Кристаллография, 2024, № 5

Российская академия наук
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Том 69     № 5     2024     Сентябрь–Октябрь
Основан в 1956 г.
Выходит 6 раз в год
 
ISSN 0023-4761
Журнал издается под руководством 
Отделения физических наук РАН
Главный редактор 
 
М. В. Ковальчук
Редакционная коллегия:
А.С. Авилов, В.Л. Аксёнов, В.А. Бушуев,
А.Э. Волошин (заместитель главного редактора), И.Л. Ерёменко, 
 
А.Г. Забродский, М.Ю. Каган, В.М. Каневский,
П.К. Кашкаров (заместитель главного редактора), 
 
В.В. Кведер, С.Л. Киселев,
А.Ф. Константинова (ответственный секретарь),
А.Г. Литвак, А.А. Макаров, Э.Х. Мухамеджанов,  
В.Я. Панченко, В.О. Попов, Д.Ю. Пущаровский,
Н.И. Сорокина, С.Н. Чвалун
Зав. редакцией И.Н. Миронова
Адрес редакции: 1119333, В-333, Ленинский проспект, 59 
 
тел. 8(499)135-60-70
E-mail: redcryst@crys.ras.ru
Москва 
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Кристаллография” 
    (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 69, номер 5, 2024
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
Компьютерная дифракционная томография: сравнительный анализ  
применения управляемого и вейвлет-фильтров для обработки изображений
В. И. Бондаренко,  C. Ш. Рехвиашвили,  Ф. Н. Чуховский 
755
Численное моделирование рентгеновской секционной  
топографии газовых пор в кристалле карбида кремния
В. Г. Кон 
764
СТРУКТУРА НЕОРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
Дефектная кристаллическая структура α-Na0.5–xR0.5+xF2+2x (R = Dy–Lu, Y)  
по данным рентгеновской и электронной дифракции.  
I. Методика моделирования дефектной структуры  
на примере α-Na0.35Dy0.65F2.30
Е. А. Сульянова,  Б. П. Соболев,  В. И. Николайчик,  А. С. Авилов 
771
Диссимметризация в минералах группы эвдиалита. I. Упорядоченная модель  
распределения катионов в кристаллической структуре амаблита-(Се)  
в рамках Р3-симметрии
Р. К. Расцветаева, С. М. Аксенов, В. М. Гридчина, Н. В. Чуканов 
787
СТРУКТУРА ОРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИНЕНИЙ
Морфология кристаллов этилендиаминтетраацетатоцинкатов  
триэтилендиаминия и тетраметилэтилендиаминия 
В. В. Семенов,  Н. В. Золотарева,  Н. М. Лазарев,  Б. И. Петров,   
Т. И. Лопатина,  Е. Н. Разов 
795
СТРУКТУРА МАКРОМОЛЕКУЛЯРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Молекулярная динамика и малоугловое рентгеновское рассеяние:  
сопоставление вычислительного и экспериментального подходов  
к изучению структуры биологических комплексов
М. В. Петухов,  Т. В. Ракитина,  Ю. К. Агапова,  Д. Е. Петренко,  
Д. Д. Подшивалов,  В. И. Тимофеев,  Г. С. Петерс,  Ю. А. Гапонов,   
Э. В. Бочаров, Э. В. Штыкова 
802
ДИНАМИКА РЕШЕТКИ И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Процесс сверхглубокого проникания высокоскоростных  
металлических частиц в твердое тело
А. И. Никитин,  В. А. Никитин,  А. М. Величко,  Т. Ф. Никитина 
811
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Температурная эволюция атомной структуры и влияние локального  
окружения атомов на оптические свойства кристалла Na2SiF6
А. П. Дудка,  Д. Н. Каримов,  Т. Г. Головина,  А. Ф. Константинова 
821
Влияние отжига кристаллов катангасита Ca3TaGa3Si2O14  
на их оптическую активность
Т. Г. Головина,  А. Ф. Константинова,  В. М. Касимова,  Е. В. Забелина,   
Н. С. Козлова,  Г. Ю. Деев,  О. А. Бузанов 
834

