Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана, 2024, № 2

Известия Российской академии наук
ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ  
И ОКЕАНА
том 60   № 2   2024   Март–Апрель
Основан в январе 1965 г.
Выходит 6 раз в год  
ISSN: 0002-3515
Журнал издается под руководством  
Отделения наук о Земле РАН
Главный редактор
И.И. Мохов
Председатель редакционного совета
Г.С. Голицын
Заместители главного редактора
А.С. Гинзбург, В.Б. Залесный, О.Г. Чхетиани
Ответственный секретарь
А.В. Елисеев
Редакционный совет:
В.Н. Арефьев, В.Г. Бондур, Н.Ф. Еланский, В.В. Ефимов,  
В.В. Зуев, Р.А. Ибраев, А.П. Иванов, В.М. Катцов, Ю.О. Кузьмин,
С.Н. Куличков, Е.А. Мареев, А.А. Макоско, И.В. Пташник,  
Е.В. Розанов, В.А. Семенов, С.М. Семенов
Редакционная коллегия:
Е.М. Володин, М.Е. Горбунов, В.В. Жмур,
В.Н. Крупчатников, М.В. Курганский, А.А. Лушников,  
Е.Г. Морозов, М.А. Носов, Е.Н. Пелиновский,
С.П. Смышляев, Ю.М. Тимофеев, Ю.И. Троицкая
Зав. редакцией М.А. Помелова
Адрес редакции: 119017 Москва, Пыжевский пер., 3  
тел. +7(495)951-21-74
e-mail: fao@ifaran.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН.  
    Физика атмосферы и океана”  
    (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 2, 2024
Стационарные режимы и параметризация экмановского трения в кармановской модели  
течения вязкой жидкости, возбуждаемого внешней вихревой объемной силой
С. В. Кострыкин, И. Г. Якушкин 
123
Байесовы оценки изменения стока российских рек в XXI веке на основе результатов ансамблевых  
модельных расчетов CMIP6
А. И. Медведев, А. В. Елисеев, И. И. Мохов
135
Естественные стоки и источники CO2 и CH4 в атмосфере российских регионов и их вклад  
в изменения климата в XXI веке по расчетам с ансамблем моделей CMIP6
С. Н. Денисов, А. В. Елисеев, И. И. Мохов 
157
Влияние условий моделирования на оценку скорости сухого осаждения аэрозольных частиц  
на сильно неоднородные подстилающие поверхности
Д. А. Припачкин, В. Л. Высоцкий, А. К. Будыка 
173
Исследование характеристик приземного слоя при наличии взвешенных снежных частиц  
с помощью данных вихреразрешающего моделирования 
В. И. Суязова, А. В. Дебольский, E. В. Мортиков 
183
Динамика изменения температуры воздуха в атмосферном пограничном слое во время  
солнечного затмения 29 марта 2006 года
Г. А. Буш, Н. Ф. Еланский, Е. Н. Кадыгров, С. Н. Куличков, 
И. П. Чунчузов, Н. С. Прокошева
196
Анализ изменчивости концентрации приземного озона в Карадагском природном  
заповеднике
Е. И. Федорова, В. А. Лапченко, Н. Ф. Еланский, В. С. Ракитин, 
А. И. Скороход, А. В. Васильева
206
Анализ полей серебристых облаков по данным сетевой наземной и самолетной фотосъемок
Н. Н. Перцев, П. А. Далин, В. И. Перминов, Н. К. Гусев, Е. Ю. Цимеринов, А. А. Солодовник, 
А. М. Задорожный, Д. В. Коротышкин, Г. С. Бордонский 
221
Моделирование циркуляции Черного моря при использовании уравнений адвекции–диффузии  
тепла и соли, обладающих дискретными нелинейными инвариантами
С. Г. Демышев, О. А. Дымова 
229
О возможности многоканальных оптических зондов обратного рассеяния для совместных  
баллонных и лидарных исследований аэрозольного состава средней атмосферы
Н. В. Балугин, Б. А. Фомин, В. А. Юшков, В. Н. Маричев, Д. А. Бочковский
246
Экспериментальные оценки антропогенной эмиссии окислов азота с территории  
Санкт-Петербурга по данным многолетних мобильных измерений
Д. В. Ионов, М. В. Макарова, В. С. Косцов
252
Исследование реакции йодистого водорода с атомом хлора в атмосфере над морем
И. К. Ларин, Г. Б. Прончев, Е. М. Трофимова
265

