Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана, 2024, № 1

научный журнал
Покупка
Новинка
Артикул: 850476.0001.99
Доступ онлайн
4 023 ₽
В корзину
Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана : научный журнал. - Москва : Наука, 2024. - № 1. - 124 с. - ISSN 1023-6317. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.ru/catalog/product/2188332 (дата обращения: 03.01.2025). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
Известия Российской академии наук
ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ 
И ОКЕАНА
том 60   № 1   2024   Январь–Февраль
Основан в январе 1965 г.
Выходит 6 раз в год 
ISSN: 0002-3515
Журнал издается под руководством 
Отделения наук о Земле РАН
Главный редактор
И.И. Мохов
Председатель редакционного совета
Г.С. Голицын
Заместители главного редактора
А.С. Гинзбург, В.Б. Залесный, О.Г. Чхетиани
Ответственный секретарь
А.В. Елисеев
Редакционный совет:
В.Н. Арефьев, В.Г. Бондур, Н.Ф. Еланский, В.В. Ефимов, 
В.В. Зуев, Р.А. Ибраев, А.П. Иванов, В.М. Катцов, Ю.О. Кузьмин,
С.Н. Куличков, Е.А. Мареев, А.А. Макоско, И.В. Пташник, 
Е.В. Розанов, В.А. Семенов, С.М. Семенов
Редакционная коллегия:
Е.М. Володин, М.Е. Горбунов, В.В. Жмур,
В.Н. Крупчатников, М.В. Курганский, А.А. Лушников, 
Е.Г. Морозов, М.А. Носов, Е.Н. Пелиновский,
С.П. Смышляев, Ю.М. Тимофеев, Ю.И. Троицкая
Зав. редакцией М.А. Помелова
Адрес редакции: 119017 Москва, Пыжевский пер., 3 
тел. +7(495)951-21-74
e-mail: fao@ifaran.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН. 
    Физика атмосферы и океана” 
    (составитель), 2024


СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 1, 2024
Двумерные периодические течения на поверхности несжимаемой жидкости в различных  
моделях среды
А. А. Очиров, Ю. Д. Чашечкин 	
3
Изменчивость режимов атмосферных антициклонов и их связь с температурными  
вариациями во внетропических широтах Северного полушария в последние десятилетия
М. Г. Акперов, И. И. Мохов 	
17
Исследование мультифрактральности температуры по данным метеостанции Цугшпитце
С. А. Рябова 	
26
Результаты настройки параметризаций численной модели прогноза погоды по измеренным  
характеристикам температурных инверсий в планетарном пограничном слое  
мегаполиса Москвы
Р. В. Журавлев, Е. А. Миллер, А. К. Князев, Н. А. Баранов, Е. А. Лезина, А. В. Троицкий 	
33
Вариант теории локального подобия и аппроксимация вертикальных профилей турбулентных  
моментов конвективного пограничного слоя атмосферы 
А. Н. Вульфсон, П. В. Николаев 	
52
О высоте приземного слоя воздуха по содарным данным
М. А. Локощенко	
65
Применение спутниковых СВЧ-радиометрических методов для анализа связи тропического  
циклогенеза с переносом водяного пара в Атлантике
А. Г. Гранков, Е. П. Новичихин, Н. К. Шелобанова	
73
Восстановление ночных распределений характеристик мезосферы – нижней термосферы  
по спутниковым данным
М. Ю. Куликов, М. В. Беликович, А. Г. Чубаров, С. О. Дементьева, А. М. Фейгин 	
81
Турбулентный обмен при нестационарном взаимодействии атмосферы и моря на малых  
и субмезомасштабах
А. М. Чухарев, М. И. Павлов 	
95
Движение капли дождя в атмосфере, содержащей аэрозольные частицы
Т. Р. Аманбаев 	
105
1


ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2024, том 60, № 1
УДК
Contents
Vol. 60, No. 1, 2024
Two-Dimensional Surface Periodic Flows of an Incompressible Fluid in Various Models of the Medium 
A. А. Ochirov, Yu. D. Chashechkin	
3
Variability of the Atmospheric Anticyclones and Their Connection with Surface Temperature  
Variations in Extratropical Latitudes of the Northern Hemisphere in Recent Decades 
M. G. Akperov, I. I. Mokhov	
17
Investigation of Temperature Multifractrality According to Zugspitze Weather Station Data 
S. A. Riabova	
26
Parameterization of a WRF Model Based on Microwave Measurements of Temperature Inversion  
Characteristics in PBL over Moscow City 
R. V. Zhuravlev, E. A. Miller, A. K. Knyazev, N. A. Baranov, E. A. Lezina, A. V. Troitsky	
33
A Variant of the Local Similarity Theory and Approximations of Vertical Profiles of Turbulent  
Moments of the Atmospheric Convective Boundary Layer 
A. N. Vulfson, P. V. Nikolaev	
52
About Height of the Surface Air Layer by Sodar Data 
M. A. Lokoshchenko	
65
Application of Satellite Microwave Radiometric Methods to Analyze the Relationship of Tropical  
Cyclogenesis with Water Vapor Transport in the Atlantic 
А. G. Grankov, E. P. Novichikhin, N. K. Shelobanova	
73
Retrieval of Nighttime Distributions of Mesosphere–Lower Thermosphere Characteristics from  
Satellite Data 
M. Yu. Kulikov, M .V. Belikovich, A. G. Chubarov, S. O. Dementyeva, A. M. Feigin 	
81
Turbulent Exchange in Unsteady Air-Sea Interaction at Small and Submesoscales 
A. M. Chukharev, M. I. Pavlov	
95
Rain Drop Motion in an Atmosphere Containing Aerosols Particles 
T. R. Amanbaev	
105
2


ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2024, том 60, № 1
, с. 3–16
УДК 532.65
ДВУМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ 
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ СРЕДЫ
© 2024 г. А. А. Очировa, *, Ю. Д. Чашечкинa, **
aИнститут проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, 
просп. Вернадского, 101, корп. 1, Москва, 119526 Россия
*e-mail: otchirov@mail.ru
**e-mail: yulidch@gmail.com
Поступила в редакцию 09.07.2023 г.
После доработки 30.09.2023 г.
Принята к публикации 15.11.2023 г.
Проводится сравнительный анализ свойств двумерных инфинитезимальных периодических возмущений, распространяющихся по поверхности несжимаемой жидкости в различных представлениях плотности среды. Рассматриваются стратифицированные и однородные по плотности вязкие 
или идеальные жидкости. Расчеты проводятся методами теории сингулярных возмущений. Приведены дисперсионные соотношения и графики зависимостей фазовых и групповых скоростей 
для поверхностных волн в физически наблюдаемых переменных. Отмечается изменение смысла 
дисперсионных соотношений при переходе от идеальных жидкостей к вязким, а также от однородных к стратифицированным. Учет влияния электрического заряда качественно не изменяет 
характер двумерных дисперсионных соотношений. Повышение поверхностной плотности электрического заряда приводит к уменьшению длины волны при фиксированной частоте и не оказывает заметного влияния на тонкую структуру периодического течения.
Ключевые слова: периодические поверхностные возмущения, однородная жидкость, стратифицированная жидкость, идеальная жидкость, вязкая жидкость, поверхностный электрический заряд
DOI: 10.31857/S0002351524010012
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследования колебаний и  волн в  жидкостях, описания которых восходят к доисторическим временам, сохраняют свою актуальность 
вследствие научной содержательности предмета 
и  важности практических приложений применительно к динамике атмосферы, океана и взаимодействия сред. Результаты изучения волн 
активно используются в других разделах науки, 
прежде всего в  математике и  механике. Исторически исследования были ориентированы 
на идентификацию и  определение свойств отдельных типов волн – вначале гравитационных 
и акустических, затем внутренних в толще жидкости на поверхностях разрыва плотности или 
при ее непрерывном изменении, позднее – капиллярных, инерционных и гибридных. На основе описаний отдельных волновых процессов 
на поверхности однородной жидкости, приведенных в известных трактатах [Лэмб, 1949; Кочин и др., 1963; Ландау, Лифшиц, 1944; Ле Блон, 
Майсек, 1981] и  многих других, составлялись 
методики проведения экспериментов в лабораторных и  натурных условиях и  интерпретации 
их результатов.
Следует отметить, что уже в основополагающих 
работах и Л. Эйлера [Euler, 1757], и Дж.Г. Стокса 
[Stokes, 1845, 1847, 1851] отмечалась необходимость учета “гетерогенности жидкости”, обусловленной неоднородностью распределений плотности и ее расслоением в поле силы тяжести. Однако уровень развития математического анализа не 
позволял включать этот важный факт в изучаемые 
модели. В  последующем изучение природы изменений плотности жидкости в  целом, морской 
воды и  атмосферы в  частности, успешно развилось и  составило особый раздел наук об океане 
и атмосфере, посвященный составлению и анализу уравнений состояния [Feistel, 2018; Harvey et al., 
2023]. В процессе выполнения обширных циклов 
экспериментальных и  теоретических исследований были установлены основные закономерности 
распределения плотности в  окружающей среде, 
выделены тонкая структура профилей [Федоров, 
3


ОЧИРОВ, ЧАШЕЧКИН
известным причинам выпали из научного оборота. 
Важность этого параметра показали экспериментальные исследования колебаний шаров-зондов 
В. Вяйсяля [Väisälä, 1925] и спектров осцилляций 
давления атмосферы Д. Брента [Brunt, 1927]. В целях упрощения математического описания в теоретических исследованиях внутренних волн активно 
используется экспоненциальное распределение 
плотности с  глубиной [Лайтхилл, 1981]. Позднее 
было найдено преобразование масштабов, позволяющее получать уравнения внутренних волн с постоянными коэффициентами при любом гладком 
распределении плотности по глубине [Кистович, 
Чашечкин, 1998].
Математическая формулировка задачи основана на редуцировании системы фундаментальных уравнений [Ландау, Лифшиц, 1944; 
Chashechkin, 2021a], в которой оставлены только 
уравнения Навье–Стокса и неразрывности. Также в анализируемой модели отсутствует уравнение состояния, которое заменяется выбранным 
распределением плотности. Такое упрощение 
позволяет получить более простые выражения 
для поверхностных возмущений, но приводит 
к потере компонентов, отвечающих за волновое 
возмущение физически наблюдаемых величин 
(например, температуры и/или солености).
Рассматривается полубесконечная жидкость, 
занимающая нижнее полупространство 
< 0
z
 
