Теория и практика конформных отображений

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана
Теория и практика
конформных
отображений
Рекомендовано
Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013

УДК 517.5
ББК 22.1
Т33
Рецензенты:
С. П. Суетин (МИАН им. В. А. Стеклова)
А. В. Копаев (МГТУ им. Н. Э. Баумана)
Теория и практика конформных отображений : учеб. пособие / А. Н. Канатников, Е. Е. Красновский, В. Д. Морозова,
Т33
К. Ю. Федоровский. { М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2013. { 84, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3791-7
Содержит основы теории конформных отображений и охватывает
материал, достаточный для освоения соответствующего раздела курса
<Комплексный анализ>, который читается студентам факультета ФН
на четвертом семестре обучения, и решения задач.
Предназначено для студентов второго курса, обучающихся по
специальности <Прикладная математика>.
УДК 517.5
ББК 22.1
ISBN 978-5-7038-3791-7
c
⃝МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие рассчитано прежде всего на студентов специальности <Прикладная математика>, однако будет полезно всем,
кто интересуется теорией конформных отображений и ее многочисленными приложениями. Пособие охватывает следующий круг
вопросов: основы теории конформных отображений, основные элементарные функции комплексного переменного, типовые области
их конформности и осуществляемые этими функциями конформные отображения, методы построения конформных отображений
заданных областей комплексной плоскости.
Теория конформных отображений имеет множество приложений, ее методы используют в решении самых разных задач, позволяя
переносить эти задачи из областей, в которых они естественно возникают, в более простые области, где их анализ и решение заметно
облегчается.
Теория конформных отображений | это динамично развивающаяся область комплексного анализа.
Специалистов активно
интересуют задачи, связанные с нахождением новых критериев однолистности, с граничными свойствами конформных отображений
и вычислительными аспектами теории конформных отображений.
Пособие поможет заинтересованному читателю не только научиться решать типовые задачи, но и подготовит его к восприятию
последних публикаций по теории конформных отображений.
Авторы предполагают, что читатель владеет основными понятиями теории функций комплексного переменного (комплексного
анализа).
3

В пособии приведены все необходимые теоретические сведения. Дополнительную информацию по теории конформных отображений можно почерпнуть в двух источниках: в выпуске X серии
<Математика в техническом университете>* (в тексте пособия ссылки на эту книгу отмечены символом [X]) и в ставшей классической
книге М.А. Лаврентьева и Б.В. Шабата** (в тексте ссылки на книгу
отмечены символом [ЛШ]).
*Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2002.
**Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1969.
4

1. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНЫХ
ОТОБРАЖЕНИЯХ
1.1. Предварительные сведения
Всюду символом z будем обозначать комплексное число z =
= x + iy, интерпретируя его как точку комплексной плоскости C
или точку R2 с координатами (x, y). Будем также использовать обозначение Cz (соответственно Cw, C и т. д.) или (z) (соответственно
(w), () и т. д.) как область изменения комплексного переменного z
(соответственно w,  и т. д.).
Предполагается, что читателю известны определения и основные свойства открытых, замкнутых, ограниченных и компактных
множеств в C, а также непрерывных, жордановых, гладких и
кусочно-гладких кривых, ломаной линии, параметризации кривой,
связных и линейно-связных множеств и областей. Все эти понятия
далее используются без соответствующих определений.
Следующие обозначения общеприняты:
∂E | граница множества E ⊂C;
E◦| множество всех внутренних точек множества E;
E = ∂E ∪E◦| замыкание множества E.
В пособии рассматриваются в основном области с гладкими
или кусочно-гладкими границами. В связи с этим удобно использовать следующее понятие. Под контуром (кусочно-гладким) мы
понимаем замкнутую жорданову гладкую или кусочно-гладкую
кривую (т. е., неформально говоря, замкнутую гладкую или кусочно-гладкую кривую, не имеющую точек самопересечения).
Так,
окружность является контуром, а лемниската Бернулли (имеющая
форму восьмерки) | нет.
Определение. Область Ωназывается простой, если она ограничена конечным числом кусочно-гладких контуров.
5

1/2 −1
(см., например, [X, разд. 1.4]).
На кусочно-гладком контуре можно выбрать одно из двух возможных направлений обхода.
Предполагается, что на контуре,
входящем в границу простой области, направление выбрано так,
что при обходе этого контура область остается слева (такое направление обхода называют положительным).
Зафиксируем обозначения ряда стандартных областей в комплексной плоскости:
D | единичный круг {z ∈C: |z| < 1};
De | внешность единичного круга {z ∈C: |z| > 1};
T | единичная окружность {z ∈C: |z| = 1}.
C+ | верхняя полуплоскость {z ∈C: Im z > 0};
C−| нижняя полуплоскость {z ∈C: Im z < 0};
Cr | правая полуплоскость {z ∈C: Re z > 0};
Cℓ| левая полуплоскость {z ∈C: Re z < 0}.
Часто верхнюю полуплоскость C+ обозначают также символом H.
В геометрических вопросах теории функций комплексного переменного, в том числе и в теории конформных отображений, часто
используют понятие расширенной комплексной плоскости C, под
которым понимают множество C = C ∪{∞} с соответствующим
уточнением понятия окрестности точки, а именно: -окрестностью
точки ∞называют множества {z: |z| > R}, где R =
p
1.2. Геометрическая интерпретация
функций комплексного переменного
Любую функцию f комплексного переменного, определенную
на подмножестве E комплексной плоскости Cz, можно интерпретировать как отображение f: R2 →R2, заданное парой функций uf,
vf двух вещественных переменных, определенных на множестве E,
которое также можно рассматривать как подмножество в R2. При
этом функцию f можно записать в виде
f(z) = uf(x, y) + ivf(x, y),
z = x + iy.
6