Content
Vol. 60, No. 2, 2024
Stationary Regimes and Parametrization of Ekman Friction in the Karman Model of Flow  
Induced by External Vortical Body Force
S. V. Kostrykin, I. G. Yakushkin
123
Bayesian Estimates for Changes of the Russian River Runoff in the 21st Century as Based  
on the CMIP6 Model Ensemble Simulations
A. I. Medvedev, A. V. Eliseev, I. I. Mokhov
135
Natural Sinks and Sources of CO2 and CH4 in the Atmosphere of Russian Regions and Their  
Contribution to Climate Change in the 21st Century Evaluated with CMIP6 Model Ensemble
S. N. Denisov, A. V. Eliseev, I. I. Mokhov
157
Influence of Modeling Conditions on the Estimation of the Dry Deposition Velocity of Aerosols  
on Highly Inhomogeneous Surfaces
D. A. Pripachkin, V. L. Vysotsky, A. K. Budyka
173
Study of Surface Layer Characteristics in the Presence of Suspended Snow Particles Using  
Observational Data and Large-Eddy Simulation
V. I. Suiazova, A. V. Debolskiy, E. V. Mortikov
183
Dynamics of Air Temperature Changes in the Atmospheric Boundary Layer during the Solar  
Eclipse of March 29, 2006
G. A. Bush, N. F. Elansky, E. N. Kadyrov, S. N. Kulichkov, I. P. Chunchuzov 
and N. S. Prokosheva
196
Near-Surface Ozone Concentration Variability Analysis in the Karadag Nature Reserve
E. I. Fedorova, V. A. Lapchenko, N. F. Elansky, V. S. Rakitin, A. I. Skorohod, A. V. Vasilyeva
206
Analysis of Noctilucent Clouds’ Fields According to Ground-Based Network and Airborne 
Photography Data
N. N. Pertsev, P. A. Dalin, V. I. Perminov, N. K. Gusev, Е. Yu. Tsimerinov, A. A. Solodovnik, 
A. M. Zadorozhny, D. V. Korotyshkin, G. S. Bordonskiy
221
Modeling of the Black Sea Circulation Using Equations of Heat and Salt Advection–Diffusion 
Having Discrete Nonlinear invariants
S. G. Demyshev, O. A. Dymova
229
On the Рossibility of Multichannel Optical Backscattering Sondes for Joint Balloon and Lidar Studies 
of the Aerosol Composition of the Middle Atmosphere
N. V. Balugin, B. A. Fomin, V. A. Yushkov, V. N. Marichev, D. A. Bochkovskyi
246
Experimental Assessments of Anthropogenic Emissions of Nitrogen Oxides from the Territory 
of St. Petersburg Based on Data from Long-Term Mobile Measurements
D. V. Ionov, M. V. Makarova, V. S. Kostsov
251
Investigation of the Reaction of Hydrogen Iodide with a Chlorine Atom in the Atmosphere above the Sea
I. K. Larin, G. B. Pronchev, E. M. Trofimova
265

