Краевые задачи для аналитических функций и их приложение к решению задач математической физики

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана





О.Д. Алгазин

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Методические указания по курсу «Уравнения математической физики»














Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2011

УДК 517.53
ББК 22.311
     А45

Рецензент А.В. Копаев
    Алгазин О.Д.
А45 Краевые задачи для аналитических функций и их приложение к решению задач математической физики : метод. указания по курсу «Уравнения математической физики». -М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 51, [1] с. : ил.

         Рассмотрены краевые задачи для аналитических в полуплоскости функций и показано, как с их помощью находят аналитические решения некоторых задач математической физики: интегральных уравнений на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов; краевых задач для уравнений с частными производными со смешанными краевыми условиями на действительной оси; интегродифферен-циального уравнения переноса. Для выполнения сложных вычислений и построения графиков использована программа Maple.
         Для студентов 3-го курса, изучающих уравнения математической физики.
         Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.53
ББК 22.311

Учебное издание

Алгазин Олег Дмитриевич

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Редактор В.М. Царев
Корректор М.А. Василевская
               Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой
Подписано в печать 20.09.2011. Формат 60x84/16.
Усл. печ. л. 3,02. Тираж 500 экз. Изд. № 28. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

    ВВЕДЕНИЕ

   Краевая задача заключается в отыскании аналитической в заданной области функции, удовлетворяющей на границе краевому условию. Полная теория подобных задач в классической постановке изложена в книгах [1, 2]. Мы ограничимся задачами для полуплоскости. Аппаратом для решения таких задач служит интеграл типа Коши или интегралы Фурье.
   Действительная ось разбивает комплексную плоскость на две полуплоскости: верхнюю и нижнюю. Будем их обозначать как D₊ и D_ соответственно, а аналитические в них функции как Ф₊ (z) и Ф_ (z). Пару функций Ф± (z) будем называть кусочно-аналитической функцией Ф (z) = Ф± (z).

    1. Задача о скачке

   Рассмотрим простейшую краевую задачу _ задачу о скачке, в которой требуется найти кусочно-аналитическую функцию Ф± (z), имеющую на действительной оси заданный скачок ф(x), т. е. удовлетворяющую краевому условию
Ф ₊ (x) _ Ф_ (x) = ф(x), x е R,        (1)

здесь Ф± (x) = lim Ф± (z) _ граничные значения функций Ф± (z) у ^±0
из верхней и нижней полуплоскостей соответственно.
   Чтобы задача имела решение, нужно наложить некоторые ограничения на заданную функцию ф (х) и искомые функции Ф± (z). Рассмотрим ограничения, позволяющие решить задачу с помощью интеграла типа Коши.

3

    2. Интеграл типа Коши


   Пусть ф( t) - комплекснозначная функция действительного переменного t. Интегралом типа Коши называют интеграл

                 , .  1 Хф(t)dt
Ф (z ) = — J V ’   , z = x + iy , y Ф 0;
2лi J t - z -X


ф(t) - плотность, а 1/ (t - z) - ядро Коши. Этот несобственный интеграл понимается в смысле главного значения

°гФ⁽t⁾dt = ₗᵢₘ J Ф⁽t⁾dt t - z     N ^+x     t - z
-x              - N


(2)

   Если y = 0 и, следовательно, z = x лежит на действительной оси, то появляется еще неинтегрируемая особенность t = x. Тогда

X


        ф( t) dt


-X

    lim I '7ф(£)^!:
N^+x, s^+0 J t - x V- N

(3)

t - x

N ф(t)dt J t - x x+£      7

    Такой интеграл называют особым, или сингулярным. Будем его обозначать

X ф(t)dt
V.p. J , t t - x -x

от фр. valeurpricipale - главное значение.
    Для того чтобы существовали конечные пределы (2) и (3), т. е. сходились соответствующие интегралы в смысле главного значения, функция ф( t) должна удовлетворять соответствующим условиям. Достаточно потребовать, чтобы ф( t) удовлетворяла условию Гельдера на действительной оси и в бесконечно удаленной точке. Существуют постоянные M > 0 и Х> 0, такие, что:
    1)    для любых двух точек действительной оси (t1 и 1₂) выполняется неравенство


4

|ф( t2 )-ф( ti)| < M\t2 - ti Г;


    2)     для достаточно больших |t| |ф(t)-ф(да)|


_1 й

|Х ■

   Из условия 1 следует непрерывность функции ф( t) на действительной оси. Достаточным для условия 1 является существование ограниченной производной ф'(t). Для выполнения условия 2 дос                          1 ^                      г
таточно, чтобы функция ф1 - I удовлетворяла условию Гельдера в

окрестности нуля.
   Пример 1. Пусть ф( t) -

1 -----. Тогда
1 +1²

²I t\  1
(1 +t²) 1 +t

⁷ <(1 -t²)

< 1, так как

(1 - |t|)² > 0 ^ 1 - 2|t| +t² > 0 ^ 1 +t² > 2|t|.


  Применяя теорему Лагранжа


|ф(t2 )⁻ ф(t1 )| = |ф‘  |t2 ⁻ t11 < |t2 ⁻ t11,


получим условие Гельдера с M —1 и Х = 1. При Х = 1 условие Гельдера называют условием Липшица;

²⁾ ф(да) = 0 |ф(t) ф(^)| =

 11.0
----- , t ^w. Значит, выпол-1 +1² t²

няется условие Гельдера и в бесконечно удаленной точке. Обозначим Ко{да} - К и при выполнении условий 1 и 2 будем говорить, что ф(t) удовлетворяет условию Гельдера на К и писать ф(t) <= Н (К).
   Пример 2. Пусть ф(t)-1. Очевидно, что 1е Н(К). Вычислим особый интеграл


5

X

V.p.

dt

-X

lim
N ^+x,e^+0

dt

t - X

J
X+£

dt

lim
N ^+x,e^+0

(lⁿ к⁻ xl - №+lⁿ к⁻ xl

N lx+£

lim
N ^+x,e^+0

(ln|e| - In |N + x| + In|N - x| - In|e|) =

= lim
  N ^+x

= ln1 = 0.

t - x

N + x
N - x

t - X ,


    3. Формулы Сохоцкого


   Если p(t) <= H (R), то интеграл типа Коши

1 X ф ±⁽ ² ⁾=—<J

-X

p( t) dt t — 2

является кусочно-аналитической функцией и существуют граничные значения Ф±(x), для которых справедливы формулы Сохоцкого (см. [1, 2]):
     ф +(x) = ^+V4K-L W , Ф+Н ₌ *Н ,
2      2'^^ i t x              2
-X
             ф( x)     1 'xp( t)dt          Ф^)
Ф (x ) = -    + V.p.- I ——— , Ф (x) = -     ,
V ⁷    2      2лi J t - x      V ’    2
-X
или
Ф+(x)⁻ ф-(x ) = Ф(x) ,             (⁴)

Ф+(x⁾⁺Ф -⁽x ⁾=V-p^ 1^^.
-X

6