Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 7-8 (Том 119)

Р О С С И Й С К А Я   А К А Д Е М И Я   Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Основан в 1965 году      Выходит 24 раза в год
том 119
Главный редактор В. М. Пудалов
Редколлегия
Конденсированные среды: Г. Е. Воловик (зам. гл. редактора), Э. В. Девятов,
А. С. Иоселевич, К.Э.Нагаев, В. М. Пудалов, А. Л. Рахманов, А. А. Гиппиус, В. И. Альшиц 
Элементарные частицы и физика ядра: А. В. Нефедьев, И. В. Полюбин,
Н. Н. Николаев, Д. С. Горбунов
Гидродинамика, плазма: В. П. Пастухов (зам. гл. редактора),
К. В. Чукбар, Н. Л. Александров
Оптика, физика лазеров, нелинейная оптика: С. П. Кулик, О. Г. Косарева, А. В. Наумов 
Квантовая информатика: Ю. Г. Махлин
Гравитация, космология: А. А. Старобинский, М. Р. Гильфанов, К. А. Постнов,
Д. С. Горбунов
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»

Р О С С И Й С К А Я А К А Д Е М И Я Н А У К
П И С Ь М А
В
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
том 119
Выпуск 7
10 апреля 2024
Журнал издается под руководством
Отделения физических наук РАН
Главный редактор В. М. Пудалов
Заместители главного редактора
Г. Е. Воловик, В. П. Пастухов
Зав. редакцией
И. В. Подыниглазова
Адрес редакции
119334 Москва, ул. Косыгина 2
тел./факс
(499)-137-75-89
e-mail
letters@kapitza.ras.ru
Web-страница
http://www.jetpletters.ru
Интернет-версия английского издания
http://www.springerlink.com/content/1090-6487
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Письма в ЖЭТФ” (составитель), 2024

Письма в ЖЭТФ, том 119, вып. 7, с. 475 – 480
© 2024 г. 10 апреля
К теории катастроф для гомологий Хованова–Рожанского
А. Анохина1)
Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия
Поступила в редакцию 17 февраля 2024 г.
После переработки 5 марта 2024 г.
Принята к публикации 6 марта 2024 г.
Мы предлагаем еще один способ рассматривать наблюдаемые в когомологической квантовой теории
поля, которые являются инвариантами узлов Хованова(–Рожанского). Для этого мы кратко резюмируем наши результаты относительно скачков в аналитических формулах для полиномов Хованова(–
Рожанского). Из эмпирических данных мы заключаем, что здесь имеют место “регулярные” и “странные” катастрофы, которые кардинально различаются видом связанных с ними скачков в полиномах
Хованова(–Рожанского). Это первый шаг к теории катастроф для наблюдаемых в когомологической
квантовой теории поля.
DOI: 10.31857/S1234567824070012, EDN: KRBBVK
1. Введение. В последние несколько десятилетий топологические объекты активно изучаются
в физическом контексте, так как они связаны с
непертурбативными эффектами в различных физических моделях [1]. Относительно простым, но глубоко нетривиальным топологическим объектом являются узлы. Узлы возникают как топологи-ческие
классы вильсоновских петель в квантовой теории поля, а инварианты узлов играют роль наблюдаемых в
топологических квантовых теориях поля (таких, как
трехмерная теория Черна–Саймонса), где существенен только топологический класс вильсоновской петли [2]. С другой стороны, узлы можно использовать
для описания квантовой запутанности, а инварианты узлов могут иметь приложения к теории топологического квантового компьютера [3]. В настоящем
письме мы обсуждаем возможный подход к классу
инвариантов узлов, который весьма близок к Теории
катастроф для динамических систем.
Теория катастроф [4] – это мощный метод математической физики для изучения нелинейных динамических систем [5]. Обычно он применяется к системам дифференциальных уравнений, но близок по
духу к гомологи-ческому исчислению в топологии [6].
Своего рода гибрид этих двух областей известен как
когомологическая квантовая теория поля (ККТП)
[7–10]. Такие модели представляются очень интересными и глубокими, и они могли бы быть полезны в различных приложениях как новые инструменты теории катастроф. Наша задача – использовать
гомологическое исчисление для узлов, чтобы раз1)e-mail: anokhina@itep.ru
вивать “Когомологическую теорию катастроф”. Под
этим мы понимаем изучение семейства конструктивно определенных моделей ККТП, связанных с гомологиями Хованова–Рожанского [11–14] для различных семейств узлов [15–17].
В обычном и изначальном смысле теорий катастроф называют метод работы с функциями, которые в ответ на непрерывное изменение аргумента
испытывают дискретный скачок. Здесь же речь о
функции дискретной величины: набора целых чисел – параметров, задающих узел внутри заданного семейства узлов. Основное сообщение этого письма состоит в том, что с этой функцией тем не менее можно работать методом, аналогичным классической теории катастроф. А именно, в определенных
областях пространства параметров данная функция
удовлетворяет разностным уравнениям и задается
выражением, которое допускает аналити-ческое продолжение от целых к произвольным вещественным
значениям параметров (для краткости мы здесь называем такую зависимость аналитической). В отличие от этого, на границах областей функция меняется скачком, который нарушает аналитическую зависимость, а разностные уравнения не выполняются.
Как именно это может происходить, иллюстрируют
примеры ниже. Каждый случай подробнее разобран
в предыдущих работах нашей группы, приведенных
в списке литературы. Здесь мы хотим подвести итог
этим исследованиями и сделать выводы из накопленного материала.
2. Два основных вида катастроф полиномов KhRN. Полином Хованова–Рожанского для калибровочной группы SUN (KhRN) в качестве индекПисьма в ЖЭТФ
том 119
вып. 7 – 8
2024
475