, с. 123–134
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2024, том 60, № 2
УДК 532.5.032
СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ЭКМАНОВСКОГО 
ТРЕНИЯ В КАРМАНОВСКОЙ МОДЕЛИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ, 
ВОЗБУЖДАЕМОГО ВНЕШНЕЙ ВИХРЕВОЙ ОБЪЕМНОЙ СИЛОЙ 
© 2024 г.  С. В. Кострыкинa, *, И. Г. Якушкинb
aИнститут вычислительной математики им. Г.И. Марчука РАН, ул. Губкина, 8, Москва, 119333 Россия
bИнститут физик и атмосферы им. А.М. Обухова РАН, Пыжевский пер., 3, Москва 119017 Россия
*e-mail: kostr@mail.ru
Поступила в редакцию 29.09.2023 г.
После доработки 25.11.2023 г.
Принята к публикации 28.02.2024 г. 
С помощью численного моделирования кармановской модели течения вязкой жидкости под действием внешней вихревой объемной силы, выделены и подробно исследованы два различных стационарных режима – с малой (режим Бэтчелора) и существенной (режим Стюардсона) вторичной 
циркуляцией. Построена диаграмма существования стационарных режимов в зависимости от основных параметров течения – числа Россби и малого числа Экмана. Для течения, затухающего к 
стационарному течению в режиме Бэтчелора, предложена теоретическая модель на основе которой получено стационарное решение задачи, а также параметризация коэффициента экмановского трения, скорости экмановской накачки, стационарного давления через средние характеристики 
течения. Предложена параметризация стационарного течения в режиме Стюардсона и проведено 
численное исследование декремента затухания течения к стационарному состоянию. Показано 
хорошее согласие теоретических результатов с численными расчетами. 
Ключевые слова: экмановский погранслой, параметризация экмановского трения, задача Кармана
DOI: 10.31857/S0002351524020015 EDN: KRECOU
ВВЕДЕНИЕ
Проблема влияния внешнего и внутреннего 
трения на течения в тонких слоях вязкой несжимаемой жидкости представляет значительный 
интерес в связи с многочисленными приложениями к задачам гидродинамики и геофизики 
[Гринспен, 1975]. В качестве примера можно 
привести пограничные слои в атмосфере, которые являются источником развития движений 
воздуха, формирующих погоду. Аналогичные по 
своей постановке задачи возникают и в таких научных направлениях, как астрофизика и магнитогидродинамика [Незлин и др., 1990; Гурбатов 
и др., 1983].
числах Рейнольдса. Подробное лабораторное 
и теоретическое исследование подобного течения вязкой жидкости было проведено Ф.В. Должанским и коллективом сотрудников ИФА им. 
А.М.  Обухова РАН [Kostrykin et al., 2014; Должанский, 2011, 1999; Кострыкин и др., 2011; 
Пономарев и др., 2009]. При этом было изучено 
влияние внешнего трения на параметры и устойчивость течений в тонких слоях вращающейся 
жидкости. В работах Ф.В. Должанского с соавторами на основе анализа вертикальной структуры 
течения вязкой жидкости в линейном приближении было получено выражение для коэффициента линейного трения и указаны пределы применимости этого приближения в зависимости от 
чисел Рейнольдса и Россби [Должанский, 1999; 
Должанский и др., 1990].
Для описания крупномасштабных движений 
в настоящее время общепринятой является концепция линейного трения, восходящая к Чандрасекару [Педлоски, 1984; Вайнштейн и др., 1989; 
Горькаый и др., 1994]. Это приближение справедливо для течений на мелкой воде при малых 
При больших числах Рейнольдса и Россби 
приближение линейного трения является недостаточным. На это было указано в работах 
[Kostrykin et al., 2014; Кострыкин и др., 2011; По123

КОСТЫРКИН, ЯКУШКИН
номарев и др., 2009] в связи с анализом данных 
лабораторных экспериментов с вихревыми течениями во вращающемся сосуде, который показал 
различное влияние придонного трения на вихри 
с циклоническим и антициклоническим вращением.
определяется течением в пограничных вязких 
слоях. Как показывают лабораторные и численные исследования, при этом могут реализовываться различные режимы течений, характеризующиеся разным направлением вращения слоев 
жидкости [Kostrykin et al., 2014; Кострыкин и др., 
2011; Кострыкин, 2018].
Течение жидкости в тонком слое над вращающимся дном может рассматриваться как квазидвумерное [Гринспен, 1975]. Такое течение 
однородной несжимаемой жидкости может быть 
представлено в виде суммы двумерно-вихревого 
и двумерно-потенциального течений. При этом 
скорость в горизонтальной плоскости U имеет вид 
                U
k
=
,
×∇
+ ∇


