Геометрия и графика, 2024, № 3

ISSN 2308-4898
Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А
2024. Том 12. Вып. 3
Научно-методический журнал
2024. Vol. 12. Issue 3
Scientific and methodological journal
DOI 10.12737/issn.2308-4898
GEOMETRY & GRAPHICS
Выходит 4 раза в год
СОДЕРЖАНИЕ
НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Сальков Н.А.  
Классификация линейчатых поверхностей . .  .  .  .  .  . . . . . 3
Издается при поддержке:
МИРЭА — Российского технологического университета, Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) 
им. В.И. Сурикова, Омского государственного 
технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)
МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ
Сальков Н.А., Кадыкова Н.С.
О роли первой лекции по начертательной 
геометрии .. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523
Чупин С.А., Исаев А.И., Трубецкая О.В.
Применение дополненной реальности при 
преподавании инженерной горно-геологической 
графики . . .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Кокорин М.С., Маркова Т.В., Никитина Т.А.
Проектные задачи в курсе начертательной 
геометрии .. .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru
Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор, МИРЭА — 
Российский технологический университет, 
институт тонких химических технологий (МИТХТ)
Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.
Отдел подписки:  
Травкина А.  
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 222 
e-mail: podpiska@infra-m.ru
Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181
© ИНФРА-М, 2024
Подписано в печать 25.09.2024  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 
Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.
САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
	
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
2
Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
	
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
	
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).
Согомонян Коля Амазаспович, д-р техн. наук, профессор. Армянский 
национальный политеxнический университет. Ереван (Армения).
	
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
	
Российский химико-технологический университет имени 
 
Д.И. Менделеева (Россия).
	
Armenian National Polytechnic University, Yerevan (Armenia).
Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
	
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
	
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).
Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
	
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
	
Tula State University, Tula (Russia).
Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины.	
	
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
	
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).
Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna 
(Austria).
Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
	
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
	
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).
Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
	
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 
Санкт-Петербург (Россия).
	
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).
Толок Алексей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор. Московский 
 
государственный технический университет «СТАНКИН» (Россия). 
STANKIN Moscow State Technical University, Moscow (Russia)
Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
	
St. Petersburg State University of Telecommunications named 
after Professor M.A. Bonch-Bruevich (Russia).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
	
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия).
	
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор. Московский государственный университет имени 
 
М.В. Ломоносова, Москва (Россия).
	
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).
Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
	
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
	
Russian Technological University (Russia).
Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).
Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
	
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
	
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Weiss Günter, Professor, Vienna University of Tehnology, Vienna (Austria).
	
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).
Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
	
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 
	
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
	
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
МИРЭА — Российский технологический университет, институт 
тонких химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).
Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
	
Russian Technological University (Russia).
Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
	
МИРЭА — Российский технологический университет, институт тонких химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
	
Russian Technological University (Russia).
Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
	
Софийский технический университет, София (Болгария).
	
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).
Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
	
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).
Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
МИРЭА — Российский технологический университет, зам. гл. 
редактора (Россия).
Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
	
МИРЭА — Российский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).
	
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).
Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
	
Омский государственный технический университет (Россия).
	
Moscow Region State University, Moscow (Russia).
Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
	
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).
Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия). 
Ефремов Алексей Вячеславович, старший преподаватель 
 
МИРЭА — Российский технологический университет (Россия).
	
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named 
after A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow 
(Russia).
Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel). Ariel University, Science Park, 
Ariel (Israel).
Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
	
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
Егиазарян Карен Тигранович, канд. хим. наук, МИРЭА — Российский 
технологический университет (Россия).
	
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).
Плоский Виталий Алексеевич, д-р техн. наук, профессор, 
президент Украинской ассоциации по прикладной геометрии, 
проректор по научной работе. Киевский национальный университет строительства и архитектуры, Киев (Украина). 
	
Kiev National University of Construction and Architecture, Kiev 
(Ukraine).
Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
	
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
Присланные рукописи не возвращаются.
Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.
Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редакцию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.
Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.
При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.
Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.
	
