Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 11-12 (Том 119)

Р О С С И Й С К А Я   А К А Д Е М И Я   Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основан в 1965 году      Выходит 24 раза в год
том 119
Главный редактор В. М. Пудалов
Редколлегия
Конденсированные среды: Г. Е. Воловик (зам. гл. редактора), Э. В. Девятов,
А. С. Иоселевич, К. Э. Нагаев, В. М. Пудалов, А. Л. Рахманов, А. А. Гиппиус, В. И. Альшиц 
Элементарные частицы и физика ядра: А. В. Нефедьев, И. В. Полюбин,
Н. Н. Николаев, Д. С. Горбунов
Гидродинамика, плазма: В. П. Пастухов (зам. гл. редактора),
К. В. Чукбар, Н. Л. Александров
Оптика, физика лазеров, нелинейная оптика: С. П. Кулик, О. Г. Косарева, А. В. Наумов 
Квантовая информатика: Ю. Г. Махлин
Гравитация, космология: А. А. Старобинский, М. Р. Гильфанов, К. А. Постнов,
Д. С. Горбунов
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»

Р О С С И Й С К А Я А К А Д Е М И Я Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 119
Выпуск 11
10 июня 2024
Журнал издается под руководством
Отделения физических наук РАН
Главный редактор В. М. Пудалов
Заместители главного редактора
Г. Е. Воловик, В. П. Пастухов
Зав. редакцией
И. В. Подыниглазова
Адрес редакции
119334 Москва, ул. Косыгина 2
тел./факс
(499)-137-75-89
e-mail
letters@kapitza.ras.ru
Web-страница
http://www.jetpletters.ru
Интернет-версия английского издания
http://www.springerlink.com/content/1090-6487
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Письма в ЖЭТФ” (составитель), 2024

Письма в ЖЭТФ, том 119, вып. 11, с. 785 – 795
© 2024 г. 10 июня
Проверка модели “бегущей аксиальной массы” на данных по
рассеянию мюонных нейтрино на ядрах в ближнем детекторе NOvA
И. Д. Какорин∗1), В. А. Наумов∗1), О. Б. Самойлов+∗1)
∗Объединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия
+Институт ядерных исследований РАН, 117312 Москва, Россия
Поступила в редакцию 17 апреля 2024 г.
После переработки 23 апреля 2024 г.
Принята к публикации 25 апреля 2024 г.
Феноменологическая модель с “бегущей аксиальной массой” (MArun) была ранее предложена для
расчета сечений квазиупругих взаимодействий нейтрино и антинейтрино с ядрами. Ее особенностью является простота имплементации в нейтринных генераторах, а значения всего лишь двух ее свободных
параметров были получены из глобального фита экспериментальных данных по полным и дифференциальным сечениям квазиупругих взаимодействий (анти)нейтрино с различными ядерными мишенями.
В данной статье представлено сравнение полного и дифференциальных сечений рассеяния мюонных
нейтрино, измеренных в ближнем детекторе эксперимента NOvA с результатами симулирования, выполненного с помощью монте-карловского генератора нейтринных событий GENIE v.3.4.0, в котором
предусмотрена возможность использования модели MArun как одной из опций.
DOI: 10.31857/S1234567824110016, EDN: ZHIGKW
Введение. Детальное экспериментальное и теоретическое изучение сечений взаимодействия нейтрино с ядрами в широкой кинематической области
необходимо для проверки Стандартной Модели (СМ)
и инспирированной ею феноменологии, для многочисленных астрофизических приложений, а также
для обработки и интерпретации экспериментов, изучающих свойства нейтрино за пределами СМ, в частности, экспериментов по нейтринным осцилляциям.