                   (1)
где ∇
∂
+ ∂
∂
+ ∂
=
,
=
, , ,
i
j
i j k
x
y
xx
yy
'
 – единичные 
орты 
декартовой 
системы 
координат, 
Описание этих режимов в рамках чисто двумерной задачи может быть получено, если нам 
известна связь давления с параметрами поверхностного или осредненного по глубине течения. 
Такое представление давления даст нам параметризацию исходной задачи, т.е. сокращение первоначально заданных степеней свободы, и позволит определить коэффициент экмановского 
трения. Если предположить, что числа Экмана и 
Россби малы, а вертикальный профиль скорости 
соответствует градиентному экмановскому течению, то после осреднения по вертикали можно 
получить значение для коэффициента линейного 
трения [Должанский и др., 1900]
        λ
ν
δ
=
=
.
1/2
/ h
E
E
(
)
Ω
                  (4)


=
,
=

  – вертикальная компонента относительной завихренности и дивергенция горизонтальной скорости соответственно. Вертикальная скорость определяется из уравнения 
неразрывности: Wz = - .
Уравнение для горизонтальной скорости однородной вязкой жидкости в слое толщиной h , 
расположенном на вращающемся с частотой :
основании, записывается в виде 
z
zz
out
+
×
+
−
∇+
+
2
=
1
,
dU
dt
k
U
WU
p
U
F




 (2)
0
0
U
t
U
h t
W
t
W h t
z
0,
= 0,
,
= 0,
0,
=
,
= 0,
(
)
(
)
(
)
(
)
  (3)
где :  – угловая скорость вращения основания, 
Выражение для коэффициента экмановского 
трения при произвольных значениях числа Экмана получено в работе [Козлов и др., 1992]. Кроме того, оставаясь в рамках экмановского профиля скорости в работах [Пермяков и др., 2018; 
Калашник и др., 2014], получены нелинейные 
поправки к уравнению квазигеострофического вихря, связанные с трением жидкости о дно. 
Также в работах [Pedlosky, 2008; Benthuysen et al., 
2012] с помощью разложения по малому параметру Россби получены поправки для толщины 
и скорости накачки экмановского слоя для геострофического течения.
p  – давление, U0  – постоянная плотность, Q  – 
коэффициент 
кинематической 
вязкости, 
F
k
q x y t
out =
, ,
×∇(
) – внешняя сила, создающая 
вихрь с вертикальной осью, q  – функция тока 
внешней силы. Определим следующие параметры, которые мы будем использовать в дальнейшем: толщину экмановского погранслоя – 
δ
ν
E =
1/2
/Ω
(
)
 и число Экмана (обратное число 
Рейнольдса) – E
h
E
=
=
1
2
Re
/
−
(
)
δ
.
При больших значениях числа Россби и малых 
числах Экмана подход, основанный на линеаризации исходной задачи, оказывается недостаточным. В этом случае естественно искать решение 
в виде суммы интенсивного невязкого вихря и 
вязкой компоненты малой амплитуды, обеспечивающей выполнение граничных условий и 
ограничивающей интенсивность главного вихря.
Внешняя вихревая сила будет создавать первичное течение в виде вихря с вертикальной 
осью. В то же время граничные условия (3) требуют учета вторичного течения в виде вихря с горизонтальной осью. Связь между двумя вихрями 
Для определения давления через компоненты 
среднего течения необходимо первоначальное 
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 2          2024