в прямоугольной декартовой системе координат 
1976; Попов и др., 1979], идентифицированы механизмы ее формирования.
Постепенно, по мере накопления фактов 
и  развития техники математического анализа, 
стали все более активно изучаться такие скрытые виды течений, как внутренние волны [Гаврилов, Попов, 2022], существование которых 
обеспечивается устойчивостью распределения 
плотности – стратификацией, и  дискретной 
[Chandrasekhar, 1961], и непрерывной [Лайтхилл, 
1981]. Постепенно стали проводится оценки влияния неоднородности плотности на поверхностные волны [Очиров, Чашечкин, 2022]. Активно 
исследуются внутренние волны различных классов и в атмосфере [Зайцева и др., 2022].
Теоретические исследования волн проводятся 
как на основе полной системы фундаментальных 
уравнений механики жидкостей [Ландау, Лифшиц, 1944; Chashechkin, 2021a], так и ее редуцированных версий, когда в  уравнениях сохраняются только члены, описывающие переменность 
плотности, но пренебрегается физическими 
процессами, обеспечивающими ее непостоянство. Учет условия совместности при анализе 
системы линеаризованных уравнений методами 
теории сингулярных возмущений [Найфэ, 1984] 
позволил выделить лигаменты – тонкие компоненты, дополняющие волны в  периодических 
течениях в толще [Chashechkin, 2021b] и на поверхности вязкой стратифицированной жидкости [Chashechkin, Ochirov, 2022]. Поверхностные волны и  тонкие структуры поверхностных 
течений вызывают интерес в связи с переносом 
вещества [Чашечкин, 2022] в том числе и на микроуровне [Дружинин, 2022].
В настоящей работе проведен сравнительный 
анализ свойств периодических течений на поверхности жидкости в  распространенных представлениях распределения плотности идеальной 
и вязкой среды с учетом влияния поверхностного 
электрического заряда.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Oxyz , в  которой ось Oz  направлена в  сторону, 
противоположную направлению действия поля 
сил тяжести g, а плоскость Oxy  совпадает с равновесной поверхностью жидкости. Рассматриваются плоские течения, движение жидкости считается независимым от горизонтальной координаты y. Поверхность жидкости характеризуется коэффициентом поверхностного натяжения σ.
При учете влияния поверхностного электрического заряда жидкость считается идеально проводящей (поскольку характерное время волновых 
процессов намного превышает характерные времена релаксации электрического заряда). На поверхности идеально проводящей жидкости, помещенной в вертикальное электростатическое поле с напряженностью E0, наводится электрический заряд 
с поверхностной плотностью 
0
0 4
E
=
π. Волновое 
возмущение поверхности вызывает изменение 
электрического потенциала Φ, который можно 
представить в виде суммы составляющей Φ = −
0
0
E z  
и волновой добавки Φ
.
Результаты математического изучения влияния 
неоднородности плотности на свойства периодических течений в  толще жидкости, проведенного 
в работе Рэлея [Rayleigh, 1882], в которой была рассчитана предельная частота бегущих внутренних 
волн или частота собственных колебаний инфинитезимального объема, смещенного по вертикали из 
положения равновесия (частота плавучести) в непрерывно стратифицированной жидкости, по неИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 1          2024


ДВУМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ...
5
уровень z = ζ  определяет положение свободной 
поверхности, а 
00
ρ
 – плотность на равновесном 
уровне 
= 0
z
. Давление жидкости P складывается из атмосферного 
0
P , гидростатического, волнового 
P  и давления, создаваемого электростатическим полем с напряженностью 
0
E :
В  природных условиях отношение изменчивости плотности и ее вариаций q к невозмущенному значению на нулевом уровне 
00
ρ
 в течении 
обычно является малым [Федоров, 1976], что позволяет представлять ее распределение в виде
              
(
)
( )
(
)
(
)
00
00
1
, ,
ρ = ρ
+
= ρ
+ ρ

q
r z
x z t
,	
(1)
      
(
)
(
)
2
0
0
, ,
, ,
8
z
E
P
P
gd
P
x
t
x z t
=
+
+ ρ
ξ +
ξ
π ∫

.	
(6)
Система дополняется стандартными граничными условиями: кинематическим, динамическим и на электрический потенциал на свободной поверхности жидкости
	
(
)
(
)
t z
z
где функция ( )
r z  задает исходную стратификацию, 
а  (
)
, ,
ρ
x z t  – волновое возмущение плотности.
Наиболее часто используемые модели исход- 
ной стратификации – экспоненциально стра 
тифицированная жидкость ( ( )
(
)
=
−
Λ
exp
e
r
z
z
) 
и 
линейно 
стратифицированная 
жидкость 
( ( ) = −
Λ
1
l
r
z
z
), которые характеризуются масштабом стратификации 
	
u
n
u
u
n
(7)
z
P
P
r z
n
n
u
n

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
0
00
0
0
:
div
2
0
0,
∂
+
⋅∇
=
−ζ
−ζ
τ⋅
+
⋅
=