Наоборот, любое отображение f: E →R2, E ⊂R2, можно
трактовать как функцию комплексного переменного, заданную на
множестве E ⊂Cz.
Эта двойственность функций комплексного переменного позволяет широко использовать в теории функций комплексного переменного геометрические представления, что отражается и на
используемой в этой теории терминологии. Так понятие <отображение> имеет преимущественно геометрический подтекст, в то время
как понятие <функция> | алгебраический.
Среди множеств, рассматриваемых в теории функций комплексного переменного, особое значение имеют кривые и области на комплексной плоскости. Поэтому важной задачей является нахождение
образов этих геометрических объектов при разных отображениях
комплексной плоскости.
Рассмотрим такую задачу в некоторых
типичных ситуациях.
Отыскание образов и прообразов
множеств, заданных неявно
Рассмотрим множество E на плоскости Cz, заданное уравнением F(x, y) = 0, т. е. E = {z ∈C: F(x, y) = 0}.
Чаще всего
уравнениями такого вида задают различные кривые.
Например,
окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 1 задается уравнением x2 + y2 −1 = 0, эллипс с центром в точке (0, 0) и полуосями
2 и 1 задается уравнением x2 + 4y2 −4 = 0, а уравнение y −x = 0
описывает прямую.
Однако уравнения вида F(x, y) = 0 могут задавать и множества
более общего вида, нежели кривые. Так, уравнение
(x2 + y2 −1)((x −2)2 + (y −2)2 −1) = 0
задает объединение двух непересекающихся окружностей радиусом 1 с центрами в точках (0, 0) и (2, 2) соответственно. В самом
общем случае, когда на функцию F не наложено никаких ограничений, уравнение F(x, y) = 0 может описывать произвольное
подмножество плоскости.
7

Прообразом (полным прообразом) множества E для заданной
функции f комплексного переменного называется множество
f−1(E) =

z ∈Cz: f(z) ∈E
	
.
Чтобы описать множество f−1(E), достаточно использовать
композицию двух отображений:
f−1(E) =

z ∈Cz: F(Re f(z), Im f(z)) = 0
	
.
Действительно, если z ∈f−1(E), то, согласно определению
прообраза множества, f(z) ∈E, отсюда следует, что значения
x = Re f(z) и y = Im f(z) подчиняются уравнению F(x, y) =
= 0.
Наоборот, если F(Re f(z), Im f(z)) = 0, то значение f(z)
принадлежит множеству E. Следовательно, z ∈f−1(E).
Найти образ множества E, заданного неявно уравнением
F(x, y) = 0, значительно труднее.
Пусть функция комплексного
переменного f определена при всех z ∈E.
Образом f(E)
множества E называют множество
f(E) =

w ∈Cz: w = f(z), z ∈E
	
.
Чтобы найти образ множества E, можно, например, попробовать
найти обратную функцию z = f−1(w) и построить прообраз множества E при отображении f−1(w). Однако обратная функция может
не существовать либо ее нельзя представить аналитически. Другой
вариант решения этой задачи | замена неявного представления
множества E на параметрическое.
Представленные соображения относятся к более общему случаю, когда множество E ⊂Cz задано системой уравнений и
неравенств:
F1(x,y) = 0, ..., Fm(x,y) = 0, Fm+1(x,y) ≥0, ..., Fn(x,y) ≥0.
Отыскание образов и прообразов множеств,
заданных параметрически
Пусть кривая Γ задана параметрическими уравнениями
 x = x(t),
y = y(t),
t ∈[, 
] ⊂R,
8

или параметрическим уравнением в комплексной форме
z = (t) = x(t) + iy(t),
t ∈[, 
] ⊂R.
Тогда образ f(Γ) кривой Γ при отображении, осуществляемом
функцией комплексного переменного f(z) = uf(x, y) + vf(x, y),
z = x + iy, будет описываться параметрическими уравнениями
 u = U(t),
v = V (t),
t ∈[, 
],
где U(t) = uf(x(t), y(t)), V (t) = vf(x(t), y(t)). То же множество
можно описать параметрическим уравнением в комплексной форме
w = w(t) = U(t) + iV (t),
t ∈[, 
].
Отметим, что образ f(Γ) кривой Γ может не быть кривой при
определенных свойствах функции f.
Пример 1. Найдем образ кривой Γ = {|z −1| = 1} (рис. 1.1)
при отображении, осуществляемом функцией f(z) = 1
z .
Рис. 1.1
В данном случае функция w = f(z) имеет обратную функцию
z = 1
w. Образ кривой Γ при отображении w = f(z) есть ее прообраз
9
при отображении z = f−1(w).
Следовательно, множество f(Γ)
описывается уравнением


 1
w −1


 = 1,