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ...
125
не требуется больших вычислительных затрат 
для ее численной реализации.
упрощение исходной задачи. Таким упрощением 
является обращение к модифицированному течению Кармана [Кострыкин и др., 2011], содержащему зависимость течения только от двух основных параметров – чисел Экмана и Россби. Кроме 
того, в данной модели предполагается осесимметричное течение и линейная зависимость горизонтальной скорости от радиальной координаты, 
что с достаточно хорошей точностью выполняется в центральной части квазидвумерных вихрей 
согласно некоторыми теоретическим представлениям, а также данным лабораторных и численных экспериментов [Parfenyev et al., 2012; Орлов 
и др., 2018].
Обратимся к модифицированной задаче Кармана для трехмерного течения, развивающегося 
под действием вихревой силы в слое глубиной h , 
расположенном над вращающейся с угловой 
скоростью :  бесконечной плоскостью. В цилиндрической системе координат r
z
, ,
M
(
) предполагается отсутствие зависимости скорости от 
азимутального угла, а также линейная (квадратичная) зависимость от радиальной координаты 
для горизонтальных компонент скорости (давления и функции тока внешней вихревой силы). 
Уравнения движения записываются для комплекснозначной функции: K z
G z
iF z
( )
+
=
( )
( ) , 
зависящей только от вертикальной координаты, 
где 2G  и 2F  – вертикальная компонента завихренности и дивергенция горизонтальной скорости, нормированные на характерную угловую 
скорость вращения :r . Также время и вертикальная координата нормируются на характерный временной и пространственный масштабы 
1 / :r  и h  соответственно.
Анализу различных стационарных режимов течения в рамках этой задачи были посвящены работы [Kostrykin et al., 2014; Кострыкин и др., 2011; 
Кострыкин, 2018]. Настоящая статья предлагает 
общий подход к вычислению нелинейного коэффициента трения хотя бы для некоторых режимов 
вынужденного стационарного течения. Такой 
подход позволяет объяснить существование разных стационарных режимов течения и допускает 
обобщение на более широкий класс задач.
В нестационарном режиме K  удовлетворяет 
уравнению, следующему из (2) 
  K
EK
HK
i K
K
t
zz
z
=
,
2
0
2
−
+
−
(
)
    (5)
МОДЕЛЬ КАРМАНОВСКОГО ТЕЧЕНИЯ 
С ВИХРЕВОЙ ОБЪЕМНОЙ ВЫНУЖДАЮЩЕЙ 
СИЛОЙ
2 =
,
−
+
                 K
P
iQ
0
где E
h
r
= 1
=
2
/Re
/
ν
Ω
(
)  – параметр Экмана, 
P
p
r
=
1
0
2
−(
)
/ ρ Ω
∆ – константа, характеризующая давление, Q
q
r
= 1
0
2
/ ρ Ω
∆
(
)
 – константа, характеризующая 
внешнюю 
вихревую 
силу, 
H
W
h
r
=
/ Ω
(
) – безразмерная вертикальная 
скорость, удовлетворяющая условию 
                    H
F
z =
2 .
-
                                (6)
Граничные условия имеют вид: 
      
:
K z
t
S
H z
t
= 0,
=
  
,
= 0,
= 0,
(
)
≡
(
)
:
r
(7)
K
z
t
H z
t
= 1,
= 0,
= 1,
= 0.
(
)
(
)
z
Также для нахождения эволюции по времени 
решения (5)–(7) задаются соответствующие начальные профили G z
( ,0) и F z
( ,0) .
В классической постановке модель Кармана 
используется для описания течения жидкости 
над вращающимся основанием для слоя бесконечной глубины или течения между двумя вращающимися дисками [Holodniok et al., 1981; 
Zandbergen, 1980; Чефранов, 2016; Hewitt et al., 
2009]. В нашем случае мы используем модифицированную постановку, в которой, во-первых, 
рассматривается слой жидкости со свободной 
границей и, во-вторых, течение возбуждается 
постоянной вихревой силой. Данная постановка оказывается полезной при анализе результатов лабораторных экспериментов по генерации 
течений магнитогидродинамическим методом, 
а также их затуханию [Kostrykin et al., 2014; Кострыкин и др., 2011]. Важное преимущество 
кармановской модели по сравнению с большинством других модельных течений состоит в 
том, что ее решение являются точным решением 
3-мерных уравнений Навье–Стокса и при этом 
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 2          2024

КОСТЫРКИН, ЯКУШКИН
126
пределения A  наблюдается только при малых 
отрицательных значениях параметра Q , и при 
этом эта зависимость существенно не влияет на 
полученные далее выводы.
Анализируя уравнения (5)–(7), можно заметить, что их решение зависит только от двух из 
трех исходных параметров задачи E Q S
, ,
(
) , в качестве которых можно, например, выбрать пару 
Q E
S E
/
/
2,
(
) . Это становится очевидным, если 
рассмотреть замену переменных





