Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 3-4 (Том 120)

Р О С С И Й С К А Я   А К А Д Е М И Я   Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основан в 1965 году      Выходит 24 раза в год
том 120
Главный редактор В. М. Пудалов
Редколлегия
Конденсированные среды: Г. Е. Воловик (зам. гл. редактора), Э. В. Девятов,
А. С. Иоселевич, К. Э. Нагаев, В. М. Пудалов, А. Л. Рахманов, А. А. Гиппиус, В. И. Альшиц 
Элементарные частицы и физика ядра: А. В. Нефедьев, И. В. Полюбин,
Н. Н. Николаев, Д. С. Горбунов
Гидродинамика, плазма: В. П. Пастухов (зам. гл. редактора),
К. В. Чукбар, Н. Л. Александров
Оптика, физика лазеров, нелинейная оптика: С. П. Кулик, О. Г. Косарева, А. В. Наумов 
Квантовая информатика: Ю. Г. Махлин
Гравитация, космология: А. А. Старобинский, М. Р. Гильфанов, К. А. Постнов,
Д. С. Горбунов
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»

Р О С С И Й С К А Я А К А Д Е М И Я Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 120
Выпуск 3
10 августа 2024
Журнал издается под руководством
Отделения физических наук РАН
Главный редактор В. М. Пудалов
Заместители главного редактора
Г. Е. Воловик, В. П. Пастухов
Зав. редакцией
И. В. Подыниглазова
Адрес редакции
119334 Москва, ул. Косыгина 2
тел./факс
(499)-137-75-89
e-mail
letters@kapitza.ras.ru
Web-страница
http://www.jetpletters.ru
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Письма в ЖЭТФ” (составитель), 2024

Pis’ma v ZhETF, vol. 120, iss. 3, pp. 169 – 170
© 2024 August 10
Jet quenching for hadron-tagged jets in pA collisions
B. G. Zakharov1)
L. D. Landau Institute for Theoretical Physics, 117334 Moscow, Russia
Submitted 29 June 2024
Resubmitted 29 June 2024
Accepted 1 July 2024
We calculate the medium modification factor IpA for 5.02 TeV p + Pb collisions. We use the Monte-Carlo
Glauber model to determine the parameters of the quark-gluon plasma fireball in pA jet events. Our calculations show that the jet quenching effect for IpA turns out to be rather small. We have found that the
theoretical IpA as a function of the underlying event charged multiplicity density, within errors, agrees with
data from ALICE [18] for 5.02 TeV p + Pb collisions. However, the experimental errors are too large to draw
a firm conclusion on the possible presence of jet quenching.
DOI: 10.31857/S0370274X24080014, EDN: XFHYGF
small size QGP produced in pp/pA collisions is investigation of the UE multiplicity dependence of the jet fragmentation functions (FFs) for photon/hadron tagged
jets [16] described by the modification factors Ipp/pA.
Formally, Ipp,pA can be defined as the ratio of the pertrigger particle (ht) yield of the associated hadron (ha)
production, Ypp,pA, to the yield for pp collisions calculated without the medium effects, Y 0
pp. However, Y 0
pp is
unobservable quantity. For this reason, it is convenient
to characterize the medium effects in pc collisions in
terms of the UE multiplicity dependence of the ratio of
the experimental yields Ypc and the average yield for pp
collisions ⟨Ypp⟩
Ypc({pT }, {y})
⟨Ypp({pT }, {y})⟩,
(1)
The observation of the quark-gluon plasma (QGP)
formation in AA collisions has sparked new interest in
the idea of the QGP formation for small systems [1].
The analysis of [2] in the scenario of the strongly coupled QGP shows that even the smallest droplet of the
QCD matter produced in pp/pA collisions can be described within hydrodynamics. In [3] it was argued that
for pp/pA collisions the lower bound for applicability
of hydrodynamical description is dNch/dη ∼3. This is
close to the estimate of [4].
Experimentally, the formation of a mini QGP in
pp/pA collisions is supported by the observation of the
ridge effect [5–8] in pp/pA collisions at the LHC energies
and by the steep growth of the midrapidity strange particle production at charged multiplicity dNch/dη ≳5
[9]. The earlier analysis [10] of ⟨pT ⟩as a function of
multiplicity, employing van Hove’s arguments [11], also
supports the onset of QGP regime at such charged
multiplicity density. There were suggested alternative
non-hydrodynamical explanations of the ridge effect in
pp/pA collisions [12–14] due to the initial state parton effects. However, these models do not explain the
anomalous variation with the charged multiplicity density of the midrapidity strange particle production and
of ⟨pT ⟩.
The QGP formation in pp/pA collisions should lead
to jet modification due to parton energy loss in the QGP
fireball. It is important that the typical charged multiplicity of soft (underlying event (UE)) hadrons in jet
events is bigger than the ordinary minimum bias multiplicity by a factor of ∼2−2.5 [15]. For the LHC energies the typical midrapidity UE charged multiplicity
dN ue
ch /dη ∼10−15 in pp jet events. One of the possible experimental methods to probe jet quenching in the
1)e-mail: bgz@itp.ac.ru
where {pT } = (pa
T , pt
T ) and {y} = (ya, yt) are the sets
of the transverse momenta and rapidities of the trigger particle and the associated hadron, and ⟨...⟩means
averaging over the UE multiplicity. In terms of the modification factors Ipc (defined via the unobservable yield
Y 0
pp) the ratio (1) should be equal to the ratio Ipc/⟨Ipp⟩.
Recently, the ALICE collaboration [17, 18] measured
the UE multiplicity dependence of the ratio (1) for
the hadron tagged jets in pp and p + Pb collisions at
√s = 5.02 TeV. The ALICE [18] measurement has been
performed for the hadron momenta 8 < pt
T < 15 GeV,
4 < pa
T < 6 GeV, and the UE activity has been characterized by the charged multiplicity N T
ch in the transverse kinematical region π/3 ≤|φ| ≤2π/3, |η| < 0.8,
and pT > 0.5 GeV. As compared to the UE charged
multiplicity density dN ue
ch /dη, defined in the whole φ
and pT regions for the pseudorapidity window |η| < 0.5,
N T
ch of [17, 18] is smaller by a factor of ≈4.4. For pp
collisions, in [19] it was found that Ipp decreases by
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024
169