А. Анохина
двунитевого торического узла [12], который является
стандартным замыканием двунитевой параллельной
косы (рис. 1a),
KhTor2,2n+1 = (−t)−Θ−nq2nF2n+1(q2t),
Θn =
0, n < 0
,
(
1, n ≥0
(2)
F2n+1(λ) = 1 + λ2 1 −λ2n
1 −λ
=
=
(
1 + λ2 + λ3 + . . . + λ2n+1,
n ≥0
−λ −λ−1 −λ−2 −. . . −λ2−2n n < 0
.
q , 1
При n > 0 F2n+1(λ) – положительный полином от λ,
чьи коэффициенты есть размерности гомологий Kh.
При n < 0, F2n+1(λ) – отрицательный полином, чьи
коэффициенты не могут быть размерностями гомологий. Однако множитель (−t)−Θ−n изменяет свое
значение с 1 при n > 0 на −t−1 при n < 0 и компенсирует знаки2). Граничное условие для Kh сохраняется, так как (−t)Θ−n ≡1 при t = −1. Как показывает непосредственная проверка, (2) согласовано
с зеркальной симметрией для полиномов Хованова
[11], а именно: KhTor2,2n+1
2
(q, t) = KhTor2,−2n−1
2
 1
t


.
Скрученный узел, который получается с помощью замыкающего элемента из двунитевой антипараллельной косы (рис. 1b), имеет полином Kh
са ранг группы N, зависит от формальной “квантовой” переменной q и от формальной “гомологической” переменной t, а также равен полиному ХОМФЛИ в качестве граничного условия при t = −1:
KhRN

t = −1, q


= HN(q). Коэффициенты при степенях q и t в KhRN нумеруют размерности гомологий, и поэтому они целые положительные. Ниже
мы называем полином Лорана со всеми положительными (отрицательными) коэффици-ентами положительным (отрицательным) полиномом, а полином с
различными знаками коэффициентов – знаконеопределенным.
Формализм R-матриц для полинома ХОМФЛИ
[18] подразумевает, что полиномы ХОФМЛИ для семейства узлов, порожденного эволюцией диаграммы
узла, то есть вставкой в ее некое место повторяющегося фрагмента (например, двунитевой косы с 2n+ 1
пересечениями), аналитически зависит от параметров семейства ni через экспоненты λni
i , где λi (которые мы называем собственными значениями) – общие для семейства узлов, и, более того, для многих
семейств узлов [19]. Удивительным образом, очень
похожее экспоненциальное поведение на тех же семействах узлов наблюдается для полиномов KhRN
[15–17] – с точностью до отдельных скачков в аналитических выражениях, которые в силу граничного
условия имеют вид KhRN →KhRN + (1 + t)KhR′′
N.
С тем же успехом можно написать:
KhTw2n = (−t)−Θn(q2t)−2nG2n(q2t),
KhRN = KhR′
N + (−t)ΘsKhR′′
N,
G2n(λ) = 1 + λ
Θs =
0, s < 0
,
(1)