K
K E H
H E S
S E P
P E
Q
Q E
=
,
=
,
=
,
=
,
=
2
2
/
/
/
/
/
=
.
Здесь 
K  явно не зависит от числа Экмана, 
а только через 
Q S
,
.
АНАЛИЗ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
В задаче с вихревым воздействием на поверхности существуют два режима стационарных 
течений [Кострыкин, 2018]. Характерными особенностями этих двух режимов являются: значение стационарного давления, относительная 
величина вторичной циркуляции, количество 
ячеек вертикальной циркуляции. В одном случае – давление отрицательное и большое по величине, вторичная циркуляция мала, вертикальная ячейка циркуляции возможна только одна. 
В другом режиме – давление слабо отрицательное, вторичная циркуляция сравнима с горизонтальной и возможно образование двух ячеек циркуляции в вертикальной плоскости.
Для численного решения системы (5)–(7) используется метод, основанный на схеме “кабаре“ 
для описания адвективных слагаемых и полунеявный метод для описания диффузионных слагаемых [Головизнин и др., 2013]. Решается нестационарная задача с начальным состоянием вида 
G z
S
Asin
z
F z
,0 =
/ 2 ,
,0 = 0.
(
)
+
(
)
(
)
S
Как мы видим из рис. 1а, на котором изображено стационарное давление в зависимости от 
параметра Россби, и в нашем случае стационарное течение имеет два режима. При положительных и больших отрицательных числах Россби – 
Для достаточно больших моментов времени 
(t > 50 ) численное решение выходит на стационарный режим и предполагается, что такое установившееся решение является стационарным 
решением системы (5)–(7).
Число узлов сетки по вертикали выбирается 
достаточно большим ( N = 100 ), так, чтобы численное решение было устойчивым и не зависело 
от разрешения сетки. Как показали расчеты 
[Kostrykin et al., 2014], зависимость стационарного решения задачи от параметра начального расRo
signQ Q
q =
1/2  давление велико и сильно 
зависит от этого числа. При малых отрицательных Roq  давление близко к нулю. Далее будем 
называть такие режимы режимами Бэтчелора и 
Стюартсона соответственно, поскольку похожие 
стационарные режимы были указаны Бэтчелором [Batchelor, 1951] и Стюартсоном [Stewartson, 
1953] для задачи о кармановском течении между 
двумя дисками.
(a)
(б)
400
0

−0
300
−20
250
−30
P
200
−40
S/E
150
−50
100
−60
50
−70
−80
1
2
0
−2
−1
0
1
2
−2
−1
0
Q
Q/E 2
×105
Рис. 1. Результаты численной модели. (a) Зависимость давления от параметра Q  при разных числах Экмана. 
E = 1 100
/
 – квадраты, E = 1 200
/
 – крестики (S
A
= 1,
= 0 ). (б) Диаграмма режимов стационарного течения. Проведены изолинии P E
/
2 =
10
-
 и P E
/
2 =
20
-
 на плоскости параметров (Q E
S E
/
/
2,
)(A = 0).
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 2          2024

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ...
127
рывается от границы, что приводит к образованию 
локального вихря с горизонтальной осью, интенсивность которого может быть сравнима по величине с интенсивностью вихря с вертикальной осью. 
Очевидно, глубины, где H = 0 , могут являться областями с сильной диссипацией. Расположение 
этих областей определяет структуру течения, от которой зависит коэффициент трения для поверхностного или среднего по глубине течения.
РЕЖИМ БЭТЧЕЛОРА
Диаграмма режимов стационарного течения 
на плоскости параметров Q E
S E
/
/
2,
(
) представлена на рис. 1б. Фактически там изображены 
изолинии нормированного давления P E
/
2. Область малого отрицательного давления, соответствующая режиму Стюартсона, существует при 
достаточно больших значениях S E
/
 и находится левее оси Q = 0 . Вне этой области наблюдается режим Бэтчелора. Как показано в работе  [Кострыкин и др., 2011], при 
Q = 0  режим 
Стюартсона наблюдается в численных расчетах 
при S E
/
³ 46.
Теоретическое описание стационарного состояния
В режиме Бэтчелора центральное течение 
имеет простейшую структуру в виде интенсивИз рис. 2, 3 следует, что профили стационарной 
скорости сильно зависят от числа Экмана. В режиме Стюартсона при уменьшении Е вязкий слой отz
z
z
(a)
(б)
(в)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00
0.5
1.0
1.5
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.4 −0.3 −0.2 −0.1
0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00
0.02
0.04
0.06
G
F
H
Рис.2. Профили стационарного численного решения при разных значениях числа Экмана (E = 1 100
/
– сплошная 
линия, E = 1 200
/
 – штриховая, E = 1 400
/
 – штрих-пунктирная). Q
S
= 0.1,
= 1. Вертикальная тонкая пунктирная 
линия – нулевое значение.
z
z
z
(a)
(б)
(в)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−2
−1
0
1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1.0 −0.5
0
0.5
1.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00
0.02
0.04
0.06
G
F
H
Рис. 3. То же, что на рис. 2, только при Q
S
=
0.1,
= 1
-
.
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 2          2024

