Имитационное моделирование процессов обслуживания вызовов

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 
Кафедра технических комплексов охраны и связи 
Т. В. Меньших, А. В. Паринов 
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ПРОЦЕССОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ ВЫЗОВОВ
Учебное пособие 
Воронеж 
2024 

УДК 004.94 
ББК 16.2 
М51 
Утверждено методическим советом Воронежского института ФСИН России 
16 апреля 2024 г., протокол № 8 
Р е ц е н з е н т ы: 
профессор кафедры технических комплексов охраны и связи  
Воронежского института ФСИН России доктор физико-математических наук, 
доцент Р. В. Кузьменко; 
заместитель начальника кафедры инфокоммуникационных систем и технологий 
Воронежского института МВД России доктор технических наук,  
профессор О. В. Пьянков 
М51
Меньших, Т. В. 
         Имитационное моделирование процессов обслуживания вызовов: 
учебное   пособие    /    Т.  В.    Меньших,  А.  В.    Паринов;    ФКОУ    ВО  
Воронежский   институт   ФСИН   России.  –   Воронеж  :   Издательство 
«Строки», 2024. – 160 с. 
ISBN 
Учебное  пособие  содержит  основные  теоретические  сведения  об  
имитационном   моделировании   процессов   обслуживания   вызовов, 
инструментальных средствах имитационного моделирования и их использования  при  решении  задач  телетрафика.  Представлены  контрольные 
вопросы и задачи для самостоятельного решения.    
Учебное  пособие  предназначено  для  обучающихся  по  инженернотехническим  специальностям,  а  также может  быть полезно  для практических работников.   
УДК 004.94 
ББК 16.2 
 
ISBN 
© ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России, 2024 
© Меньших Т. В., Паринов А. В., 2024 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..6 
1. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ……………..….........9 
1.1. 
Основные понятия, определения и история развития теории массового 
обслуживания……………………………………………………………………...9 
1.1.1. Возникновение и развитие методов и моделей теории массового 
обслуживания 
........................................................................................................ 9 
1.1.2. Основные определения, используемые в теории массового 
обслуживания 
...................................................................................................... 12 
1.1.3. Структура системы массового обслуживания ................................. 13 
1.1.4. Классификация систем массового обслуживания ............................... 23 
1.1.5. Предмет теории массового обслуживания .......................................... 23
1.2. Моделирование процессов смены состояний в системах массового 
обслуживания…………………………………………………………………….255 
1.2.1. Граф состояний 
........................................................................................ 25 
1.2.2. Цепи Маркова 
............................................................................................ 26 
1.2.3. Уравнение Колмогорова 
........................................................................... 30 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения ……………..40 
Контрольные вопросы ....................................................................................... 40 
Задачи для самостоятельного решения………………………………………….. 
41 
2. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ПОТОКОВ ВЫЗОВОВ ……………………...58 
2.1. Описание потоков вызовов .…………………………………………………58 
2.1.1. Понятие потока вызовов ........................................................................ 58 
2.1.2. Классификация потоков вызовов ........................................................... 61 
2.1.3. Основные характеристики потоков вызовов ....................................... 64 
3 

 
2.2. Модели, использующие простейший поток вызовов 
. 
……………………..66 
2.2.1. Определение простейшего потока и действия с ним .......................... 66 
2.2.2. Функция распределения вероятностей промежутков времени    
между вызовами ................................................................................................. 70 
2.3. Модели, описывающие нестационарные и неординарные 
потоки вызовов.......................................................................................................86 
2.3.1. Нестационарный поток вызовов 
............................................................ 86 
2.3.2. Неординарный поток вызовов ................................................................ 91 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения ……………. 94 
Контрольные вопросы ....................................................................................... 94 
Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 96 
3. ОДНОКАНАЛЬНАЯ И МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО 
ОБСЛУЖИВАНИЯ ……………………………………………………………….106 
3.1. Одноканальная система массового обслуживания 
. 
………………………107 
3.1.1. Описание одноканальной системы массового обслуживания 
с отказами 
......................................................................................................... 107 
3.1.2. Описание одноканальной системы массового обслуживания 
с ограниченной очередью ............................................................................... 1111 
3.1.3. Описание одноканальной системы массового обслуживания 
с неограниченной очередью ............................................................................. 116 
3.2. Многоканальная система массового обслуживания………………………1211 
3.2.1. Описание многоканальной системы массового обслуживания 
с отказами 
......................................................................................................... 121 
3.2.2. Описание многоканальной системы массового обслуживания 
с ограниченной очередью ................................................................................. 126 
3.2.3. Описание многоканальной системы массового обслуживания 
с неограниченной очередью ............................................................................. 132 
4 
 

