Океанология, 2024, № 3

Российская академия наук
ОКЕАНОЛОГИЯ
Том 64     № 3     2024     Май-Июнь
Основан в 1961 г.
Выходит 6 раз в год
Журнал издается под руководством  
Отделения наук о Земле РАН
Главный редактор
Флинт М.В.
Редакционная коллегия:
Азовский А.И., Дубинин А.В., Дубинин Е.П., Галкин С.В.,  
Глуховец Д.И., Гулев С.К., Завьялов П.О., Зацепин А.Г.  
(заместитель главного редактора), Кравчишина М.Д.,  
Левашов Д.Е., Лобковский Л.И., Матуль А.Г., Михеев В.Н.,  
Немировская И.А., Островский А.Г., Погосян С.И.,  
Политова Н.В. (ответственный секретарь), Резник Г.М.,  
Римский-Корсаков Н.А., Савенко В.С., Филюшкин Б.Н.,  
Шевченко В.П. (заместитель главного редактора),  
Черкашов Г.А., Яковлев Н.Г.
Редакционный совет:
Бондур В.Г., Витледж Т.Е. (США), Добролюбов С.А.,  
Долгих Г.И., Матишов Г.Г., Нигматулин Р.И.,  
Ниуль Ж.Ж. (Бельгия), Павлов Д.С.
Адрес редакции: 117997, Москва, Нахимовский пр., 36  
Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН, тел. 8.499.124-63-81
E-mail: varhipk@ocean.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Океанология”  
     (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 64, номер 3, 2024
Физика моря
Подобие квазигеострофических вихрей на фоне горизонтальных течений с вертикальным  
сдвигом и течений общего вида с баротропной и бароклинной составляющими
В. В. Жмур 
385
Задача восстановления профиля морской поверхности по видеоизображению лазерных лучей
В. В. Стерлядкин 
396
Химия моря
Источники опреснения вод западной части Берингова моря  
по изотопным (δ18О, δD) данным
Е. О. Дубинина, С. А. Коссова, А. А. Осадчиев, Ю. Н. Чижова, А. С. Авдеенко 
408
Утилизация биогенных веществ, поступающих через Берингов пролив  
в юго-западную часть Чукотского моря, на примере минерального фосфора
Ю. И. Зуенко  
424
Эволюция окислительно-восстановительных условий в отделяющихся водоёмах  
залива Порья Губа и Кандалакшского берега Белого моря
Н. М. Кокрятская, Г. Н. Лосюк, Е. Д. Краснова,  
С. С. Попов, К. В. Титова, Д. А. Воронов 
438
Морская биология
Долговременная динамика показателей фитопланктона и температуры воды  
в районе Севастополя (Черное море)
С. Б. Крашенинникова, В. Д. Чмыр, Р. И. Ли, Н. И. Минкина 
450
Количественное распределение и жировые запасы популяции Calanus euxinus (Copepoda)  
в Чёрном море в позднеосенний период 2017 г.
Е. С. Губарева, Б. Е. Аннинский 
462
Первые находки вселенца краба-стригуна, Chionoecetes opilio (o. Fabricius, 1788)  
(Decapoda, Oregoniidae), в восточной части Карского моря
А. К. Залота, А. А. Удалов, М. В. Чикина, Д. В. Кондарь, И. В. Любимов,  
Э. В. Липухин, И. М. Анисимов, А. В. Лесин, В. О. Муравья, А. В. Мишин 
473
Тональные сигналы (свисты) в вокальных репертуарах  
афалины (Tursiops truncatus Montagu, 1821) и белобочки (Delphinus delphis Linnaeus, 1758)
А. В. Агафонов , П. К. Мельникова, Е. М. Панова, И. В. Логоминова, В. А. Литвин 
484
Морская геология
Морфометрические параметры борозд выпахивания юго-западной части Карского моря
С. В. Мазнев, О. В. Кокин, В. В. Архипов, Е. А. Мороз, А. П. Денисова,  
Р. А. Ананьев, С. Л. Никифоров, Н. О. Сорохтин, С. В. Годецкий 
498
Гранулометрические характеристики поверхностных донных осадков Чаунской губы
А. С. Ульянцев, Е. А. Стрельцова, А. Н. Чаркин 
509