Многоугловые спектрофотометрические методы отражения  
для определения коэффициентов преломления 
Е. В. Забелина,  Н. С. Козлова,  В. М. Касимова 
843
Полярность ретикулярных граней и термодинамическое  
состояние гранной системы кристалла
Л. А. Адмакин,  А. Л. Адмакин 
851
ПОВЕРХНОСТЬ, ТОНКИЕ ПЛЕНКИ
Фотополимеризация пленок Ленгмюра–Шефера симметричных молекул  
дииновых N-арилкарбаматов с различным количеством СН2-групп в спейсерах
А. С. Алексеев,  С. Ю. Вязьмин,  А. Б. Иванов,  В. В. Клечковская,  М. С. Лукасов 
858
НАНОМАТЕРИАЛЫ, КЕРАМИКА
Нанопроволоки из тройных сплавов – особенности синтеза и магнитные свойства
Д. Р. Хайретдинова,  И. М. Долуденко,  И. В. Перунов,  И. С. Волчков,  
Л. В. Панина,  Д. Л. Загорский,  К. В. Фролов,  В. М. Каневский 
866
Аномальное упрочнение двухкомпонентных неупорядоченных кристаллов
Б. В. Петухов 
876
РОСТ КРИСТАЛЛОВ
Проверка применимости крупнозернистого силового поля MARTINI  
для моделирования белковых олигомеров в кристаллизационном растворе
Ю. В. Кордонская,  В. И. Тимофеев,  М. А. Марченкова,   
Ю. В. Писаревский,  Ю. А. Дьякова,  М. В. Ковальчук 
885
Кристаллы пара-кватерфенила и его триметилсилильного производного. 
I. Рост из растворов, структура и кристаллохимический анализ  
по методу поверхностей Хиршфельда
В. А. Постников,  Н. И. Сорокина,  М. С. Лясникова,  Г. А. Юрасик,  
А. А. Кулишов,  Т. А. Сорокин,  О. В. Борщев,  Е. А. Свидченко,  Н. М. Сурин 
891
Переходное состояние вещества во флуктуационной модели роста кристалла
В. И. Ракин 
907

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, 2024, том 69, № 5,  с. 755–763
ДИФРАКЦИЯ И РАССЕЯНИЕ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ
УДК 548.73
КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИФРАКЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ: 
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРИМЕНЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО  
И ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
© 2024 г.    В. И. Бондаренко1,*,  C. Ш. Рехвиашвили2,  Ф. Н. Чуховский1,2
1Институт кристаллографии им. А.В. Шубникова Курчатовского комплекса кристаллографии  
и фотоники НИЦ “Курчатовский институт”, Москва, Россия
2Институт прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального научного центра  
“Кабардино-Балкарский научный центр РАН”, Нальчик, Россия
*E-mail: bondarenko.v@crys.ras.ru
Поступила в редакцию 11.05.2024 г.
После доработки 19.06.2024 г.
Принята к публикации 24.06.2024 г.
Проведена цифровая обработка рентгеновских проекционных 2D-изображений точечного дефекта кулоновского типа в кристалле Si(111), регистрируемых детектором на фоне статистического гауссовского шума, с использованием управляемого фильтра и вейвлет-фильтра с функцией Добеши 4-го порядка. Эффективность фильтрации 2D-изображений определяется путем 
расчета усредненных по всем точкам относительных квадратичных отклонений интенсивностей 
фильтрованного и эталонного (незашумленного) 2D-изображений. Сравнение рассчитанных величин среднеквадратичных относительных отклонений интенсивностей показывает, что рассматриваемые методы работают достаточно хорошо и могут эффективно использоваться на практике для шумовой обработки рентгеновских дифракционных изображений, используемых для 
3D-реконструкции наноразмерных дефектов кристаллических структур.
DOI: 10.31857/S0023476124050012, EDN: ZEGNEP
которые накапливаются в процессе их сбора при 
вращении образца вокруг оси вдоль вектора дифракции h, а затем используются в компьютерной 
рентгеновской 3D-микротомографии [4].
Известны и широко применяются различные 
методы шумовой фильтрации 2D-изображений 
[5–10]. На практике выбор алгоритма шумовой 
фильтрации связан и обусловлен характерными 
особенностями эталонного 2D-изображения и его 
шумовой составляющей, а также лимитируется 
мощностью доступных вычислительных средств.
В данной работе анализируется проблема снижения уровня шумовой составляющей на примере изображений точечного дефекта кулоновского 
типа в кристалле Si(111) применительно к области 
их прямого контраста (классификация механизмов 
формирования рентгеновских дифракционных 
изображений (топограм), разработанная А. Authier). 
Соответственно, вектор дифракции h = [220], 
 
падающая волна – линейное σ-поляризованное MoKα1-излучение, σ = 1, длина экстинкции 
 