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
УДК 514:378 
DOI: 10.12737/2308-4898-2024-12-3-3-12
Сальков Н.А
Канд. техн. наук, профессор,
Московский государственный академический 
художественный институт имени В.И. Сурикова,
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30
Классификация линейчатых 
поверхностей 
system, with or without planes of parallelism, divided into two 
systems, the first of which has only lines and curved surfaces as 
guides, and the second adds a plane to which the generators are at 
a certain angle. In addition, all surfaces are divided into three 
groups. Group 1 contains no planes of parallelism, group 2 has one 
plane of parallelism, and group 3 has two planes of parallelism. In 
addition, there are three ways to set: a) three separate guides; b) 
three guides, provided they belong to each other; c) three guides, 
one of which is a movable plane tangent to the other two guides. 
All the proposed options for defining ruled surfaces seem to contain 
the entire possible palette of modeling ruled surfaces. The proposed 
classification does not claim to be the final version. Like any theory, it must develop like a periodic table, so the proposed scheme 
can serve as the beginning for a more complex and modern classification of ruled surfaces 
Keywords: surfaces, ruled surfaces, classification of surfaces, 
quality of learning, heuristic thinking. 
Аннотация. В данной работе сделана попытка систематизировать все линейчатые поверхности, включая давно известные, в единой классификации. Систематизация основана на 
вышедших ранее работах под названием «Общие принципы 
задания линейчатых поверхностей», части 1, 2 и 3, которые 
вышли в журнале «Геометрия и графика» в издательстве 
ИНФРА-М в 2018 и 2019 гг., а также в 2024 г. с названием 
«Расширение вариантов формирования линейчатых поверхностей». Получилась довольно-таки разветвленная система, 
имеющая или не имеющая плоскостей параллелизма, подразделяющаяся на две системы, в первой из которых имеются в 
качестве направляющих только линии и кривые поверхности, 
а во второй добавляется плоскость, к которой образующие 
находятся под определенным углом. Кроме того, все поверхности подразделяются на три группы. Группа 1 не содержит 
плоскостей параллелизма, группа 2 имеет одну плоскость 
параллелизма, и группа 3 имеет две плоскости параллелизма. 
Кроме этого, имеются три способа задания: а) тремя раздельными направляющими; б) тремя направляющими при условии 
их взаимной принадлежности; в) тремя направляющими, 
одной из которых является подвижная плоскость, касательная 
к двум другим направляющим. Все предложенные варианты 
задания линейчатых поверхностей, как представляется, содержат всю возможную палитру моделирования линейчатых 
поверхностей. Предлагаемая классификация не претендует 
на окончательный вариант. Как и всякая теория, она должна 
развиваться наподобие таблицы Менделеева, поэтому предлагаемая схема может послужить началом для более сложной 
и современной классификации линейчатых поверхностей. 
Ключевые слова: поверхности, линейчатые поверхности, 
классификация поверхностей, качество обучения, эвристическое мышление.
Salkov N.A
Ph.D. in Engineering, Professor,
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov,
30, Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia
Classification of Ruled Surfaces 
Abstract. In this paper, an attempt is made to systematize all 
linear surfaces, including those that have been known for a long 
time, in a single classification. The systematization is based on 
previously published works entitled "General principles of defining 
ruled surfaces", parts 1, 2 and 3, which were published in the journal Geometry and Graphics by INFRA-M publishing house in 
2018 and 2019, as well as in 2024 with the title "Expanding the 
options for forming ruled surfaces". The result is a rather branched 
В 2019 г. на VIII Международной научно-практической интернет-конференции «Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации» (КГП-2019), 
прошедшей в городе Пермь с 01 февраля по 30 марта в Пермском национальном исследовательском 
политехническом университете, был представлен 
доклад автора данной статьи под названием «Единое 
задание линейчатых поверхностей», представляющий 
краткую выборку положений, представленных в 
статьях [35–37].
На конференции автору доклада был задан вопрос 
ведущим научным сотрудником Института проблем 
передачи информации им. А.А. Харкевича при 
Российской академии наук А.В. Селиверстовым, 
будет ли продолжение в виде разработки классификации линейчатых поверхностей. Однако в то время, 
в 2019 г., задача составить классификацию не стояла 
в плане работ, и об этом было сказано. Однако с 
течением времени такая мысль возникла и вот почему.
Линейчатые поверхности представляют значительный интерес в силу широкого их использования 
в науке [20; 22; 24; 30; 39], технике и строительстве, 
от авиации до сельского хозяйства [7–9; 23; 26–29; 
31; 32; 34; 38; 40; 45; 46]. Возможность прямолинейного перемещения режущего инструмента по направлению образующих серьезно упрощает изготовление 
моделей, штампов.
Особую роль играет аналитический аппарат [4; 
10; 12; 26; 29; 32; 45]. Уравнение линейчатых поверхностей позволяет применять вычислительную тех3