Новые представления о строении и природе коры западной части  
Бенгальского залива по данным глубинной сейсмики
В. К. Илларионов, О. Ю. Ганжа, Д. А. Ильинский,  
К. А. Рогинский, А. Ю. Борисова 
526
Геологическое строение и перспективы нефтегазоносности  
континентальной окраины Мозамбика
А. Забанбарк, Л. И. Лобковский 
542
Информация
Экосистемы морей Сибирской Арктики – 2023:  
(92-й рейс научно-исследовательского судна “Академик Мстислав Келдыш”  
в Карское море)
М. В. Флинт, С. Г. Поярков, Н. А. Римский-Корсаков,  
Н. Я. Книвель, А. Ю. Мирошников 
550
Исследования природных комплексов Балтийского моря  
в 53-м рейсе НИС “Академик Борис Петров”
Д. В. Дорохов, Е. В. Дорохова, А. А. Кондрашов,  
Ю. Ю. Полунина, А. Ю. Сергеев, И. Ю. Дудков 
554

Contents
Vol. 64, No 3, 2024
Marine Physics
The Similarity of Quasi-geostrophic Vortices against the Background of Horizontal Currents  
with Vertical Shear and General-type Currents with Barotropic and Baroclinic Components
V. V. Zhmur 
385
The Problem of Reconstructing the Profile of the Sea Surface from the Video Image of Laser Beams
V. V. Sterlyadkin 
396
 
Marine Chemistry
Sources of fresh water components in seawaters of Western part of the Bering Sea  
according to isotope (δ18О, δD) data
Е. О. Dubinina, S. А. Коssova, А. А. Osadchiev, Yu. N. Chizhova, А. S. Аvdeenko 
408
Utilization of Nutrients Entering Through the Bering Strait to the Southwestern  
Chukchi Sea with the Example of Mineral Phosphorus
Yu. I. Zuenko 
424
The Evolution of Redox Conditions in Stratified Water Bodies of Poria Gub Bay  
and Kandalaksh Coast of the White Sea
N. M. Kokryatskaya, G. N. Losyuk, E. D. Krasnova,  
S. S. Popov, K. V. Titova, D. A. Voronov 
438
Marine Biology
Long-Term Dynamics of Phytoplankton Parameters and Water Temperature  
in the Area of Sevastopol (Black Sea)
S. B. Krasheninnikova, V. D. Chmyr , R. I. Lee, N. I. Minkina 
450
Quantitative distribution and lipid reserves of the population of Calanus euxinus (Copepoda)  
in the Black Sea in late Autumn 2017
E. S. Hubareva, B. E. Anninsky 
462
First Findings of Invasive Snow Crab, Chionoecetes opilio (o. Fabricius, 1788)  
(Decapoda, Oregoniidae) in the Eastern Part of the Kara Sea
A. K. Zalota, A.A. Udalov, M. V. Chikina, D. V. Kondar, I. V. Lyubimov,  
E. V. Lipukhin, I. M. Anisimov, A. V. Lesin, V. O. Muravya, A. V. Mishin 
473
Whistles in Vocal Repertoires of Bottlenose Dolphins (Tursiops truncatus Montagu, 1821)  
and Common Dolphins (Delphinus delphis Linnaeus, 1758)
A. V. Agafonov , P. K. Melnikova, E. M. Panova, I. V. Logominova, V. A. Litvin 
484
Marine Geology
The Morphometry of Ice Scours in the South-Western Part of the Kara Sea
S. V. Maznev, O. V. Kokin, V. V. Arkhipov, E. A. Moroz, A. P. Denisova, 
R. A. Ananiev, S. L. Nikiforov, N. O. Sorokhtin, S. V. Godetskiy 
498
Grain Size Properties of Surface Bottom Sediments from the Chaun Bay
A. S. Ulyantsev, E. A. Streltsova, A. N. Charkin 
509