Λ = 36.287 мкм, угол Брэгга θB = 10.65°. Детали 
компьютерного моделирования изображений приведены в [4]. 
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время метод рентгеновской дифракционной микротомографии предоставляет 
уникальную возможность для компьютерной метрологии наноразмерных дефектов кристаллических структур, выводя эти исследования на новый 
уровень создания на их основе полупроводниковых приборов микроэлектроники с новыми электронными и оптическими свойствами [1–4]. Концептуально (например, [3, 4]) компьютерная рентгеновская дифракционная 3D-микротомография 
наряду с рентгеновской 3D-птихографией является 
прямым методом решения обратной задачи декодирования отдельных дефектов кристаллических 
материалов. В частности, она представляет собой 
компьютерное восстановление функции упругого поля смещения атомов в кристаллах по набору рентгеновских проекционных изображений в 
плоскости, перпендикулярной дифрагированной 
волне после ее прохождения через образец. Отметим, что качество 3D-реконструкции дефектов 
кристаллической структуры определяется параметром FOM (Figure-Of-Merit) и зависит от уровня зашумления записанных детектором изображений, 
755

БОНДАРЕНКО и др.
К положительным качествам управляемого 
фильтра можно отнести его способность сглаживать изображения при сохранении границ объектов 
без создания артефактов. Применяемая в работе 
концепция фильтрации доказала свою эффективность в разнообразных приложениях компьютерного зрения, таких как удаление бликов от вспышки, сглаживание деталей, увеличение разрешения 
изображений и т.п. [12, 13].
Подробное описание управляемого фильтра 
дано в [11]. Пусть Rij, fij и gij – значения интенсивностей опорного, зашумленного и фильтрованного 
изображений в {ij}-пикселе соответственно. 
Представим интенсивность фильтрованного 
изображения в {ij}-пикселе в виде линейной функции интенсивности опорного изображения Rij, 
определенной в квадратном окне Ωk, содержащем 
{ij}-пиксель,
 
g
R
ij
k
ij
k
=
+
α
β ,  
(2)
где целый индекс k нумерует все содержащие указанный пиксель окна Ωk заданного размера ρ.
Коэффициенты αk и βk целевой функции 
 
E(αk, βk): 
,
,
(
) =
−
(
) +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
k
k
ij
ij
ij
k
α
β
εα
{ }∈Ω
∑
2
2
k
 
(3)
 
E
g
f
,
g
R
=
+
α
β
ij
k
ij
k
Характерная особенность изображений наноразмерных дефектов заключается в том, что в области их прямого контраста имеют место резкие 
изменения интенсивности на близких, порядка 
нескольких пикселей, расстояниях от центра изображения [4]. То есть шумовая фильтрация таких 
изображений требует разработки и применения 
методов с достаточно высоким пространственным 
разрешением [5–10].
В данной работе проведен сравнительный анализ применения методов фильтрации гауссовой 
шумовой составляющей 2D-изображений на примере точечного дефекта кулоновского типа в области его прямого контраста методами управляемого 
фильтра и вейвлет-преобразования изображений. 
Было подготовлено эталонное проекционное изображение, полученное на основе расчетного изображения указанного точечного дефекта. Зашумленное изображение получено из эталонного путем 
добавления к нему 3%-ного аддитивного гауссовского шума с нулевым средним значением.
Ниже приведены результаты исследования снижения шумовой составляющей на примере проекционных 2D-изображений в области их прямого 
контраста [4]. При этом необходимо обеспечить 
восстановление важных наноразмерных деталей, 
расположенных в непосредственной близости друг 
от друга. Шумовая фильтрация проекционных изображений проведена для двух случаев, изображений 32 × 32 пикселя и вырезанного из него изображения 16 × 16 пикселей. 
В качестве меры уровня шумовой составляющей изображений в работе использовали параметр
f
I
ij
ij
 
RMS=
−
(
)
1
2
2
N
I
ij
∑
,  
(1)
внутри квадратного окна Ωk определяются в процессе ее минимизации, E(αk, βk) = min, обеспечивая наилучшее приближение интенсивности 
зашумленного изображения fij интенсивностью 
фильтрованного изображения gij (2); ε – параметр 
регуляризации, введенный для предотвращения 
получения необоснованно больших значений коэффициента αk.
Стандартная линейная регрессия дает следующие решения для коэффициентов αk и βk:
−
μ
ij
ij ij
k
∈
1
kR f
f
где Iij и fij  – величины яркости (интенсивности) 
эталонного и выбранного для сравнения с ним рабочего изображения в пикселе, стоящем на пересечении i-строки и j-столбца; сумма берется по всем 
N пикселям обоих изображений.
=
2
Ω
Ω
∑
k
,  
(4)
+
 