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
нику, вести обработку поверхностей на станках с 
числовым программным управлением.
Важным является однотипность задания линейчатой поверхности в любом возможном случае только с помощью трех направляющих, которыми могут 
являться как линии, так и поверхности, и трех дополнительных условий, характеризующих положение 
образующей заданной поверхности относительно 
каждой из направляющих, тем самым определяющих 
закономерность образования поверхности [35–37].
Однотипность задания поверхностей сопутствует 
выявлению основных факторов, влияющих на типичность форм поверхностей, на выявление характерных свойств, позволяющих разбить всю массу 
линейчатых поверхностей на определенные группы, 
классифицировать их по родственным признакам.
Такими признаками может являться наличие на 
поверхности, исключая множество образующих, 
одной, двух или трех прямых линий, наличие одной 
или двух направляющих плоскостей параллелизма, 
наличие на поверхности плоских кривых линий второго порядка, трансцендентных линий — винтовых 
и т.д.
Расширение применения линейчатых поверхностей, использование их в качестве поверхностей 
плавного перехода между двумя поверхностями при 
возможности задания одной из линий соприкосновения, открывает широкие возможности перед конструкторами и проектировщиками.
Предельные линейчатые поверхности [37] разбивают пространство на кольцевые зоны, что позволяет решать вопрос о возможных границах существования линейчатых поверхностей в каждом конкретном случае.
Наличие единого способа моделирования линейчатых поверхностей и вынудило попробовать создать 
классификацию, но лишь линейчатых поверхностей. 
Вопрос возник, хотя в принципе классифицировать 
поверхности — и мы в этом твердо убеждены — не 
только непростая, но и почти невозможная задача: 
нет такого общего критерия, позволяющего, например, четко ответить на вопрос — когда поверхность 
можно назвать гиперболическим параболоидом, 
когда коноидом, когда цилиндроидом. А плоскость 
может получиться и как линейчатая, и как вращения, 
и как с плоскостью параллелизма, и как циклическая. 
Обо всех таких случаях я поясняю студентам первого курса, хоть они и не знают геометрию так, как 
знали ее выпускники 10-го класса в школах СССР.
Тем не менее рассмотрим появившуюся новую 
классификацию линейчатых поверхностей.
В некоторых работах и учебниках [1–3; 5; 6; 11; 
13–15; 16–19; 21; 25; 33; 34; 41; 42–44] проскальзывают тенденции классифицировать линейчатые поверхности в зависимости от количества направляющих линий. При анализе образования линейчатых 
поверхностей мы убеждаемся, что в каждом случае 
их задания всегда можно выделить три направляющие, 
которыми могут быть как линии, так и поверхности. 
При этом задаются три условия, выражающие закономерность расположения образующей относительно каждой из этих направляющих. Поэтому, если 
говорится, что линейчатая поверхность задана двумя 
направляющими, следует искать рядом еще и третью 
направляющую, хотя у нее может быть другое наименование, например, «плоскость параллелизма».
Направляющие не всегда дают явную характеристику поверхности с возможностью точно назвать ее 
«по имени». Схожие по своему виду направляющие 
порой определяют разные поверхности. В других 
случаях различные направляющие задают одну и ту 
же поверхность. В качестве примера перечислим 
только некоторые задания поверхности однополостного гиперболоида с помощью трех направляющих. 
Это три окружности, расположенные в параллельных 
плоскостях, имеющие центры, расположенные на 
одной прямой линии; три эллипса с пропорциональными и одинаково направленными одноименными 
осями, центры которых принадлежат одной прямой 
линии; три сферы или три эллипсоида с соблюдением приведенных выше требований; две одноосные 
поверхности вращения и окружность, принадлежащая 
оной из этих поверхностей; две окружности и пересекающая их в пространстве прямая линия; три скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, и др. Естественно, что поверхности получаются не при любом расположении направляющих, 
а, например, при расположении окружности с меньшим радиусом между двух других, но тенденция 
понятна.
Определение места каждой линейчатой поверхности, заданной тремя направляющими и тремя 
условиями построения образующей, в классификационной таблице часто требует дополнительных 
исследований, так как направляющие не всегда являются носителями классификационных признаков.
Классификационные признаки должны выражать 
индивидуальные особенности самих поверхностей 
и быть общими для всех поверхностей, объединяемых 
в данную классификационную группу.
Классификация линейчатых поверхностей показана на рис. 1–3. В ее основу заложены такие характерные признаки, как наличие на поверхности, за 
исключением множества прямолинейных образующих, 
одной прямой линии, двух прямых линий, трех прямых линий, существование одной плоскости или 
двух плоскостей, которым образующие поверхности 
параллельны (плоскости параллелизма). 
4