В современных ускорительных экспериментах с
длинной базой и двумя детекторами – ближним и
дальним (как, например, в NOvA [1] и T2K [2]) практикуется тонкая настройка модели взаимодействия
на данные измерений ближнего детектора. Такая настройка, безусловно, необходима, но все же не позволяет полностью устранить неопределенности модели
при ее экстраполяции на дальний детектор, в который нейтрино приходят лишь из малого телесного
угла вблизи оси пучка и, следовательно, работающий с энергетическим спектром нейтрино, искаженным по сравнению со спектром в ближнем детекторе,
даже если детекторы расположены соосно.
При совместном анализе нескольких экспериментов, индивидуальные настройки моделей взаимодействия тем более не работают по очевидным причинам. С другой стороны, планируемые экспери1)e-mail: kakorin@jinr.ru; vnaumov@theor.jinr.ru;
samoylov@jinr.ru
менты следующего поколения, такие как DUNE [3],
T2HK [4], T2HKK [5], P2O [6], потребуют качественно, в разы увеличить точность расчета сечений.
Современное состояние теории пока этого не позволяет. Поэтому на данном этапе для совместного
анализа осцилляционных экспериментов представляется необходимым применение имеющихся универсальных (микроскопических и феноменологических)
моделей, проверенных или отфитированных на возможно большем наборе данных независимых ускорительных экспериментов с разными мишенями в широком диапазоне энергий.
В работе проводится сравнение одной из таких
феноменологических моделей [7–9], развитой для
описания квазиупругого рассеяния нейтрино и антинейтрино на ядрах и имплементированной в монтекарловский генератор нейтринных событий GENIE
[10], с недавно опубликованными результатами измерений взаимодействий мюонных нейтрино заряженным током в ближнем детекторе NOvA [1].
Данные
эксперимента
NOvA
представлены
в
виде усредненных
по
спектру
нейтрино
инклюзивных
сечений:
двойного
дифференциального
d2σ/d cos θµdTµ,
дифференциального
dσ/dQ2,
а
также отношения полного сечения, σ(Eν), к энергии
нейтрино Eν; здесь Tµ
– кинетическая энергия
мюона, θµ – угол его вылета относительно направления импульса нейтрино и Q2 – модуль квадрата
4-импульса переданного от нейтрино к мюону.
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 11 – 12
2024
785

И. Д. Какорин, В. А. Наумов, О. Б. Самойлов
фигурации, так называемые CMC (Comprehensive
Model Configurations).
Для симуляции квазиупругих событий мы использовали
модель
релятивистского
Ферми-газа
(РФГ) Смита–Моница [11] (с небольшим видоизменением [12] и уточненными значениями параметров
РФГ – импульсов Ферми и энергий связи) с опцией
“MArunAxialFormFactorModel”,
подключающей
эмпирическую модель с бегущей аксиальной массой (MArun).
Данная модель
была
предложена
для расчета сечений квазиупругих (CCQE) [7, 8]
и
квазиупруго-подобных
(CCQE-like)
[9]
взаимодействий нейтрино и антинейтрино с ядрами,
индуцированных заряженным током. Для этого в
стандартной дипольной параметризации аксиального форм-фактора, FA(Q2) = FA(0)/(1 + Q2/M 2
A)2,
вместо постоянного параметра, – токовой аксиальной
массы нуклона, MA, предложено использовать зависящую от энергии нейтрино, “бегущую” аксиальную
массу, которая в лаб. системе может быть параметризована простой зависимостью M run
A
= M0(1+E0/Eν).
Здесь энергия Eν, трактуется как лоренц-инвариант,
Eν = (s −M 2)/2M, где M – масса нуклона, s –
переменная Мандельштама, а универсальные (не
зависящие от ядра-мишени) константы M0 и E0
находятся из глобального фита имеющимся (на
2013 г.) ускорительных данных по CCQE и CCQElike
взаимодействиям
(анти)нейтрино
с
ядрами,
включая прецизионные результаты экспериментов
NOMAD [13] (полные сечения) и MiniBooNE [14, 15]
(дважды дифференциальные сечения).