α
σ
ε
k
k
УПРАВЛЯЕМЫЙ ФИЛЬТР
β
α μ
k
k
k
k
f
=
−
,
где μk и σk – среднее значение и дисперсия интенсивности опорного изображения в окне Ωk; 
|Ωk| = (2ρ + 1)2 – количество пикселей в окне Ωk; 
f
ij
ij
k
k
f
=
∈
∑
1
Ω
Ω
 – среднее значение интенсивУправляемый фильтр [11] использует для вычисления интенсивности в точках фильтрованного 
изображения не только исходное, но и дополнительное опорное изображение такого же размера. В 
зависимости от поставленной задачи описываются различные подходы к формированию опорного изображения, основанные на дополнительной 
априорной информации об объектах исследования 
[11–21]. Без потери общности полученных результатов в настоящей работе в качестве опорного использовано само зашумленное изображение. 
ности зашумленного изображения в окне Ωk.
Поскольку значения gij различаются для различных окон, включающих в себя {ij}-пиксель, значение интенсивности фильтрованного изображения 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
том 69 
№ 5 
2024

 
КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИФРАКЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ 
757
в этой точке определяют как среднее по всем таким 
окнам Ωk:
 g
kRij
k
ijRij
ij
k ij
k
ij =
+
(
) =
+
( )∈
∑
1
Ω
Ω
α
β
α
β
:
,  (5)
α
α
β
β
ij
m
m
ij
m
m
∈
∈
∑
∑
,
.
1
1
Ω
Ω
Ω
Ω
ij
ij
=
=
минимизации влияния соседних пикселей на изображение дефекта выбрано минимально возможное значение параметра ρ = 1. Хорошей оценкой 
величины параметра регуляризации ε может служить значение средней дисперсии σ  зашумленного изображения, в качестве которого принимается среднее значение дисперсий, рассчитанных 
для окон с ρ = 1 с центрами в каждом пикселе 
изображения. Для изображений 32 × 32 и 16 × 16 
пикселей величина σ  составила 0.2 и 0.3 соответственно. Эти значения использованы в качестве 
начальных при определении оптимальной величины параметра регуляризации. Для ρ = 1 в качестве 
оптимальной величины параметра регуляризации ε 
принимали значение, приводящее к минимальному значению RMS (1) в окрестности 12 × 10 пикселей вокруг дефекта. Минимальные значения были 
достигнуты при значениях параметра ε, равных 0.4 
и 0.5 для изображений 32 × 32 и 16 × 16 пикселей 
соответственно (табл. 1, 2).
В соответствии с формулами (4) и (5) параметрами управляемого фильтра являются величины 
ρ и ε. Согласно (4), если дисперсия интенсивности 
в пределах окна много больше ε, расчетное значение gij по формуле (5) будет мало отличаться от fij. 
В противном случае это значение будет равно среднему значению интенсивности fij в окне.
Отметим, что в литературе существует большое 
количество модифицированных алгоритмов на основе концепции управляемого фильтра. Как правило, изменения направлены на отказ от линейной 
зависимости (2) (например, [14, 15]) или изменение 
определения целевой функции (3) [16, 17], а также 
на локальную адаптацию параметра регуляризации 
[18, 19]. Еще одним направлением развития теории 
управляемого фильтра является отказ от использования внешнего опорного изображения. При таком 
подходе опорное изображение вычисляется на основе зашумленного изображения [20, 21].
В практических расчетах на выбор значений 
параметров управляемого фильтра существенное влияние оказывают приведенные выше особенности зашумленного изображения. Так, для 
ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИЯ
Для обработки зашумленных рентгеновских 
проекционных изображений применяли подход, 
который ранее был реализован для анализа изображений с атомным разрешением в сканирующем 
зондовом микроскопе [22, 23]. Исторически он основан на интегральном вейвлет-преобразовании, 
которое переводит “временную” функцию сигнала 
в “частотно-временную”. Преобразование заключается в том, что анализируемая функция сигнала 
f(x) описывается через уединенную волну (солитон) посредством ее сдвига и масштабирования. 
Ɍɚɛɥɢɰɚ  Ɂɧɚɱɟɧɢɹ 506 ɞɥɹ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɹ  ×  
Фильтрация
Полное изображение
Область вблизи дефекта, 12 × 10 пикселей
зашумленное изображение
0.00744
0.00694
вейвлет фильтр
0.00221
0.00127
управл. фильтр, ε = 0.2
0.00465
0.00473
управл. фильтр, ε = 0.3
0.00378
0.00417
управл. фильтр, ε = 0.4
0.00336
0.00410
управл. фильтр, ε = 0.5
0.00318
0.00435
ɉɪɢɦɟɱɚɧɢɟ ȼɟɣɜɥɟɬɮɢɥɶɬɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ǻ    ɢ ɭɩɪɚɜɥɹɟɦɵɣ ɮɢɥɶɬɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪ ȡ    İ ± ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɟɝɭɥɹɪɢɡɚɰɢɢ
Ɍɚɛɥɢɰɚ  Ɂɧɚɱɟɧɢɹ 506 ɞɥɹ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɹ  ×  
Фильтрации
Полное изображение
Область вблизи дефекта, 12 × 10 пикселей
зашумленное изображение
0.00912
0.00880
вейвлет-фильтр
0.00482
0.00633
управл. фильтр, ε = 0.3
0.00520
0.00515
управл. фильтр, ε = 0.4
0.00453
0.00464
управл. фильтр, ε = 0.5
0.00424
0.00454
управл. фильтр, ε = 0.6
0.00421
0.00476
Примечание. Вейвлет-фильтр, параметр Δ = 0.8 и управляемый фильтр, параметр ρ = 1; ε – параметр регуляризации.
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
том 69 
№ 5 
2024