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
На рис. 1 такие признаки даны для линейчатой 
поверхности, не имеющей плоскости параллелизма. 
ний или поверхностей, сопровождаемых тремя условиями, характеризующими положение прямолинейной образующей данной линейчатой поверхности 
относительно каждой из этих направляющих [35–37] 
(рис. 4).
 
Рис. 1
Рис. 3
На рис. 2 такие признаки даны для поверхности, 
имеющей одну плоскость параллелизма, на рис. 3 — 
для поверхности, имеющей две плоскости параллелизма.
 
Рис. 4
 
Рис. 2
При аналитическом задании линейчатой поверхности признаки, на основании которых можно ее классифицировать, заложены в самом уравнении поверхности и выявляются при анализе этого уравнения.
При кинематическом задании линейчатой поверхности ее форма и положение в пространстве 
определяются с помощью трех направляющих — лиВ большинстве случаев направляющие линейчатой поверхности одновременно заключают в себе ее 
основные классификационные признаки.
В зависимости от заданных условий расположения 
прямолинейной образующей относительно каждой 
из направляющих можно выделить две системы образования наиболее распространенных линейчатых 
поверхностей. 
В системе I (рис. 5) прямолинейные образующие 
пересекают направляющие линии, касаются направляющих поверхностей. 
5

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
 
В системе II третьей направляющей является плоскость, относительно которой образующие расположены под заданным углом α. Количество таких систем 
можно расширить на основе рассмотренного ранее 
материала [35–37] (рис. 4).
Рис. 7
 
Рис. 5
Система I. 
Группа 1 при способе задания а) включает следующие основные линейчатые поверхности (рис. 8):
•	 линейчатую поверхность общего вида;
•	 дважды косой цилиндр;
•	 дважды косой коноид;
•	 коническую поверхность и плоскость;
•	 однополостный гиперболоид.
Названия всех поверхностей взяты традиционные 
[1–3; 5; 6; 13; 14; 17; 43; 44], однако некоторые из 
них соответствуют названиям, введенным в учебнике А.С. Фролова [43].
Все линейчатые поверхности делятся на три основных группы. 
К группе 1 (рис. 6) относятся поверхности, у которых направляющими являются линии, поверхности. 
К группе 2 относятся поверхности, в каждой из 
которых одной из трех направляющих является плоскость параллелизма. 
К группе 3 относятся поверхности, у которых 
из трех направляющих две — плоскости параллелизма.
 