КОСТЫРКИН, ЯКУШКИН
128
откуда с помощью (12) можно найти связь между 
G0 , F0  и P
         
      
E
S
G
S
G
=
+
(
)
−
(
)
2
0
2
0
4
4
F
F
S
G
0
3
0
2
0
2
(15)
=
+
+
(
)
(
)×
F
F
S
G
E S
G
×
+
+
(
) +
−
(
)
0
3
0
0
2
0
2 .
(
)
ного вихря с вертикальной осью и слабого вторичного течения. При малых числах Экмана 
пограничный слой занимает малую часть слоя 
жидкости и расположен около дна. Решение (5)–
(7) представимо в виде 
K z
K
k z
k z
S
K
e z
( )
+
( )
( )
−
(
)
=
,
=
,
0
0
O     (8)
где 
K
P
iQ
0
2 =
,
−
+
Из (9) следуют другие два уравнения, замыкающие систему 
2
=
,
0
0
F G
Q
2
2
−
+
               (16)
                           -ReO 1.
                  (9)
а k  удовлетворяет уравнению 
       Ek
Hk
i
K
k k
zz
z
−
+
+
(
)
2
= 0.
0
    (10)
                           P
G
F
=
.
0
0
Его решение ищется при заданном давлении, которое затем определяется из условия H 1 = 0
( )
.
Решения уравнения (15) представляют собой 
корни многочлена 8-й степени от переменных 
Из (8), (10) следует, что 
λ1,2
2
2
0
1/2
=
2
4
2
.
H
E
H
E
i
K
k
E
/
/
/
±
−
+
(
)






  (11)
G
F
0
0
,
 и лежат на двух ветвях (нижней и верхней), 
проходящих через точку G
S F
0
0
=
,
= 0
(
)  (рис. 4). 
Можно определить, какие ветви решения уравнения (15) реализуются в численной модели, 
если построить стационарное решение задачи 
(5)–(7) на плоскости G
F
0
0
,
(
). При построении 
результатов численного решения предполагается, 
что 
G
G
F
F
0
0
1 ,
1
≈
( )
≈
( ), 
поскольку 
Предположим, что O
O
1,2
1,2
( )
(0)
z »
. Вблизи 
нижней 
границы 
можно 
считать 
H
k
S
K
≈
≈
−
0,
0 , тогда затухающему с высотой 
стационарному профилю согласно (11) соответствует
             O =
.
0
1/2
−−
+











i S
K
E
                 (12)
k
K
1
0
( ) 
 согласно (8), (9). Из рис. 4 мы видим, 
что в численном решении в режиме Бэтчелора 
реализуется верхняя ветвь аналитического решения.

Генерируемая пограничным слоем вертикальная скорость имеет вид
   H
F z
S
K
e z
=
2
1
.
0
0
−
−
−
−
(
)










Im
O
O
   (13)
Условие H 1 = 0
( )
 можно записать в виде 
               F
S
G
0
0
1
0,
−
−
(
)
≈
Im O
   (14)
Можно оценить величину максимальной вертикальной скорости, генерируемой погранслоем 
(скорость экмановской подкачки). Подставляя 
(12), (14) в (13) и пренебрегая первым слагаемым 
и экспоненциальным множителем во втором, 
получим 
F0
0.8
0.6
0.4
0.2
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5 G0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
Рис. 4. Изолинии, соответствующие решению уравнения (15). Значки – точки параметрической кривой 
( G
Q
F
Q
(1, ),
(1, )), полученной по данным численной модели при −≤
≤
2
2
Q
 и разных начальных профилях завихренности (A =
2
-  – кружки и A = 0 – плюсы). E
S
= 1 50,
= 1
/
. 
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 2          2024