⋅∇
τ⋅∇
= ζ 
−
−σ
−ρ
+ ρ
=
⋅∇

Φ =


x
x
z
x
x
z
	
(
)
e
e
e
e
n
z
z
1
dln / d
−
Λ =
ρ
z
. Для 
сравнения моделей экспоненциально и линейно 
стратифицированных жидкостей проанализируем изменение градиента плотности с  глубиной. 
В случае экспоненциальной стратификации градиент плотности с глубиной меняется по закону:
2
2
,
.
1
1
−∂ζ
+
+ ∂ζ
∇
−ζ
=
=
τ =
∇
−ζ
∂ζ
∂ζ
+
+
x
x
(
)
(
)
(
)
	
 	
                    
( )
00
00 exp
e
r z
d
z
dz
ρ
ρ
ρ


= −
= −
−




Λ
Λ
Λ
.           (2)
Здесь n и τ – вектора внешней нормали и касательной к свободной поверхности соответственно.
Отыскиваются 
периодические 
по 
горизонтальной координате x решения вида 
В случае линейно стратифицированной жидкости величина градиента плотности не зависит 
от глубины:
                                
00
d
dz
ρ
ρ = −Λ
.                             (3)
(
)
exp
x
A
ik x
i t
−ω
, распространяющиеся в положительном направлении оси Ox. Для периодических 
возмущений, распространяющихся в противоположном направлении, анализ будет аналогичным 
с  точностью до смены знака в  выражении для 
волнового вектора.
Задача решается в приближении Буссинеска, 
когда плотность считается постоянной во всех 
слагаемых, кроме содержащих ускорение свободного падения. Также добавляется условие 
несжимаемости жидкости. Для описания плоского поля скоростей вводится функция тока ψ:
            
,
z
x
u
w
= ∂ψ
= −∂ψ  .	
(8)
Для небольших изменений вертикальной координаты 
Λ

z
 различия градиентов плотности в моделях экспоненциально и линейно стратифицированных сред незначительны. Численные оценки показывают, что на глубинах меньших, чем 10% от масштаба стратификации, различия в величинах градиента плотности незаметны, и с высокой степенью точности одна модель 
может заменяться другой. Для сильно стратифицированной жидкости с  частотой плавучести 
N ~ 1 c–1 масштаб стратификации принимает значение Λ ~ 10 м, а для слабо стратифицированных 
сред – Λ ~ 100 км.
При сделанных допущениях система уравнений движения вязкой стратифицированной жидкости принимает вид:
u
g
u
u
u
t
g
g
d
x
t
, ,
00
00
После проведения процедуры сноса граничных условий на равновесный уровень 
= 0
z
 и последующей линеаризации уравнений и  граничных условий математическая формулировка задачи принимает вид:
           
(
)
	
(4)
x
x
z
u
u
	
(
)
(
)
:
div
0,
t
P
z
ρ
= ρ ∆−∇
+ ρ
∂
+
⋅∇

< ζ ∂ρ+
⋅∇ρ+ ρ
=


00
00
tz
z
x
∫



0
0 :
0
00
00
tx
x
z
                    
:
0
z > ζ
∆Φ =
,         	
 (5)
( )
	
  
 (9)

0
t
x
где 
(u,0,w)
=
u
 
– 
скорость 
жидкости, 

P
z
P
dr z
dz
z
0 :
0,
(
)
( )
(
)
(
)
00
, ,
, ,
x z t
ρ = ρ
= ρ
+ ρ

r z
x z t
 – плотность, 

ρ
∂ζ + ρ
∂ρ
ξ +
ξ



ρ ∂ψ −ρ
∂∆ψ + ∂
=

<

−ρ ∂ψ + ρ
∂∆ψ + ∂
=



∂ρ−
∂ψ =



>
∆Φ =


ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 1          2024


ОЧИРОВ, ЧАШЕЧКИН
	
0


E
P
zx
xx
z
z
t
x
	
(10)
zz
xx

E
2
0
4
0
0 :
0
0.
0

+ ρ ∂ψ + σ∂ζ −
∂Φ =

π
∂ζ + ∂ψ =
=

∂ψ −∂ψ =

Φ −
ζ =

Подстановка вида решения (11) в уравнение 
Лапласа для добавки к электрическому потенциалу (9) и  в  уравнение (13) приводит к  дисперсионным 
соотношениям, 
связывающим 
компоненты волнового вектора волны с частотой ω:
                            
Φ =
2
2
z
x
k
k ,	
                                           (14)
(
)(
)
( )
2
2
2
2
2
0
x
x
z
x
z
dr z
g
k
k
k
i k
i k
dz
ω
+
=
−
−
+ ω
.	
(15)
В  модели экспоненциально стратифицированной жидкости ( ( )
(
)
=
−
Λ
exp
e
r
z
z
) дисперсионное соотношение (15) принимает вид:
	
(
)(
)
( )
2
2
2
2
2
2
0
x e
x
z
x
z
N k r z
k
k
i k
i k
ω
−
=
−
−
+ ω
 .	
(16)
В природе, как правило, встречаются жидкости с малой вязкостью или малой частотой плавучести, а также среды, у которых оба эти параметра малы. Малые параметры в таких системах 
обеспечивают малость множителей при слагаемых, содержащих старшие производные. В этом 
случае система (9) относится к классу сингулярно 
возмущенных систем уравнений [Найфэ, 1984], 
а ее полное решение отыскивается методом теории сингулярных возмущений с учетом условия 
совместности.
3. РЕШЕНИЕ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ
Из естественного условия затухания добавки к электрическому потенциалу с удалением от 
свободной поверхности следует, что физически 
реализуется только один корень в (14):
	