Рис. 6
 
Рис. 8
В зависимости от взаимного расположения направляющих имеется три способа задания линейчатых поверхностей (рис. 7):
а) 	тремя раздельными направляющими;
б) 	тремя направляющими при условии их взаимной 
принадлежности;
в) 	тремя направляющими, одной из которых является подвижная плоскость, касательная к двум 
другим направляющим.
6

GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
Группа 1 при способе задания б) объединяет 
(рис. 11):
•	 линейчатую поверхность общего вида;
•	 дважды косой цилиндроид;
•	 торсовые поверхности.
Группа 2 при способе задания при способе задания а) (рис. 9) включает такие поверхности:
•	 цилиндроид; 
•	 коноид; 
•	 гиперболический параболоид — косую плоскость; 
•	 одну или две плоскости.
 
Рис. 11
 
Группа 1 при способе задания в) объединяет 
(рис. 12) предельные линейчатые поверхности, определяющие границы возможного существования множества других линейчатых поверхностей.
Рис. 9
 
Г
руппа 3 при способе задания а) (рис. 10) включает:
•	 цилиндрическую поверхность;
•	 плоскость;
•	 прямую линию.
Рис. 12
 
Система II. 
При способе задания а) (рис. 13) объединяет следующие основные линейчатые поверхности:
•	 цилиндроид;
Рис. 10
7

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
•	 коноид;
•	 гиперболический параболоид;
•	 закрытый или открытый геликоид;
•	 торсовый геликоид.
 
В зависимости от того, можно ли данную линейчатую поверхность совместить всей ее поверхностью 
с плоскостью без изломов и разрывов, т.е. выполнить 
конформное преобразование, точнее, — частный его 
случай, в просторечии называемый разверткой поверхности на плоскости, линейчатые поверхности 
подразделяются на развертываемые и неразвертываемые (рис. 15). К развертываемым относятся:
•	 поверхности, составленные из отсеков плоскостей, — многогранные поверхности;
•	 конические поверхности;
•	 цилиндрические поверхности;
•	 торсовые поверхности.
Все остальные являются неразвертываемыми.
 
Рис. 15
Рис. 13
При способе задания б) (рис. 14) образуется косой 
цилиндроид.
 
Рис. 14
Из всего множества линейчатых поверхностей 
можно выделить линейчатые поверхности 2-го порядка, к которым относятся эллиптический, параболический, гиперболический цилиндры и конусы, 
однополостный гиперболоид, гиперболический параболоид (косая плоскость).
В частных случаях линейчатые поверхности могут 
оказаться поверхностями вращения. К ним относятся такие поверхности второго порядка:
•	 конус вращения;
•	 цилиндр вращения;
•	 однополостный гиперболоид вращения.
Дальнейшее разветвление классификационной 
схемы линейчатых поверхностей может продолжаться за счет конкретизации форм направляющих кривых линий и поверхностей и взаимного их расположения в пространстве.
Следует отметить, что любую линейчатую поверхность, соприкасающуюся с двумя данными направляющими поверхностями, можно рассматривать как 
линейчатую поверхность плавного перехода.
8

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
Литература
1.	Бубенников А.В. Начертательная геометрия [Текст] / 
А.В. Бубенников, М.Я. Громов. — М.: Высшая школа, 
1973. — 416 с.
2.	Винницкий И.Г. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
И.Г. Винницкий. — М.: Высшая школа, 1975. — 280 с.
3.	Виноградов В.Н. Начертательная геометрия [Текст] / 
В.Н. Виноградов. — Минск: Выш. школа, 1977. — 268 с.
4.	Гершман И.П. Конструирование поверхностей путем выделения их непрерывных линейчатых каркасов 
из многопараметрических множеств линий [Текст] / 
 