B. G. Zakharov
Funding. This work is supported by Russian
Science Foundation grant # 20-12-00200 in association
with Steklov Mathematical Institute.
Conflict of interest. The author of this work declares that he has no conflicts of interest.
1. E. V. Shuryak, Phys. Lett. B 78, 150 (1978).
2. P. M. Chesler, JHEP 03, 146 (2016); arXiv:1601.01583.
3. M.
Spalinski,
Phys.
Rev.
D
94,
085002
(2016);
arXiv:1607.06381.
4. P.
Romatschke,
Eur.
Phys.
J.
C
77,
21
(2017);
arXiv:1609.02820.
5. G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), Phys. Rev. Lett.
110, 182302 (2013); arXiv:1212.5198.
6. B. Abelev et al. (ALICE Collaboration), Phys. Lett. B
719, 29 (2013); arXiv:1212.2001.
7. V. Khachatryan et al. (CMS Collaboration), JHEP
1009, 091 (2010); arXiv:1009.4122.
8. G. Aad et al. (ATLAS Collaboration), Phys. Rev. Lett.
116, 172301 (2016); arXiv:1509.04776.
9. J. Adam et al. (ALICE Collaboration), Nature Phys.
13, 535 (2017); arXiv:1606.07424.
10. R. Campanini, G. Ferri, and G. Ferri, Phys. Lett. B 703,
237 (2011); arXiv:1106.2008.
11. L. van Hove, Phys. Lett. B 118, 138 (1982).
12. A. Kovner and M. Lublinsky, Int. J. Mod. Phys. E 22,
1330001 (2013); arXiv:1211.1928.
13. A. Dumitru, L. McLerran, and V. Skokov, Phys. Lett. B
743, 134 (2015); arXiv:1410.4844.
14. K. Dusling and R. Venugopalan, Phys. Rev. D 87,
094034 (2013); arXiv:1302.7018.
15. R. Field, Acta Phys. Polon.
B
42, 2631
(2011);
arXiv:1110.5530.
16. B. G. Zakharov, Phys. Rev. Lett. 112, 032301 (2014);
arXiv:1307.3674.
17. S. Tripathy (for ALICE Collaboration), in 24th DAEBRNS High Energy Physics Symposium, 14–18 December 2020, Jatni, India; arXiv:2103.07218.
18. S. Acharya et al. (ALICE Collaboration), Phys. Lett. B
843, 137649 (2023); arXiv:2204.10157.
19. B. G.
Zakharov,
JETP
Lett.
116,
347
(2022);
arXiv:2208.10339.
20. B. G. Zakharov, JETP Lett. 63, 952 (1996);
hep-ph/9607440.
21. B. G. Zakharov, Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 146, 151
(2005); hep-ph/0412117.
22. B. G. Zakharov, JETP Lett. 80, 617 (2004);
hep-ph/0410321.
23. B. G.
Zakharov,
JETP
Lett.
88,
781
(2008);
arXiv:0811.0445.
24. K.
Werner,
Phys.
Rev.
Lett.
98,
152301
(2007);
arXiv:0704.1270.
25. B. G.
Zakharov,
JETP
124,
860
(2017);
arXiv:1611.05825.
26. A. Bazavov et al., Phys. Rev. D 98, 054511 (2018)
arXiv:1804.10600.
about 7–10 % with increase of the UE activity in the
range 5 ≲dNch/dη ≲20 for the jet quenching calculated within the light-cone path integral formalism
[20–23] for the induced gluon emission. The results of
[17] for Ipp/⟨Ipp⟩agree qualitatively with calculations
of [19]. It would be interesting to perform calculation
of IpA and comparison with data from [18] as well. The
data of [18] for YpA also show a tendency of some decrease of YpA with increasing the UE charged multiplicity. But the effect seems to be somewhat smaller,
at least visually, than that observed for pp collisions.
However, one should bear in mind that in the case of
pA collisions the observed UE charged multiplicity density may contain a considerable fraction of hadrons that
come from interaction of the projectile with peripheral
nucleons without the formation of the collective QCD
matter. Because interaction with the peripheral nucleons may produce low density/entropy parton system, for
which the energy/entropy density is not large enough to
form the QGP. Thus, one can expect that the fireball of
the QCD matter in pA collisions should have the corecorona structure (discussed previously for AA collisions
[24]). The effect of hadrons from the corona region on jet
quenching should be small since these hadrons should be
in the free streaming regime. For this reason, for the jet
quenching calculation of the variation of IpA with the
observed UE charged multiplicity dN ue
ch /dη one needs
a formalism for accounting for the difference between
the observed dN ue
ch /dη and the charged multiplicity related to formation of the QGP fireball. In the present
paper we perform such jet quenching calculations of IpA
for conditions of the ALICE experiment [17] using the
Monte-Carlo (MC) Glauber model of [25] for calculation of the QGP fireball parameters as a function of the
total UE charged multiplicity density. The parameters
of the QGP fireball depends on the free parameters of
the MC Glauber model. However, our results demonstrate that predictions for IpA turn out to be quite stable to the theoretical uncertainties of the MC Glauber
scheme. The medium-modified FFs have been evaluated
within the light-cone path integral approach to induced
gluon emission [20–23]. We used parametrization of the
running QCD coupling αs(Q, T ) which has a plateau
around Q ∼κT (motivated by the lattice simulations
[26]). The value of κ is fitted to the LHC data on the
nuclear modification factor RAA in 2.76 and 5.02 TeV
Pb + Pb, and 5.44 TeV Xe + Xe collisions. Our calculations show that the jet quenching effect for IpA turns
out to be rather small: the ratio IpA/⟨Ipp⟩falls from
∼1.03 at dN ue
ch /dη ∼10 to ∼0.95 at dN ue
ch /dη ∼60.
This, within errors, agrees with data from ALICE [18]
for 5.02 TeV p + Pb collisions. However, the experimental errors are too large to draw a firm conclusion on the
possible presence of jet quenching.
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024