БОНДАРЕНКО и др.
Согласно [24] вейвлет-преобразование сигнала 
f(x) записывается в следующем виде:
,
,
ψ
∞
∫
1
−∞
*
(
) =
( )
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
W a b
a
f x
x
b
a
dx
 
 
(6)
2
a b
R
L
R
,
,
,
ψ
∈
∈
( )
коэффициентами получается сглаженная функция 
f x
( ). 
Для описания пиксельных изображений требуется перейти к дискретному преобразованию, которое получается из (6) и (7) в результате замены 
интегрирования на суммирование. Для строки или 
столбца имеем:
∞
−∞
 
f x
C
W a b
x
b
a
dbda
 
f m
W
m
a
( ) =
(
)
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
−∞
∞
∫
∫
1
2
ψ
ψ
,
,  (7)
j Z k Z
j k
j k
[ ] =
[ ]
∈
∈
∑∑
,
,
,
ψ
 
(10)
 
0
2
2
<
=
( )
<∞
−∞
 
ψ
ψ
j k
j
j
m
m
k
,
/
,
[ ] =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
−
2
2
2
 
(11)
∞
∫
C
d
ψ
π
ω
ω
ω
ψ

,  
(8)
 
W
f m
m
j k
m
j k
,
,
,
=
[ ]
[ ]
∑
ψ
 
(12)
где ψ(t) – вейвлет-функция (или просто “вейвлет”), t
x
b
a
=
−
(
)/
, a  и b  – параметры, задающие масштабирование и сдвиг для покрытия 
анализируемой функции f(x) вейвлетом, W(a, b) – 
определяет спектр, Cψ – коэффициент нормировки, ψ ω
( ) – фурье-образ функции ψ(t). Функция 
ψ(t) является ортонормированной базисной функцией в пространстве L2(R) и с этой функцией существует обратное преобразование (7).
Главное отличие вейвлет-преобразования (6) от 
фурье-преобразования заключается в том, что оно 
проводится по двум переменным a и b, обеспечивая более корректное описание сложных в своем 
поведении непериодических функций. В (6) и (7) 
подразумевается, что базис преобразования обладает свойством самоподобия (масштабирование и 
сдвиг вейвлета не меняют его форму), что применимо для анализа фрактальных функций. В данном 
случае это свойство приобретает особую ценность, 
поскольку анализируемые рентгеновские изображения искажены гауссовским шумом с фрактальной структурой и показателем Херста H = 1/2.
В теории вейвлет-преобразования [24] имеет 
место аналог теоремы Парсерваля, а именно полная энергия сигнала может быть выражена следующим образом:
∞
∞
2
2
2
1
−∞
−∞
−∞
∞
∫
∫
∫
( )
=
(
)
f
x dx
C
W
a b dadb
a
ψ
,
.
Отсюда следует, что плотность энергии анализируемого сигнала E
a b
W
a b
W
,
,
(
) =
(
)
2
. Данные свойства позволяют решать задачу о подавлении шума 
путем редактирования спектра. Таким образом, коэффициенты преобразования предлагается вычислять по формуле
 