И.П. Гершман // Труды УДН им. П. Лумумбы. Т
. 26: Математика. Вып. 3: Прикладная геометрия. — М., 1967. 
С. 33–47. 
5.	Глаголев Н.А. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
Н.А. Глаголев. — М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР
, Главная 
редакция общетехнической литературы и номографии, 
1936. — 160 с.
6.	Гордон В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] / 
В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. — М.: Наука, 
1977. — 268 с.
7.	Грохот-питатель: авторское свидетельство 1025461 
СССР
, МКИ3 В 07 В 1/16 / Н.А. Сальков (СССР). — 
№ 3333233/29-03; заявлено 25.06.81; опубликовано 
30.06.83, Бюллетень № 24. — 3 с. 
8.	Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения 
[Текст] / Ф.М. Диментберг. — М.: Наука, 1978. — 328 с.
9.	Калашников С.Н. Зубчатые колеса и их изготовление 
[Текст] / С.Н. Калашников, А.С. Калашников. — М.: 
Машиностроение, 1983. — 264 с.
10.	Камалов А. Конструирование линейчатых поверхностей 
каркасно-параметрическим методом и их применение 
[Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / А. Камалов. — 
Самарканд, 1980. — 16 с.
11.	Климухин А.Г. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
А.Г. Климухин. — М.: Стройиздат, 1978. — 334 с.
12.	Кокарева Я.А. Синтез уравнений линейчатых поверхностей с двумя криволинейными и одной прямолинейной 
направляющими [Текст] / Я.А. Кокарева // Г
еометрия 
и графика. — 2018. — Т
. 6. — № 3. — С. 3–12. — DOI: 
10.12737/article_5bc454948a7d90.80979486
13.	Колотов С.М. Курс начертательной геометрии [Текст] / 
С.М. Колотов, Е.Е. Дольский, В.Е. Михайленко и др. — 
Киев: Гос. изд-во литературы по строительству и архитектуре УССР
, 1961. — 316 с.
14.	Короев Ю.И. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
Ю.И. Короев. — М.: КНОРУС, 2011. — 432 с. 
15.	Короткий В.А. Начертательная геометрия: конспект лекций [Текст] / В.А. Короткий, Л.И. Хмарова, И.В. Буторина. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2014. — 191 с.
16.	Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: 
ЛИБРОКОМ , 2010. — 560 с.
17.	Крылов Н.Н. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
Н.Н. Крылов, П.И. Лобандиевский, С.А. Мэн, В.Л. Николаев, Г
.С. Иконникова. — М.: Высшая школа, 1977. — 
231 с.
18.	Крылов Н.Н. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, 
 
Н.М. Лаврухина. — М.: Высшая школа, 1990. — 240 с.
19.	Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
Н.С. Кузнецов. — М.: Высшая школа, 1981. — 262 с.
20.	Нитейский А.С. Конструирование торсовой поверхности методом подвижного трехгранника Френе [Текст] / 
А.С. Нитейский // Омский научный вестник. — 2013. — 
№ 2. — С. 151–153.
21.	Пеклич В.А. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
В.А. Пеклич. — М.: Изд-во Ассоциации строительных 
вузов, 2007. — 272 с.
22.	Пилипака С.Ф. Конструирование линейчатых поверхностей общего вида в системе сопроводительного трехгранника направляющей пространственной кривой 
[Текст] / С.Ф. Пилипака, Н.Н. Муквич // Труды Таврической государственной агротехнической академии. — Мелитополь: Изд-во ТДАТУ, 2007. — № 4. — Прикл. геометрия и инж. графика. — Т
. 35. — С. 10–18.
23.	Подгорный А.Л. Конструирование поверхностей оболочек по заданным условиям на основе выделения их из 
конгруэнций прямых [Текст] / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1969. — 
Вып. VIII. — С. 17–28.
24.	Рачковская Г.С. Г
еометрическое моделирование и графика кинематических линейчатых поверхностей на 
основе триады контактирующих аксоидов [Текст] / 
 
Г.С. Рачковская // Г
еометрия и графика. — 2016. — 
 
Т
. 4. — № 3. — С. 46–52. — DOI: 10.12737/21533.
25.	Русскевич Н.Л. Начертательная геометрия [Текст] / 
 