Письма в ЖЭТФ, том 120, вып. 3, с. 171 – 177
© 2024 г. 10 августа
Тройки связанных пространственных солитонов в тонкой
левоориентированной пленке на правоориентированной подложке
с эффектом Керра
А. С. Буллер1), Р. В. Литвинов
Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 634050 Томск, Россия
Поступила в редакцию 14 мая 2024 г.
После переработки 26 июня 2024 г.
Принята к публикации 1 июля 2024 г.
Рассмотрено распространение связанных световых пучков, образованных быстрыми ТЕ-модами планарного волновода на основе тонкой левоориентированной пленки на керровской подложке на частоте
вблизи ноля групповой скорости. Определены условия распространения трех связанных пространственных солитонов, сформированных модами с положительными и отрицательными групповыми скоростями. Показана возможность согласованного распространения двух светлых (темных) и одного темного
(светлого) солитона.
DOI: 10.31857/S0370274X24080025, EDN: XNYFRU
В оптических планарных волноводах с левоориентированной пленкой на одной частоте возможно
распространение направляемых мод не только с положительной групповой скоростью (vg > 0), сонаправленной с фазовой, но и направляемых мод с отрицательной групповой скоростью (vg < 0), направленной противоположно фазовой [1–7]. В работе [8]
показано, что направляемые моды с vg > 0 за счет
эффекта Керра в подложке могут формировать одиночный светлый или темный пространственный оптический солитон при положительном или отрицательном знаке нелинейного оптического коэффициента n2s соответственно, что совпадает с условиями формирования пространственных оптических солитонов в обычных правоориентированных средах
[9–17]. Направляемые моды с vg < 0 также могут
формировать в таком волноводе одиночный светлый
или темный пространственный оптический солитон,
но, наоборот, при отрицательном или положительном знаке нелинейного оптического коэффициента
n2s соответственно, что невозможно в обычных правоориентированных средах. В работе [18] показано,
что одиночный пространственный солитон с vg > 0,
как светлый при n2s > 0, так и темный при n2s < 0,
наводит в подложке полосковый волновод утопленного типа с показателем преломления, достигающим
максимума в центре. В свою очередь одиночный пространственный солитон с vg < 0, как темный при
n2s > 0, так и светлый n2s < 0, наводит в подложке
1)e-mail: albertbuller@yandex.ru
аналогичный волновод, но с показателем преломления, достигающим, наоборот, минимума в центре.
Распространение двух и четырех связанных внутримодовых пространственных солитонов в левоориентированной пленке на правоориентированной подложке с эффектом Керра рассмотрено в работах
[8, 19]. Здесь показано, что встречное распространение пары некогерентно связанных светлых солитонов, как и пары некогерентно связанных темных
солитонов, возможно, если они образованы модами
только с положительной или только с отрицательной
групповой скоростью. Распространение некогерентно связанной светло-темной солитонной пары становится возможным, если один из солитонных пучков
образован модами с положительной групповой скоростью, а другой – модами с отрицательной групповой скоростью. Две пары встречных внутримодовых
солитонных пучков, когерентно связанных между собой, могут быть сформированы, только если одна из
этих пар образована модами с положительной групповой скоростью, а другая пара образована модами с
отрицательной групповой скоростью. При этом фазовые соотношения между связанными солитонами
определяются знаком коэффициента n2s.
Анализ модуляционной неустойчивости трех связанных мод планарного волновода на основе левоориентированной пленки и правоориентированных
покровной среды и керровской подложки, выполненный в работе [20], показывает возможность формирования в нем трех связанных пространственных солитонов. В данной работе рассмотрено распростраПисьма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024
171

