Методы высшей математики. Для технических специальностей ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей. Часть 1

 
Введение 
МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ  И  ВЫСШЕГО  ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное  
образовательное учреждение высшего образования 
"ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ" 
Инженерно-технологическая академия 
 
 
А. С. ЧЕРЕПАНЦЕВ 
А. Ю. РАТКИНА 
 
 
МЕТОДЫ                                                    
ВЫСШЕЙ  МАТЕМАТИКИ 
ДЛЯ  ТЕХНИЧЕСКИХ  СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ  ИРТСУ  ЮФУ 
ПО  НАПРАВЛЕНИЯМ  САМОЛЕТО-ВЕРТОЛЕТОСТРОЕНИЕ, 
ТЕХНИЧЕСКАЯ  ЭКСПЛУАТАЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ                                              
АППАРАТОВ  И  ДВИГАТЕЛЕЙ 
 
Учебное пособие 
в двух частях 
 
Часть 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов-на-Дону − Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2024 
 
1 

Содержание 
УДК 517/519(075.8) 
ББК  22.11я73 
 Ч-46 
Печатается по решению кафедры физико-математических основ 
инженерного образования Института компьютерных технологий 
и информационной безопасности Южного федерального университета 
(протокол № 11 от 17 июня 2024 г.) 
Рецензенты: 
профессор, заведующий отделом ФГБУ Высокогорного геофизического 
института, доктор физико-математических наук Б. А. Ашабоков 
доцент кафедры физико-математических основ инженерного 
образования Института компьютерных технологий и информационной 
безопасности Южного федерального университета, 
кандидат технических наук И. А. Бугаева 
Черепанцев, А. С. 
Ч-46         Методы высшей математики. Для технических специальностей 
ИРТСУ ЮФУ по направлениям самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей : учебное 
пособие : в 2 ч. / А. С.Черепанцев, А. Ю. Раткина ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство 
Южного федерального университета, 2024.  
ISBN 978-5-9275-4665-7 
Часть 1. − 147 с. 
ISBN 978-5-9275-4666-4 (Ч. 1) 
Учебное пособие "Методы высшей математики. Часть 1 " представляет собой систематизированное изложения основных понятий алгебры и 
геометрии, изучаемых в курсе "Высшая математика" в соответствии с 
учебным планом образовательных направлений "Самолето-вертолетостроение, техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей" 
в ИРТСУ ЮФУ. Пособие направлено на воспитание у слушателей понимания языка математики при формулировке математических понятий и 
доказательств основных утверждений.  
УДК 517/519(075.8) 
ББК 22.11я73 
ISBN 978-5-9275-4666-4 (Ч. 1) 
ISBN 978-5-9275-4665-7 
© Южный федеральный университет, 2024 
© Черепанцев А.С., Раткина А. Ю., 2024  
© Оформление. Макет. Издательство  
    Южного федерального университета, 2024 
2 

 
Содержание  
СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………. 
6 
ЛЕКЦИЯ 37 ………………………………………………………………. 
8 
37.1. Понятие функции нескольких переменных (ФНП) ……………. 
8 
ЛЕКЦИЯ 38 ………………………………………………………………. 
15 
38.1. Непрерывность ФНП ……………………………………………... 
15 
38.2. Частные производные ФНП ……………………………………... 
16 
38.3. Дифференциал функции нескольких переменных ……………... 
20 
38.4. Дифференцирование сложной функции ………………………... 
20 
ЛЕКЦИЯ 39 ………………………………………………………………. 
22 
39.1. Инвариантность формы первого дифференциала ФНП ……….. 
22 
39.2. Производная по направлению ФНП. Градиент ………………… 
23 
39.3. Частные производные высших порядков и дифференциалы 
высших порядков ФНП ………………………………………………… 
25 
39.4. Дифференциалы высших порядков ФНП ………………………. 
28 
ЛЕКЦИЯ 40 ………………………………………………………………. 
30 
40.1. Дифференциалы высших порядков ФНП (продолжение) ……... 
30 
40.2. Формула Тейлора для ФНП ……………………………………… 
32 
40.3. Локальный экстремум ФНП ……………………………………... 
34 
40.4. Достаточные условия локального экстремума ФНП …………... 
36 
ЛЕКЦИЯ 41 ………………………………………………………………. 
38 
41.1. Достаточные условия локального экстремума (продолжение) … 
38 
41.2. Понятие неявной функции ……………………………………….. 
42 
41.3. Существование и дифференцируемость неявной функции …… 
44 
ЛЕКЦИЯ 42 ………………………………………………………………. 
45 
42.1. Вычисление ЧПР неявно заданной функции …………………… 
45 
42.2. Условный экстремум ……………………………………………... 
47 
42.3. Метод неопределенных множителей Лагранжа ………………... 
50 
ЛЕКЦИЯ 43 ………………………………………………………………. 
52 
43.1. Двойные и n-кратные интегралы (ДИ) ………………………….. 
52 
3 