Н.Л. Русскевич. — Киев: Вища школа, 1978. — 312 с.
26.	Рыжов Н.Н. Математическое моделирование проезжей части автомобильных дорог [Текст] / Н.Н. Рыжов, 
К.П. Ловецкий, Н.А.Сальков. — М.: Изд-во МАДИ, 
1988. Деп. в ЦБНТИ Минавтодора РСФСР 30.06.88, 
№ 163-ад88. 
27.	Сальков Н.А. Введение в кинетическую геометрию 
[Текст] / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2016. — 142 с.
28.	Сальков Н.А. Г
еометрические параметры грохота [Текст] / 
Н.А. Сальков // Прикл. геометрия и инж. графика. — 
Киев: Будiвельник, 1987. — Вып. 43. — С. 69–71.
29.	Сальков Н.А. Математическое моделирование линейных 
и поверхностных форм автомобильных дорог на подходах к мостам [Текст] / Н.А. Сальков // Труды МАДИ: 
Прикладные теоретические вопросы проектирования 
переходов через водотоки. — М., 1989. — С. 60–66. 
30.	Сальков Н.А. Методы параметрической геометрии 
в моделировании автомобильных дорог [Текст] / 
Н.А. Сальков // Журнал естественно-научных исследований. — 2016. — Т. 1. — № 4. — С. 1-1. — DOI: 
10.12737/22143
31.	Сальков Н.А. Моделирование автомобильных дорог 
[Текст]: монография / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 
2012. — 120 с.
9

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 3. 2024
GEOMETRY & GRAPHICS (2024). Vol. 12. Iss. 3. 3–12
32.	Сальков Н.А. Моделирование геометрических форм автомобильных дорог [Текст]: монография / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2019. — 162 с. 
33.	Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс 
[Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2013. — 184 с. 
34.	Сальков Н.А. Начертательная геометрия: Конструирование поверхностей [Текст] / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2022. — 220 с.
35.	Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Г
еометрия 
и графика. — 2018. — Т
. 6. — № 4. — С. 20–31. — DOI: 
10.12737/article_5c21f4a06dbb74.56415078
36.	Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Г
еометрия 
и графика. — 2019. — Т
. 7. — № 1. — С. 14–27. — DOI: 
10.12737/article_5c9201eb1c5f06.47425839
37.	Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 3 [Текст] / Н.А. Сальков // Г
еометрия 
и графика. — 2019. — Т
. 7. — № 2. — С. 13–27. — DOI: 
10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713
38.	Сальков Н.А. Формирование поверхностей откосов насыпей и выемок [Текст] / Н.А. Сальков // Г
еометрия и графика. — 2016. — Т
. 4. — № 1. — С. 55–63. — DOI: 10.12737/18058
39.	Сальков Н.А. Формирование поверхностей при кинетическом отображении [Текст] / Н.А. Сальков // Г
еометрия и графика. — 2018. — Т
. 6. — № 1. — С. 20–33. — 
DOI: 10.12737/article_5ad094a0380725.32164760
40.	Способ профилирования автомобильных дорог: авторское свидетельство 1714046 СССР
. МКИ4 E 02 F 1/00 / 
Сальков Н.А. (СССР) — № 1714046 А1; заявлено 27.04.89, 
опубликовано 23.02.92, Бюллетень № 7, 1992. — 6 с.
41.	Тимрот Е.С. Начертательная геометрия [Текст] / Е.С. Тимрот. — М.: Гос. изд-во литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1962. — 280 с. 
42.	Фиников С.П. Теория конгруэнций [Текст] / С.П. Фиников. — М.-Л., Г
осударственное изд-во технико-теоретической литературы, 1950. — 529 с.
43.	Фролов С.А. Начертательная геометрия [Текст] / С.А. Фролов. — М.: Машиностроение, 1983. — 240 с. 
44.	Четверухин Н.Ф. Курс начертательной геометрии 
[Текст] / Н.Ф. Четверухин [и др.]. — М.: Г
ос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956. — 436 с. 
45.	Швиденко Ю.З. Сопряжения линейчатыми поверхностями и их применение для конструирования оболочек 
[Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Ю.З. Швиденко. — Киев, 1966. — 14 с.
46.	Salkov N.A. Visualization of the Ruled surfaces of General Type / 
N.A. Salkov // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Ser. 
1441 (2020) 012078. DOI: 10.1088/1742-6596/1441/1/012078
References
1.	Bubennikov A.V., Gromov M.Ja. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow
, Vysshaja shkola Publ., 
1973. 416 p. (in Russian)
2.	Vinnitskij I.G. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow
, Vysshaja shkola Publ., 1975. 280 p. (in 
Russian)
3.	Vinogradov V.N. Nachertatel`naya geometriya [Descriptive 
geometry]. Minsk, Vy`sh. Shkola Publ., 1977. 268 p. (in 
Russian)
4.	Gershman I.P
. Konstruirovanie poverkhnostey putem 
vydeleniya ikh nepreryvnykh lineychatykh karkasov iz mnogoparametricheskikh mnozhestv liniy [Design surfaces by 
highlighting their non-continuous bar frames from a multivariate sets of lines]. Trudy UDN im. P. Lumumby. Moscow, 
1967. V. 26: Matematika. Vyp. 3: Prikladnaya geometriya. 
 