Φ = −
z
x
k
k  .	
(17)
Решение линеаризованной задачи (9)–(10) 
ищется в виде периодических возмущений:
exp
z
m
	
(
)
	
(11)
(
)
m
x
z
m
Φ


k z
Y
A
ik x
i t
C C
k
z
F
P
k z
P
exp
. .
exp
exp
z
m


ψ




ζ


−ω
=
+




Φ










(
)
(
)
Дисперсионное соотношение (16) удобно анализировать в  безразмерных переменных, если 
в качестве характерных параметров выбрать собственные масштабы задачи: временнóй – обратную частоту плавучести 
1
b
N −
τ =
, и  пространственный 
– 
вязкий 
волновой 
масштаб 
(
)
1/3
1
N
N
g
−
δ
=
 [Chashechkin, 2021b]. Отношение 
собственных 
масштабов 
среды 
– 
вязкого 
2
3
g
g
δ =
 и  вязкого волнового 
g
N
δ
 определяет 
1/3
2/3
g
g
N
N
g
ε = δ
δ
=
. 
малый параметр задачи 
В новых переменных дисперсионное соотношение (16) перепишется следующим образом:
         (
)
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
*
*
*
*
*
*
*
0
x e
x
z
x
z
i
k r z
k
k
k
k
ε
ω +
ω −
=
−
−
 ,	
(18)
Здесь 
,
,
,
m
m
m
m
Y
A
F
P
 – амплитуды соответствующих величин, а  символом C.C. обозначены 
комплексно сопряженные слагаемые. Символом 
0
ω >
 обозначена положительно определенная частота периодического движения, 
а символами 
Φ
, ,
x z
k
 – компоненты волновых векторов 
=
+
1
2
i
k
k
k , которые могут быть комплексными.
Перекрестное дифференцирование уравнений (9) позволяет получить следующее уравнение для функции тока и возмущения плотности:
	
0
t
x
g
∂∆ψ −∆∆ψ −∂ρ =

.	
(12)
Использование уравнение неразрывности позволяет перейти от (12) к выражению, содержащему только функцию тока:
	
( )
0
tt
t
xx
dr z
g
dz
∂∆ψ −∂∆∆ψ −
∂ψ =
 
.	
(13)
где 
*
ω  и 
* ,
x z
k
 – безразмерная частота и компоненты волнового вектора.
Решения уравнения (18) находятся в виде регулярного и сингулярного разложения по малому 
параметру ε, который присутствует при старшей 
степени 
*z
k  [Найфэ, 1984]. Для различия корней 
введено обозначение для сингулярного решения – 
l
k , а для регулярного – k*z:
4
exp
(
)
i
i k
z
i
k
k
x
z
x
   
(19)
2
2
ε
+ ω
−
Λ
ω
= ±
−
+
≈
ε
ω
2
3
*
*
2
*
*
*
*
(
)
exp
,
z
k
2
*
*
x
ω −
−
Λ
≈±
ω
*
В модели линейно стратифицированной среды ( ( ) = −
Λ
1
r
z
z
) или для малых z  по сравнению 
с  Λ  в модели экспоненциально стратифицированной среды выражение (13) упрощается и при 
нулевой вязкости сводится к уравнению Соболева [Соболев, 1954].
4
exp
(
)
i
i k
z
i
k
k
x
l
x
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 1          2024
2
3
*
*
2
*
*
*
*
i
*
2
2
1
.
2
ε
+ ω
−
Λ
ω
= ±
−
−
≈
ε
ω
−
≈±
ω
ε


exp
(
)
i
i k
z
i
k
k
x
z
x
2
2
ε
+ ω
−
Λ
ω
= ±
−
+
≈
ε
ω
2
3
*
*
2
*
*
*
*
(
)
ДВУМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ...
7
exp
,
z
k
x
ω −
−
Λ
≈±
ω
2
*
*
*
4
exp
(
)
i
i k
z
i
k
k
x
l
x
2
3
*
*
2
*
*
*
*
(19)
i
*
2
2
1
.
2
        
ε
+ ω
−
Λ
ω
= ±
−
−
≈
ε
ω
−
≈±
ω
ε
        
метр Тонкса–Френкеля, играющий роль безразмерного электрического заряда на свободной поверхности, который также характеризует отношение энергии электростатического поля к доступной потенциальной поверхностной энергии. 
В  безразмерном виде дисперсионное уравнение 
(23) записывается:
	
3


δ ε
+
−
+
x
z
z
x
Вид приближенных решений (19) наглядно 
демонстрирует различия между регулярными 
и  сингулярными решениями. При положительно определенной частоте волнового движения 
l
x
(
)
(
)
2
4
2
2
2
*
*
*
*
*
2
2
*
*
2
2
k
i
k
k
k
k
k
k
k
W
k
1
x
z
z
*
*
*
*
Φ
(
)
	 (24)


+
−


+ δ ε
−ε
ω




δ ε
+ ε ω
−
+
x
l
l
x


−
+
=
z
x
(
)
(
)
2
4
2
2
2
*
*
*
*
*
2
2
*
*
2
2
k
i
k
k
k
k
k
k
k
W
k
3
0.
1
x
z
l
*
*
*
*
Φ


