вторых, вводить
новые, простые и компактные выражения вместо сложных и труднообозримых.
Благодаря определениям слова обретают ясность, четкость и однозначность. В дискуссиях мы обязаны однозначно устанавливать значения слов,
входящих по крайней мере в формулировку отстаиваемого или опровергаемого тезиса. Если они по-разному определяются пропонентом и оппонентом,
то дискуссия не может быть плодотворной.
Вместе с тем значение определений не следует преувеличивать. Нужно
иметь в виду, что они не отображают всего содержания рассматриваемого
предмета, и фактическое изучение научной теории не сводится к овладению
суммой определений, которая в ней заключена. Добиваясь с помощью определения точности некоторого термина (понятия), мы нередко поступаем
весьма грубо, если в действительности границ, четко отделяющих одни явления, обозначаемые этим термином, от других, не существует, а есть плавные
переходы между ними. Кроме того, существует предел, за которым, говоря
словами Аристотеля, точность следует считать мелочностью, ибо у нее появляется что-то такое, из-за чего она как в делах, так и в рассуждениях кажется
низменной. За этим пределом стремление к точности может потерять всякий
смысл, так как точность отдельного выражения влечет за собой неточность
всего контекста.
Существуют ограничения на применение определений в обучении. Хотя
в систематических курсах учебных дисциплин определения являются важнейшим способом введения понятий, но на начальных стадиях обучения ими,
как правило, не пользуются. Прибегают к описательным способам введения
понятий. Например, первичным (основным) понятием арифметики является
понятие числа. Словесно введенное с первых уроков в первом классе на основе упражнений в счете и элементарных измерений, оно не определяется и
вначале употребляется лишь по отношению к нулю и натуральным числам.
Затем его объем постепенно расширяется за счет дробей, положительных и
отрицательных чисел и только потом возникает необходимость в определениях натурального числа и других разновидностей чисел. Но арифметика в
этом плане — не исключение.
Заслуживает внимания аргументация Н. Извольского [99] по поводу использования определений в геометрии. Он писал: «Нельзя думать, что приведению в отчетливость всех геометрических представлений... способствуют
так называемые определения. Нет, словесные определения, вообще говоря,
этой цели не достигают, и лишь тогда, когда учащемуся ясно происхождение
того или другого объекта, того или другого представления, становится возможным утверждать, что желаемая ясность достигнута, что у учащегося есть
понятие об этом объекте. Ввиду этого во многих случаях следует отказаться
от определений и заменить их пониманием учащихся: «Я умею получить (построить) то-то и то-то»… Если учащиеся, отказавшись от заучивания определения окружности, усвоят способ её получения при помощи вращения на
плоскости прямолинейного отрезка (около одного из его концов) — этого

Введение
9
представления, связанного с умением построить окружность, достаточно,
чтобы вести работу над изучением вопросов, где входит построение окружности. Конечно… не следует доходить до педантизма и вовсе не ставить вопросов, начинающихся словами «что называется?» Следует лишь все время
иметь в виду, что не в этих словесных определениях суть дела и что они всегда могут быть заменены выяснением происхождения того или другого понятия или возможностью построить тот или иной объект».
Таким образом, применение определений целесообразно на более поздних этапах обучения и связано со значительной предварительной подготовкой. Начинают, как правило, с конкретных примеров, а определение дается
тогда, когда его элементы (например, ближайший род, видовые отличия)
предварительно усвоены.
Когда сформировано представление о происхождении того или иного
объекта, можно приступать к изучению основ наук.
Важнейшей научной заслугой Пифагора считается систематическое введение доказательства в математику, и прежде всего геометрию.
Строго говоря, только с этого момента математика и начинает существовать как наука, а не как собрание древнеегипетских и древневавилонских
практических рецептов. С рождением же математики зарождается и наука
вообще, ибо ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства, считал
Леонардо да Винчи.
Что же такое математическое доказательство? Допустим, на ряде примеров мы обнаружили некую математическую закономерность. Значит ли это,
что она справедлива всегда? Отнюдь. Пусть мы хотим установить, чему равна
сумма углов треугольника. Измерив десяток-другой треугольников, мы легко
обнаружим, что эта сумма колеблется где-то около 180°, хотя вряд ли мы хоть
раз получим точно 180° или два одинаковых результата. Эти разночтения вызваны как погрешностью наших измерений, так и погрешностью самих измеряемых объектов, которые не являются идеально прямолинейными фигурами.