 
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения ........ 
………137 
Контрольные вопросы ……………………………………………………….137 
Задачи для самостоятельного решения
 ............................................................... 
…………………………………….13939 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
……………………………………………………………………151 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………...153 
Приложение 1 
……………………………………………………………………...155 
Приложение 2 
……………………………………………………………………...155 
Приложение 3 
……………………………………………………………………...159 
 
5 
 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
В  настоящее  время  происходит активное развитие методов математического  моделирования, охватывающих все  более широкий спектр  направлений 
деятельности  человека,  и,  в  частности,  разработки  и  совершенствования  различного  вида  технических  систем  и  объектов.  Причиной  этого  является  все 
большее усложнение таких систем и объектов, что делает неприемлемо дорогостоящим или даже невозможным экспериментальную проверку их работоспособности,  надежности  и  экономической  эффективности  функционирования. 
Вместо указанных проверок разрабатываются математические модели процессов  функционирования  технических  систем  и  объектов,  которые  позволяют  
с достаточной точностью описать и спрогнозировать изменение при различных 
вариантах модернизации указанные выше аспекты этих систем. 
Одним из основных направлений математического моделирования является имитационное моделирование, базирующееся в основном на методах теории  вероятностей.  В  этом  случае  функционирование  отдельных  структурных 
элементов объектов и систем моделируется с помощью теоретически обоснованных вероятностных законов распределения [1]. В частности, использование 
методов имитационного моделирования позволяет оценить с требуемой точностью результаты совместного функционирования структурных элементов объектов и систем [2]. Тем самым появляется возможность оценить указанные выше аспекты функционирования объектов и систем в целом.  
С начала XX века активно изучаются процессы исследования многократно повторяющихся однотипных задач, которые получили названия систем массового обслуживания  [3–7].  Отправной точкой развития данного направления 
являлось начатое  датским  ученым  А. К.  Эрлангом  изучение  потоков  вызовов  
[8–13].  
Важность изучения перечисленных задач для сотрудников Федеральной 
службы  исполнения  наказаний  определяется  тем,  что  все  объекты  уголовноисполнительной системы оснащены большим количеством оборудования, обес6 
 

 
печивающего 
обработку 
значительного 
числа 
всевозможных 
вызовов  
(запросов к информационным базам данных, звонков в дежурную службу и т. п.). 
Это делает актуальным задачу изучения теоретических основ функционирования таких систем, в частности, моделирования различного рода запросов.  
Настоящее учебное пособие посвящено описанию основных типов имитационных моделей процессов потоков вызовов и структурно состоит из трех 
разделов.  
В первом разделе представлена  историческая справка о развитии теории 
телетрафика  и  систем  массового  обслуживания  в  целом,  изложены  основные 
теоретические сведения, приведены необходимые понятия и определения теории массового обслуживания. Также рассмотрен один из базовых вопросов теории массового обслуживания – моделирование процессов смены состояний на 
примере классических теорий цепей Маркова и уравнений Колмогорова.   
Второй  раздел посвящен  описанию  моделей  простейшего,  нестационарного и неординарного потоков вызовов. Приведена общая классификации этих 
видов потоков и описаны их основные характеристики и аналитические методы 
их моделирования. 
Третий  раздел  посвящен  описанию  моделей  одноканальной  и  многоканальной  систем  массового  обслуживания.  Рассмотрены  варианты  описания 
функционирования этих систем с отказами, с ограниченной и неограниченной 
очередью. 
В  каждом  разделе  подробно  рассмотрены  примеры  решения  соответствующих  задач.  Для  каждой  задачи  приведены  индивидуальные  задания  по 
вариантам для всех обучающихся учебных групп. 
Для  проверки  эффективности  освоения  материала  каждый  раздел  
содержит контрольные вопросы, в достаточной степени охватывающие весь его 
объем.  
Учебное пособие может являться основой для проведения практических 
работ по ряду разделов курса «Теория телетрафика». Список всех практических 
работ с указанием расположения теоретического материала и примеров реше7 
 