+ δ ε
−ε
ω


(
)
( )
( )

Im
Re
z
z
k
k
 и 
( )
( )

Im
Re
l
l
k
k  соответственно. 
Следовательно, решение kz описывает волновую часть периодического движения, а  kl – лигаментную, определяющую тонкую структуру сопутствующих волне возмущений. Выбор корней 
в (19) определяется условиями физической реализации затухания движения с глубиной и с увеличением горизонтальной координаты. Для волны, бегущей в положительном направление x:
	
(
)
(
)
>
>
,
Re
0,
Im
0
z l
x
k
k
 .	
(20)
 	
z
l
m
Здесь символом 
g
N
N
g
δ = δ
δ
=
γ
 обозначен безразмерный параметр, определяемый отношением собственных физических величин задачи: капиллярной постоянной 
g
g
γ
δ =
γ
 и микромасштаба Стокса 
N
N
δ
=
. Этот параметр 
оказывается малым для слабо вязких жидкостей. 
Подставляя в (24) приближенные значения (19) 
и оставляя только главные члены, получим дисперсионное уравнение:
(21)
exp
exp
exp
. .
k z
k z
Y
ik x
i t
C C
ψ =
×
+ β
−ω
×
+
x
	
С  учетом сингулярного решения kl решение 
задачи первого порядка малости принимает вид:
  
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
i
k
k
x
x
2
2
*
*
*
*
*


ω −
−
ω −
×




ω
ε


1
1
1
1
Из граничных условий (10) найдем связь между амплитудными множителями:
    
(
)
i
i
k
W
k
x
x
k
A
Y
x
m
m
2
2
2
*
2
*
*
*
*
*



ω −
−
−

×
ω
+
−
δ ω
+




ω

ε



2
2
x
z
1
1
2
2
i
k
Wk
x
x
x
l
	 (25)
2
*
2
3
3
*
*
*
*
 (22)
1
(
)
k
k
k
k
k
F
E A
Y E
x
m
m
m
0
0
i
+ β
=
ω
+
β = −
+
+ β
=
=
ω
3/2
2
*
*


ω −
−δ
ω
−
δ


ω


+
ε +


−
−
ω
ω −




2
1
1
2
2
(
)
k
k
i
k E
k
P
Ak
Φ
z
l
z
x
m
x
1
2


+
β
γ
=
ρ
−
+


ω
+ β
πρ ω


2
2
0
00
00
k
k
1
1
0.
x
x
(
)
2
2
*
2
4
*
*
*
*



δ
ω −

+
−ω
+
ε =




ω



и  дисперсионное соотношение, связывающее 
компоненты волнового вектора в периодическом 
возмущении с частотой ω:
	
2
2
2
4


ω −
−
γ
−γ
+
l
x
x
z
x
Φ
2
2
x
z
2
2
3
k
gk
g k k W
k
k
k
i
k
k
k
l
x
l
(
)
(
)
.(23)
2
2
2
4
+
−




ω
−




ω −
−
γ
−γ
+
z
x
x
z
x
Φ
2
2
x
l
2
2
0
3
k
gk
g k k W
k
k
k
i
k
k
k
z
x
z
−
+
=




ω
−


(
)
(
)
2
0
00
4
W
E
g
=
π ρ
σ  – параВ явном виде корни дисперсионного уравнения (25) приведены в приложении А. Физически 
реализуемые решения выбираются исходя из условия затухания возмущений с удалением от свободной поверхности 
(
)
,
Re
0
z l
k
≥
 и с удалением от 
начала координат Im(kx)≥0 в  направлении распространения волны.
В приближении однородной жидкости задача 
упрощается, но при этом из основных уравнений 
сама среда фактически исключается, поскольку 
плотность сокращается и не входит в дисперсионные соотношения (15), которые принимают 
вид:
Здесь символом 
00
γ = σ ρ
 обозначен нормированный на значение плотности на равновесном 
уровне коэффициент поверхностного натяжения 
жидкости, а символом 
(
)
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 1          2024


ОЧИРОВ, ЧАШЕЧКИН
	
2
2
2
2
0
x
z
x
z
k
k
i k
i k
=
−
−
+ ω
.	
(26)
	
(
)(
)
h
l
h
x
h
x
z
6
2
2
2
2
*
*
*
*
*
Φ
	
x
x
k
k
k k
W
k
k
k
i
k
k
k
2
3
x
h
l
x
l
*
*
4
4
2
2
*
*
*
*
*


ε
ω −ε
−ε
−
−




−
+ ε ω
−


[
(
)
(30)


ε ω −ε
−ε
−
Φ
0.
h
h
x
h
x
z
x
l
(
)
Уравнение (26) также имеет два вида решений. Регулярные решения описывают волновое 
движение 
z
k , сингулярные решения определяют 
присоединенный лигамент 
l
k :
k
k k
W
k
k
k
i
k
2
−
+
=


−
+
ε ω


x
h
x
6
2
2
*
*
*
*
2
2
*
*
3
4
2
*
*
*
k
k
= ±
z
x
	
k
k
i
2
.
ω
= ±
−
 	
(27)
l
x
8
h
O ε
:
Подставляя (29) в  (30) и  оставляя только 
главные члены, получим приближенное дисперсионное уравнение с  точностью до слагаемых порядка ( )
	