Содержание 
43.2. Условия существования ДИ на прямоугольнике ………………. 
54 
43.3. Существование ДИ для произвольной области ………………… 
56 
43.4. Основные свойства ДИ …………………………………………... 
58 
43.5. Сведение ДИ к повторному однократному для прямоугольника 
59 
ЛЕКЦИЯ 44 ………………………………………………………………. 
61 
44.1. ДИ для произвольной области …………………………………... 
61 
44.2. Тройные интегралы и n-кратные интегралы ……………………. 
62 
44.3. Замена переменных в n-кратном интеграле …………………….. 
64 
44.4. Элемент объема в сферической и цилиндрической системе координат ………………………………………………………………….. 
65 
ЛЕКЦИЯ 45 ………………………………………………………………. 
68 
45.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра …………….. 
68 
45.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра …………... 
72 
ЛЕКЦИЯ 46 ………………………………………………………………. 
76 
46.1. Криволинейный интеграл первого рода ………………………… 
76 
46.2. Криволинейный интеграл второго рода ………………………… 
78 
46.3. Формула Грина …………………………………………………… 
81 
ЛЕКЦИЯ 47 ………………………………………………………………. 
84 
47.1. Понятие поверхности …………………………………………….. 
84 
47.2. Первая квадратичная форма поверхности ……………………… 
88 
47.3. Площадь поверхности ……………………………………………. 
90 
ЛЕКЦИЯ 48 ………………………………………………………………. 
93 
48.1. Ориентация поверхности ………………………………………… 
93 
48.2. Поверхностные интегралы (ПИ) ………………………………… 
95 
48.3. Представления ПИ второго рода с помощью двойного интеграла ……………………………………………………………………... 
98 
ЛЕКЦИЯ 49 ………………………………………………………………. 100 
49.1. Скалярные поля и векторные поля ……………………………… 100 
49.2. Повторные операции теории поля ………………………………. 104 
49.3. Формула Остроградского – Гаусса ……………………………… 105 
ЛЕКЦИЯ 50 ………………………………………………………………. 108 
50.1. Геометрический смысл дивергенции ……………………………. 108 
4 

Содержание 
50.2. Формула Стокса …………………………………………………... 109 
50.3. Геометрическое определение вихря …………………………….. 112 
50.4. Соленоидальные векторные поля ……………………………….. 113 
ЛЕКЦИЯ 51 ………………………………………………………………. 115 
51.1. Потенциальные векторные поля ………………………………… 115 
ЛЕКЦИЯ 52 ………………………………………………………………. 121 
52.1. Функциональные пространства ………………………………….. 121 
52.2. Нормированное пространство …………………………………… 123 
52.3. Гильбертовы пространства ………………………………………. 124 
52.4. Ряды Фурье ………………………………………………………... 125 
ЛЕКЦИЯ 53 ………………………………………………………………. 128 
53.1. Ряд Фурье (продолжение) ………………………………………... 128 
53.2. Тригонометрический ряд Фурье ………………………………… 130 
53.3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье ………………………. 132 
ЛЕКЦИЯ 54 ………………………………………………………………. 136 
54.1. Свойства преобразования Фурье ………………………………... 136 
54.2. Приложения преобразования Фурье …………………………….. 140 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………... 144 
СПИСОК  ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………. 146 
 
 
 