W a b
W a b
W a b
 
,
,
,
,
(
) =
(
)
(
) −
(
)
θ
Δ
 
(9)
1
0
0
0
,
,
,
,
θ x
x
x
( ) =
>
≤
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
где θ x
( ) – функция Хевисайда, ' – уровень подавления шума. После замены W(a, b) на W a b
 
,
(
)  
в (7) и обратного преобразования с новыми 
где переменные a
j
= 2  и b
ka
=
 задают масштабирование и сдвиг, m – номер пикселя. Функция 
f m
[ ]  определяет интенсивность пикселя с номером m. Как и в случае непрерывного преобразования, новые коэффициенты W j k
  ,  для фильтрованной функции f
  получаются с учетом (9).
Вейвлет-функция может быть выбрана как в 
аналитическом, так и в численном виде. Среди аналитических функций наиболее часто используются 
WAVE, MHAT, Morlet и Paul; дискретные функции – это прежде всего ортогональные вейвлеты 
Добеши и LMB [24, 25]. Отметим, что дискретные 
вейвлеты имеют компактный носитель, что гарантирует их ортогональность. Вейвлеты данного типа 
строятся рекурсивно по точкам и не выражаются 
через элементарные функции. Алгоритм дискретного преобразования основан на представлении 
выражения (10) в виде аппроксимирующей и детализирующей составляющих с их последующим 
дроблением, задающим уровень декомпозиции 
сигнала. Нулевым уровнем считается сам сигнал. 
Число уровней декомпозиции зависит от длины 
сигнала: L
N
=
(
)
( ) −
ln
/
,
ln 2
1  где N  – длина сигнала в отсчетах (пикселях). По мере перехода от одного уровня к другому точность описания сигнала снижается. Вычисления по (12) на всех уровнях 
позволяют получить полный спектр сигнала. Прореживание данного спектра с помощью (9) решает 
задачу фильтрации дискретного сигнала.
Вычисления проводили по следующей схеме: 
– преобразование исходного зашумленного 
изображения в одномерный сигнал;
– фильтрация полученного одномерного сигнала по (9)–(12) и быстрому рекурсивному алгоритму [24, с. 298];
– расчет относительного среднеквадратического отклонения;
– сборка изображения из отфильтрованного 
одномерного сигнала. 
Несмотря на то что схема по реализации является простейшей, она позволяет изучить принципиальные возможности вейвлет-преобразования 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
том 69 
№ 5 
2024

 
КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИФРАКЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ 
759
RMS, 10–3
10
16 × 16
8
6
4
32 × 32
2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Δ
Ɋɢɫ  Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ 506 ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɩɨɞɚɜɥɟɧɢɹ ɲɭɦɚ Δ ɞɥɹ 
ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɢɣ  ×  ɢ  × 
применительно к обработке сигналов/изображений в компьютерной дифракционной томографии. 
Относительное среднеквадратическое отклонение 
для полного изображения рассчитывали по формуле (1). Оптимальное значение уровня подавления шума Δ выбирали так, чтобы функция RMS(Δ) 
(формула (1)) имела минимальное значение. 
На рис. 1, 2 представлены результаты вычислительного эксперимента. Число уровней декомпозиции L для изображений размером 32 × 32 и 16 × 16 
равно 9 и 7. Найденные графически минимальные 
значения RMS составляют 0.00221 и 0.00482 при 
Δ = 0.75 и Δ = 0.8 для изображений размером 32 × 32 
и 16 × 16 соответственно (табл. 1 и 2). Фильтрованные изображения размером 32 × 32 и 16 × 16 содержат приблизительно 2 и 4% ненулевых коэффициентов преобразования от их общего числа. Определение Δ по минимальному значению RMS позволяет 
после фильтрации сохранить только такие значимые 
коэффициенты преобразования зашумленного сигнала, которые совпадают с соответствующими коэффициентами эталонного сигнала и вместе с этим 
превышают средний уровень шума.
алгоритмов шумовой фильтрации позволило существенно приблизить фильтрованные изображения 
к эталонному.
Для изображения размером 32  ×  32 пикселя 
(табл.  1) при применении вейвлет-фильтрации 
минимальное значение показателя RMS было достигнуто при значении параметра Δ, равном 0.75. 
При этом RMS для полного изображения равно 
0.00221, а для области вблизи дефекта – 0.00127. 
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Анализ приведенных в табл. 1 и 2 значений 
RMS, полученных с помощью вейвлет- и управляемого фильтров, показывает, что применение обоих 
|Wm|
100
Сигнал
32 × 32
1
0.01
2
1 × 10–4
1 × 10–6
1
1 × 10–8
Шум
1 × 10–10
0
128
256
384
512
640
768
896
1024
100
16 × 16
Сигнал
1
2
0.01
1 × 10–4
1
Шум
1 × 10–6
0
32
64
96
128
160
192
224
256
m
Рис. 2. Спектры коэффициентов вейвлет-преобразования изображений: 1 – эталонные, 2 – зашумленные. Пунктирными 
линиями отмечены уровни подавления шума.
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
том 69 
№ 5 
2024