(
)
6
2
3
2
2
3
*
*
*
*
*
*
2
0.
2
h
x
x
h
x
h
x
h
k
k
k
k
W
i


ε ω
+ ε
−
−ε
+
ε ω
=




(31)
В  явном виде нетривиальные корни дисперсионного уравнения (31) записываются следующим образом:
	
k
W
i
	
Wh
x
h
h
1/3
4
* 1
*
2/3
(
)
W
i
h
h
h
2
2/3
2
4
*
(
)
(
)
1/3
Wh
1/3
(32)

Wh
i
k
W
i
x
h
h
Соотношения между мнимыми и  действительными частями в волновых и лигаментных 
решениях для однородной жидкости аналогичны соотношениям в  стратифицированной 
среде. Дисперсионное соотношение (26) и решение (27) может быть получено из соответствующих выражений (15), (19) в  пределе 
→0
N
 ( Λ →∞).
Выражения (23) остаются в силе с точностью 
до поправки на соотношения (27), т. 
е. дисперсионное уравнение (23) описывает компоненты 
течения в однородной жидкости, если соотношения между волновыми векторами упрощаются до 
связи (27). С учетом (27) дисперсионное уравнение (23) в размерном виде записывается:
4
* 2,3
*
2/3
(
) (
)
	
i
W
i
2
2
2
4
h
h
h
2
2
4
*
 
(
)
(
)
(
)
l
x
x
z
x
Φ
1/3
1/3
x
x
2
2
1
2
3
3 2
2
3
2
,
3
1
3
1
2
3
6 2
1
3 3
2
,
3
2
α
=
ε +
ε ω
+
−
⋅
ε + ε
+
ε ω
−
α
α
=
ε +
ε ω
−
+
⋅
±
ε + ε
+
ε ω
+
×
α
Wh
2
3
k
gk
g k k W
k
k
k
i
k
k
k
l
x
l
[
(
)
	 (28)
2
3
2
2
9
3
W
W
i
Φ
2
2
α
=
ε
−
+
ε ω
Wh
h
h
(
)
x
x
z
x
x
l
3
2
6
*
2
9
2
(
)
2
8
3 4
3
48
W
i
W
0.
2
gk
g k k W
k
k
k
i
k
−
+
−
ε ω −
h


ω −
−
γ
−γ
+
−




ω
−




ω −
−
γ
−γ
+
−
+
=


ω


x
(
)
(
)
*
12
3
3
32
3
3
ε ω +
ε ×
h
*
h
3
3
6
2
16
8
43
72
W
i
i
+
ε
ω +
−
ε ω −
*
*
h
h
12
4
2
6
2
64
4
48
i
W
i
×
−
ε ω +
−+
ε ω
−
h
h
*
*
(
)
(
)
3
6
2
4
9
4
24
W
i
.
−
ε ω
+
+
ε ω
h
h
*
(
)
(
)
В  модели однородной жидкости параметры 
обезразмеривания отличаются от введенных ранее из-за исключения части собственных параметров задачи, характеризующих стратификацию. Набор оставшихся физических переменных 
позволяет определить следующие характерные 
масштабы: времени – 
(
)
g
γ
τ = γ
 и  длины – 
2
3
g
g
δ =
 
и 
g
g
γ
δ =
γ
. 
Отношение 
4
3
6
h
g
g
g
γ
ε = δ
δ =
γ  естественным образом форФизически реализуемые решения выбираются исходя из условия затухания течения с глубиной 
(
) ≥
,
Re
0
z l
k
 и с удалением от начала координат 
Im(kx)≥0 в направлении распространения волны.
Добавление поверхностного электрического 
заряда усложняет математические выкладки по 
определению дисперсионных соотношений, но 
не добавляет качественно новых решений.
4. МОДЕЛЬ НЕЗАРЯЖЕННОЙ ВЯЗКОЙ 
ЖИДКОСТИ
	
мирует малый параметр, характеризующий периодические течения на поверхности однородной 
жидкости. Дисперсионные соотношения (27)–
(28) в безразмерных переменных принимают вид 
[Очиров, Чашечкин, 2023]:
     
,
= ±
*
*
z
x
(29)
Подробное исследование динамики волн 
и  сопутствующих лигаментов в  вязких однородно стратифицированных жидкостях было 
2
k
k
i
k
k
i
k
k


ε ω
= ±
−ε ω ≈±
−




2
*
*
*
*
*
*
h
l
x
h
x
x
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 1          2024


ДВУМЕРНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ...
9
	
h
l
h
x
x
6
2
2
2
4
*
*
*
*
k
k
k
k
k
i
k
k
k
2
3
x
x
h
l
x
l
*
*
4
2
2
*
*
*
*


ε
ω −ε
−
+
−


+ ε ω
−


[
(
)
	
(37)
h
h
x
x
l
(
)
проведено в работе [Chashechkin, Ochirov, 2022]. 
В  модели незаряженной жидкости остаются 
справедливыми 
дисперсионные 
соотношения (15), (18)–(19), а уравнение (23) преобразуется к виду:
0.
2
k
k
k
k
i
k
x
h
x
6
2
2
*
*
2
2
*
*
3
4
2
*
*
*



