Системы аналитических вычислений

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
Ф.В. Звягин 
СИСТЕМЫ  
АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ 
Методические указания к лабораторным работам 
М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 7 

УДК 519.6(076) 
ББК 22.193 
З-45 
Рецензент Г.И. Ревунков 
Звягин Ф.В. 
З-45 
Системы аналитических вычислений: Метод. указания к  
лабораторным работам. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2007. – 32 с.: ил.  
 
Методические указания содержат рекомендации по использованию систем аналитических вычислений для анализа сложных динамических систем как при классической постановке вопроса об 
устойчивости и анализе особых точек нелинейных систем, так и 
при современной постановке задачи об определении условий возникновения в системах хаотических состояний. Отдельно рассмотрен вопрос о построении притягивающих множеств особых точек 
нелинейных систем, являющихся аттракторами. Сформулированы 
задания к лабораторным работам. 
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих нелинейные процессы в динамических системах. 
Ил. 7. Библиогр. 4 назв. 
УДК 519.6(076) 
 ББК 22.193 
 
Методическое издание 
Феликс Валерьевич Звягин 
СИСТЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ 
Редактор А.В. Сахарова 
Корректор М.А. Василевская 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 
Подписано в печать 23.04.2007. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. 
Печ. л. 2,0. Усл. печ. л. 1,86. Уч.-изд. л. 1,75. 
Тираж 200 экз. Изд. № 16. Заказ 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 

 
ВВЕДЕНИЕ 
Курс «Системы аналитических вычислений» имеет своей целью научить студента проводить современные исследования на 
базе вычислительной техники. Данная цель достигается посредством теоретических и практических занятий, учитывающих специфику предметной области, которую студенты изучают, – управления в технических системах. 
Множество процессов реального мира можно описать в терминах динамических систем. Как правило, о динамической системе 
говорят в том случае, если можно указать такой набор величин, 
характеризующих состояние системы, что их значения в любой 
последующий момент времени получаются из исходного набора по 
определенному правилу. Это правило задает оператор эволюции 
системы. Современное понятие динамической системы подразумевает возможность задания оператора эволюции любыми способами, 
не обязательно дифференциальным уравнением. В частности, в последнее время и в теоретических исследованиях, и в работах прикладного характера очень часто рассматривают системы с дискретным временем, которые описываются рекуррентными отображениями. Развитие численных методов и вычислительной техники 
привело к тому, что в относительно недавнее время стало возможным использование методов анализа динамических систем, требующих проведения огромного количества вычислений: построения сечения Пуанкаре, численного определения ляпуновских показателей и т. д. Применение специализированных универсальных 
математических пакетов (MatLAB, Mathematica, Maple и т. д.) позволяет не только получить результат вычислений за приемлемое 
время, но и, используя дополнительные возможности этих пакетов, дать более качественный и всесторонний анализ поведения 
динамических систем вне зависимости от того, в каком виде они 
представлены.  
 
3

 
1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, 
ОПИСЫВАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ  
УРАВНЕНИЯМИ: СИСТЕМА ЛОРЕНЦА 
Опишем порядок исследования динамических систем на примере системы, впервые предложенной в 1963 г. американским исследователем Э. Лоренцем, который занимался проблемами прогноза погоды [1]. 
1.1. Задача о конвекции в подогреваемом снизу слое 
Рассмотрим слой жидкости глубины h, находящийся в поле 
тяжести. Пусть на верхней границе поддерживается постоянная 
температура T0, а на нижней границе T0 + ∆T (рис. 1). Из-за того, 
Рис. 1. Конфигурация течения, возникающего при конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости 
что нагретая жидкость легче холодной, при достаточно большой 
разности температур возникает конвекционное течение жидкости. В исходной постановке задачи мы имеем дело с распределенной системой – ее состояние характеризуется эволюционирующими во времени полями распределения скорости v(x, y, z, t), 
плотности ρ(x, y, z, t) и температуры T(x, y, z, t). 
 
4