Найденные в [8, 9] значения параметров равны
M0 = 1.008 ± 0.025 ГэВ, E0 = 331+57
−54 МэВ. Постоянную M0 можно интерпретировать как токовую аксиальную массу, так как при высоких энергиях (Eν ≫
E0) с хорошей точностью можно пренебречь эффектами РФГ и считать, что рассеяние происходит на
свободном нуклоне. Значение M0, действительно, согласуется в пределах ошибок с величиной M D
A =
1.003 ± 0.083 ГэВ, полученной из анализа данных на
дейтериевых мишенях, в котором учитывались эффекты обменных мезонных токов (ОМТ) в приближении однопионного обмена в статическом пределе. Оно также согласуется с результатами предыдущих глобальных анализов [7, 12]. Кроме того, модель
MArun вполне удовлетворительно описывает большой массив не вошедших в фит данных экспериментов T2K ND280 [16, 17] и MINERvA [18, 19] и
MiniBooNE [14, 15, 20], где эффекты ОМТ эмпирически учитываются зависимостью M run
A
от энергии. Разумеется, модель не может претендовать на детальное описание данных в кинематических областях, в
В расчете сечений необходимо аккуратно учесть
элементный
состав
детектора
и
энергетический
спектр пучка νµ. Поскольку этот спектр сравнительно широк, события в детекторе генерируются при
взаимодействиях многих типов – от квазиупругого
до глубоко неупругого. Все они, как и вторичные
взаимодействия с ядром адронов, рождающихся в
неупругих столкновениях, моделируются с помощью
генератора GENIE v.3.4.0, без какой-либо настройки
на данные NOvA. Также обсуждается сравнение
с предсказаниями нескольких других популярных
моделей.
1.
Характеристики
детектора
и
пучка
NOvA.
Ближний
детектор (ND)
является трековым калориметром с размерами 4 × 4 × 16 м и
активной массой 193 т, состоящим из вертикально и
горизонтально ориентированных прямоугольных поливинилхлоридных ячеек с шириной 3.9 см, длиной
3.9 м и глубиной 6.6 см в направлении пучка, заполненных жидким сцинтиллятором – смесью из 95 %
минерального масла и 5 % 1, 2, 4-триметилбензола
с добавлением флуоресцентных светосмещающих
добавок. В результате рабочий объем ND в массовых
долях состоит из 67 % углерода, 16 % хлора, 11 %
водорода, 3 % титана, 3 % кислорода и менее 1 %
других элементов.
Укорительный комплекс NuMI (Neutrinos at Main
Injector) лаборатории Ферми (США) в так называемой “нейтринной конфигурации” обеспечивает поток νµ с примесью 1.8 % νµ и 0.7 % νe + νe при
Eν = 1−5 ГэВ. Нейтрино и антинейтрино рождаются
в 650-метровом распадном канале из распадов пионов, каонов и вторичных мюонов. Пионы и каоны
рождаются при столкновениях протонов с энергией
120 ГэВ из Главного Инжектора (протонного синхротрона) с графитовой мишенью и фокусируются парой магнитных горнов. Ближний детектор расположен под углом 14.6 мрад к направлению центральной оси пучка нейтрино. Спектр νµ имеет характерный узкий “пионный” пик при энергии Eν ≃1.8 ГэВ
и широкий “каонный” пик при Eν ≃12 ГэВ. При
Eν = 20 ГэВ интенсивность νµ уменьшается почти
в 420 раз по сравнению с максимальным значением.
2. Моделирование. В генераторе GENIE v.3.4.0
столкновения (анти)нейтрино с ядрами разыгрываются независимо для каждого из каналов (квазиупругого, резонансного, глубоко неупругого, и т.д.) с
использованием специализированных моделей и учетом их относительного вклада в суммарное число событий. Как правило, для каждого типа процессов в
генераторе предусмотрено несколько взаимозаменяемых моделей, из которых строятся комплексные конПисьма в ЖЭТФ
том 119
вып. 11 – 12
2024

Проверка модели “бегущей аксиальной массы” на данных по рассеянию мюонных нейтрино. . .
