Сборник задач по математике для проведения рубежного контроля в 8-11-х классах

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
Сборник задач по математике  
для проведения рубежного контроля  
в 8–11-х классах 
 
 
Под редакцией А.В. Афанасьевой 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М о с к в а  
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 1 3  
 
1 

УДК 51(075.8) 
ББК 22.1 
С23 
Авторы: 
А.В. Афанасьева, Э.Н. Белянова, И.В. Блудова, О.В. Власова,  
И.А. Грицай, С.Н. Дарьина, И.Г. Дегтярева, Е.В. Евстропова,  
В.Е. Епихин, А.М. Ковтун, Н.В. Кулинич, Е.Л. Маркова,  
В.К. Масалов, Д.А. Смирнова, В.А. Смородинова, М.Е. Старостина,  
И.М. Щепочкин, И.М. Штраус 
 
Рецензенты: М.И. Бугрова, Ю.В. Садовничий 
 С23 
 
 
  
 
        Сборник задач по математике для проведения  
рубежного контроля в 8–11-х классах : учеб. пособие  
/ А.В. Афанасьева, Э.Н. Белянова, И.В. Блудова и др. ; под ред. 
А.В. Афанасьевой. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2013. — 65, [3] c. : ил.  
ISBN 978-5-7038-3676-7 
Представлены задачи семестровых контрольных работ по математике за 2011/12 учебный год, проведенных в 8–11 классах лицея 
№ 1580 (при МГТУ им. Н.Э. Баумана). Задачи каждой семестровой 
работы охватывают все темы школьной программы, пройденные за 
полугодие, что позволяет объективно оценивать уровень общей математической подготовки школьников в конце каждого семестра. Такое содержание контрольных работ играет важную дидактическую 
роль, особенно в связи с необходимостью подготовки школьников к 
успешной сдаче государственной итоговой аттестации (ГИА) и единого государственного экзамена (ЕГЭ). 
Для учащихся и преподавателей специализированного учебнонаучного центра при МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 51(075.8) 
ББК 22.1 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3676-7  
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 
 
2 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящее учебное пособие отражает опыт работы авторов по 
проведению рубежного контроля в 8–11-х классах лицея № 1580 
(при МГТУ им. Н.Э. Баумана). В нем содержится около 400 задач 
по основным темам школьной программы по математике. Ко всем 
задачам даны ответы. 
Авторами семестровой контрольной работы для 8-го класса 
(первый семестр) являются Е.В. Евстропова, А.М. Ковтун,  
Е.Л. Маркова, Д.А. Смирнова, В.А. Смородинова, И.М. Штраус. 
Цель этой работы — проверка знаний школьников по следующим 
темам: делимость чисел, свойства арифметического квадратного 
корня, преобразования рациональных выражений, действия над 
множествами, четырехугольники, теорема Чевы, свойства площадей треугольников. 
Авторами семестровой контрольной работы для 8-го класса 
(второй семестр) являются В.А. Смородинова и И.М. Штраус. Эта 
работа содержит задачи по следующим темам: неравенства с одной переменной и их системы, свойства степени с целым показателем, квадратные и дробно-рациональные уравнения, преобразования графиков функций, текстовые задачи, графические методы 
решения задач с параметром, тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника, окружность. 
Авторами семестровой контрольной работы для 9-го класса 
(первый семестр) являются О.В. Власова, И.А. Грицай, С.Н. Дарьи- 
на, Е.Л. Маркова, В.А. Смородинова, М.Е. Старостина. В эту работу вошли задачи по следующим темам: исследование графиков 
функций, арифметическая и геометрическая прогрессии, неравенства с модулем, метод интервалов, уравнение окружности, решение треугольников, метод координат на плоскости.  
 
3 

Авторами семестровой контрольной работы для 9-го класса 
(переводного теста) являются А.В. Афанасьева и Э.Н. Белянова. 
Эта работа проводилась в начале апреля и ее целью было получение объективных данных об уровне математической подготовки 
школьников 9-го класса лицея, на основе которых делались выводы о продолжении их обучения в 10-м классе. Перечислим темы, 
вошедшие в тест: преобразование алгебраических выражений, 
свойства тригонометрических функций угла, решение уравнений и 
неравенств с модулем, прогрессии, текстовые задачи, задачи с параметром на свойства квадратичной функции, комбинации многоугольников и окружностей, площади фигур. 
Авторами семестровой контрольной работы для 10-го класса 
(первый семестр) являются Э.Н. Белянова, И.В. Блудова. В эту работу вошли задачи по следующим темам: уравнения и неравенства 
с модулем, уравнения высших степеней, метод интервалов для рациональных неравенств, уравнение прямой на плоскости, линейные и квадратные уравнения с параметром, преобразования тригонометрических выражений, угол между прямой и плоскостью, 
расстояние между скрещивающимися прямыми, построение сечения многогранника. 
Авторами семестровой контрольной работы для 10-го класса 
(второй семестр) являются И.Г. Дегтярева и Н.В. Кулинич. Цель 
этой работы — подготовка школьников к решению задач в объеме 
и составе, примерно соответствующих формату ЕГЭ по математике. Этим обусловлено разделение работы на две части. Первая 
часть работы содержит базовые задачи по таким темам, как простейшие тригонометрические неравенства, производная функций, 
преобразования логарифмических выражений, иррациональные 
уравнения и неравенства, прогрессии, метод координат в пространстве, дробно-рациональные неравенства с параметром, тригонометрические уравнения с отбором корней. Вторая часть работы включает более сложные задачи по темам: системы уравнений с 
двумя переменными, множество значений сложных функций, иррациональные уравнения с параметром, вычисление площади сечений многогранников.  
Авторами семестровой контрольной работы для 11-го класса 
(первый семестр) являются В.Е. Епихин и В.К. Масалов. В эту работу вошли задачи по темам, примерно соответствующим темам 
 