БОНДАРЕНКО и др.
(а)
(в)
2
4
1
3
(б)
(г)
Ɋɢɫ  ɂɡɨɛɪɚɠɟɧɢɹ  ×  ɷɬɚɥɨɧɧɨɟ ɚ ɡɚɲɭɦɥɟɧɧɨɟ ɛ 
ɜɟɣɜɥɟɬɮɢɥɶɬɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪ Δ    ɜ ɭɩɪɚɜɥɹɟɦɵɣ ɮɢɥɶɬɪ 
ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ ȡ    İ    ɝ
Таким образом, качество шумовой фильтрации в 
области вблизи дефекта оказалось лучше, чем для 
полного изображения.
Лучшее качество фильтрации управляемым фильтром в случае изображения размером 
32 × 32 пикселя (табл. 1) было достигнуто при значении параметра ε, равном 0.4. Соответственно, 
показатели RMS для полного изображения и в области вблизи дефекта составили 0.00336 и 0.00410. 
Значение параметра ε = 0.4 выбрано в качестве 
оптимального, поскольку при нем достигается минимум RMS в окрестности вблизи дефекта, в то 
время как RMS, отвечающее всему изображению, 
продолжает уменьшаться с ростом параметра регуляризации ε. Интересно, что в отличие от вейвлет-фильтра качество фильтрации управляемым 
фильтром в окрестности вблизи дефекта оказывается несколько хуже, чем для полного изображения (табл. 1). При этом в случае применения 
вейвлет-фильтра имеет место лучшее качество 
фильтрации как полного изображения, так и изображения в окрестности вблизи дефекта. 
Для сравнения величины отклонений от эталонного изображения для зашумленного изображения составили 0.00744 по всему изображению и 
0.00694 для окрестности дефекта.
На рис. 3 показаны эталонное и зашумленное 
изображения размером 32 × 32 пикселя в сравнении с результатами фильтрации с помощью вейвлет и управляемым фильтрами. 
Сравнение результатов фильтрации показывает, 
что управляемый фильтр равномерно уменьшает 
шум на всей площади изображения, в то время как 
одномерное вейвлет-преобразование эффективно 
удаляет следы шума, но оставляет артефакты (“слабые тени”), вытянутые вдоль горизонтального направления. По-видимому, причиной этого явления 
является применение одномерного вейвлет-преобразования (10) к 2D-изображению, вытянутому в 
одну строку длиной 32 × 32 пикселей.
Hа рис. 4 показаны соответствующие профили 
(сечения) эталонного, зашумленного и фильтрованного изображений. Рисунки 4а, 4б показывают профили, построенные вдоль отрезков, обозначенных цифрами 1, 2 на рис. 3а. Сравнение 
представленных кривых позволяет заключить, что 
в области вблизи дефекта результаты применения 
обоих фильтров практически совпадают. Рисунки 4в, 4г относятся к периферии изображения, где 
эталонное изображение имеет постоянную интенсивность. На рис. 4в показаны профили, взятые 
вдоль горизонтального направления, расположенного под дефектом (линия 3 на рис. 3а). Из рис. 4в 
видно, что кривые интенсивности, полученные в 
результате применения вейвлет-преобразования, 
практически повторяют поведение соответствующих профилей эталонного изображения, в то 
время как профили интенсивностей, полученные 
в результате применения управляемого фильтра, 
повторяют поведение соответствующих профилей 
зашумленного изображения с несколько меньшей 
амплитудой характерных изменений.
Интересно, что похожее поведение демонстрируют профили изображения, полученные в результате применения управляемого фильтра, показанные на рис. 4г. Они построены вдоль вертикального отрезка, обозначенного цифрой 3 на рис. 3а. 
Отметим, что “вертикальные” профили интенсивности изображения, полученные в результате применения вейвлет-преобразования, показывают поведение, отличное от соответствующих профилей 
эталонного или зашумленного изображений. Как 
отмечалось выше, такое поведение (артефакт) обусловлено применением одномерного вейвлет-преобразования. Согласно [26, с. 111] подобные артефакты можно устранить, применяя вейвлет-преобразование последовательно к строкам и столбцам 
изображения.
Результаты применения вейвлет- и управляемого фильтров к изображению размером 16 × 16 пикселей приведены в табл. 2. В результате обработки 
этого изображения с помощью вейвлет-фильтра 
минимальное значение RMS было достигнуто при 
значении параметра Δ = 0.8 и составило 0.00482 для 
полного изображения и 0.00633 для окрестности 
дефекта. В случае управляемого фильтра эти величины RMS равны 0.00424 и 0.00454 соответственно при значении параметра регуляризации ε = 0.5. 
Подобно случаю изображения 32 × 32 пикселя при 
данном параметре ε = 0.5 значения RMS = 0.00424 
и 0.00454 относятся к области 12 × 10 пикселей 
вблизи дефекта. 
 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
том 69 
№ 5 
2024