787
в GENIE и в ряде других нейтринных генераторов значения “по умолчанию” 1.12±0.06 ГэВ,
полученного в предыдущем глобальном анализе [25] (включающем также данные на ядрах
тяжелее дейтерия), являются усовершенствование процедуры фитирования, учет современных данных по параметрам нуклонных и барионных резонансов (масс, полных и парциальных ширин) [26], корректировка части данных
АНЛ и БНЛ [27], а так же совместное фитирование M RES
A
и параметра fNRB, задающего
общий масштаб для нерезонансного нейтринорождения одиночных пионов.
которых вклад ОМТ доминирует (например, в данных по эксклюзивным и полуинклюзивным реакциям с регистрацией пары конечных нуклонов).
Для расчета нейтринорождения пионов использовалась модифицированная к особенностям генератора GENIE, “расширенная” модель Рейна–Сегал
(РС) [21] – так называемая модель КЛН-БС (аббревиатура из начальных букв фамилий ее авторов
[22, 23]). В этой модели была учтена поляризация
и масса конечного заряженного лептона [22], а так
же вклад пионного полюса в адронный аксиальный
ток [23]. По ряду причин в текущей версии GENIE
(как и в более ранних версиях) учтены не все аспекты КЛН-БС-модели. Наиболее важные модификации (часто это вынужденные упрощения) заключаются в следующем.
• Не учитывается интерференция между резонансами с одинаковыми спинами и орбитальными угловыми моментами конечного Nπ состояния, что позволяет сравнительно просто включить в моделирование множественное рождение пионов и других легких мезонов. Учет этих
процессов необходим для корректного описания
нейтринных взаимодействий в кинематической
области промежуточной между резонансной и
глубоко неупругой.
• Нерезонансный механизм рождения пионов, используемый в моделях РС и КЛН-БС, заменен
в GENIE более универсальным полуэмпирическим механизмом сшивки в вышеупомянутой
промежуточной кинематической области.
• Во избежание “двойного счета”, отрезаны нефизические “хвосты” резонансов в области их пересечения.
В данном расчете была сделана еще два существенных изменения.
• Для брейт-вигнеровских функций, аппроксимирующих форму резонансов не используется введенная в [21] перенормировка. Детальная
аргументация в пользу такого упрощения изложена в работе [24].
Для генерации событий от остальных вкладов
(глубоко неупругого, когерентного, дифракционного
и т.д.) использовались те же модели, что и в наборе
настроек модели GENIE CMC G18_10a [10].
3. Сравнение экспериментальных данных с
результатами Монте-Карло симуляции. В расчетах мы использовали элементный состав мишени
NOvA ND, обсуждавшийся выше, и энергетический
спектр νµ с Eν < 20 ГэВ из [1], но с более детальным
биннингом. Приведенные ниже двойные и одинарные дифференциальные сечения следует понимать
как инклюзивные сечения, усредненные по энергетическому спектру. На рисунке 1 представлено сравнение измеренного дважды дифференциального инклюзивного сечения, d2σ/d cos θµdTµ, с результатами
Монте-Карло симулирования, выполненного в модели с “бегущей аксиальной массой”.
На рисунке 2 показаны аналогичные сравнения
для дифференциального сечения dσ/dQ2 и отношения полного сечения σ(Eν) к энергии нейтрино. Гистограммы с разным типом штриховки показывают вклады трех основных процессов в инклюзивные сечения: квазиупругий (включая квазиупругоподобный), резонансное рождение одиночных пионов
и глубоко неупругий. Суммарное сечение включает
эти и все остальные, относительно небольшие вклады, такие как множественное рождение легких мезонов, когерентное и дифракционное взаимодействия,
рождение чарма. Эти вклады наиболее заметны при
малых углах, cos θµ ≳0.98. Для всех типов взаимодействий учитываются эффекты внутриядерного
каскадирования и взаимодействия в конечном состоянии, включенные в GENIE v.3.4.0.