New Ideas about the Structure and Nature of the Crust of the Western Part of the Bay of Bengal,  
Obtained taking into Account Deep Seismic Data
V.K. Illarionov, O. Yu. Ganzha, D.A. Ilyinsky, K.A. Roginskiy, A. Yu. Borisova 
526
Geological Structure and Prospects of Oil and Gas Bearing of Mozambique Continental Margin
A. Zabanbark, L. I. Lobkovsky 
542
Information
Ecosystems of Siberian Arctic Seas – 2023:  
(92d Cruise of research Vessel “Akademik Mstislav Keldysh” in the Kara Sea)
M. V. Flint, S. G. Poyarkov, N. A. Rimsky-Korsakov, N. J. Knivel, A. Yu. Miroshnikov 
550
Studies of Natural Systems of the Baltic ыea in the 53rd Cruise  
of the r/v “Akademik Boris Petrov”
D. V. Dorokhov, E. V. Dorokhova, A. A. Kondrashov,  
Yu. Yu. Polunina, A. Yu. Sergeev, I. Yu. Dudkov 
554

ОКЕАНОЛОГИЯ, 2024, том 64, № 3, с. 385–395
ФИЗИКА МОРЯ
УДК 551.5:532.5
ПОДОБИЕ КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ 
НА ФОНЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ С ВЕРТИКАЛЬНЫМ 
СДВИГОМ И ТЕЧЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА С БАРОТРОПНОЙ 
И БАРОКЛИННОЙ СОСТАВЛЯЮЩИМИ
© 2024 г.   В. В. Жмур*
Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН, г. Москва
* zhmur-vladimir@mail.ru
Поступила в редакцию 21.08.23 г.
После доработки 02.10.2023 г.
Принята к публикации 16.11. 2023 г.
Данная статья является продолжением и обобщением работы автора [6]. Рассмотрена аналогичная 
постановка задачи, но для других видов фоновых течений. В квазигеострофическом описании для 
малых чисел Россби излагается задача об эволюции объема жидкости произвольной формы с однородной потенциальной завихренностью всех частиц вихревого ядра в равнозавихренном фоновом потоке – горизонтальном течении с вертикальным сдвигом и равнозавихренном течении 
с баротротропной и бароклинной составляющими. В конечном итоге проблема сводится к интегро-дифференциальному уравнению для эволюции границы вихревого ядра. Исследование этого 
уравнения в безразмерной форме позволяет найти набор безразмерных параметров, определяющих 
условие подобия изучаемых вихрей.
Ключевые слова: вихрь, вихревое ядро, фоновое течение, баротропное и бароклинное течения, потенциальная завихренность, относительная завихренность, безразмерное число подобия, геометрическое подобие
DOI: 10.31857/S0030157424030019, EDN: QCOLIQ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Следуя работе [6], рассмотрим поведение 
квазигеострофических вихрей в фоновом течении. Постановочная часть задачи такая же, как 
и в указанной статье. Отличие будет именно в фоновом течении. Поэтому на постановочном уровне наша работа практически повторяет задачу [6]. 
В качестве фонового течения в нынешней статье 
выберем прямолинейное горизонтальное течение 
с вертикальным сдвигом (простейшая разновидность бароклинного течения), а также равнозавихренное течение общего вида с баротропной 
и бароклинной составляющими. Напомним, что 
в вышеупомянутой статье [6] фоновым течением 
являлся баротропный поток.
В квазигеострофическом приближении при 
малых числах Россби Ro = U
fL  1  (U – характерная скорость изучаемого процесса, L – характерный горизонтальный размер f – параметр Кориолиса) систему уравнений геофизической 
гидродинамики удается свести к уравнению для 
ВВЕДЕНИЕ
При лабораторном или численном исследовании мезомасштабных вихрей, вихревой изменчивости и т. д. естественно требовать, чтобы изучаемые вихревые образования были бы подобны их 
природным аналогам. То есть и в лабораторных 
или численных экспериментах похожим образом 
вели себя со своими морскими аналогами. При 
этом сами течения тоже должны быть подобными. В данной работе предлагается простая теория 
подобия вихрей на течениях. В статье [6] уже изложена аналогичная задача для частного случая 
фоновых течений – равнозавихренных баротропных потоков и однородных по потенциальной завихренности вихрей с произвольной начальной 
формой ядра. В данной работе, являющейся естественным продолжением [6], изучается влияние 
на такие вихревые образования горизонтальных 
течений с вертикальным сдвигом и общего случая 
фоновых потоков, имеющих как баротропную, 
так и бароклинную составляющие.
385