4 

олимпиады по математике для 11-го класса «Шаг в будущее», которую ежегодно проводит МГТУ им. Н.Э. Баумана. Первая часть 
работы включает задачи по темам: текстовые задачи, прогрессии, 
показательные и логарифмические уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения с отбором корней, множество значений сложных функций, приложения производной функции, планиметрия. Во вторую часть работы вошли задачи по темам: 
планиметрия с неоднозначным условием, решение уравнений в 
целых числах, уравнение или система уравнений с параметром, 
задачи на комбинации сферы и многогранника. 
Автором семестровой контрольной работы для 11-го класса 
(репетиционного теста) является И.М. Щепочкин. Эта работа проводилась в начале марта, и ее главной задачей была проверка готовности одиннадцатиклассников лицея к участию в заключительном туре олимпиады по математике «Шаг в будущее» МГТУ  
им. Н.Э. Баумана. В репетиционный тест вошли задачи по следующим темам: текстовые задачи, тригонометрические уравнения с 
отбором корней, показательные, логарифмические, иррациональные уравнения и неравенства, обобщенный метод интервалов, 
планиметрия, множество значений сложных функций, приложение 
производной, уравнение или система уравнений с параметром, вычисление площади сечения многогранника. 
Семестровые контрольные работы, представленные в пособии, 
могут быть использованы учащимися и преподавателями математики в школах с профильным изучением математики для проверки 
пройденного материала, отдельные задачи можно использовать в 
качестве дополнительного материала к урокам. 
 
 
 
 
 
 
 
5 

 
§ 1. СЕМЕСТРОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  
ДЛЯ 8-го КЛАССА (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР) 
Вариант 1 
1. Известно, что число m  дает при делении на 17 остаток 7. 
Какой остаток получится при делении на 17 числа 
2
12
4
7?
m
m
+
+
  
2. Решите графически уравнение 
3
2
16.
x
x
−
= −
+
 
26
5.
2 3
4
4
2 3
3. Решите уравнение (
)(
)
х
= −
+
−
 
+
−
 
4. Вычислите без калькулятора 
75
12
48 .
27
5. Упростите выражение: 
⎛
⎞
+
−
⎜
⎟
+
−
+
+
⎝
⎠
 б) 
5
5
1
5
1
7
5
: 35
.
n
n
n
+
−
⋅
 
а) 
2
2
3
3
1
3
:
;
x
y
xy
x
y
x
xy
y
x
y
6. В параллелограмме ABCD биссектриса AE делит сторону BC 
в отношении 2 : 3, считая от точки B. Периметр параллелограмма 
равен 112 см. Найдите стороны параллелограмма.  
7. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит прямой угол в отношении 1 : 2 и равна 3. Найдите стороны треугольника.  
8. Площадь треугольника ABC равна a. На сторонах треугольника AB, BC и AC выбраны точки С1, A1 и B1 соответственно. Известно, 
что BA1 : A1C = 3 : 7, AB1 : B1C = 2 : 1 и отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника C1BA1.  
х
−
9. Представьте дробь 
2
5
3
2
3
9
х
х
+
−
 в виде суммы двух дробей, 
знаменатели которых являются многочленами первой степени.  
 
6 

10. Упростите выражение 
37
20 3
37
20 3,
−
+
+
 представив подкоренные выражения в виде полного квадрата. 
11. В классе 27 учеников. Все ученики изучают хотя бы один 
иностранный язык. Английский язык изучают 15 человек, французский — 10, немецкий — 18. Английский и французский языки изучают 3 ученика, французский и немецкий — 8, а английский и немецкий — 7 учеников. Сколько учеников изучают все 
три языка?  
Вариант 2 
1. Известно, что число m  при делении на 8 дает остаток 4, а 
при делении на 5 дает остаток 3. Какой остаток получится при делении числа m  на 40? 
2. Решите графически уравнение 
4
2
14.
х
х
−
=
−
 
3. Решите уравнение (
)
3 3
5
5 3
9.
х
−
=
−
 
−
+
 
4. Вычислите без калькулятора 
18
32
50 .
8
5. Упростите выражение: 
а) 
2
1
1
2
3
:
1
2
3
4
9
а
а
а
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
⎝
⎠
;  б) 
4
2
2
1
3
5
: 45
.
n
n
n−
⋅
 
6. В параллелограмме KLMN биссектриса KE делит сторону LM 
в отношении 1 : 2, считая от точки L. Периметр параллелограмма 
равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. 
7. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит прямой угол в отношении 1 : 2 и равна 8. Найдите стороны треугольника. 
8. Площадь треугольника ABC равна a. На сторонах треугольника AB, BC и AC выбраны точки C1, A1 и B1 соответственно. Известно, что 
1
1 ,
АС
С В
=
1
:
5:3
ВС А С =
 и отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника A1CB1.  
9. Представьте дробь 
2
3
2
х
х
х
−
−
+
+
 в виде суммы двух дробей, 
знаменатели которых являются многочленами первой степени.  
 
7