Компьютерное моделирование устойчивости систем управления

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное 
образовательное учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
Инженерно-технологическая академия 
А. А. ВЕСЕЛАЯ 
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
Учебное пособие 
Ростов-на-Дону – Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2024 

УДК 004.94(075.8) 
ББК 32.973я73 
В38 
Печатается по решению кафедры информационно-аналитических систем 
безопасности имени профессора Берштейна Леонида Самойловича  
Института компьютерных технологий и информационной безопасности 
Южного федерального университета (протокол № 12 от 13 июня 2024 г.) 
Рецензенты: 
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры радиотехнических и 
телекоммуникационных систем Института радиотехнических систем и 
управления Южного федерального университета О. А. Усенко 
кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры информатики 
Таганрогского института имени А. П. Чехова (филиал)  
РГЭУ (РИНХ) И. В. Заика 
Веселая, А. А. 
В38       Компьютерное моделирование устойчивости систем управления : 
учебное пособие / А. А. Веселая ; Южный федеральный университет. – 
Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2024. – 143 с. 
ISBN  978-5-9275-4662-6 
В учебном пособии изложен метод компьютерного анализа устойчивости систем управления на основе линейной системы ОДУ с матрицей постоянных коэффициентов по нулям ее характеристического полинома. Базовый алгоритм синтезирован на основе сортировки, обеспечивая в результате комплексного построения 
метода в целом компьютеризацию анализа устойчивости линейной системы. Изложены также необходимые и достаточные условия устойчивости по Ляпунову 
решений систем ОДУ общего вида, указаны границы их применимости, представлены способы компьютерной реализации анализа. 
Предназначено студентам, обучающимся по направлению подготовки 09.04.03 
«Прикладная информатика», профиль «Информационно-аналитические системы и 
технологии "больших данных"». 
УДК 004.94(075.8) 
ББК 32.973я73 
ISBN  978-5-9275-4662-6 
© Южный федеральный университет, 2024 
© Веселая А. А., 2024 
© Оформление. Макет. Издательство  
    Южного федерального университета, 2024 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
........................................................................................................... 
5 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................... 
7 
ГЛАВА 1. КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЗНАКА 
СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ  
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАТРИЦЕЙ 
ПОСТОЯННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 
................................................................. 
11 
1.1. Анализ устойчивости линейной системы ОДУ с матрицей постоянных  
коэффициентов по критерию Гурвица и критерию Михайлова в аспекте  
компьютеризации ...................................................................................................... 
11 
1.2. Компьютерный анализ устойчивости решения линейной системы ОДУ  
с матрицей постоянных коэффициентов на основе характеристических  
нулей 
............................................................................................................................ 
16 
1.3. Практическое применение компьютерного анализа устойчивости  
решения систем линейных ОДУ с постоянными коэффициентами  
к реальным физическим системам........................................................................... 
18 
     1.3.1. Линеаризация систем управления ............................................................ 
18 
     1.3.2. Анализ устойчивости систем управления с обратной связью .............. 
20 
     1.3.3. Анализ устойчивости синхронного генератора, работающего  
     на сеть большой мощности ................................................................................. 
27 
1.4. Повышение быстродействия компьютерного анализа устойчивости  
путем локализации действительной части нулей характеристического  
полинома 
..................................................................................................................... 
44 
1.5. Сравнение компьютерного анализа устойчивости с существующими  
методами ..................................................................................................................... 
47 
Выводы 
........................................................................................................................ 
48 
ГЛАВА 2. ОБ УСЛОВИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИЕЙ 
НАЧАЛЬНЫМ ЗНАЧЕНИЯМ ................................................................................ 
50 
2.1. Необходимые и достаточные условия устойчивости нулевого решения  
на основе мультипликативного преобразования метода Эйлера......................... 
51 
2.2. Условия устойчивости с обратной пропорцией начальным значениям ...... 
54 
2.3. Необходимые и достаточные условия устойчивости на основе  
аддитивного преобразования метода Эйлера 
......................................................... 
55 
2.4. Условия устойчивости с учетом знаков компонентов функции правой  
части и их производных 
............................................................................................ 
63 
3 