ЖМУР 
давления p, где p – превышение давления над гидростатическим давлением покоя. Именно этим 
давлением объясняется движение среды. Давление p с точностью до множителя связано с функцией тока ψ
ρ
=
1
0 f , где ρ0 = const – средняя по 
чающейся от потенциальной завихренности σout 
внешней фоновой жидкости. Для простоты обе 
величины σin и σout будем считать постоянными, 
равно как и частоту Вяйсяля–Брента. Обозначим 
σ = σin – σout перепад потенциальной завихренности между ядром вихря и фоновой жидкостью.
Закон (3) позволяет выписать распределение 
потенциальной завихренности в пространстве 
в виде простого соотношения
,
, ,
x y z
V
глубине плотность воды. Уравнения для давления 
и функции тока практически совпадают. Выпишем размерное уравнение для функции тока 
в квазигеострофическом приближении:

in
 
Δψ
σ
⎧
⎨
⎪
2
,
, ,
.
если
если
x y z
V

 
(4)
out
σ
=
(
) ∈
(
) ∉
⎛
⎩
⎪
Δ
ψ
ψ
h
2
t
z
f
∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂
N
z
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
 
(1)
 
Здесь 
z
N
f z
=
 – растянутая в N
f  раз вертикаль2
⎛
2
2
2
ψ
ψ
ψ
Δ
h
h
2
0
,
.
J
z
f
+
+ ∂
∂
∂
∂
ная ось системы координат, Δ = ∂
N
z
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=
2
2
2
x
y
z

 – 
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
Здесь x, y – неподвижные горизонтальные оси 
системы координат, z – вертикальная ось, 
J
A B
A
x
y
A
y
x
h
,
(
) = ∂
∂
∂
∂
−∂
∂
∂
∂
B
B  – определитель Якоби 
2
2
2
2  – оператор Лапласа по 
(якобиан), Δh
x
y
= ∂
∂
+ ∂
∂
объемный оператор Лапласа в пространстве 
x y z
V
, ,
,

(
)
 – деформируемая область пространства, которую занимает вихревое ядро и эволюцию которой следует определить в процессе решения в “растянутом” пространстве x y z
, ,
(
). При 
отсутствии вихря во всем пространстве наблюдается однородное распределение потенциальной 
завихренности:
 
Δψ
σ
=
out . 
(5)
горизонтальным координатам. Если функция тока ψ(x, y, z, t) найдена, то можно вычислить все 
остальные гидродинамические характеристики 
движения, например, поле скорости (u, v, w):
Отметим, что оператор Лапласа по горизонψ
ψ
2
2
,
,
u
y
v
x
= −∂
∂
= ∂
∂
2
2  учитывает 
тальным координатам Δh
x
y
= ∂
∂
+ ∂
∂
 