 
КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИФРАКЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ 
761
(а)
(б)
Интенсивность, отн. ед.
Интенсивность, отн. ед.
26.7
26.5
26.1
25.7
25.5
24.9
24.9
24.1
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
24.3
(в)
(г)
27.1
27.0
26.8
26.9
26.6
26.7
0
2
4
6
8
26.4
0
1.8
3.6
5.4
7.2
Расстояние от начала профиля, пиксель
Расстояние от начала профиля, пиксель
Ɋɢɫ  ɂɡɨɛɪɚɠɟɧɢɹ  ×  ɉɪɨɮɢɥɢ ɢɧɬɟɧɫɢɜɧɨɫɬɢ ɚ±ɝ ɜɞɨɥɶ ɨɬɪɟɡɤɨɜ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɧɵɯ ɧɚ ɪɢɫ ɚ ɰɢɮɪɚɦɢ 1±4 ɫɨɨɬɜɟɬ
ɫɬɜɟɧɧɨ ɋɩɥɨɲɧɚɹ ɥɢɧɢɹ ± ɷɬɚɥɨɧɧɨɟ ɲɬɪɢɯɨɜɚɹ ± ɡɚɲɭɦɥɟɧɧɨɟ ɲɬɪɢɯɩɭɧɤɬɢɪɧɚɹ ± ɜɟɣɜɥɟɬɮɢɥɶɬɪɚɰɢɢ ɬɨɱɟɱɧɚɹ ± ɭɩɪɚɜ
ɥɹɟɦɵɣ ɮɢɥɶɬɪ
(а)
(в)
2
4
1
3
(б)
(г)
Ɋɢɫ  ɂɡɨɛɪɚɠɟɧɢɹ  ×  ɷɬɚɥɨɧɧɨɟ ɚ ɡɚɲɭɦɥɟɧɧɨɟ ɛ 
ɜɟɣɜɥɟɬɮɢɥɶɬɪ ɩɚɪɚɦɟɬɪ Δ    ɜ ɭɩɪɚɜɥɹɟɦɵɣ ɮɢɥɶɬɪ ɩɚ
ɪɚɦɟɬɪɵ ȡ    İ    ɝ
Для области 12 × 10 пикселей вблизи дефекта 
результат применения управляемого фильтра по 
сравнению с вейвлет-фильтром несколько лучше (табл. 2), в то время как качество фильтрации 
полного изображения практически одинаково. 
Расчетные RMS составили 0.00912 для полного 
изображения и 0.00880 для области вблизи дефекта. Согласно результатам вычислительных вейвлет-экспериментов (табл. 1, 2) повышение ранга 
анализируемого изображения от значения 16 к 32 
приводит к улучшению показателя RMS. 
Таким образом, при увеличении общего числа (N × N)-пикселей зашумленных изображений 
показатель RMS их вейвлет-фильтрации будет 
улучшаться.
На рис. 5 показаны изображения 16 × 16 пикселей. Для снижения уровня шумовой составляющей 
были применены вейвлет- и управляемый фильтры 
соответственно (рис. 3). 
Аналогично тому, как это было в случае изображения 32 × 32 пикселей, рассчитанные профили 
интенсивностей показаны на рис. 6.
Анализ профилей, представленных на рис. 6, 
 
показывает, что в области вблизи дефекта результаты фильтрации с помощью обоих фильтров 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
том 69 
№ 5 
2024