1 + λ2
 
1 −λ2n

(
1, s ≥0
1 −λ
,
(3)
похожий на таковой для двунитевого торического узла3). Более того, можно аналогичным образом рассмотреть некий гибрид двунитевых торических и
скрученных узлов [21].
Множественные двунитевые косы в “тонких”
крендельных узлах. Следующий случая – это крендельный узел рода g, Pn0,...,ng (рис. 1c). Как показано в [16], аналитическая формула для полинома
Kh узла Pn0,...,ng существует при всех ni > 0. Далее,
есть ряд так называемых регулярных областей в пространстве параметров {ni}, где некоторые ni < 0 и
2)Ценой уменьшения всех степеней t на 1, что соответствует сдвигу последовательности гомологических размерностей
на один относительно последовательности пространств комплекса.
3)Заметим, что зеркальный образ скрученного узла имеет
также зеркально отраженный замыкающий элемент (рис. 1b),
так что Tw−2n – не зеркальный образ Tw2n. В [20] узел (2n)1 –
зеркальный образ Tw−2n, а узел (2n −1)2 топологически эквивалентен Tw2n.
– где s зависит как от параметров семейства {ni},
так и от начального узла (с ni = 0), но ни KhR′
N,
ни KhR′′
N не имеют скачков в окрестности точки
s = 0. Мы называем такие нарушения аналитической
зависимости катастрофами KhRN (по аналогии с
катастрофами аналитических решений нелинейных
ОДУ).
3. Регулярные катастрофы. В настоящем разделе мы рассмотрим случаи, когда KhR′′
N в (1)
есть полином KhRN для двунитевого узла, либо
его небольшая модификация (см. примеры ниже).
Мы называем такие катастрофы регулярными. Комплекс KhRN для двунитевой косы имеет практически одинаковый вид для всех N [14]. Поэтому мы
можем сосредоточиться здесь на полиноме Хованова Kh ≡KhR2, к которому относятся большинство
наших явных формул.
Двунитевые торические и скрученные узлы. Основная составляющая в примерах ниже – это Kh
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 7 – 8
2024

К теории катастроф для гомологий Хованова–Рожанского
477
Рис. 1. (a), (b) – Двунитевой торический и скрученный узлы. (c) – Крендельный узел
|ni| достаточно велики, а полиномы Хованова удовлетворяют
KhPn0,...,ng = (−t)aKhPn0>0,...,ng>0
(4)
для некоторого a в зависимости от области. В частности, в наиболее изученном случае крендельного узла
рода 2, полином Kh в регулярных областях задается
как
KhPn0,n1,n2 = (−t)aq3Φn0,n1,n2(q2t),
(5)
Φn0,n1,n2(λ) = λn0+n1

Fn0
 1
λ


Fn1
 1
λ


+
+ F >>n0,n1
 1
λ


F ′
n2(λ)

,
регулярных областей, как можно увидеть из эквивалентных форм (6). Множитель (−t)a в (5) тогда
делает полином Kh явно положительным.
Все крендельные узлы во всех областях “гомологически тонкие”, т.е., их полиномы KhRN получаются из их полиномов ХОМФЛИ подстановкой
q2 →−tq2, q2N →−tq2N [16]. В частности, это предполагает аналитическую зависимость KhRN от N.
Двунитевой
паттерн
в
сателлитах.
Более
сложным
случаем
являются
двунитевые
(торические и скру-ченные) сателлиты (рис. 2). В [17]
мы изучили такие сателлиты для торических и
скрученных узлов, для простых узлов не более чем
с 7 пересечениями, для отдельных узлов с 8–10
пересечениями, а также для торичесих узлов T [3, 5]
и T [3, 7]. Теперь множитель с Θ возникает как
коэффициент перед одним из слагаемых в ответе:
где F ′ и F >> – слегка измененные версии F из (2):
(q3t)−nKhSK
Tor2,n = KhTor2,n+s + (qt)−nµKK,
Fn(λ) = 1 + λ2 1 −λn−1
1 −λ
,
KhSK
Twn = KhTwn+s + (qt)−nτKK,
(7)
F ′
n(λ) = λ−1Fn−1 + λn,
где µ = −t−1 1−q6t3
F >>n0,n1 (λ) = 1 + λ + λ2 1 −λn0−1
1 −λ
+ λ2 1 −λn1−1
1 −λ
.
(6)
С точностью до циклических перестановок ручек
кренделя и поворота плоскости проекции на π (на
рис. 1c), можно положить n0 ≥n1 ≥n2. Тогда (5)
верно для n0 ≥n1 ≥n2 > 0 (с a = 0), n0 ≥n1 >
> 0 > −n1 > n2 (с a = −1), n0 > −n1 > 0 > n1 ≥n2
(с a = −1), 0 > n0 ≥n1 ≥n2 (с a = −2)4).
Полином Φ (5) явно положительный для n0 >
> n1 > n2 > 1. На самом деле, он явно положительный либо явно отрицательный на всем объединении
1−q2t , τ = q(1 + q2t)µ не зависят от
узла, а s – целочисленный инвариант K5).
В (7) Θ-скачки содержатся в KhTor2,n+s
(2),
KhTwn+s (3), в то время как функция K – без скачков
по n. Граничное условие при t = −1 для (7) подразумевает, что K лишь немногим отличается от раскрашенного полинома ХОМФЛИ. Таким образом K может быть использован как заместитель раскрашенного полинома Kh без скачков [17].
4. Странные катастрофы. Ниже мы приводим
некоторые примеры катастроф, которые мы называем странными, – где скачки не имеют вида (2), и
4)Области коразмерности 1 с ni = 0 или ni = ±1 должны
рассматриваться отдельно.
5)Мы не смогли распознать в s никакой из известных инвариантов узла.
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 7 – 8
2024