2
 
(2)
⎤
w
f
ψ
ψ
ψ
,
.
0
2
= −
∂
∂∂
+
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
N
t z
J
z
h
⎦
⎥
⎥
⎣
⎢
⎢
только вертикальную компоненту ротора скорости Δh
zu
ψ = rot G  от горизонтальных течений. 
В случае горизонтального течения с вертикальным сдвигом
 
G
u
z
= (
)
Γ ,
,
,
0 0
 
(6)
При этом уравнение (1) учитывает только геострофическую часть горизонтального движения, 
о чем свидетельствуют первые два соотношения 
(2). Негеострофическая компонента скорости 
в этой постановке мала – порядка O(Ro) и из 
приближения (1) получена быть не может.
Уравнение (1) утверждает, что величина
где ось x направлена по вектору течения, ротор 
скорости имеет только горизонтальную компоненту. Соответствующая течению (6) функция 
тока остается линейной по z, поэтому при 
2
2
2
 
(3)
2
ψ  тоже не дает вкла 
σ
ψ
ψ
=
+ ∂
∂
∂
∂
Δh
z
f
N
z
N
f = const  оператор ∂
∂
∂
∂
z
f
N
z
да в потенциальную завихренность (3). В результате получаем σout = 0. Выбором бароклинного течения (6) данная работа отличается от работы [6], 
в которой изучалось воздействие на вихри баротропных потоков.
Аналогично течению (6), в заключительной 
части работы будут обобщены результаты по изучению подобия вихрей в равнозавихренных течениях общего вида – суперпозиции течения (6) 
и равнозавихренного баротропного потока:
с той же точностью порядка является лагранжевым инвариантом и переносится вместе с движущейся жидкой частицей. Так же, как и в [6], рассмотрим простейшую модель вихря. Представим, 
что вихрь состоит из вихревого ядра и внешней 
жидкости, захваченной во вращательное движение вихревым ядром. Вихревое ядро представляет 
собой водяной мешок с жидкой свободно деформируемой границей, внутри которой содержится 
вода с потенциальной завихренностью σin, отлиОКЕАНОЛОГИЯ      том 64       № 3       2024

 
ПОДОБИЕ КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ... 
387
,
, ,

 
G
u
z
ex
y
z
x
ey
x
y
=
+
−
+
−
(
)
Γ
Γ
γ
γ
,
,
,
0
 
(6a)
 
Δψ
σ
v
x y z
V
⎧
⎨
⎪
,
, ,
.
если
если

0
 
(7)
x y z
V
=
(
) ∈
(
) ∉
⎩
⎪
где (x, y, z) – “удобная” по горизонтальным составляющим система координат с определяющими параметрами, γ = 1
2 rotz
f
u
G  – угловая скорость 
Здесь для краткости записи введено σ = σin.
Интересно отметить, что, несмотря на нелинейность исходного уравнения (1) в эйлеровой 
постановке, его интерпретация в полулагранжевом варианте в виде закона сохранения потенциальной завихренности у движущихся частиц 
(4) оказывается линейной. Это позволяет рассматривать суперпозицию фонового течения (6) 
и взаимодействующего с этим течением вихря (7) 
как решение исходного уравнения. С физической 
точки зрения это возможно из-за того, что функция тока с точностью до постоянного множителя 
совпадает с давлением, а при суперпозиции двух 
течений общее давление является суммой их индивидуальных давлений.
Уравнение (7) с точностью до обозначений совпадает с задачей определения гравитационного 
потенциала [16] однородного по плотности тела 
формы. Задача (7) решается в общем случае для любой формы ядра V в пространстве x y z
, ,
(
) [5, 13, 16]:
вращения жидких частиц в фоновом течении, e – 
коэффициент деформации фонового течения. 
В плоском варианте такая система координат была использована в работе [18] для описания эволюции вихрей Кирхгофа в плоских равнозавихренных потоках. Если обозначить ij как угол 
между направлением течения со сдвигом и положительным направлением оси x выбранной системы координат (x, y, z), то параметры Γx и Γy выразятся через сдвиг Γ: Γx = Γcosφ, Γy = Γsinφ. 
Таким образом, течение общего вида (6а) описывается в рамках четырех определяющих параметров (e, γ, Γ, φ), первые три из которых (e, γ, Γ) имеют одинаковую размерность c–1, а последний 
φ – безразмерный.
Подробно рассмотрим течение (6) как фоновое течение. При наличии вихря возмущение ψv 
функции тока течения, связанное с вихрем, подчиняется уравнению
 
