Автоматизация решения задач нелинейной теории упругости

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное  
учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 
 
 
 
 
М. И. Карякин 
 
Автоматизация решения задач 
нелинейной теории упругости  
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
                                              
 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2024 

УДК 519.6:539.3(075.8) 
ББК 22.251.1 я73 
    К27 
 
Печатается по решению кафедры теории упругости 
Института математики, механики и компьютерных наук  
им. И. И. Воровича Южного федерального университета  
(протокол № 6 от 21 июня 2024 г.) 
  
 
Рецензенты: 
заведующий кафедрой «Информационные технологии» 
Донского государственного технического университета,  
доктор технических наук, профессор Б. В. Соболь; 
 
заведующий кафедрой вычислительной математики  
и математической физики Южного федерального университета,  
доктор физико-математических наук, профессор М. Ю. Жуков 
 
 
 
 
Карякин, М. И. 
К27           Автоматизация решения задач нелинейной теории упругости : 
учебное пособие / М. И. Карякин ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2024. – 208 с. 
ISBN 978-5-9275-4741-8 
В учебном пособии описаны возможности, представляемые современными 
средствами компьютерной алгебры для автоматизации численного анализа краевых задач нелинейной теории упругости на основе полуобратного метода. Приведены примеры кода для такой автоматизации в рамках системы компьютерной 
алгебры Maple, а также с использованием пакета SymPy для языка Python. Показано, как системы аналитических вычислений могут ускорить организацию конечно-элементных расчетов поведения упругих тел при больших деформациях.  
Пособие предназначено для студентов и аспирантов направлений подготовки, связанных с прикладной математикой, механикой и математическим моделированием.  
УДК 519.6:539.3(075.8) 
ISBN 978-5-9275-4741-8                                                          ББК 22.251.1 я73  
  
 
 
© Южный федеральный университет, 2024 
© Карякин М. И., 2024 
 

Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1
Краткое введение в нелинейную теорию упругости . . .
12
1.1
Основные понятия механики сплошной среды
. . . . . . .
12
1.2
Градиент деформации. Меры и тензоры деформации
. . .
15
1.3
Силы и напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4
Определяющие соотношения нелинейной теории упругости
25
1.5
Употребительные модели упругих материалов
. . . . . . .
32
1.6
Полная система уравнений нелинейной теории упругости .
43
1.7
Задания и упражнения для самостоятельной и проектной
работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2
Полуобратный метод нелинейной теории упругости и
его автоматизация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.1
Общее представление о полуобратном методе . . . . . . . .
53
2.2
Дифференциальные операции в криволинейных координатах и их компьютерная реализация
. . . . . . . . . . . . .
56
2.2.1
Основные формулы и определения . . . . . . . . . .
56
2.2.2
Реализация вычисления дифференциальных операторов в среде Maple
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.2.3
Реализация дифференциальных операторов с использованием пакета SymPy . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.3
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
. . . .
89
3
Редуцированные краевые задачи нелинейной теории упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.1
Пример использования полуобратного метода . . . . . . . .
97
3

3.1.1
Дисклинация в цилиндре из материала Блейтца и
Ко. Аналитическое решение . . . . . . . . . . . . . .
98
3.1.2
Генерирование краевой задачи в Maple
. . . . . . . 107
3.1.3
Генерирование краевой задачи с использованием пакета sympy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2
Численное решение нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . 120
3.2.1
Численный анализ дифференциальных уравнений
средствами Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.2.2
Поля напряжений, создаваемых клиновой дисклинацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2.3
Численное решения нелинейных краевых задач с использованием SciPy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2.4
О влиянии клиновой дисклинации на изменение длины цилиндра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3
Задания для самостоятельной и проектной работы . . . . . 164
4
Конечно-элементный анализ задач нелинейной теории
упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.1
Численный анализ нелинейных задач в пакете FlexPDE . . 177
4.2
Задачи для самостоятельной и проектной работы
. . . . . 201
Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4

Предисловие
Начавшееся во второй половине прошлого века бурное развитие нелинейной теории упругости связано, прежде всего, с ее применением для
описания больших деформаций новых для того времени материалов: различного рода резин, эластомеров и полимеров. Благодаря техническим
приложениям формулировались и развивались не только математические модели нелинейно-упругого поведения твердых тел, но и разрабатывались технологические методики экспериментального определения
свойств резиноподобных материалов. Как правило, эти методики были
связаны с конкретными приложениями того или иного сорта резины, направлены на контроль качества продукции, ее надежность и долговечность, и основывались на сложившихся эмпирических критериях. Новые задачи, в том числе программа качества «Six sigma» [19], привели
к необходимости не только пересмотра и усовершенствования имевшихся методик, но и все большего привлечения к их созданию усложненных
математических моделей, в том числе и математического аппарата нелинейной теории упругости.
Не случайно, что в коллективной монографии [21], адресованной,
прежде всего, инженерам, содержится целая глава, посвященная теории
больших деформаций и математическому описанию нелинейных эффектов. В то же время в сборнике [20], посвященном определяющим соотношениям для резиноподобных материалов, отмечается существование серьезного разрыва между теоретическим фундаментом для исследования
задач о больших деформациях и реальной деятельностью работающих с
эластомерами инженеров-практиков, что связано, главным образом, со
сложностью и трудностями решения возникающих математических задач.
Важной областью приложения современной нелинейной теории упру