А. Анохина
Рис. 2. (a), (b) – Торический и скрученный сателлиты узла-восьмерки
где KhR′′
N из (1) не содержится очевидным образом
в KhRN.
“Толстые” крендельные узлы Помимо описанных
ниже
“регулярных”
областей6),
существуют
исключи-тельные области −n1 < n2 < 0 < n1 ≤n0
и n2 < n1 < 0 < n0 < −n1. Скачок полинома
KhR крендельного узла рода два вблизи границы,
например, первой исключительной области имеет
вид
KhPn0,n1,n2 = q3Φexc
n0,n1,n2(q2t),
Φexc
n0,n1,n2(λ) = λn0+n1+n2 ×
KhRN не получаются из соответствующих ХОМФЛИ только лишь подстановкой, которая сохраняет
аналитическую зависимость от N [16]. В согласии с
этим, компьютерные вычисления с помощью KhoCa
[22] (применимы, когда одно из ni четно) показывают скачок полинома KhRN как функции N между
N = 2 и N = 3 (с аналитической зависимостью для
N ≥3), для крендельных узлов как рода два, так и
старших родов.
Зеркальная симметрия для многонитевых торических и для сателлитных узлов. В [15] полином
Kh для положительной трехнитевой торической косы выражался как функция числа пересечений с двумя ветвями:
(8)
×

λn2Φexc(1)(λ) + (−t)ΘexcΦexc(2)(λ)
	
KhT or3,3n+p(q, t) = Kp
3,n(q, t),
p = 1, 2, n > 0. (9)
λ
o
,
Φexc(1) = Fn0+n2
 1
λ

n
Fn1+n2−1
 1
λ


+ 1
Хотя полином Хованова обладает зеркальной симметрией по построению [11]:
λ
q , 1
Φexc(2) = fn2−1
 1


F ′
n2+1

λ


,
где
fn(λ)
=
1−λn−1
t


(10)
KhTor3,3n+1(q, t) = KhTor3,−3n−1 1
q , 1
– функция K ей не обладает. Вместо этого K1
3,n(q, t) =
= −1
1−λ
,
и
Θexc
=
(
1, −min(n1, n2) < n2 < 0 < n1, n2
0, иначе
.
t K2
3,n
 1
Здесь нужно обратить внимание на два особых
свойства крендельных узлов в исключительных областях. Во-первых, “поправка” Φexc(2) – это единственный член в KhPn0,n1,n2, который содержит n2
в двух множителях одновременно. В этом смысле7)
q , 1
t