А. С. Буллер, Р. В. Литвинов
ноля групповой скорости могут быть получены в
форме [20, 22]:
∂ζ
+ 1
2
∂2Cf
+
−i∂Cf
+
∂η2
+ sign(n2s)

|Cf
+|2 + 2|Cb
+|2 +
+ 2g

|Cf
−|2 + |Cb
−|2
 
Cf
+ + 2g(Cb
+)∗Cf
−Cb
−
	
= 0, (2)
i∂Cb
+
∂ζ
+ 1
2
∂2Cb
+
∂η2
+ sign(n2s)

2|Cf
+|2 + |Cb
+|2 +
+ 2g

|Cf
−|2 + |Cb
−|2
 
Cb
+ + 2g(Cf
+)∗Cf
−Cb
−
	
= 0, (3)
нение в таком волноводе различных вариантов связанных солитонных троек.
Дисперсионные зависимости постоянных распространения быстрых направляемых мод рассматриваемого волновода (см. рис. 1), не являются монотонными, обладая точкой нуля групповой скорости [1–7, 21]. На одной частоте вблизи этой точки
вдоль одного направления могут одновременно распространяться вперед и назад две пары пучков, образованных модами с vg > 0 и vg < 0. Следуя работам [8, 18, 19], рассмотрим световые пучки, сформированные быстрыми TE-модами, y-компоненту вектора электрической напряженности которых можно
представить в виде:
∂ζ
+ δ
2
∂2Cf
−
−i∂Cf
−
∂η2
−sign(n2s)

2g

|Cf
+|2 + |Cb
+|2

+
Iin[Ψ+(x)Cf
+(y, z) exp(−iβ+z) +
Ey =
p
+ Ψ+(x)Cb
+(y, z) exp(iβ+z) +
+ g1

|Cf
−|2 + 2|Cb
−|2
 
Cf
−+ 2gCf
+Cb
+(Cb
−)∗	
= 0, (4)
i∂Cb
−
+ Ψ−(x)Cf
−(y, z) exp(−iβ−z) +
∂ζ
+ δ
2
∂2Cb
−
+ Ψ−(x)Cb
−(y, z) exp(iβ−z)] exp(iωt) + cc,
(1)
∂η2
−sign(n2s)