ψ
σ
π
v
V
x y z t
dx dy dz
x
x
y
y
z
z
, , ,
.




(
) = −
′
′
′
−
′
(
)
+
−
′
(
)
+
−
′
(
)
∫∫∫
4
2
2
2  
(8)
В том числе, соотношение (8) остается справедливым и при меняющейся во времени форме ядра. 
Поэтому параметрическая зависимость ψv x y z t
, , ,

(
) от времени t скрыта именно в переменной форме 
ядра.
Пользуясь функцией тока ψv, согласно (2), можно найти поле геострофических компонент течения:
 
u
x y z t
y
y dx dy dz
v
, , ,


x
x
y
y
z
z


(
) = −
−
′
(
)
′
′
′
−
′
(
)
+
−
′
(
)
+
−
′
(
)
σ
π
4
2
2
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∫∫∫
3
V
, 
(8a)
 
v
x y z t
x
x dx dy dz
v
, , ,


x
x
y
y
z
z


(
) = −
−
′
(
)
′
′
′
−
′
(
)
+
−
′
(
)
+
−
′
(
)
σ
π
4
2
2
2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
∫∫∫
3
V
.  
(8б)
ния c в физическом пространстве и “растянутом” 
пространстве связаны равенством 
c
N
f c
=
.
В соотношения (8), (8а), (8б) явным образом входит размерный параметр σ и неявным образом – 
размеры области интегрирования. Обозначим 
a, b – горизонтальные размеры области V и 
c – ее 
вертикальный размер. Таким образом, в (8), (8а), 
(8б) содержатся четыре размерных параметра. 
Уточним, что задача (7) поставлена в “растянутом” в N
f  раз по вертикали пространстве, поэтоСогласно математическим свойствам решения (8) уравнения (7), соотношение (8) непрерывно вместе с первыми пространственными производными [16]. Это, в свою очередь, означает, 
что поле давления вместе с полем геострофических течений тоже непрерывно. Непрерывность 
поля давления автоматически удовлетворяет 
му вертикальный размер области интегрироваОКЕАНОЛОГИЯ      том 64       № 3       2024

ЖМУР 
 
динамическому условию на поверхности вихревого ядра, где существует разрыв потенциальной 
завихренности между ядром вихря и окружающей внешней жидкостью. Отметим, что на этом 
этапе кинематическое условие на той же поверхности еще не выполнено.
Запишем уравнение границы ядра как функцию пространственных координат и времени 
F(x, y, z, t) = 0. В кинематическом условии на поверхности вихревого ядра
 
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
F
t
u F
x
v F
y
w F
z
0  
(9)
не все слагаемые равноправные. Слагаемое w F
z
∂
∂
 