гости являются одни из самых сложных в прикладной механике задачи,
связанные с моделированием поведения мягких биологических тканей.
Кроме того, что эти ткани испытывают большие деформации, они еще
контактируют друг с другом, растут и перестраиваются. Может показаться, что перечисленные обстоятельства резко снижают круг биомеханических приложений для нелинейно упругих моделей. Однако многие
мягкие биологические ткани обладают свойством псевдоупругости, которое было введено в 70х годах Фыном (Fung Yuan-Cheng) [23] и позволяет
использовать нелинейную теорию упругости как первое приближение.
Даже сегодня, в эпоху бурно развивающихся конечно-элементных пакетов и других вычислительных методов, исследователи активно пользуются этим свойством для обоснования использования теории упругости
при изучении мягких биологических тканей [38].
Концепция псевдоупругости связана со следующим экспериментальным наблюдением. Во время опыта по растяжению образца мягкой ткани
кривые зависимости напряжений от деформаций обычно различны для
нагружения и разгрузки, что приводит к петле гистерезиса. Такое поведение типично для вязкоупругих материалов. Если циклы нагруженияразгрузки повторяются при одинаковой скорости, то кривые сдвигаются,
по-видимому, вследствие пассивных микроструктурных перестроек. После нескольких циклов, однако, кривые зависимости напряжений от деформации начинают повторяться. Более того, отклик практически нечувствителен к скорости нагружения. Чтобы описать подобное поведение,
Фын предположил, что ткань можно считать состоящей из двух отдельных упругих материалов – один проявляется во время нагружения, а
другой – при разгрузке. Именно такие материалы и получили название
псевдоупругих.
Это, разумеется, только один из возможных подходов. Различающиеся между собой определяющие соотношения для нагружения и разгрузки
редко используются на практике. Более часто исследователи используют
6

теорию вязкоупругости или, еще чаще, просто предполагают, что материал является упругим, причем его определяющее соотношение строится
на основе кривой нагружения. Этот подход, разумеется, не вполне строгий и корректный, дает, тем не менее, хорошие приближения к решению
очень широкого круга задач.
В настоящее время общепризнано, что знание механических свойств
мягких биологических тканей является определяющим для понимания
возникновения и развития их заболеваний, а также разработки средств
борьбы с этими заболеваниями. При этом именно нелинейная теория
упругости признается многими учеными основным средством анализа
механических факторов в этой области [39]. Поэтому одной из основных
проблем современной нелинейной теории упругости является проблема
выбора и верификации определяющих соотношений для биологических
тканей. Эта проблема активно решается как в теоретических работах,
так и путем организации сложных экспериментов – и ex vivo и in vivo [30].
Относительно новой областью применения для нелинейной теории
упругости являются задачи, связанные с использованием биологических
полимеров, демонстрирующих исключительную эластичность, и пониманием принципов их формирования и функционирования для разработки
и синтеза новых конструкционных высокоэластичных материалов для
медицинских и инженерных целей. В качестве примера таких исследований можно привести работу [26], где рассмотрены два биологических эластомера: резилин, биополимер, обнаруженный в кутикулах насекомых, и
эластин, ключевой компонент внеклеточного матрикса эластичных тканей млекопитающих, и описаны результаты вычислительных экспериментов для их моделирования с использованием теории больших упругих
деформаций.
В настоящее время нелинейная теория упругости представляет собой
обширную область знаний, динамичное развитие которой опирается на
мощный математический фундамент, созданный благодаря работам рос7