2g

|Cf
+|2 + |Cb
+|2

+
+ g1

2|Cf
−|2 + |Cb
−|2
 
Cb
−+ 2gCf
+Cb
+(Cf
−)∗	
= 0, (5)
где Iin – максимальная интенсивность светового поля в волноводе; Ψ+(x) и Ψ−(x) – безразмерные функции, описывающие пространственное распределение
поля моды в направлении нормали к пленке для мод
с положительной “+” и отрицательной “−” групповой
скоростью; β+ и β−– постоянные распространения
мод; Cf,b
+,−(y, z) – безразмерные функции, описывающие пространственное распределение огибающей поля световых пучков в плоскости пленки; верхние индексы “f” и “b” указывают на распространяющиеся
вперед и назад моды соответственно.
где ζ = |γ|z/2, η = (β+|γ|/2)1/2y – нормированные продольные и поперечные координаты; γ – постоянная нелинейной связи; sign(n2s) – знак нелинейного оптического коэффициента подложки n2s;
δ = β+/β−; коэффициенты 1, g и g1, стоящие перед
нелинейными членами, описывают относительные
вклады различных типов самомодуляции и кроссмодуляции мод с положительной и отрицательной
групповой скоростью [20–22].
В силу не принципиальности выбора положительного направления оси ζ можно выделить только два
различных случая распространения трех связанных
пучков. Первый (второй) случай соответствует распространению двух пучков мод с положительной (отрицательной) скоростью vg и одного пучка моды с
отрицательной (положительной) скоростью vg.
НУШ (2)–(5) при условии Cb
−= 0 описывают
первый случай распространения связанной тройки
пучков, в том числе и связанную тройку пространственных
солитонов
с
огибающими
вида
C = Υ(η) exp(ibζ), используемого авторами работ
[8–12, 18–19, 23–25]. Для этого случая НУШ (2)–(4)
редуцируются к виду:
1
2
∂2Υf
+
∂η2
+ bf
+Υf
+ +
Рис. 1. Планарный волновод на основе левоориентированной пленки и правоориентированной подложки с
эффектом Керра: покровная среда (x > h) – εc ≥1,
µc = 1; пленка (0 ≤x ≤h) – εf < 0, µf < 0; подложка
(x < 0) – εs = ε0s + n2s|Ey|2, ε0s ≥1, µs = 1, n2s ̸= 0
+ sign(n2s)

(Υf
+)2 + 2(Υb
+)2 + 2g(Υf
−)2 
Υf
+ = 0, (6)
Нелинейные уравнений Шредингера (НУШ) для
огибающих внутримодовых пучков вблизи частоты
1
2
∂2Υb
+
∂η2
−bb
+Υb
+ +
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024

Тройки связанных пространственных солитонов в тонкой левоориентированной пленке. . .
173
× exp

−ia2 3δg1 + 4gg1
8g2 −3g1
ζ

≈
+ sign(n2s)

2(Υf
+)2 + (Υb
+)2 + 2g(Υf
−)2 
Υb
+ = 0, (7)
7/5ath(aη) exp(−i7a2ζ/5),
(12)
1
2δ ∂2Υf
−
∂η2
+ bf
−Υf
−−
≈
p
−sign(n2s)

2g

(Υf
+)2+(Υb
+)2 
+g1(Υf
−)2 
Υf
−= 0. (8)
НУШ (2)–(5) при условии Cb
+
=
0 описывают
второй
случай
распространения
связанной
тройки пучков, в том числе и связанную тройку
пространственных солитонов с огибающими вида
C = Υ(η) exp(ibζ). Для этого второго случая НУШ
(2)–(5) редуцируются к виду:
1
2
∂2Υf
+
∂η2
+ bf
+Υf
+ +
(13)
+ sign(n2s)
h
(Υf
+)2 + 2g
h
(Υf
−)2 + (Υb
−)2ii
Υf
+ = 0,
Прямой подстановкой в уравнения (6)–(8) различных вариантов тройных комбинаций, составленных из выражений Υf,b
+,−= Af,b
+.−sch(aη) и Υf,b
+,−=
= Af,b
+,−th(aη), соответствующих светлым и темным
солитонам с нормированной шириной a, можно показать, что физически реализуемым вещественным
значениям амплитудных коэффициентов Af,b
+,−отвечает только два варианта.
Первый вариант решений уравнений (6)–(8), отвечающих тройкам связанных солитонов, можно получить при n2s > 0. Соответствующие этому варианту
связанные солитоны можно представить в форме:
1
2δ ∂2Υf
−
∂η2
+ bf
−Υf
−−
(14)
g1 + 2δg
Cf,b
+
=
s
8g2 −3g1
a th(aη) ×
−sign(n2s)
h
2g(Υf
+)2 + g1
h
(Υf
−)2 + 2(Υb
−)2ii
Υf
−= 0,
1
2δ ∂2Υb
−
∂η2
−bb
−Υb
−−
(15)
× exp

∓i3a2 g1 + 2δg
8g2 −3g1
ζ

≈
3/5a th(aη) exp(∓i9a2ζ/5),
(9)
≈
p
−sign(n2s)
h
2g(Υf
+)2 + g1
h
2(Υf
−)2 + (Υb
−)2ii
Υb
−= 0.
3δ + 4g
Cf
−=
s
8g2 −3g1
asch(aη) ×
× exp

ia2 4δg2 + 4gg1 + 1.5δg1
8g2 −3g1
ζ

≈
7/5asch(aη) exp(i19a2ζ/10),
(10)
≈
p
Поступая так же, как и при анализе первого случая, описываемого уравнениями (6)–(8), можно показать, что физически реализуемым решениям уравнений (13)–(15) отвечают только два варианта.
Первый вариант решений уравнений (13)–(15),
отвечающих тройкам связанных солитонов, можно
получить при n2s < 0. Соответствующие этому варианту связанные солитоны можно представить в
форме:
δ + 2g
Cf,b
−=
s
8g2 −3g1
a th(aη) ×
где (далее также) приближенные соотношения отвечают приблизительному равенству g1 ≈g ≈δ ≈1
(g1 < g < δ < 1), справедливому вблизи нуля групповой скорости моды [18–22]. Второй вариант таких решений уравнений (6)–(8) можно получить при n2s<0.
Соответствующие этому варианту связанные солитоны можно представить в форме:
× exp