 
ния  задач  приведен  в  приложении  1.  Рекомендуемый  вариант  содержания  
и оформления результатов этих работ описан в приложениях 2 и 3. 
Учебное пособие предназначено для обучающихся в образовательных организациях  ФСИН  России  по  инженерно-техническим  специальностям  
и  направлениям,  изучающих  дисциплины  «Теория  телетрафика»,  «Моделирование систем» и «Моделирование систем и сетей телекоммуникаций».   
8 
 

 
1. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 
 
1.1. Основные понятия, определения  
и история развития теории массового обслуживания 
 
1.1.1. Возникновение и развитие методов и моделей  
теории массового обслуживания 
 
Научная  дисциплина,  в  которой  изучаются  вопросы  моделирования  
процессов  обслуживания  вызовов,  называется  теорией  телетрафика,  которая  
в свою очередь является разделом теории массового обслуживания. Основоположником 
теории 
массового 
обслуживания 
является 
датский 
ученый  
А. К. Эрланг (рис. 1.1). 
 
 
Агнер Краруп Эрланг (1878–1929)  –
датский математик, статистик и инженер, 
основатель 
научного 
направления 
по  изучению  трафика  в  телекоммуникационных  системах  и  теории  массового 
обслуживания.  Эрлангом  была  получена 
формула  для  расчета  доли  вызовов, 
получающих  обслуживание  на  сельской 
телефонной  станции  и  кому  придется 
ожидать пока делаются внешние вызовы. 
В  1909  году  он  опубликовал  свою 
первую  работу:  «Теория  вероятностей 
и  телефонные  разговоры».  Эта  работа 
была  признана  во  всем  мире  и  его  формула  была  принята  для  использования 
в крупнейшей почтовой службе. 
 
 
 
  Рис. 1.1. А. К. Эрланг 
9 
 

 
Методы  теории  телетрафика  обеспечивают  получение  оценок  качества 
функционирования систем обслуживания вызовов, и в более широком смысле – 
распределение информации. Поэтому при использовании этой теории приоритетными  являются  задачи  отыскания  зависимостей и  оценки  характеристик  и 
параметров потока вызовов, характеризующих качество обслуживания. 
Исторически теория массового обслуживания появилась в начале XX века 
из необходимости оценки качества функционирования телефонных систем, которая  привела  к  неизбежности  использования  новых  подходов  и  потребовала 
разработки новых математических методов.  
Заслугой А. К. Эрланга является получение ряда формул в процессе решения задач совершенствования функционирования систем связи, анализ которых позволил получить базовые понятия и формулировки теории массового обслуживания.  
Дальнейшим  развитием  этой  теории  занимались  отечественные  ученые 
А. Я. Хинчин (рис. 1.2) и Б. В. Гнеденко. 
  
Александр 
Яковлевич 
Хинчин 
(1894–1959)  –  советский  математик, 
профессор  МГУ,  один  из  наиболее 
значимых  ученых  в  советской  школе 
теории 
вероятностей, 
членкорреспондент  АН  СССР  (1939),  действительный член АПН РСФСР (1944), 
лауреат  Сталинской  премии  второй 
степени за работы по теории вероятностей. 
А. 
Я. 
Хинчин 
совместно 
с А. Н. Колмогоровым положил начало 
общей  теории  случайных  процессов, 
где, в частности, дал определение стационарного случайного процесса. 
 
Рис. 1.2. А. Я. Хинчин 
10