сийских и зарубежных исследователей. К их числу относится и ростовская школа нелинейной теории упругости, возглавляемая профессором
Леонидом Михайловичем Зубовым.
Прослушанные автором данного пособия курсы лекций Л. М. Зубова по механике сплошной среды и нелинейным задачам теории упругости и пластичности стали основой для первой, вводной, части данной
работы. Здесь приведены основные понятия и концепции современной
механики сплошной среды, связанные прежде всего с их применением к
задачам механики твердых деформируемых тел, в том числе испытывающих большие деформации, даны примеры определяющих соотношений
нелинейно-упругих тел, сформулированы краевые задачи равновесия.
Одним из распространенных методов исследования проблем нелинейной теории упругости является полуобратный метод. Он состоит [12] в
построении таких геометрических преобразований, которые сводят исходную проблему к задаче с меньшим числом независимых переменных;
при этом уравнения равновесия должны удовлетворяться точно во всем
объеме тела, а краевые условия на части поверхности могут удовлетворяться в интегральном смысле. Метод был предложен Сен-Венаном в
середине XIX века и обобщен на случай больших деформаций в монографиях Дж. Адкинса, А. Грина, А.И. Лурье и др. Особого упоминания
и в этой связи заслуживают работы Л.М. Зубова, начиная с его докторской диссертации «Полуобратные и вариационные методы в нелинейной
теории упругости» (1986), и его учеников.
Актуальность этого метода связана, во-первых, с тем, что прямое численное решение многих нелинейных задач как трехмерных чрезвычайно
трудоемко и затратно по времени даже при использовании современных
вычислительных пакетов и компьютерных мощностей. Кроме того, даже
учитывая естественные ограничения этого метода, применимого лишь
к достаточно узкому классу задач, связанных с простыми геометрическими преобразованиями тел канонической формы, его использование
8

позволяет получать новые качественные и количественные результаты о
поведении решений существенно нелинейных задач. Полуобратный метод весьма эффективен при анализе стандартного набора экспериментов,
использующихся при изучении новых материалов и разработке новых
моделей нелинейно-упругого поведения реальных сред. Он может дать
также и необходимый набор тестовых задач для отладки новых численных схем.
Следует отметить, что большинство современных нелинейно-упругих
потенциалов представляет собой достаточно громоздкие выражения, что
делает аналитический вывод краевой задачи равновесия даже в случаях
простого нагружения чрезвычайно трудоемким делом и, к тому же, не
всегда надежным. В то же время этот вывод на основе полуобратного метода при использовании канонических координатных систем достаточно
алгоритмичен, поэтому допускает автоматизацию с помощью современных средств компьютерной алгебры. Именно задачам автоматизации основных этапов полуобратного метода нелинейной теории упругости для
исследования ряда краевых задач о конечных деформациях тел канонической формы и посвящена вторая часть данного пособия. В качестве
средств автоматизации научных вычислений здесь будут использованы
пакет аналитических вычислений Maple [27] и библиотека символической
математики SymPy для языка Python [37].
Учет нелинейности является одним из актуальных требований к моделям современной механики сплошной среды, и особенно к тем из них,
которые применяются для изучения мягких биологических тканей. Одной из серьезных проблем, стоящих перед исследователями в связи с
этим является проблема корректного выбора самой модели, которая в
случае простого упругого материала сводится к выбору адекватной функции удельной потенциальной энергии, а также определении ее необходимых параметров (например, упругих модулей). Поэтому до сих пор актуальным является исследование канонических задач теории упругости,
9

связанных с моделированием экспериментов по определению механических характеристик – одноосного растяжения, кручения, изгиба и т.п. –
в нелинейной постановке.
В настоящей работе будет показано, что с помощью полуобратного
метода многие из таких задач удается свести к анализу краевых задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений. Будет представлен и
современный аппарат аналитического и численного анализа таких задач,
который в настоящее время можно считать достаточно разработанным.
Современные средства компьютерной алгебры позволяют достаточно надежно и эффективно генерировать такие краевые задачи для широкого
класса определяющих соотношений.
В то же время особенности мягких биологических тканей не позволяют применять ряд экспериментальных методик, пригодных для классических конструкционных материалов – из этих тканей нельзя изготовить, например, стандартный цилиндрический образец для опытов по
одноосному растяжению. Это делает необходимым детальное изучение
ряда задач, не сводящихся к одномерным – например, задачу о растяжении невысокого цилиндра из мягкого материала, края которого жестко сцеплены с перемещаемыми плоскостями [29]. Еще одной актуальной
проблемой в механике сплошной среды является вопрос идентификации
неоднородностей, например дефектов производства резинотехнических
изделий либо различных новообразований в мягких биологических тканях [35]. Учет неоднородностей даже в классическом эксперименте по
одноосному растяжению цилиндрического образца приводит к неодномерной задаче, причем существенно нелинейной в случае учета больших деформаций. Сказанным определяется необходимость привлечения
методов конечно-элементного анализа, использованию которых для численного исследования неодномерных задач нелинейной теории упругости
посвящена завершающая часть данного пособия.
Большинство коммерческих конечно-элементных пакетов для иссле10