для наших задач составляет величину порядка 
O(Ro) от слагаемых u F
x
∂
∂
 и (или) v F
y
∂
∂
. Пользуясь 
вихря F(x, y, z, t) = 0 и позволяет с помощью соотношений (7)–(8) найти все остальные характеристики вихря. Уравнение (11) описывает все эффекты, которые могут произойти с вихрем на течении, 
а также без течения, если убрать из (11) член Γz. 
К эволюции вихря относится описание устойчивости или неустойчивости, при небольшой модификации взаимодействие вихрей и их возможное 
слияние и т. д. Однако аналитическое исследование интегро-дифференциального уравнения (11) 
затруднительно. А вот обезразмеривание и построение на его основе теории подобия возможно (см., 
например, работы [1, 2, 15]). Это и является предметом исследования в данной работе.
В соотношение (11) входят следующие размерные определяющие параметры: присутствующие 
явным образом Γ, σ (с размерностью c–1) и неявным образом a, b, 
c (с размерностью метр). Из 
этих пяти размерных параметром можно состасоображениями о непревышении точности выше, чем O(Ro), отбросим в точном уравнении (9) 
вить три независимых безразмерных параметра: 
малое слагаемое w F
z
∂
∂
. В результате в нашем кваΓ
σ – отношение сдвига скорости фонового течения к величине потенциальной завихренности 
вихревого ядра, отношение горизонтальных раззигеострофическом приближении кинематическое условие с точностью O(Ro) (равно как и точность основного уравнения (1)) примет вид
меров a
b  и отношение вертикального размера 
c 
 
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
F
t
u F
x
v F
y
0.  
(10)
к характерному горизонтальному размеру L. Характерный горизонтальный размер L связан с горизонтальными размерами вихревого ядра a, b 
и будет выбран позже.
На этом этапе статьи уместно обсудить геометрические свойствах математически подобных 
фигур применительно к форме вихревого ядра. 
Прежде всего, понятно, что геометрически подобными следует считать фигуры, отличающиеся 
друг от друга только различным масштабированием. При этом внешние размеры ядер – горизонтальные a, b и вертикальный 
c у двух подобных 
вихрей 
связаны 
условиями 
подобия: 
безразмерные параметры a
b  и 
c
a  (или 
c
b ) одного 
Тот факт, что в кинематическое условие в форме 
(10) не входит вертикальная скорость, имеет свои 
последствия. Поскольку (9) и (10) совпадают при 
w ≡ 0, это означает, что трансформация ядра вихря по вертикали связана исключительно с горизонтальными движениями. Отсюда получаем два 
эффекта: первое, ядро объемного вихря “зажато” 
между двумя неподвижными горизонтальными 
плоскостями, т. е. вертикальный размер ядра не 
меняется (с точностью до O(Ro)); второе, площадь горизонтального сечения ядра при его деформации течением (6) на любом горизонтальном уровне сохраняется в той же точности.
Перейдя в подвижную систему координат 
с началом в центре масс ядра вихря, движущуюся со скоростью (u0, v0), получим интегро-дифференциальное уравнение эволюции границы 
F(x, y, z, t) = 0 вихря (7), приспособленное под цели описания деформации вихревого ядра:
вихря должны совпадать с аналогичными параметрами другого вихря. Это условие обязательно, но 
строго для геометрического подобия фигур недостаточное. Например, возьмем две фигуры с одинаковыми внешними размерами a, b, 
c. У одной 
из них изменим форму, не затрагивая внешних 
размеров. В результате условия равенства безраз 
∂
∂
+
+
(
) ∂
∂
+
∂
∂
=
F
t
z
u
F
x
u
F
y
v
v
Γ
0. 
(11)
мерных параметров подобия a
b  и 
c
a  выполнятся, 
но фигуры с математической точки зрения подобными не будут. Поэтому, строго говоря, услоЗадача о поведении равнозавихренного вихревого ядра в бароклинном потоке свелась к задаче 
об эволюции его ядра. Решение (11) в любой момент времени t полностью определяет форму ядра 
вия совпадения соответствующих параметров a
b  
ОКЕАНОЛОГИЯ      том 64       № 3       2024

 
ПОДОБИЕ КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ... 
389
и 
c
a  двух вихрей не являются математическим 
понятное на словах, математически выражается 
в виде одинаковых начальных условий в безразмерном виде. Наконец, должно быть освещено и подобие самих фоновых течений. Для баротропного случая это излагалось в работе [6]. 
В настоящей статье, в силу специфики выбранного фонового потока в виде прямолинейного горизонтального течения с вертикальным сдвигом, 
эта проблема отпадает сама собой – все такие течения подобны. Тем не менее все условия подобия следует исследовать в безразмерной постановке задачи, что и будет сделано.
признаком геометрического подобия. Однако 
 