ε ω −ε
−
−
+
=



−
+
ε ω



2
2
4


ω −
−γ
+
l
x
x
	
2
2
2
2
3
k
gk
k
k
k
i
k
k
k
x
z
l
x
l
	
   
(
)
(
)
2
2
4
(33)
Подставляя (29) в (37) и оставляя только главные члены, получим приближенное дисперсионное уравнение:
z
x
x
2
2
2
2
0.
3
k
gk
k
k
k
i
k
k
k
x
l
z
x
z
+
−


+ ω
−




ω −
−γ
+
−
+
=




+ ω
−


(
)
(
)
	
6
2
3
2
4
2
*
*
*
*
*
*
2
0.
2
h
x
x
h
x
h
x
k
k
k
i
k


ε ω
+ ε
−
ε ω
−
=




	 (38)
и в безразмерном виде запишется:
	
3


ε
+ ε ω
−
+
 
Нетривиальные корни уравнения (38) записываются следующим образом:
x
z
z
x
l
x
(
)
(
)
k
i
k
k
k
k
k
k
k
x
z
(
)
i
k
2/3
2
8
2
4
1/3
*
*
* 1
2/3
1/3
	(34)
+
−




+
−ε
ω




ε
+ ε ω
−
+
h
h
h
h
x
h
3
0.
x
l
l
x
z
x
−
+
=


(
)
(
)
k
i
k
k
k
k
k
k
k

+
−ε
ω


x
l
2
4
2
2
2
*
*
*
*
*
2
2
*
*
2
2
*
*
*
2
4
2
2
2
*
*
*
*
*
2
2
*
*
2
2
*
*
*
(
)
i
i
k
h
h
x
1/3
4
*
* 2,3
2/3
i
h
h
2
8
2
*
(
)(
)
1/3
1/3
2
3
4
2
,
3
3 2
3
1
3
2
3
6 2
1
3 3
4
,
3 2
ε −ε ω
ε ω
α
=
+
−
⋅
α
α
ε ω
=
−
+
⋅
±
ε −ε ω
+
⋅
α
h
Подставляя в  (34) значения (19), связывающие компоненты волнового вектора, и оставляя 
только главные члены разложения, получим дисперсионное уравнение:
6
12
3
9
4
3
32
i
i
i
α = −ε ω
+
−
ε ω +
h
h
h
*
*
(
)
	
6
2
12
4
1
1
3 3
.
3 16
43
72
64
+
ε
+
−
ε ω −
ε ω
   
(39)
 
h
h
h
i
i
*
*
(
)
i
k
k
x
x
2
2
*
*
*
*
*


ω −
−
ω −
×




ω
ε


1
1
i
k
k
x
x
2
2
*
2
*
*
*
*
	 (35)
i
i
k
x
2
3
3/2
2
*
*
*
*

ω −
−

×
ω
+
+
ω
ε


−
−


+
δ
ω
−
ω
ω −
ε +




1
1
1
2
2
2
2
*
2
4
1
1
0.
k
k
x
x
(
)
*
*
*
*



δ
ω −

+
−ω
+
ε =




ω



Решения уравнения (35) в явном виде приведены в приложении Б.
В вязкой однородной жидкости с постоянной 
плотностью сохраняется сингулярный компонент течения, остаются справедливыми соотношения между компонентами волнового вектора 
(27)–(29). Дисперсионное уравнение (33) качественно остается прежним, но из-за отсутствия 
заряда заметно упрощается:
2
2
4
2
2
k
k
k
gk
k
i
k
k
k
2
3
ω −
−γ
+ ω
−
−
x
x
l
x
x
l
x
l
	
[
(
)
(
)
2
2
2
3
2
k
k
gk
k
i
k
2
0
−
+
ω −
−γ
+
ω
=
 (36)
x
l
x
x
x
(
)(
)
и  согласуется с  приведенном в  [Кистович, Чашечкин, 2007].
Характерные 
масштабы: 
времени 
– 
(
)
g
γ
τ = γ
 и  длины – 
2
3
g
g
δ =
 – позволяют 
привести (36) к безразмерному виду:
Физически реализуемые решения выбираюся исходя из условия затухания течения с глубиной 
(
)
,
Re
0
z l
k
≥
 и с удалением от начала кооринат 
(
)
Im
0
x
k
≥
 в  направлении распространения 
волны. Решения (29), (39) описывают компоненты периодических поверхностных течений 
в  модели однородной вязкой незаряженной 
жидкости. Решения (29), (32) определяют набор возмущений в  модели однородной вязкой 
жидкости, по поверхности которой распределен 
электрический заряд. Модели равномерно стратифицированной вязкой жидкости соответствуют решения (19), (35) для незаряженной, а (19), 
(25) – жидкости с  поверхностным электрическим зарядом.
В  описании каждой модели присутствуют 
регулярные компоненты решения, в  которых 
мнимая часть компонентов волнового вектора 
много меньше действительной части. Эти решения описывают волны, вызывающие смещения 
свободной поверхности жидкости. При учете 
диссипации в каждой модели в решении появляются сингулярные компоненты, в которых мнимая и  действительная части волнового вектора 
близки по своим абсолютным значениям. Сингулярные решения описывают тонкие лигаменты 
ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА         том 60         № 1          2024


Доступ онлайн
4 023 ₽
В корзину