Делая скидку на эти ошибки, мы можем предположить, что сумма углов треугольника все-таки равна 180°, хотя никакой уверенности в этом у нас быть не
может, ибо треугольников существует опять-таки бесконечное множество.
Заслуга Пифагора и состояла в том, что он пришел к следующим выводам:
• во-первых, в геометрии должны рассматриваться абстрактные идеальные объекты (точки — «то, что не имеет частей», линии — «длина без
ширины», поверхности — «то, что имеет только длину и ширину»)
• и, во-вторых, свойства этих идеальных объектов должны устанавливаться не с помощью измерений на конечном числе объектов, а с
помощью рассуждений, справедливых для бесконечного числа объектов.
Эта цепочка рассуждений, которая с помощью законов логики сводит
неочевидные утверждения к известным или очевидным истинам, и есть математическое доказательство.
Следующая гениальная догадка Пифагора состояла в том, что в геометрии можно выбрать именно конечное число первоначальных истин, из кото

Философия и математика: высшие идеи и числа в Древнем мире и античности
10
рых с помощью логических правил выводимо неограниченное число геометрических предложений. Эти отправные недоказуемые («очевидные») положения были названы аксиомами (ценность, основное положение).
Так в геометрии впервые возник аксиоматический метод построения
науки. Начало этому методу было положено на рубеже VI–V вв. до н.э. в
школе Пифагора, а уже в III в. до н.э. в «Началах» Евклида грандиозная программа аксиоматизации геометрии была полностью завершена. Число первоначальных, принимаемых без доказательства утверждений — аксиом — было
сведено к минимуму, а все остальные геометрические истины — теоремы —
получались из них цепочкой логических рассуждений — доказательств. Так
родилась триада: «аксиома–доказательство–теорема», которая и составила
ядро нового метода.
Выработка системы аксиом — это долгий и кропотливый процесс накопления первоначальных фактов, их проверки, перепроверки, систематизации,
уточнения и исключения лишних либо, наоборот, обнаружения недостающих. В этом процессе и рождается система аксиом — минимальная совокупность первоначальных утверждений, необходимая и достаточная для доказательства (или опровержения) любого нового утверждения.
Одновременно с разработкой аксиоматического метода развивались и
методы перехода от одних истинных утверждений к другим, т.е. методы построения цепочки рассуждений, именуемой доказательством. Одним из таких
приемов был метод приведения к противоречию, которым пифагорейцы доказали несоизмеримость стороны и диагонали квадрата и который в V в. до н.э.
становится необычайно популярным.
В это же время южноиталийский философ Парменид, идейно связанный
с пифагорейцами, формулирует закон исключенного третьего, состоящий в
том, что из двух противоположных утверждений одно и только одно является
истинным. Несколько позже Аристотель проводит формализацию и каталогизацию правил умозаключений и высказывает утверждение об их конечности.
Эта догадка Аристотеля не менее поразительна, чем гипотеза пифагорейцев о
конечном числе аксиом геометрии. Так, вместе с разработкой аксиоматического метода зарождалась и новая наука о приемлемых способах рассуждений — логика (слово, суждение).
Начиная с Пифагора, доказательство становится надежным способом обретения истины в геометрии, а начиная с Евклида, аксиоматический метод
построения геометрии является образцом отточенности научной мысли.
Лишь в XVII в. человечество обрело силы дерзнуть на подобный научный
подвиг: в 1687 г. в грандиозном труде «Математические начала натуральной
философии» Исааком Ньютоном (1648–1727) было дано построение механики на основе аксиоматического метода по образцу «Начал» Евклида.
Математика — это особый тип знания, в котором мысль движется дедуктивно — от общего к частному, для чего математический язык вводит
свои слова-символы, первыми из которых были знаки, символизирующие ряд
целых чисел. Однако особо ценно то, что в пифагорейской школе философский и научный подход были слиты, и даже открытие иррациональности, поколебавшее устои, стимулировало развитие математического языка. И в фи