Оглавление 
2.5. Общие условия устойчивости с обратной пропорцией начальным  
значениям компонентов правой части .................................................................... 71 
2.6. Об устойчивости линейной системы обыкновенных  
дифференциальных уравнений ................................................................................ 77 
2.7. О линеаризации системы обыкновенных дифференциальных  
уравнений для оценки устойчивости ...................................................................... 81 
2.8. Примеры численного моделирования устойчивости  
.................................... 86 
Выводы ....................................................................................................................... 90 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................................... 91 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................................ 93 
ПРИЛОЖЕНИЕ .......................................................................................................... 99 
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ПРИЛОЖЕНИЮ 
................................................. 142 
 
 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
При написании предисловия использовался материал работы [45]. 
Трудоемкий анализ с учетом математических особенностей конкретной системы необходимо выполнять в механике, физике, теории автоматического регулирования, теории сложных систем, в других областях теоретических и прикладных исследований. 
Устойчивость движения твёрдого тела, спутников и гироскопических 
систем рассматривалась Н. Г. Четаевым [56, 57], В. В. Румянцевым [49, 50] 
и другими [2, 6, 35]. Вопросы смены устойчивости, бифуркации систем 
твердых тел исследовались в работах П. А. Кузьмина [26], А. Ю. Ишлинского [20], В. Ф. Журавлёва [19]. Устойчивость вихревых дорожек в  
жидкости, равновесия гибкой нити изучались Г. В. Каменковым [22],  
П. А. Кузьменым [25]. Устойчивость твёрдых тел с жидким наполнением 
рассматривались Н. Г. Четаевым [58], Ф. Л. Черноусько [55]. Устойчивость 
движения тел переменной массы М. Ш. Аминовым [1], А.С. Галиуллиным 
[13]. Устойчивость тел и гироскопических систем с упругими элементами 
В. Н. Рубановским [47], В. В. Румянцевым [48], устойчивость орбитальных 
систем с упругими конструкциями – М. К. Набиуллиным [36]. Неустойчивость равновесия консервативных систем исследовалась А. М. Ляпуновым 
[28], Н. Г. Четаевым [58]. 
Методы качественной теории устойчивости в применении к теории 
катастроф, теории бифуркаций и теории особенностей развиты В. И. Арнольдом [3–5]. 
Методы качественной теории устойчивости в контексте синергетического подхода представлены в работах А. А. Колесникова [23, 24, 51], применительно к анализу и синтезу систем автоматического управления –  
в работах А. Р. Гайдука [9–12]. 
Развитие направления работ Н. Г. Четаева в области теории устойчивости и её применений в механике представлено в работах В. М. Матросова 
[33, 34]. 
Анализ устойчивости механических систем и их приложений в 
небесной механике и космодинамике представлен работами А. П. Маркеева, Г. В. Горра, А. А. Илюхина [14, 29, 30]. 
Исследование устойчивости по Ляпунову (ниже устойчивости) – 
предмет качественной теории дифференциальных уравнений. Таким обра5 