∓i3a2 δg1 + 2gg1
8g2 −3g1
ζ

≈
g1 + 2δg
Cf,b
+
=
3/5a th(aη) exp(∓i9a2ζ/5),
(16)
s
8g2 −3g1
asch(aη) ×
≈
p
Cf
+ =
× exp

±ia2 4g2 + 6δg + 1.5g1
s
8g2 −3g1
ζ

≈
3g1 + 4δg
8g2 −3g1
acth(aη) ×
3/5asch(aη) exp(±i23a2ζ/10),
(11)
≈
p
× exp

ia2 4g2 + 4δg + 1.5g1
8g2 −3g1
ζ

≈
3δ + 4g
Cf,b
−=
7/5asch(aη) exp(i19a2ζ/10).
(17)
s
8g2 −3g1
ath(aη) ×
≈
p
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024

А. С. Буллер, Р. В. Литвинов
Второй вариант таких решений уравнений (13)–(15)
можно получить при n2s > 0. Соответствующие этому варианту связанные солитоны можно представить в форме:
δ + 2g
Cf,b
−=
s
8g2 −3g1
asch(aη) ×
× exp

±ia4δg2 + 6gg1 + 1.5δg1
8g2 −3g1
ζ

≈
3/5asch(aη) exp(±i23a2ζ/10),
(18)
≈
p
Cf
+ =
s
3g1 + 4δg
8g2 −3g1
a th(aη) ×
× exp

−ia2 3g1 + 4δg
8g2 −3g1
ζ

≈
7/5a th(aη) exp(−i7a2ζ/5).
(19)
≈
p
∆ω = 1.23 · 1013 рад/с (g1 = 0.05, g = 0.12, δ = 0.61)
и малой ∆ω = 1.01 · 109 рад/с (g1 = 0.97, g = 0.98,
δ = 0.99) отстроек соответственно.
В расчетах использовались параметры, взятые из
работ [20–22], для которых ω0 = 1.75 · 1015 рад/с. Рисунки 2a, b рассчитаны для положительной керровской нелинейности подложки n2s > 0, а рис. 2c, d –
для n2s < 0. При этом рис. 2a и c отвечают двум
вариантам первого возможного случая распространения связанной солитонной тройки (см. формулы
(9), (10) и (11), (12) соответственно), а рис. 2b и d
отвечают двум вариантам второго случая (см. формулы (18), (19) и (16), (17), соответственно). Численный анализ показал, что при монотонном увеличении отстройки ∆ω, трансформация огибающих темных и светлых солитонов, показанных пунктирными кривыми, в соответствующие огибающие, показанные сплошными кривыми, также является монотонной.
Отметим следующие особенности, влияющие на
характер изменения солитонных огибающих при изменении отстройки ∆ω. Волноводные моды с положительной групповой скоростью, vg
> 0, приближаются к режиму отсечки при увеличении отстройки ∆ω, а моды с vg < 0, наоборот, удаляются от него [7, 21]. Так как вблизи (вдали) отсечки удельная мощность, переносимая модами в нелинейной подложке, большая (маленькая), то с увеличением отстройки ∆ω вклад самомодуляции фазы в эффективность взаимодействия пучков мод с
vg > 0 (vg < 0) растет (падает). При увеличении отстройки ∆ω уменьшается перекрытие полей волноводных мод с противоположными групповыми скоростями, и, как следствие, уменьшается вклад кроссмодуляции фазы таких мод в эффективность взаимодействия. При этом вклад кросс-модуляции фазы
встречных мод с одинаковыми групповыми скоростями при изменении отстройки ∆ω изменяется аналогично вкладу самомодуляции.
Из рисунка 2 следует, что связанные тройки внутримодовых пространственных солитонов в рассматриваемом планарном волноводе при больших отстройках ∆ω имеют заметно большую мощность, чем
при малых отстройках ∆ω (сравни сплошные и пунктирные кривые на рис. 2). Это свидетельствует о
том, что уменьшение вкладов кросс-модуляции фазы
между пучками мод с противоположными скоростями vg и самомодуляции фазы пучка мод с vg < 0
при увеличении отстройки ∆ω является доминирующим и приводит к росту требуемой мощности солитонных режимов распространения. Такое доминирование в обоих вариантах распространения связанИз формул (9)–(12) и (16)–(19) следует, что во
всех вариантах связанных солитонных троек пара
встречных солитонов с одинаковой групповой скоростью образована солитонам одного типа: пара темных солитонов в первых вариантах каждого случая и
пара светлых во вторых вариантах. Поперечные огибающие и абсолютная величина фазового набега парных солитонов одинаковы в каждой тройке связанных пространственных солитонов. Непарный солитон с групповой скоростью, противоположной групповой скорости парных солитонов, наоборот, в первых вариантах каждого случая является светлым, а
во вторых вариантах является темным.
Следует отметить, что при n2s > 0 (n2s < 0)
связанные солитонные тройки образованы темными
(светлыми) солитонами с положительной групповой
скоростью и светлыми (темными) солитонами с отрицательной групповой скоростью, которые не могут
распространяться в таком волноводе поодиночке [8].
Из формул (9)–(12) и (16)–(19) следует сильная зависимость абсолютных максимумов солитонов
(для темных солитонов они определяются предельными значениями при η →∞) от коэффициентов
g1, g и δ, которые при заметной отстройке ∆ω от
частоты ноля групповой скорости ω0, могут значительно отличаться друг от друга (g1 < g < δ < 1)
[20–22]. Эта зависимость наглядно демонстрируется
рис. 2. Здесь сплошными и пунктирными кривыми
показаны различные солитонные огибающие (огибающие пары солитонов с групповой скоростью одного
знака совпадают) с одинаковой единичной нормированной шириной a = 1, рассчитанные для большой
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024