. Начиная с четырех нитей, аналогичные формулы для торических узлов T [m, nm + p]
(1 ≤p ≤m −1 и взаимно просто с m) содержат
функцию Kp
m,n(q, t), знаконеопределенную для отрицательных n. Полином Kh этих узлов задается другой аналитичес-кой функцией e
Kp
m,n(q, t), и, например, e
K1
4,n(q, t) ̸∼K−1
4,n( 1
Φexc(2) и KhPn0,n1,n2 в исключительной области зависят от (q2t)2n2 вместо (q2t)n2.
Во-вторых, в исключительных областях крендельные
узлы
“гомологически
толстые”,
т.е.
их
6)И
не
рассмотренных
здесь
вырожденных
случаев
{n0, n1, n2} ∈{0, ±1}.
7)Мы называем это явление ускоренной эволюцией в [16].
t ), и аналогично для большего числа нитей. Кроме того, узлы Torm,∓1 при
n = 0 – тривиальные узлы с Kh = 1, что не является
значением соответствующей аналитической функции
ни для положительных, ни для отрицательных n.
Мы наблюдали аналогичную проблему для тех
неторических четырехнитевых узлов, которые являются двунитевыми сателлитами двунитевых узлов,
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 7 – 8
2024

К теории катастроф для гомологий Хованова–Рожанского
479
как и для двунитевых сателлитов скрученных узлов,
а также для скрученных сателлитов обоих типов узлов. Явные выражения для положительных и отрицательных узлов даны в [23], и они действительно
связаны нетривиально.
Собственные значения для многонитевых торических и для сателлитных узлов. Полиномы Kh и
даже KhN для всех торических узлов содержат зависимость от числа пересечений в виде двунитевого
множителя fn(λ) = 1−λn
1−λ . Но чем больше растет число нитей, тем больше возникает собственных значений λ [15]. А именно, для некоторых положительных
полиномов P ±
I (q, t) (ниже I ∈{∅, 1, 2, 12, 13, 23, 24}),
при N = 0 и необходим, чтобы обеспечить положительность полинома KhRN [15–17]. Мы предполагаем, что регулярные катастрофы случаются, когда комплекс KhRN содержит подкомплекс для положительной двунитевой косы, и он “переключается”
в подкомплекс для отрицательной двунитевой косы
[24, 25].
Другие катастрофы, которые мы называем странными, приводят к скачкам, где полиномы KhR′
N и
KhR′′
N в (1) не обязательно положительные [15–17]
(в отличие от KhRN). Более того, аналитическая зависимость полиномов KhRN от параметров семейства узлов может всерьез различаться по обе стороны скачка. Такие скачки случаются, когда аналитическая зависимость содержит экспоненты λk
ni
N = 2 Λ = −q2t
(11)
λ1 = q4t2K2,2n+1 = Λn
1 + P ±(q, t)fn(λ1)
	
λ2 = q6t4K3,3n±1 = Λn
1 + P ±
1 (q, t)fn(λ2)
	
1−λ1 ×
λ3 = q8t6K4,4n±1 = Λn
1 + P ±
1 (q, t)
1
n > 0.
×

P ±
12(q, t)f2n(λ2) + P ±
23(q, t)fn(λ3)

	
Однако число собственных значений растет также
вместе с рангом калибровочной групыы N при n > 2.
Например,
N = 3
λ4 = q8t5,
3Λ = −q4t,
(1 −λ1)2 f2n(λ2) + P ±
1 (q, t) ×
3K4,4n±1 = 3Λn
1 + P ±
2
1
×
1
(1 −λ1)(1 −λ2
1)

P ±
13(q, t)fn(λ3)+P ±
24(q, t)fn(λ4)

	
.
с λk, отличными от двунитевого значения λ = q2t.
Например, новые λk появляются в двунитевых множителях fn(λk) в наших формулах для торических
узлов с более чем двумя нитями, а также из члена Fn2(q2t)F ′
n2(q2t) ∼