Предисловие 
зом, осуществлять исследования устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений (далее ОДУ) приходится во многих 
важных областях науки и техники. При этом известные методы исследования во многих случаях сводят анализ устойчивости решений систем ОДУ 
общего вида к анализу устойчивости линейных систем (первый метод  
Ляпунова). 
Анализ устойчивости систем линейных ОДУ, будучи разработанным 
во всех теоретических деталях, сохраняет принципиальные трудности  
для 
практического 
осуществления. 
Например, 
проверка 
критерия  
Рауса – Гурвица требует построения специальной матрицы и вычисления в 
ней всех главных диагональных миноров, в то время как вычисление только одного определителя имеет сложность 
)
(
3
N
O
. Ясно, что при большой 
размерности матрицы эта операция доступна лишь при использовании 
компьютера, однако в этом случае возникает проблема вычислительной 
устойчивости. 
В пособии изложен метод, ориентированный на компьютерную реализацию оценки устойчивости систем ОДУ и актуальный для решения 
научно-технических задач в различных областях математического моделирования, связанных с практическими задачами теории управления. 
Пособие будет полезно студентам старших курсов высших учебных 
заведений, обучающихся по направлению «Прикладная информатика», 
профиль «Информационно-аналитические системы и технологии "больших 
данных"». 
 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Быстродействующая схема локализации на основе сортировки нулей 
полиномов с априори заданной границей абсолютной погрешности непосредственно влечет быстрое определение знака действительной части нулей характеристических полиномов матриц коэффициентов систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В первой главе изложенная схема применяется для анализа данных 
систем на предмет устойчивости в смысле Ляпунова. 
Предварительно выполнено уточнение основных понятий и определений. 
Постановка вопроса. Рассмотрим систему линейных однородных 
дифференциальных уравнений (ОДУ) с постоянными коэффициентами в 
матричной форме 
                                                    
Y
A
t
d
Y
d
 
,                                                    (В.1) 
§
·
§
·
1
12
11
n
1
12
11
n
y
y
y
y
y
y
a
a
a
a
a
a
2
22
21
n
2
22
21
n
Y
A
 
 
где 
 и 
 – квадратная матрица по¨
¨
¨
¨
¨
¸
¸
¸
¸
¸
¨
¨
¨
¨
¨
¸
¸
¸
¸
¸
y
y
y
...
...
...
...
...
...
...
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
nn
n
n
2
1
nn
n
n
2
1
©
¹
©
¹
стоянных коэффициентов. 
Общее решение системы (В.1) с постоянной матрицей A есть 
                                                      
c
e
Y
At
 
.                                                    (В.2) 
Пусть решение (В.2) удовлетворяет начальным условиям  
                                                     
0
0)
(
Y
t
Y
 
,                                                   (В.3) 
тогда возмущенное решение Y  будет удовлетворять начальным условиям 
0
0)
(
Y
t
Y
 
. 
Требуется исследовать решение (В.2) системы ОДУ (В.1) на устойчивость в смысле Ляпунова. Традиционное определение устойчивости заимствовано из [15]. 
Определение 1. Решение (В.2) системы (В.1) с начальными условиями (В.3) называется устойчивым по Ляпунову при 
f
o
t
, если для каждого 
как угодно малого 
0
!
H
 можно указать 
0
!
G
 такое, что при всех значениях 
7 

Введение 
ݐ> 0 будет выполняться неравенство 
H

Y
Y
, если начальные данные 
удовлетворяют неравенству 
G


0
0
Y
Y
. 
Далее приведены еще два определения: неустойчивости и асимптотической устойчивости, заимствованные так же из [15]. 
Определение 2. Решение (В.2) системы (В.1) называется неустойчивым по Ляпунову, если для некоторых 
0
!
H
, 
0
0 !
t
 и любого 
0
!
G
 существует 
решение 
G
Y  (хотя бы одно) и момент 
0
1
t
t !
 такие, что 
H
G
t

)
(
)
(
1
1
t
Y
t
Y
, и 
G
G


)
(
)
(
0
0
t
Y
t
Y
. 
Определение 3. Решение (В.2) системы (В.1) называется асимптотически устойчивым при 
f
o
t
, если: 1) это решение устойчиво по Ляпунову и 2) для любого 
0
0 !
t
 существует 
0
!
'
 такое, что решение Y , удовлетворяющее неравенству 
'


0
0
Y
Y
, обладает свойством 
0
lim
 

f
o
Y
Y
t
.  
Таким образом, асимптотическая устойчивость есть «устойчивость с 
нагрузкой», т.е. устойчивость при наличии дополнительных условий. 
Вообще говоря, из устойчивости решения линейной однородной 
дифференциальной системы 
Y
t
A
t
d
Y
d
)
(
 