Тройки связанных пространственных солитонов в тонкой левоориентированной пленке. . .
175
Рис. 2. (Цветной онлайн) Огибающие троек связанных солитонов при ∆ω = 1.23 · 1013 рад/с (сплошные кривые) и при
∆ω = 1.01 · 109 рад/с (пунктирные кривые) для решений (9)–(10) – (а), (18)–(19) – (b), (11)–(12) – (c), (16)–(17) – (d)
инверсией светлых (темных) солитонов, сформированных волноводными модами с vg > 0 или vg < 0, в
темные (светлые) солитоны. Подобная инверсия была также отмечена при анализе связанных двоек и
четверок пространственных солитонов в аналогичном планарном волноводе [8, 19].
ных солитонных троек, соответствующих первому
случаю (см. рис. 2a и c), также приводит и к более
существенному увеличению абсолютного максимума
непарного солитона с vg < 0 при увеличении отстройки ∆ω по сравнению с вариантами, соответствующими второму случаю (см. рис. 2b и d), где непарный
солитон сформирован модами с vg > 0. При этом в
первом случае увеличение абсолютных максимумов
встречных парных солитонов с vg > 0 меньше, чем
увеличение абсолютных максимумов встречных парных солитонов с vg < 0 во втором случае. Отметим,
что при увеличении отстройки ∆ω разница между
максимумами солитонов с различным знаком групповой скорости в первом случае увеличивается значительно больше, чем во втором случае. При малой
отстройке ∆ω эта разница одинакова для всех вариантов.
Потенциальная возможность экспериментального наблюдения рассмотренных выше троек связанных пространственных солитонов обусловлена современными нанотехнологиями, которые позволяют
создавать реальные интегрально-оптические устройства различного назначения [26–32]. Однако получившие широкое распространение левоориентированные метаматериалы на основе металлодиэлектрических композитных структур могут обладать значительным поглощением света. В работах [33–39] представлены различные методы его компенсации, применение которых позволяет достигать предельно малых значений (∝10−6) мнимой части показателя преломления метаматериала [26, 27, 40–42]. Соответствующее поглощение света на типичных для планарных волноводов длинах распространения ∝1 см оказывается небольшим. В рассматриваемом волноводе с диэлектрической (непоглощающей) подложкой
Характерно, что переход от вариантов распространения связанных троек пространственных оптических солитонов в планарном волноводе с положительной керровской нелинейностью подложки
n2s > 0 (см. рис. 2a и b) к вариантам распространения связанных солитонных троек в планарном волноводе с n2s < 0 (см. рис. 2c и d) сопровождается
Письма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024