Результат симулирования хорошо описывает данные, представленные на рис. 1 при 0.50 < cos θµ <
0.91. Вне этой области модель систематически недооценивает данные: для бинов с 0.91 < cos θµ < 0.99
при сравнительно больших кинетических энергиях
• Для важного параметра модели, так называемой “резонансной” аксиальной массы, M RES
A
,
мы использовали значение 1.18 ± 0.07 ГэВ, найденное из глобального фита данных по нейтринорождению одиночных пионов, полученных
в экспериментах АНЛ, БНЛ, ФНАЛ и ЦЕРН
с дейтериевыми и водородными пузырьковыми камерами [24]. Основными причинами отличия нового значения M RES
A
от используемого
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 11 – 12
2024

И. Д. Какорин, В. А. Наумов, О. Б. Самойлов
Рис. 1. (Цветной онлайн) Сравнение двойного дифференциального инклюзивного сечения рассеяния νµ на ядрах с
заряженным током, d2σ/d cos θµdTµ, измеренного в ближнем детекторе NOvA [1], с результатами моделирования,
выполненного с помощью МК генератора нейтринных событий GENIE v.3.4.0 с опцией “бегущая аксиальная масса”
(MArun); подробности моделирования приведены в основном тексте. Гистограммами с разной штриховкой показаны
квазиупругий, резонансный и глубоко неупругий вклады в суммарное сечение (см. легенду). Черными точками показаны экспериментальные данные (с полными ошибками), вошедшие в окончательный анализ NOvA, а белыми –
дополнительные данные. Каждая панель отвечает указанному интервалу значений cos θµ. На нижней правой панели
показано сечение, полученное объединением всех угловых интервалов
расхождения не превышают одного стандартного отклонения.
В случае дифференциального сечения dσ/dQ2
мюона (т.е. правее пиков), а для бинов с 0.99 <
cos θµ < 1 – при малых энергиях (т.е. левее пиков).
Итоговое распределение, которое получается объединением всех угловых интервалов с cos θµ > 0, 5 (нижняя правая панель рис. 1), недооценивает экспериментальные данные примерно для трети бинов, но
(см. рис. 2a), расчет хорошо согласуется с данными при всех значениях квадрата переданного 4импульса, за исключением единственного (предпоПисьма в ЖЭТФ
том 119
вып. 11 – 12
2024

Проверка модели “бегущей аксиальной массы” на данных по рассеянию мюонных нейтрино. . .
789
Рис. 2. (Цветной онлайн) Сравнение дифференциального инклюзивного сечения рассеяния νµ на ядрах с заряженным
током, dσ/dQ2 (a) и отношения полного сечения σ(Eν) к энергии нейтрино Eν (b), измеренных в ближнем детекторе
NOvA [1], с результатами моделирования, выполненного с помощью МК генератора GENIE v.3.4.0 с опцией MArun;
подробности моделирования приведены в основном тексте. Обозначения те же, что на рис. 1
Для сравнения расчетов с данными будем использовать три следующие величины:
(Ei −Ti)2
σ2
i
,
(1)
i
χ2
diag =
X
χ2
tot = (E −T)T W−1
tot (E −T) ,
(2)
δ2
.
(3)
χ2
sh = (E −NT)T W−1
sh (E −NT) + (N −1)2
Здесь E and T – векторы, составленные из усредненных по бину экспериментальных данных, Ei, и модельных предсказаний, Ti, соответственно; Wtot =
||Wij|| – полная ковариационная матрица, Wsh – ковариационная матрица, относящаяся к форме (“шейпу”), т.е. зависимости данных от измеряемых кинематических переменных, и не учитывающая неопределенности общей нормировки данных; δ = 0.112 –
средняя относительная неопределенность общей нормировки бинов; σi = √Wii – полная ошибка измерения для i-го бина. Все данные взяты с публичного
сайта NOvA [42].