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ...
129
H
S
G
2
=
Im
/λ
  (17)
0
max ≈
−
(
)
(
)
−
2
.
E
S
G
G
S sign S
G
= (
)
+
−
(
)
+
(
)
0
0
1/2
0
1/2
Первое слагаемое в правой части уравнения (22) отвечает за придонное трение, второе – 
за перенос вторичным течением.
При малых числах Россби G
S
S
0 -

     H
E
S
G
S
max ≈
−
(
)
−
=
.
1/2
1/2
0
   (18)
Если 
рассмотреть 
решение 
уравнения (22) вблизи стационарного состояния 
K
K
K
k k
K
k
g
if
0
0
0
0
,
=
,
,
=
+
+

, то, пренебрегая квадратичными слагаемыми, получим
          k
k
K f
C
t =
2
,
0
−
−
+
P
                   (23)
совпадает со скоростью экмановской накачки в 
линейной теории. При больших числах Россби 
|
|
0
G
S

 выражение (17) примет вид 
    H
E
G
sign G
max ≈(
)
(
)
2
.
1/2
0
1/2
0
   (19)
где 
     

= 2
3
2
,
0
0
0
F
E S
K
S
K
−
+
+
(
)
    C
E S
K
F K
=
2
,
0
0
0
−
−
(
)−
O
                  (24)

         O =
.
0
1/2
−
−
+
(
)

i S
K
E













Из (17) можно сделать вывод, что отношение 
амплитуды вторичной циркуляции к амплитуде 
вертикальной 
завихренности 
– 
|
/ (
) |
(2 )
|
|
0
1/2
0
1/2
H
G
S
E
S
G
max
−
≤
+
−
. 
Поскольку в режиме Бэтчелора S
G
+
0  согласно 
численным расчетам не может быть малой величиной, то отношение |
(
) |
1
0
H
G
S
max /
-
. Следовательно, вторичная циркуляция в этом режиме 
всегда существенно слабее квазидвухмерного 
вихря.
Поскольку стационарному состоянию системы отвечает решение k = 0 , то из (23) следует, 
что C = 0 . Если умножить (23) на k* и сложить 
его с комплексно-сопряженным уравнением, то 
получим
Параметризация экмановского трения
−
Re
*
P
    (25)
k
k
fE
K k
t
2
2
1
0
=
2
4
.
−
−
(
)
Рассмотрим нестационарное решение задачи (5)–(7). Проинтегрировав уравнения (4) по 
глубине и учитывая граничные условия, получим 
Далее, предполагая, что k
k e
E t
=
0
-O
, где OE  – 
действительное число, а k
k
(0) =
0  – начальное 
значение отклонения решения от стационарного, из (25) следует, что
K
EK
FK
i
K
K
t
z
=
0
2
,
2
0
2
−
( )−
+
−
(
)
    (20)
*
+
(
)
−
    (26)
     

E
f E
K k
k
=
2
|
|
.
0
1
0 0
0
2
Re
Здесь ×  означает оператор осреднения по глубине.
Заметим, что вторым слагаемым в правой части (26) можно пренебречь, поскольку всегда 
можно выбрать начальное условие k0  таким образом, чтобы второе слагаемое было существенно меньше первого, например, при f
g
0
0
1
/

.
Предположим, что в режиме Бэтчелора нестационарное решение имеет такой же профиль, как 
и стационарное решение, но с коэффициентами, 
зависящими от времени 
  K z t
K
t
S
K
t
e z
,
=
,
0
0
(
)
( ) +
−
( )
(
) O
    (21)
Таким образом, 

E = Re  является декрементом затухания завихренности, или, иначе говоря, 
коэффициентом экмановского трения.
где O  определяется по формуле (12).
Согласно (12) можно считать, что
     ReO ≈−(
)
+
−
2
.
1/2
0
1/2
E
S
G
Учитывая, что S
K
K
-
0
0
1
O
, а значит K
K
»
0
, 
−
2
из (20) следует 
        
≈(
)
+
×
1/2
0
1/2
OE
E
S
G
(27)
sign S
G
G
S
              
       K
E K
S
F K
t
0
0
0
0
=
2
.
O
−
(
)−
    (22)
0
0
  
7
4
3
4
.
×
+
(
)
−










ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 2          2024