А. С. Буллер, Р. В. Литвинов
странения солитонов от частоты ноля групповой скорости абсолютные максимумы солитонов одинаковой
ширины увеличиваются, приводя к росту требуемой
мощности солитонных режимов распространения.
Финансирование работы. Данная работа финансировалась за счет средств бюджета института (Национальный исследовательский Томский политехнический университет). Никаких дополнительных грантов на проведение или руководство данным
конкретным исследованием получено не было.
Конфликт интересов. Авторы данной работы
заявляют, что у них нет конфликта интересов.
1. A. V. Novitsky and L. M. Barkovsky, J. Opt. A: Pure
Appl. Opt. 7, S51 (2005).
2. L. F. Shen and Z. H. Wang, J. Opt. Soc. Am. A 26, 754
(2009).
3. A. C. Peacock and N. G. R. Broderick, Opt. Express 11,
2502(2003).
4. А. В.
Новицкий,
Л. М.
Барковский,
Оптический
журнал 73, 8 (2006).
5. Z. H. Wang, Z. Y. Xiao, and S. P. Li, Opt. Commun.
281, 607(2008).
6. S. A. Taya, H. M. Kullab, and I. M. Qadoura, J. Opt.
Soc. Am. B 30, 2008 (2013).
7. D. A.
Konkin,
R. V.
Litvinov,
E. S.
Parfenova,
R. A. A.
Rakhim,
and
O. V.
Stukach,
Quantum
Electronics 46, 1040 (2016).
8. Ю. В. Зеленецкая, Р. В. Литвинов, Н. Р. Мелихова,
А. С. Спиридонова, Квантовая электроника 52, 749
(2022).
9. N. N. Rosanov, Progress in Optics 35, 1 (1996).
10. N. N. Akhmediev and A. Ankiewicz, Nonlinear pulses
and beams, Springer, N.Y. (1997).
11. Yu. S. Kivshar and G. P. Agraval, Optical Solitons. From
Fibers to Photonic Crystals, Academic Press, Rochester
(2003).
12. Г. Агравал, Нелинейная волоконная оптика, Мир, M.
(1996).
13. G. I. Stegeman and C. T. Seaton, J. Appl. Phys. 58, R57
(1985).
14. A. Boardman and P. Egan, IEEE J. Quantum Electron.
22, 319 (1986).
15. G. I. Stegeman, E. M. Wright, N. Finlayson, R. Zanoni,
and C. T. Seaton, J. Light. Technol. 6, 953 (1988).
16. M. Fontaine, J. Appl. Phys. 69, 2826 (1991).
17. L. Friedrich, G. I. Stegeman, P. Millar, C. J. Hamilton,
and J. S. Aitchison, Opt. Lett. 23, 1438 (1998).
18. A. Buller, R. Litvinov, and N. Melikhova, J. Opt. Soc.
Am. B 40, 12 (2023).
19. R. Litvinov and N. Melikhova, JETP Lett. 116, 18
(2022).
потери энергии волноводной моды на частоте вблизи нуля групповой скорости, близкой к частоте отсечки [7, 21], должны быть еще меньше, так как в
этом случае в левоориентированной пленке сосредоточено около половины всей переносимой мощности.
При этом в волноводах со специально легированной
стеклянной подложкой и высоким нелинейным оптическим коэффициентом порядка n2s ∝10−19 м2/Вт
[13, 15] постоянная нелинейной связи может при интенсивности света порядка Iin
∼
1015 Вт/м2 достигать нескольких десятков обратных сантиметров,
∝10 см−1 [21, 22], что свидетельствует о возможности создания экспериментальных условий, при которых влияние поглощения света на его самовоздействие будет пренебрежимо мало.
Следует отметить, что интенсивность темных солитонов, входящих в рассмотренные связанные солитонные тройки, на периферии (|η| ≫a) приближается к интенсивности волноводных мод, соответствующих плосковолновым решениям либо двух связанных НУШ (см. (9) и (16)), либо одного НУШ (см. (12)
и (19)). Такие моды могут обладать модуляционной
неустойчивостью [9–12, 20, 22, 43], которая развивается на длинах порядка нескольких сантиметров и приводит к мелкомасштабной самофокусировке. Возмущения на периферии темного солитона связаны с
возмущениями его центральной области, которые в
нелинейных средах, описываемых неинтегрируемыми НУШ могут носить различный характер и, в конечном итоге, приводят к коллапсированию исходного солитонного состояния [11, 44–48]. Распространение фундаментальных солитонов в средах с эффектом Керра описываются НУШ, полностью интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния
[11, 49–51]. Такие уравнения обладают устойчивыми
солитонными решениями [44, 52–56].
Таким образом, в планарном волноводе на основе
левоориентированной пленки и правоориентированных покровной среды и керровской подложки вдоль
одного направления могут распространяться тройки связанных пространственных оптических солитонов, сформированных на одной частоте быстрыми
ТЕ-модами с одинаковым модовым индексом и различным знаком групповой скорости vg. Существует четыре качественно различных варианта такого
распространения. При положительном (отрицательном) нелинейном оптическом коэффициенте подложки n2s возможно формирование пары встречных темных солитонов c vg > 0 (vg < 0) и светлого солитона
с vg < 0 (vg > 0), либо пары встречных светлых солитонов c vg < 0 (vg > 0) и темного солитона с vg > 0
(vg < 0). При увеличении отстройки частоты распроПисьма в ЖЭТФ
том 120
вып. 3 – 4
2024