5 

 
Содержание  
ВВЕДЕНИЕ 
Предлагаемое вашему вниманию учебное пособие представляет собой третью часть лекционного курса по предмету «Математика/Высшая 
математика», читаемому студентам специальностей "Самолето-вертолетостроение" и "Техническая эксплуатация летательных аппаратов и двигателей» института радиотехнических систем и управления ЮФУ.  
Особенностью текущего подхода к изучению базовых математических дисциплин является максимально возможное сжатие отводимого 
времени на изучение общих базовых дисциплин, в том числе и математики 
и соответственно увеличение времени на изучение специальных дисциплин. В связи с эти активно развивается подход, при котором читаемый 
материал включает в значительной степени только те разделы, которые в 
дальнейшем будут использованы в специальных курсах. Однако и такой 
«фрагментарный» подход к получению математических знаний сталкивается с необходимостью изучению разделов, не связанных на прямую с интересующей темой, но понятия и объекты, используемые в изучаемой теме, опираются на эти разделы и требуют изучения. 
Еще одна задача, решаемая при написании рассматриваемого лекционного курса, является сохранение математической строгости изложения. 
С целью иллюстрации использования языка математики авторы включили в курс большое количество математических утверждений с доказательствами.  
Вместе с тем курс лекций обосновывает все основные методы и понятия, используемые в решении практических задач по каждому из рассматриваемых разделов. В этом случае предполагается, что лекционное занятие по каждому из разделов, должно предшествовать соответствующему 
практическому занятию по решению задач. 
Для удобства изложения материала курс разбит на отдельные разделы – лекции. Их количество – 18, что соответствует числу учебных недель 
в учебном семестре на начальных курсах обучения. Объем материала в 
каждой лекции предполагает возможность его изложения за два академических часа.  
С целью избежания частых повторов математических терминов в тексте учебного пособия используются сокращения и аббревиатуры. После 
6 

Введение 
заголовка каждой лекции приводится список используемых в данной лекции сокращений и аббревиатур. Подчеркнем, что эти сокращения и аббревиатуры используются только в лекции, где они определены. 
В разделе "Список литературы" помещен список дополнительных литературных источников. В указанных учебных материалах можно найти 
более полное изложение рассмотренных в пособии разделов математики. 
В работе [1] дается необходимая краткая теоретическая информация 
для решения практических задач курса "Высшая математика". В [1] имеется большое число вариантов практических задач для всех основных 
разделов. Последовательное изложение основных понятий теории функций нескольких переменных представлено в [2]. Язык изложения адаптирован для учащихся, с различным уровнем базовой подготовки. Для более глубокого понимания роли и места математики как языка описания 
процессов в физике и технике рекомендуется работа [3]. Авторы являются выдающимися учеными как в области математики, так и физики. Для 
более подробного изучения рассматриваемых в пособии разделов математического анализа можно порекомендовать работы [4], [5]. Сочетание 
краткости изложения и математической строгости приводимых формулировок по основным разделам математики характерно для [6] и может 
быть рекомендовано для получения более полной информации о рассматриваемых в пособии тем. Курс математики с изложением основных 
разделов, адаптированных к специфике преподавания в технических вузах, представлен в работах [7, 8, 9], которые могут быть рекомендованы 
для более глубокого изучения математики студентами технических специальностей. Предлагаемое учебное пособие является продолжением 
лекционного курса по математике. С начальными разделами, которые 
предварительно читаются в данном курсе и на которые ссылаются авторы, можно познакомиться в [10]. 
В заключение, по мнению авторов, учебное пособие может быть рекомендовано широкому кругу студентов технических специальностей. 
 
7 

 
Содержание  
ЛЕКЦИЯ 37 
Сокращения, используемые в тексте: 
ФНП – функция нескольких переменных 
ЕВП − евклидовое пространство 
НК − непрерывная кривая 
ПФ – предел функции 
 
 
Понятие ФНП. Критерий Коши. Теорема Больцано – Вейерштрасса. 
аа 
 
37.1. Понятие ФНП 
 
 
Анализ большого круга технических процессов приводит к построению соотношений связи между большим числом параметров, в которых 
величина анализируемой переменной зависит от значений остальных переменных. Простейший пример связан с зависимостью положения движущегося объекта от четырех переменных – трех координат в пространстве (
)
, ,
x y z , а также времени t . Давление разреженного газа P полностью определяется двумя другими термодинамическими параметрами – 
температурой T  и удельным объемом V .  
Для решения задачи изучения поведения систем с набором нескольких связанных параметров и определяется ФНП. На основе этого понятия 
развивается аппарат исследования таких функций.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. m-мерным координатным пространством 
m
A  
называется множество всевозможных упорядоченных совокупностей 
1
2
( , 
,..., 
)
m
x
x
x
 m чисел 
1
2
, 
,..., 
 
m
x
x
x
.  
Совокупность 
1
2
( , 
,..., 
)
m
x
x
x
 называется точкой M  этого пространства, а 
1
2
, 
,..., 
 
m
x
x
x
– соответственно координатами данной точки. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. m-мерным евклидовым пространством (ЕВП) 
m
E  
называется координатное пространство 
m
A  такое, что между любыми 
двумя точками 
1
2
( ' , ' ,..., ' ) 
m
M x
x
x

 и 
1
2
( '' , '' ,..., '' ) 
m
M
x
x
x

 пространства 
m
A  определено расстояние (метрическое пространство)  ( 
, 
) 
M
M


