Волновое уравнение

Московский государственный технический университет
имени  Н.Э. Баумана
Ю.И. Малов, М.М. Сержантова,
А.В. Чередниченко
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
 Методические указания к выполнению типового расчета
по курсу «Уравнения математической физики»
Под редакцией  Г.П. Стась
М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 6

УДК 517.9
ББК  22.161.6
          М18
Рецензент Л.К. Мартинсон
М18
Малов Ю.И., Сержантова М.М., Чередниченко А.В.   
Волновое уравнение: Метод. указания к выполнению
типового расчета по курсу «Уравнения математической
физики» / Под ред. Г.П. Стась. –  М.:  Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана. 2006.  – 47 с.: ил.
Рассмотрено волновое уравнение и некоторые его частные решения в
виде плоской, сферической и цилиндрической монохроматических волн.
Приведены решения уравнений Лапласа и Пуассона в классе обобщенных
функций с использованием функции Грина – функции источника.
Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс
«Уравнения математической физики». Может быть полезна студентам
старших курсов, изучающим соответствующую дисциплину.
Ил. 4. Библиогр. 5 назв.
                                                                                                                     УДК 517.9
                                                                                                          ББК 22.161.6
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Предисловие
Данное пособие содержит краткое изложение теории уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа,
а именно уравнений Лапласа, Пуассона, Гельмгольца.
Первая глава посвящена выводу волнового уравнения колебаний струны и электромагнитных колебаний. Вывод уравнения Лапласа приведен во второй главе. Также во второй и третьей главах
рассмотрены решения волновых уравнений с помощью функции
Грина.
Применение метода функции Грина вызвано необходимостью
использования обобщенных функций, а именно дельта-функции и
ее свойств [1], при решении различных задач физики, например
задач электродинамики [2], в расчетах оптико-электронных систем
[3] или при описании установившихся колебаний гибкой мембраны, закрепленной по контуру [4].
1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
1.1.  Механическая модель волнового процесса.
Уравнение колебаний струны
Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу, но сопротивляющаяся растяжению. Отсутствие сопротивления изгибу математически выражается в том, что напряжения,
возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее
мгновенному профилю.
Будем рассматривать плоское движение струны, когда смещение находится в плоскости ( , ),
x u
 а вектор смещения в каждый
момент времени перпендикулярен оси 
.
Ox  Пусть в плоскости
( , )
x u  струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью 
.
Ox  Величину
отклонения (смещения) струны от положения равновесия в точке x
в момент времени t обозначим как ( , ).
u x t
3

Рис. 1
Так как струна не сопротивляется изгибу, ее натяжение 
( , )
T x t
в момент t направлено по касательной к профилю струны в точке
x. Любой участок струны 
1
2
(
,
)
x
x
 после отклонения от положения
равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины. Действительно, длина
x
x
2
2
2
2
1
1
.
u
l
dx
dx
x
x
x
∂
⎛
⎞
=
+
≈
=
−
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
∫
∫
x
x
1
1
Следовательно, по закону Гука, натяжение 
( , )
T x t  будет оставаться постоянным, не зависящим от , :
x t  
0
( , )
.
T x t
T
=
Пусть 
( )
x
ρ
 – линейная плотность струны в точке х, так что
( )
x
x
ρ
∆ – масса элемента 
x
∆
 струны 
1
2.
M M
Составим уравнение движения струны. На ее элемент 
1
2
M M
действуют силы натяжения 
2
0
(
, )
T
x
x t
T
+ ∆
=
 и 1
0
( , )
,
T x t
T
=
 сумма
которых, согласно второму закону Ньютона, равна произведению
массы этого элемента на его ускорение. Проектируя это векторное
равенство на ось u, получим
2
,                   (1.1)
∂
α
−
α
= ρ
∆
0
0
2
sin
sin
( )
x
x
x
u
T
T
x
x
t
+∆
∂
4

u
u
u
x
x
x
где tg
;
u
x
∂
α = ∂
 
2
tg
sin
1
1
tg
α
∂
∂
∂
⎛
⎞
α =
=
+
≈
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
+
α
.
Поделим уравнение (1.1) на 
:
x
∆
u
u
2
+∆
0
2
( )
x
x
x
x
x
u
x
T
x
t
∂
∂
−
∂
∂
∂
ρ
≅
∆
∂
.
                    (1.2)
Перейдем в выражении (1.2) к пределу при 
0:
x
∆→
2
2
0
2
2
( )
.
u
u
x
T
t
x
∂
∂
ρ
=
∂
∂
                            (1.3)
Делением уравнения (1.3) на 
0
T  получим уравнение свободных, не зависящих от внешних сил колебаний струны:
2
2
                               (1.4)
1
.
u
u
T
t
x
2
2
0
∂
∂
=
⎛
⎞∂
∂
⎜
⎟
ρ
⎝
⎠
Поясним смысл отношения 0 / ,
T
ρ  исходя из единиц измерения
рассматриваемых величин:
u измеряется в метрах;
t
u′ – в метрах в секунду;
tt
u′′  – в метрах в секунду в квадрате;
x
u′  – безразмерная;
xx
u′  измеряется в метрах в минус первой степени.
Таким образом, величина 
0 /
T
ρ  имеет размерность квадрата
скорости.
Обозначим 
2
0 /
.
T
ρ = v
 Тогда (1.4) перепишется в виде
2
2
2
2
2
1
,
u
u
t
x
∂
∂
=
∂
∂
v
или
2
2
2
2
2
u
u
t
x
∂
∂
=
∂
∂
v
.
                              (1.5)
5