если упомянутое условие не выполнено, то две 
фигуры точно не являются подобными. С другой 
стороны, в лабораторном эксперименте трудно 
создать начальный вихрь сложной формы. Обычно это осесимметричные вихри с двумя размерами – горизонтальным и вертикальным. Для таких 
вихрей указанный способ вполне соответствует 
физическим требованиям и очень прост в использовании. Поэтому строгое понятие геометрического подобия, которое формулируется на 
уровне слов, мы из практических соображений 
заменим на более легкие и простые в математической формулировке соотношения равенства безОБЕЗРАЗМЕРИВАНИЕ
Перейдя к дифференцированию по безразмерному времени τ = σt и безразмерным координатам 
размерных параметров a
b  и 
c
a  или их аналогов.
К геометрическим условиям подобия также 
следует отнести начальную ориентацию вихря 
относительно фонового течения. Это условие, 
x
x L
=
, y
y L
=
, 

z
z L
=
, а также к интегрированию в выражения скоростей (uv, vv) (8а), (8б) 
по тем же безразмерным переменным x y z
, ,   выпишем уравнение (11) в безразмерном виде
 
∂
∂
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
∂
+
∂
∂
=
F
z
u
F
x
v
F
y
v
v
τ
σ
Γ 
0, 
(12)
 
u
y
y dx dy dz
v
V
=
−
′
(
)
′
′
′
′
∫∫
1
4
2
2
2
3
π

x
x
y
y
z
z


∫
,  
(12a)
−
′
(
)
+
−
′
(
)
+
−
′
(
)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 
v
x
x dx dy dz
v
V
=
−
′
(
)
′
′
′
′
∫∫
1
4
2
2
2
3
π

x
x
y
y
z
z


∫
.  
(12б)
−
′
(
)
+
−
′
(
)
+
−
′
(
)
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
ствующие параметры Γ
σ , a
b  и 
c
L  совпадают, то 
Само уравнение границы F x y z
, , ,
 τ
(
) = 0 можно сразу считать безразмерным. В полученное 
безразмерное интегро-дифференциальное уравнение (12) входит явным образом безразмерный 
параметр Γ
σ  и неявно уравнение зависит от форинтегро-дифференциальные уравнения, описывающие эволюцию каждого из них вместе с равноценными начальными условиями, окажутся 
тождественно одинаковыми. Следовательно, поведение вихрей во времени и пространстве будет 
тоже подобным. Последние два числа a
b  и 
c
L  свямы границы вихря, т. е. от дополнительных геометрических характеристик. Если формы двух 
вихрей геометрически подобны, то для них обязаны совпадать числа a
b  и 
c
L. С другой стороны, совпадение для вихрей двух безразмерных чисел a
b 
и 
c
L  еще не означает их геометрическое подобие. 
Они могут отличаться в тонкостях, оставаясь подобными при грубом рассмотрении.
Если два вихря геометрически подобны 
(в строгом математическом смысле) в начальный 
момент времени, т. е. для каждого из них соответзаны с геометрическим подобием вихрей. Кроме 
условий на размеры, здесь следует отметить еще 
одно условие геометрического подобия – положение вихрей относительно фонового течения 
тоже должно быть одинаковым в начальный момент времени. Обычно ориентация твердого тела 
в пространстве описывается тремя углами – либо 
углами Эйлера, либо углами Кардана. Для жидкого деформируемого тела произвольной формы 
этот подход непродуктивен, хотя бы из тех соображений, что выбор сопутствующей системы 
ОКЕАНОЛОГИЯ      том 64       № 3       2024