q4t2
n2 + . . . в наших формулах для “толстых” крендельных узлов. Наиболее
удивительно, что полиномы KhRN вблизи странной
катастрофы имеют скачки в аналитической зависимости от N для некоторого N = N0. Более того,
мы предполагаем здесь наличие подкомплекса (комплекса KhRN), который является не двунитевым, но
является периодическим, и содержит отображения,
вырождающиеся при некоторых значениях N. “Схлопывание” такого подкомплекса и вызывает странную
катастрофу KhRN.
Наша следующая цель таким образом состоит
в изучении комплексов KhRN для обсуждавшихся
здесь семейств узлов, особенно когда для них случаются катастрофы. Мы ожидаем, что это поможет
нам как понять уже обнаруженные явления, так и
сделать новые предсказания для более общих семейств узлов.
Мы надеемся, что наш подход даст новые инструменты для построения и изучения ККТП, как и для
того, чтобы сделать гомологические инварианты узлов более прозрачными через их интерпретацию как
наблюдаемых в ККТП.
Финансирование работы. Работа была поддержана фондом развития теоретической физики и математики “Базис”, грант PostDoc-22-1-3-34-1.
Конфликт интересов. Автор не имеет конфликта интересов.
1. A. S. Anokhina. Phys. Part. Nucl. 51(2), 223 (2020)
[Phys. Part. Nucl. 51, 172 (2020)].
2. J. M. F. Labastida, AIP Conf. Proc. 484, 1 (1999);
arXiv: 9905057 [hep-th].
(12)
Четырехнитевые собственные значения также присутствуют в полиномах Kh для двунитевых торических и скрученных сателлитов торических и скрученных узлов [23].
Таким образом, присутствие экспонент, отличных
от λ = q2t (катастрофа по λ), нетривиальное соотношение Kh = KhR2 и KhR3 (катастрофа по N) и
странная катастрофа (по числу пересечений n), связанная с нетривиальной зеркальной симметрией полинома KhRN, – для одного и того же узла – как
будто имеют нечто общее друг с другом.
5. Заключение. Основываясь на примерах выше, мы различаем два вида катастроф полиномов
KhRN относительно вида скачка в аналитическом
выражении для KhRN. Катастрофы, которые мы называем регулярными, приводят к скачку (1) с положительными полиномами KhR′
N и KhR′′
N (которые в этом смысле содержатся в KhRN во всем пространстве параметров). Более того, KhR′′
N составлен из полиномов KhRN для двунитевой косы, единственный скачок в каждом из которых происходит
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 7 – 8
2024

А. Анохина
3. N. Kolganov, S. Mironov, and Andrey Morozov; Nucl.
Phys. B 987, 116072 (2023); arXiv: 2105.03980 [hep-th].
4. V. I. Arnold, Catastrophe theory, Berlin Heidelberg,
Springer (1992), p. XIII, 150.
5. V. Dolotin and A. Morozov, The universal Mandelbrot
set. Beginning of the story, World Scientific, New Jersey
(2006), p. 162.
6. S. I. Gelfand and Yu. I. Manin, Methods of Homological
Algebra, Springer, Berlin (1994), p. 222.
7. M.
Stosic
and
S.
Gukov,
Geometry
&
Topology
Monographs 18, 309 (2012); arXiv: 1112.0030 [hep-th].
8. S. Gukov, A. Schwarz, and C. Vafa, Lett. Math. Phys.
74, 53 (2005); arXiv: 0412243 [hep-th].
9. D. Galakhov, JHEP 05, 085 (2019); arXiv: 1702.07086
[hep-th].
10. A. Anokhina, Adv. Theor. Math. Phys. 33(6), 1850221
(2018);
arXiv: 1710.07306 [hep-th].
11. M. Khovanov, Duke Math. J. 101, 359 (2000);
arXiv: 9908171 [math.QA].
12. D. Bar-Natan, Algebr. Geom. Topol. 2, 337 (2002);
arXiv: 0201043 [math.QA].
13. M. Khovanov and L. Rozansky, Fund. Math. 199, 1
(2008); arXiv: 0401268 [math.QA].
14. N. Carqueville and D. Murfet, Algebr. Geom. Topol. 14,
489 (2014); arXiv: 1108.1081 [hep-th].
15. A. Anokhina and A. Morozov, JHEP 1804, 066 (2018);
arXiv: 1802.09383 [hep-th].
16. A. Anokhina, A. Morozov, and A. Popolitov, Eur. Phys.
J. C 79, 867 (2019); arXiv: 1904.10277 [hep-th].
17. A. Anokhina, E. Lanina, and A. Morozov, Nucl. Phys.
B 998, 116403 (2024); arXiv: 2308.13095 [hep-th].
18. A. Morozov and A. Smirnov, Nucl. Phys. B 835, 284
(2010); arXiv: 1001.2003 [hep-th].
19. A. Mironov, A. Morozov, and An. Morozov, AIP Conf.
Proc. 1562, 123 (2013); arXiv: 1306.3197 [hep-th].
20. D. Bar-Natan, M. Scott, The Knot Atlas;
url: http://katlas.org.
21. P. Dunin-Barkowski, A. Popolitov, and S. Popolitova,
Int.
J.
Mod.
Phys.
A
37(36),
2250216
(2022);
arXiv:1812.00858 [math-ph].
22. L. Lewark, Knot software;
http://lewark.de/lukas/software.html.
23. A. Anokhina, A. Morozov, and A. Popolitov. Int.
J.
Mod.
Phys.
B
A
36(34n35),
2150243
(2021);
arXiv:2104.14491 [hep-th].
24. V. Dolotin and A. Morozov, Nucl. Phys. B 878, 12
(2014); arXiv: 1308.5759 [hep-th].
25. A. Anokhina and A. Morozov, JHEP 07, 063 (2014);
arXiv: 1403.8087 [hep-th].
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 7 – 8
2024