Корреляционные матрицы, соответствующие ковариационным матрицам Wtot и Wsh для трех типов
данных показаны на рис. 3, 4 и 5. Из этих рисунков
видно, например, что б´
ольшая часть данных каждого типа сильно коррелированна (см. панели (a) на
рис. 3, 4 и 5), но после вычета из полной матрицы
Wtot ковариаций, обусловленных неопределенностями нормировок потока и сечений появляются обласледнего) бина. Расчет отношения σ(Eν)/Eν согласуется с экспериментом во всем энергетическом диапазоне 0.5 ГэВ < Eν < 5 ГэВ, за исключением трех
бинов, в которых, однако, разногласия малы.
Для более объективного, количественного сравнения мы обсудим здесь результаты подробного
анализа, учитывающего корреляции ошибок данных. В анализе мы также будем сравнивать расчеты, выполненные в работе [1] для ряда конкурентных моделей взаимодействия нейтрино с ядрами. Помимо базовой модели NOvA, так называемой
“GENIE v2.12.2 – NOvA Tune” [28], основанной на версии GENIE v2.12.2 [29, 30], но существенно доработанной и настроенной для наилучшего согласия с
данными NOvA ND [1], мы рассматриваем исходную (не адаптированную к данным NOvA) модель,
инкорпорированную в генератор GENIE v2.12.2, и
модель (CMC) N18-10j-02-11a, входящую в более позднюю версию GENIE v3.00.06 [31, 32]. Кроме этого, мы рассматриваем модели, включенные в
нейтринные МК генераторы NEUT v5.4.0 [33–35] и
NuWro [36, 37], а также в GiBUU [38, 39], – более
общий инструмент симуляции адронных и электрослабых реакций на ядрах. Все эти генераторы широко используются при планировании, обработке и
интерпретации результатов экспериментов с ускорительными и атмосферными нейтрино. Их основные
особенности и сравнительные характеристики можно найти в обзорах [40, 41].
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 11 – 12
2024

И. Д. Какорин, В. А. Наумов, О. Б. Самойлов
Рис. 3. (Цветной онлайн) Корреляционные матрицы, соответствующие ковариационным матрицам Wtot (a) и Wsh
(b) для d2σ/d cos θµdTµ. Нумерация бинов идет в направлении слева направо и сверху вниз по первым тринадцати
панелям рис. 1. Цветовая шкала справа относится к обеим панелям
Рис. 4. (Цветной онлайн) Корреляционные матрицы, соответствующие ковариационным матрицам Wtot (a) и Wsh (b)
для dσ/dQ2. Бины нумеруются в направлении роста значений Q2 на рис. 2a. Цветовая шкала та же, что на рис. 3
систематические ошибки и ковариации, а χ2
sh включает штрафной член. Сравнивать друг с другом следует лишь однотипные χ2-характеристики, рассчитанные для разных моделей взаимодействия.
сти со слабой корреляцией и даже с сильной антикорреляцией (см. панели (b) на рис. 3, 4 и 5). Корреляционные коэффициенты и ковариации значительно
варьируются в разных областях значений кинематических переменных Tµ, θµ, Q2 и Eν.
Нетривиальная структура корреляционных матриц показывает, что оценка качества описания данных с помощью χ2
diag была бы не просто слишком
грубой, но часто приводящей к диаметрально противоположным выводам. Поэтому ниже мы приводим
такие оценки лишь для иллюстрации важности учета
корреляций. Отметим так же, что не имеет смысла
сравнивать между собой приведенные ниже значения величин χ2
tot и χ2
sh, поскольку ковариационная
матрица Wsh не содержит доминирующих вкладов в
Приведенная выше оценка величины δ (11.2 %)
получена как средневзвешенное значение по ошибкам всех бинов измеренного двойного дифференциального сечения. Доминирующим вкладом в значение δ является неопределенность потока нейтрино,
достигающая ±20 % при Eν ≲200 МэВ, ±15 % при
Eν ≳4 ГэВ и равная в среднем ±9.1 %. Вклады
от всех источников неопределенности нормировки
практически 100-процентно коррелируют друг с другом и с остальными систематическими ошибками.