Pp. 33–47. (in Russian) 
5.	Glagolev N.A. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. M.-L, ONTI NKTP SSSR, Glavnaja redakcija obshhetehnicheskoj literatury i nomografii Publ., 1936. 160 p. 
(in Russian)
6.	Gordon V.O., Sementsov-Ogievskij M.A. Kurs nachertatel'noj geometrii [A course in descriptive geometry]. Moscow
, 
Nauka Publ., 1977. 268 p. (in Russian)
7.	Grokhot-pitatel` [Grokhot-feeder]: avtorskoe svidetel`stvo 
1025461 SSSR, MKI3 V 07 V 1/16 / N.A. Sal`kov (SSSR). 
№ 3333233/29-03; zayavleno 25.06.81; opublikovano 
30.06.83, Byulleten` № 24. 3 s. 
8.	Dimentberg F.M. Teoriya vintov i eyo prilozheniya [The theory of screws and its applications]. Moscow
, Nauka Publ., 
1978. 328 p. (in Russian)
9.	Kalashnikov S.N. Zubchatye kolesa i ikh izgotovlenie [The 
gears and their manufacture]. Moscow. Mashinostroenie 
Publ. 1983. 264 p. (in Russian)
10.	Kamalov A. Konstruirovanie lineychatykh poverkhnostey karkasno-parametricheskim metodom i ikh primenenie. Kand. 
Diss. [The design of the ruled surfaces of frame-parametric 
method and their application. Cand. Diss.]. Samarkand, 
1980. 16 p.
11.	Klimukhin A.G. Nachertatel`naya geometriya. Moscow
, 
Strojizdat Publ., 1978. 334 p. (in Russian)
12.	Kokareva Ya.A. Sintez uravnenij linejchaty`kh poverkhnostej 
s dvumya krivolinejny`mi i odnoj pryamolinejnoj napravlyayushhimi [Synthesis of the equations of the ruled surfaces 
with two curvilinear and one rectilinear guide]. Geometriya i 
grafika [Geometry and Graphics]. 2018, V. 6, I. 3, рp. 3–12. 
DOI: 10.12737/article_5bc454948a7d90.80979486. (in Russian)
13.	Mikhajlenko V.E., Gusev N.A., Gorlenko B.S. Kurs nachertatel'noj geometrii [Course in descriptive geometry]. Kiev
, 
Gos. izd-vo literatury po stroitel'stvu i arkhitekture USSR 
Publ., 1961. 316 p. (in Russian)
14.	Koroev Ju.I. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow: KNORUS Publ., 2011. 432 p. (in Russian)
15.	Korotkij V.A., Khmarova L.I., Butorina I.V. Nachertatel`naya geometriya: konspekt lektsij [Descriptive geometry]. 
Chelyabinsk, YuUrGU Publ., 2014. 191 p. (in Russian)
16.	Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Entsiklopediya analiticheskikh poverkhnostej [Encyclopedia of analytic surfaces]. 
Moscow
, LIBROKOM Publ., 2010. 560 p. (in Russian)
10