, 
равное величине:  
8 

37.1. Понятие ФНП 
2
2
2
1
1
2
2
(
,
)
( '
' )
( ''
'' )
...
( ''
' )
m
m
M M
x
x
x
x
x
x


=
−
+
−
+
+
−
. 
Множество точек пространства 
m
E  обозначается как {
} 
M
. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. - окрестностью точки 
0
1
2
( , 
,..., 
)
m
M
x
x
x
 в 
ЕВП 
m
E  является {
} 
M
всевозможных точек, для координат 
1
2
, 
,..., 
 
m
x
x
x
 
которых справедливо 
0
 ( 
, 
)
M M



. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 
0
{
} 
M
M

 – внутренняя точка {
} 
M
, если можно 
задать - окрестность для М0  такую, что все ее точки находятся в {
}
M . 
Если любая −окрестность точки М0 содержит одновременно точки, не принадлежащие и принадлежащие {
}
M , то точка М0 – граничная. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если любая точка из {
}
M  ЕВП 
m
E  – внутренняя, 
то множество {
}
M  называется открытым (областью). 
Множество {
}
M называется замкнутым, если все граничные точки 
{
}
M  принадлежат этому множеству. 
Множество {
}
M  является ограниченным, если существует mмерный шар конечного радиуса такой, что все точки {
}
M  находятся в 
нем. То есть 
0
 ( 
, 
)
M M
R


, где 
0
M , R – центр и радиус шара. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. НК в многомерном пространстве 
m
E  называется 
множество {
}
M  точек из ЕВП 
m
E  таких, что их координаты – непрерывные функции параметра t:  
L: 
1
1
2
2
 
( ), 
 
( ),..., 
 
( ),  
m
m
x
t
x
t
x
t
t





=
=
=

. 
 
(37.1) 
Соответственно любые точки 
1
2
( ' , ' ,..., ' ) 
m
M x
x
x

и 
1
2
( '' , '' ,..., '' ) 
m
M
x
x
x

 
ЕВП 
m
E  можно соединить НК L. Условием этого является существование 
такой НК, определяемой (37.1), что:  
=
=
=




x
x
x
'
 
( ), '
 
( ),..., '
 
( ),
m
m
1
1
2
2
=
=
=
 




x
x
x
''
 
( ), ''
 
( ),..., ''
 
( ).
m
m
1
1
2
2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество {
}
M  ЕВП 
m
E  является связным, если через две произвольные точки можно провести НК такую, что все ее 
точки принадлежат этому множеству. 
9 

Лекция 37 
Под окрестностью точки М будем в дальнейшем понимать любое 
открытое связное множество, содержащее М. 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если каждой М {
}
M точек ЕВП 
m
E  ставится в 
соответствие по известному закону некоторое число W , то на множестве {
}
M  задана функция 
(
)
W
W M
=
 или 
(
)
W
f M
=
. Множество {
}
M  
называется областью задания функции 
(
)
W
f M
=
. Множество {W} 
всех значений функции 
(
)
W
f M
=
 называется множеством значений 
функции f на множестве {
}
M . 
Пусть в ЕВП 
m
E
 задана последовательность точек 


n
M
. Здесь 
каждому числу n натурального ряда 1,2…,n,… ставится в соответствие 
точка 
n
M  из ЕВП 
m
E . 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность 

n
M
точек ЕВП 
m
E  является сходящейся, если существует такая точка А, что для любого положительного числа  можно указать номер 
( )
N
N 
=
 такой, что при 
n
N

 выполняется неравенство ( 
, )
n
M
A



. Точка А называется пре
→
lim
. 
делом последовательности 

n
M
. Записывается как 
A
M n
n
=
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фундаментальной (последовательностью Коши) называется такая последовательность 

n
M
 точек ЕВП Em , для 
которой для любого  >0 существует N такой, что при n
N

 и при любом натуральном p справедливо  ( 
, 
)
n p
n
M
M


+

. 
Условием, определяющим сходимость последовательности, является 
критерий Коши: 
Критерий Коши. Для того чтобы последовательность 

n
M
точек 
ЕВП Em была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была 
фундаментальной. 
Доказательство. Для доказательства критерия учтем, что из условия 
фундаментальности 

n
M
 следует и фундаментальность последовательностей 
( )
( )
( )
m
x
x
x
координат точек 
n
M . Справедливо и обратное 
1
2
{
}, {
},...,{
} 
n
n
n
утверждение. Если последовательности координат являются фундамен10