Распознавание типов и методы решения дифференциальных уравнений первого порядка

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
Серия методического обеспечения учебного процесса  
студентов с ограниченными возможностями здоровья 
З.Ф. Столярова  
 
 
Распознавание типов  
и методы решения 
дифференциальных уравнений  
первого порядка 
 
Методические указания для самостоятельной работы  
по курсу «Математический анализ» 
 
 
Под редакцией А.Г. Станевского 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 
 

УДК 517.9 
ББК 22.161.6 
С81 
Ре це нз е нт В.В. Феоктистов 
      С81 
 
Столярова З.Ф. 
Г17 
 
Распознавание типов и методы решения дифференциальных уравнений первого порядка : метод. указания  / З.Ф. Столярова ; под ред. А.Г. Станевского. — М.: Изд-во МГТУ им. 
Н.Э. Баумана, 2011. — [52], 4 с.: ил. — (Серия методического 
обеспечения учебного процесса студентов с ограниченными 
возможностями здоровья). 
 
Рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка. 
Для студентов с ограниченными возможностями по слуху. 
Рекомендовано кафедрой «Реабилитация инвалидов» факультета 
ГУИМЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 517.9 
ББК 22.161.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 
 

 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
Это пособие предназначено в первую очередь для студентов 
ГУИМЦ, испытывающих затруднения в освоении темы «Дифференциальные уравнения первого порядка», а также для тех студентов общих потоков, которые избегают самостоятельно решать 
задачи по этой теме, так как считают их трудными. Устранение 
этих затруднений является одной из целей данных методических 
указаний. 
Пособие предлагается использовать только в целях практики, в 
целях распознавания типов дифференциальных уравнении первого 
порядка, выбора соответствующего метода решения и доведения 
решения, по крайней мере, до интегрирования. 
Предполагается, что всю теорию студенты будут изучать по 
лекциям и учебникам. 
Большая часть примеров, приведенных в методических указаниях, взята из книги «Задачи и упражнения по математическому 
анализу для втузов» (авторы Г.С. Бараненков, Б.П. Демидович, 
В.А. Ефименко и др.; под редакцией Б.П. Демидовича. М.: АСТ; 
Астрель, 2006). Эта книга входит в список основной литературы в 
«Планах учебных занятий студентов». 
 
3 

 
 
1. ПРОСТЕЙШИЕ ПОНЯТИЯ 
Что такое дифференциальное уравнение? 
Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое связывает аргумент x, неизвестную функцию y (зависящую от x) и 
производные этой неизвестной функции y (то есть y′, y″ и т. д.). 
Если в уравнение входит производная y′, а производные высших порядков не входят, то уравнение называется дифференциаль- 
ным уравнением первого порядка. 
Если в уравнение входят производные высших порядков, то 
самый высокий порядок («порядок старшей производной») равен 
порядку дифференциального уравнения, например: 
( ,
,
)
0
f x y y
′
′′ =
 — это дифференциальное уравнение второго 
порядка; 
( , ,
)
0
f x y y′ =
 — это дифференциальное уравнение первого порядка; 
2
5
1
( )
y
x
y
′′′
′
=
+ −
 — это дифференциальное уравнение третьего 
порядка; 
3
(
)
0
y
xyy
y
′
′
+
+
=
 — это дифференциальное уравнение первого порядка. 
Почему же уравнения, связывающие x , y  и производные от 
y , называются дифференциальными? 
Потому что, как вам уже известно, производная равна отношению дифференциалов:  
 
dy
y
dx
′ =
. 
Вторая производная функции y  от независимого аргумента x  
равна отношению 
2
d y  к 
2
(
) :
dx
 
 
4 

2
(
)
d y
y
dx
′′ =
 
и т. д. 
Следовательно, вместо производных уравнение может содержать, кроме x  и y , дифференциалы 
2
,
,
dx
dy d y  и т. д.  
Что значит решить (или, как принято говорить, проинтегрировать) дифференциальное уравнение первого порядка? Это значит, 
что надо найти такую функцию y , зависящую от аргумента x  и 
от произвольной постоянной C, которая удовлетворяет уравнению и при соответствующем значении постоянной C — начальному условию, если оно задано. 
Подробнее об общих и частных решениях, общих и частных 
интегралах, интегральных кривых дифференциальных уравнений, 
начальных условиях, условиях существования решений дифференциальных уравнений вы должны узнать из лекций и учебников. 
Что необходимо знать из ранее пройденных разделов математического анализа для успешного изучения дифференциальных 
уравнений? — Дифференцирование и интегрирование! 
2. ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  
ПЕРВОГО ПОРЯДКА 
Первоначально вам предстоит выучить всего четыре типа 
дифференциальных уравнений первого порядка. Это не труднее, 
чем выучить таблицу производных или таблицу интегралов. (Ещё 
один тип вы будете изучать значительно позже.) Эти четыре типа 
входят в состав контрольного мероприятия: контрольной работы 
или домашнего задания. 
Итак, вы изучаете дифференциальные уравнения первого порядка четырех типов в такой последовательности: 
1) с разделяющимися переменными; 
2) однородные; 
3) линейные (в том числе линейные однородные и линейные 
неоднородные); 
4) типа уравнения Бернулли. 
 
5 

 
Позднее вы будете изучать дифференциальные уравнения в 
полных дифференциалах. 
3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ  
ПЕРВОГО ПОРЯДКА  
С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными могут быть представлены в виде 
 
( )
( )
y
f x
g y
′ =
⋅
 
или в виде 
 
( )
( )
( )
( )
0.
f x
g y dx
F x
G y dy
⋅
+
⋅
=
 
Рассмотрим уравнение 
( )
( )
y
f x
g y
′ =
⋅
. 
Признаки уравнения этого типа: 
1) в левой части уравнения содержится только y′; 
2) в правой части уравнения содержится произведение двух 
множителей; 
3) один множитель зависит только от переменной x; 
4) другой множитель зависит только от переменной y. 
Как решать (интегрировать) уравнение 
( )
( )
y
f x
g y
′ =
⋅
? 
План решения: 
1-й шаг. Записываем y′ в виде dy
dx
, уравнение принимает вид 
 
( )
( ).
dy
f x
g y
dx
=
⋅
  
2-й шаг. Разделяем переменные, то есть записываем выражения, содержащие x и y, раздельно в разных частях уравнения. 
Уравнение принимает вид  
 
( )
.
( )
dy
f x dx
g y =
 
 
6