Письма в ЖЭТФ, том 119, вып. 7, с. 481 – 491
© 2024 г. 10 апреля
Открытие новых окон в раннюю Вселенную с помощью
многоканальной астрономии
(Мини-обзор)
Е. В. Арбузоваa,b, К. А. Долгихa,c, А. Д. Долговa,d1), О. Е. Калашёвa,c, А. А. Корочкинa,e, Л. А. Панасенкоa,
Н. А. Поздняковa, Г. И. Рубцовa,c, А. С. Руденкоa,f, И. И. Ткачёвa,c
aНовосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия
bГосударственный университет “Дубна”, 141983 Дубна, Россия
cИнститут ядерных исследований РАН, 117312 Москва, Россия
dОбъединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия
eUniversit´
e Libre de Bruxelles, CP225 Boulevard du Triomphe, 1050 Brussels, Belgium
fИнститут ядерной физики им. Г. И. Будкера Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия
Поступила в редакцию 21 ноября 2023 г.
После переработки 29 февраля 2024 г.
Принята к публикации 29 февраля 2024 г.
В настоящее время в двух тесно связанных между собой областях фундаментальной физики, космологии и физике элементарных частиц, сложилась уникальная ситуация. Стандартная модель (СМ)
физики частиц прекрасно описывает все имеющиеся экспериментальные данные, кроме осцилляций нейтрино. Примерно то же самое можно сказать и о стандартной космологической модели, сравнение которой с астрономическими наблюдениями, говорит, что мы хорошо понимаем законы эволюции Вселенной
от ее “рождения” до наших дней. Однако для понимания механизмов большого ряда космологических
явлений определенно требуется выход за рамки СМ. Сюда в первую очередь относятся проблемы темной
материи и темной энергии, генерации барионной асимметрии Вселенной и установления механизма инфляционного расширения. К числу менее известных, но тоже весьма важных проблем, базирующихся на
основе обычной космологии и астрофизики, относятся проблема возникновения космических магнитных
полей и недавно возникшая проблема существования во Вселенной массивных черных дыр в количестве,
намного превышающем ожидания. Для понимания и возможного решения этих проблем очень важно
проникнуть как можно глубже во Вселенную, получив данные о физических процессах на как можно
более ранних стадиях космологической эволюции. Мощным методом для этого являются многоканальные (multi-messenger) наблюдения, использующие для этого все возможные каналы (“окна”): помимо
традиционных наблюдений электромагнитного излучения во всех диапазонах длин волн и всех типов
космических лучей, в последнее время открывается новое окно — наблюдения гравитационных волн.
В наших работах, выполненных в рамках гранта Российского научного фонда # 20-42-09010 “Открытие
новых окон в раннюю Вселенную с помощью многоканальной астрономии”, был проведен комбинированный анализ информации, полученной на основе различных астрономических данных. В частности,
было проведено исследование характеристик космических магнитных полей и возможных механизмов
их возникновения, а также исследование наблюдаемых проявлений первичных черных дыр на основе
данных о гравитационных волнах, наблюдаемых на интерферометрах LIGO/Virgo/KAGRA.
DOI: 10.31857/S1234567824070024, EDN: VPILQH
1. Введение. Астрономические наблюдения как
современной, так и достаточно ранней Вселенной
стали мощным средством проверки фундаментальной физики, более того, они явно свидетельствуют в
пользу Новой физики за рамками Стандартной модели. Весьма вероятно, что астрономические наблюдения в ближайшее время приведут к новым фундаментальным открытиям. Эти ожидания подкрепляются, в частности, регистрацией гравитационных
волн от слияния пар черных дыр с массами от десяти до сотни масс Солнца [1], которая стала доступна
в последние годы. Проведенный нами анализ убеди1)e-mail: dolgov@nsu.ru
Письма в ЖЭТФ
том 119
вып. 7 – 8
2024
481