Статистические ошибки, в среднем равные ±1.6 %,
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 11 – 12
2024

Проверка модели “бегущей аксиальной массы” на данных по рассеянию мюонных нейтрино. . .
791
Рис. 5. (Цветной онлайн) Корреляционные матрицы, соответствующие ковариационным матрицам Wtot (a) и Wsh (b)
для σ(Eν)/Eν. Бины нумеруются в направлении роста значений Eν на рис. 2b. Цветовая шкала та же, что на рис. 3
очень слабо коррелируют с систематическим – средневзвешенный корреляционный коэффициент равен
0.0031 (ср. с 0.71 для усредненной полной систематической ошибки).
Нормировочный фактор N в (3) определяется из
условия минимума ∂χ2
sh/∂N = 0:
N = 1 + δ2TT W−1
sh E
1 + δ2TT W−1
sh T.
(4)
Очевидно, N →1 при δ →0. Зависимость N от
δ ослабевает с ростом δ. Применительно к данным
NOvA, зависимость N от δ становится несущественной при δ ≳9 %. Учитывая этот факт, ниже мы используем оценку δ = 11.2 % также для анализа данных по dσ/dQ2 и σ(Eν)/Eν.
В таблице 1 приведены значения нормировочного
фактора (с полными ошибками) для трех типов данных и семи моделей, полученные стандартной нормировкой расчетов на площадь; именно такой способ
нормировки был использован в работе [1]. Для сравнения в табл. 1 приведены так же ошибки нормировок, оцененные по диагональным значениям матрицы Wtot, т.е. без учета корреляций. Видно, что пренебрежение корреляциями занижает реальные ошибки в 8.2 раза (!) для d2σ/d cos θµdTµ и в 3.3 раза для
dσ/dQ2 и σ(Eν)/Eν. Уже этот простой пример хорошо иллюстрирует определяющую роль корреляций
при количественном сравнении модельных расчетов
с данными NOvA.
Значения N, полученные нормировкой на площадь не являются оптимальными в том смысле, что
не обеспечивают наилучшего описания данных по
форме. Поэтому они могут (и, вообще говоря, должны) отличаться от соответствующих значений N,
следующих из (4). Эти отличия хорошо видны из
сравнения нормировок, представленных в табл. 1 и 2:
в некоторых случаях разница не превышает 0.5 %, но
чаще достигает нескольких процентов (максимум –
8.8 %). При этом разница всегда укладывается с запасом в полные ошибки, приведенные в табл. 1, так
что два способа нормировки формально друг другу
не противоречат.
На
рисунке 6
показаны
отношения
усредненных
по
спектру
нейтрино
значений
сечений
d2σ/d cos θµdTµ, рассчитанных в нескольких моделях
нейтрино-ядерных взаимодействий, к соответствующим экспериментальным значениям. Результаты
показаны в представлении линейного биннинга, как
подробно поясняется в подписи к рис. 6. На панели
(a) рис. 6 представлены отношения для абсолютных
(неперенормированных) модельных предсказаний,
а на панели (b) рис. 6 – для перенормированных,
с
нормировочными
коэффициентами, даваемыми
формулой (4), полученной минимизацией величины
χ2
sh.
Найденные
значения
нормировочных
коэффициентов и трех χ2-характеристик приведены в
табл. 2.
Данные, показанные на рис. 1 и 6 белыми кружками (14 бинов), имеют сравнительно большие статистические и систематические ошибки и исключены
из официального анализа NOvA. Они не участвуют
в расчете нормировок и значений χ2, приведенных в
табл. 2 и показаны здесь, чтобы продемонстрировать,
что модель MArun этим данным не противоречит.
Как видно из рис. 6 и табл. 2, неперенормированные предсказания разных моделей не согласуются
друг с другом. После перенормировок разногласия
между моделями значительно уменьшаются, но треПисьма в ЖЭТФ
том 119
вып. 11 – 12
2024