 вытекает его ограниченность и обратно – из ограниченности решения следует его устойчивость [15]. 
В случае линейной системы ОДУ говорят не об устойчивости решения, а об устойчивости системы, т.к. решения линейных дифференциальных систем либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы. Подобная терминология не применима к нелинейным дифференциальным системам, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, а другие – неустойчивыми. 
Определение 4 [15]. Линейную систему (В.1) будем называть устойчивой (или неустойчивой), если все ее решения (В.2) соответственно устойчивы (или неустойчивы) по Ляпунову при t > t଴. 
Определение 5 [15]. Линейную систему (В.1) назовем асимптотически устойчивой, если все решения (В.2) этой системы асимптотически 
устойчивы при t > t଴. 
Ниже излагается подход к решению задачи анализа устойчивости, 
основанный на известном методе качественной теории дифференциальных 
уравнений – оценка устойчивости по виду характеристических нулей мат8 

Введение 
рицы коэффициентов системы. Это делается с целью сконструировать компьютерный метод оценки устойчивости по Ляпунову, связав этот метод с 
изложенным в [8] методом нахождения нулей полиномов. В данном случае 
речь пойдет о нулях характеристического полинома матрицы. 
Как известно из первой теоремы Ляпунова об устойчивости [52], 
структура нулей характеристического полинома матрицы A из (В.1) следующим образом связана с характером устойчивости системы (В.1): 
x если все характеристические числа имеют отрицательные вещественные части, то система асимптотически устойчива; 
x если хотя бы одно из характеристических чисел имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива. 
Необходимо принять во внимание, что излагаемый метод компьютерного анализа устойчивости включает в себя все аспекты анализа устойчивости по критерию Гурвица, критерию Михайлова и критерию Найквиста [52]. Однако дополнительно изложенный метод позволяет анализировать устойчивость в тех случаях, которые не подпадают под классические 
критерии, например, при вариации параметров системы линейных ОДУ. 
Именно изложенный метод позволяет оценивать устойчивость и асимптотическую устойчивость во всех без исключения случаях, как будет показано в первой главе в изложенном алгоритме анализа устойчивости. Известные критерии не вполне пригодны для компьютеризации и информацию об 
устойчивости подают в аналитическом виде, характерном для качественной 
теории дифференциальных уравнений. В то же время изложенный метод 
основывается на алгоритме, который в общем случае влечет однозначное 
определение характера устойчивости, неустойчивости либо асимптотической устойчивости при вариации параметров решения систем линейных 
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 
Более того, метод допускает применение в случае, когда известные 
критерии принципиально не применимы, – при наличии нелинейностей и 
трансцендентности в правой части системы, что ниже иллюстрируется 
практическим применением к системам управления с обратной связью. 
Во второй главе представлены необходимые и достаточные условия 
устойчивости, а также асимптотической устойчивости по Ляпунову решений систем ОДУ общего вида. Первая разновидность представленных 
условий формулируется в границах существования и единственности решения на полуоси, кроме того, требуется непрерывность правой части си9 

Введение 
стемы и ее непрерывная дифференцируемость на полуоси. Вторая разновидность необходимых и достаточных условий устойчивости формулируется в тех же ограничениях, но без требования дифференцируемости правой части. Обе разновидности опираются исключительно на вид системы, 
не преобразуют ее и не применяют построение функции Ляпунова. Изложенные критерии дополнены разновидностями достаточных условий. Так, 
достаточные условия асимптотической устойчивости решения даны для 
случая системы, компоненты правой части которой и их производные имеют постоянные знаки на полуоси. Для этого же случая даны достаточные 
условия неустойчивости. В обоих случаях критерии опираются на теорему 
Коши о среднем значении и используют отношения компонентов правой 
части к соответственным начальным значениям. Кроме того, результаты 
дополнены необходимыми и достаточными условиями устойчивости и 
асимптотической устойчивости линейных дифференциальных систем с постоянной и переменной матрицей коэффициентов. Рассмотрен способ линеаризации системы. Изложенные критерии допускают компьютерную реализацию, примеры которой приводятся в данной главе. 
 
 
 
10