Известия Российской академии наук. Теория и системы управления, 2024, № 1

Известия Российской академии наук
ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ 
УПРАВЛЕНИЯ
№ 1   2024   Январь–Февраль
Основан в январе 1963 г.
Выходит 6 раз в год 
ISSN: 0002-3388
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор
Е. А. Федосов
Редакционная коллегия:
И.М. Ананьевский, С.Г. Баженов, Н.Н. Болотник, С.Н. Васильев,
Л.В. Вишнякова, А.А. Галяев, Ю.Ф. Голубев, С.Ю. Желтов, 
Е. Ю. Зыбин, О.Н. Корсун (отв. секретарь), М.Н. Красильщиков, 
Н.М. Новикова, А.В. Пантелеев, Э.Я. Рапопорт, С.А. Решмин, 
Г.Г. Себряков (зам. гл. редактора), Н.И. Сельвесюк (зам. гл. редактора), 
А.Н. Сиротин, К.И. Сыпало, Б.Е. Федунов, А.М. Формальский, 
В.И. Цурков, Ф.Л. Черноусько, С.Л. Чернышев, Г.Г. Щербаков
Адрес редакции: 125319, ГСП, Москва, ул. Викторенко, 7,
Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем 
(ГосНИИАС), тел.: (495)771-70-38, (499)157-91-23
Зав. редакцией М. В. Анджиевская
© Российская академия наук, 2024
©  
Редколлегия журнала “Известия РАН. 
Теория и системы управления”, 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Номер 1, 2024
УСТОЙЧИВОСТЬ
О частичной устойчивости по вероятности нелинейных стохастических функциональнодифференциальных систем с последействием (запаздыванием)
В.И. Воротников, Ю.Г. Мартышенко	
3
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
Агрегирование многомерных консервативных систем с колебаниями
И.Н. Барабанов, В.Н. Тхай	
17
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ
Стохастические модели трудоемкости вычислительных задач. I. Принципы формирования, сбор 
статистических данных, задачи идентификации
А.В. Борисов, А.В. Иванов	
22
УПРАВЛЕНИЕ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ  
И В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Оптимальный конечномерный регулятор состояния стохастического дифференциального 
объекта по его выходу. II. Стохастические измерения и теорема разделения
Е.А. Руденко	
35
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Управление амплитудой колебаний систем с трением
Ю.Ф. Голубев	
52
Быстродействие гибридной модели машины Дубинса с однократным разделением объектов 
управления
А.С. Бортаковский, И.В. Урюпин	
74
УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Минимизация интегральной квадратичной оценки управляемой величины в системах 
с распределенными параметрами
Ю.Э. Плешивцева, Э.Я. Рапопорт	
91
КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ
Интерпретируемость обучения в системе обработки сигналов
А.А. Докукин А.В. Кузнецова Н.В. Окулов О.В. Сенько В.Я. Чучупал	
107
Планирование вычислений многопроцессорной системы в режиме реального времени
М.Г. Фуругян	
122
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Моделирование динамики катамарана, приводимого в движение с помощью ротора Савониуса 
и гребного винта
М.А. Гарбуз, Л.А. Климина, В. А. Самсонов	
131
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
Интервальное оценивание в дискретных линейных системах с параметрическими неопределенностями
А.Н. Жирабок, А.В. Зуев, Ким Чхун Ир	
139
ИСКУССТВЕННЫЙ ИНТЕЛЛЕКТ
Объяснительный искусственный интеллект в анализе цифровых изображений на основе 
нейронных сетей глубокого обучения
А.Н. Аверкин, Е.Н. Волков, С.А. Ярушев	
150

CONTENTS
Number 1, 2024
STABILITY
On partial stability in probability for nonlinear stochastic functional differential systems  
with aftereffect (delay)
V.I. Vorotnikov, Yu.G. Martyshenko	
3
CONTROL IN DETERMINISTIC SYSTEMS
Aggregation of multidimensional conservative systems with oscillations
I.N. Barabanov, V.N. Tkhai	
17
INFORMATION PROCESSING AND IDENTIFICATION
Stochastic models for time complexity of computing tasks: I. Development principles, statistical data 
mining, identification problems
Andrey V. Borisov, Alexey V. Ivanov	
22
CONTROL IN STOCHASTIC SYSTEMS  
AND UNDER UNCERTAINTY
Optimal finite-dimensional controller of the stochastic differential object’s state by its output. 
II. Stochastic measurements and separation theorem
E.A. Rudenko	
35
OPTIMAL CONTROL
Amplitude control of systems oscillations with friction
Yu.F. Golubev	
52
Reserching performance of the dubins machine hybrid model with single separation of control objects
A.S. Bortakovskii, I.V. Uryupin	
74
CONTROL OF SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS
Minimization of integral quadratic estimate of controlled variable in systems with distributed parameters
Yu.E. Pleshivtseva, E.Ya. Rapoport	
91
COMPUTER METHODS
Interpretability of learning in a signal processing system
A. A. Dokukin, A. V. Kuznetsova, N.V. Okulov, O.V.Sen’ko, V. Ya. Chuchupal	
107
Scheduling calculations for a multiprocessor system in real time
Furugyan M. G.	
122
MATHEMATICAL MODELING
Modeling of the dynamics of a catamaran driven by a savonius rotor and a propeller
M.A. Garbuz, L.A. Klimina, V.A. Samsonov	
131
SYSTEM ANALYSIS AND OPERATIONS RESEARCH
Interval estimation in discrete-time linear systems with parametric uncertainties
A. Zhirabok, A. Zuev, C. Kim	
139
ARTIFICIAL INTELLIGENCE
Explainable artificial intelligence in deep learning neural nets-based digital images analysis
A.N. Averkin, E.N. Volkov, S.A. Yarushev	
150

ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, № 1, С. 3–16
УСТОЙЧИВОСТЬ
УДК 62-50
О ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ВЕРОЯТНОСТИ 
НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ 
(ЗАПАЗДЫВАНИЕМ)
© 2024 г. В.И. Воротниковa, *, Ю.Г. Мартышенкоb, **
aСочинский институт РУДН, Сочи, Россия
bРоссийский государственный университет нефти и газа, Москва, Россия
*e-mail: vorotnikov-vi@rambler.ru
**e-mail: j-mart@mail.ru
Поступила в редакцию 12.09.2022 г.
После доработки 07.08.2023 г.
Принята к публикации 02.10.2023 г.
Рассматривается система нелинейных функционально-дифференциальных уравнений c последействием (запаздыванием), подверженных воздействию случайных процессов “белого” шума. Предполагается, что система допускает “частичное” (по некоторой части переменных состояния) нулевое 
положение равновесия. Ставится задача анализа устойчивости по вероятности данного положения 
равновесия, причем устойчивость рассматривается не по всем, а только по отношению к части определяющих это положение равновесия переменных. Для решения применяется стохастический вариант метода функционалов Ляпунова—Красовского при соответствующей конкретизации требований 
к функционалам. В целях расширения возможностей используемого метода также предлагается проводить корректировку области функционального пространства, в которой строятся вспомогательные 
функционалы Ляпунова—Красовского. Получены условия частичной устойчивости указанного вида. 
Приводятся примеры, показывающие особенности предложенного подхода.
Ключевые слова: система нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений 
в форме Ито, частичная устойчивость по вероятности, метод функционалов Ляпунова – Красовского
DOI: 10.31857/S0002338824010011, EDN: JBZAPQ
ON PARTIAL STABILITY IN PROBABILITY FOR NONLINEAR 
STOCHASTIC FUNCTIONAL DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH 
AFTEREFFECT (DELAY)
© 2024 V.I. Vorotnikov a, *, Yu.G. Martyshenkob, **
a RUDN University, Sochi Institute, Sochi, Russia
b Gubkin University Oil and Gas, Moscow, Russia
* e-mail: vorotnikov-vi@rambler.ru
** e-mail: j-mart@mail.ru
A system of nonlinear functional-differential equations with aftereffect (delay) subjected to random processes 
of “white” noise is considered. It is assumed that the system admits a “partial” (with respect to some part 
of the state variables) zero equilibrium position. The problem of stability in probability of a given equilibrium 
position is posed, and stability is considered not in all, but with respect to a part of the variables that determine 
this equilibrium position. For the solution of this problem, a stochastic version of the method of Lyapunov—
Krasovskii functionals is used with the appropriated specification of the requirements for the functionals. 
In order to expend the capabilities of the method used, it is also proposed to correct the domain of the 
functional space in which auxiliary Lyapunov—Krasovskii functionals are constructed. Conditions for partial 
stability of this type are obtained. Examples are given that show the features of the proposed approach.
Keywords: stochastic functional differential system in  Ito form, partial stability in  probability, method 
of Lyapunov—Krasovskii functionals 
3

ВОРОТНИКОВ, МАРТЫШЕНКО
Введение. Интерес к системам стохастических функционально-дифференциальных уравнений c последействием (запаздыванием) возникает тогда, когда в процессе математического 
моделирования необходимо учитывать одновременно эффекты эредитарности (наследственности) и воздействия различных случайных факторов. В управляемых стохастических системах такая ситуация возникает, в частности, в случае фактически имеющего место или преднамеренного введения запаздывания в цепи обратной связи.
Задачи устойчивости относятся к практически важным задачам качественного анализа указанного класса систем. При этом в отечественной и зарубежной литературе главным образом 
анализируется задача устойчивости по отношению ко всем переменным нулевого положения 
равновесия; заменой переменных к такой задаче сводится задача устойчивости по всем переменным любого решения исходной системы. Основным методом исследования является 
прямой метод Ляпунова. Один из конструктивных вариантов этого метода разработан в [1—4]: 
стохастический вариант метода функционалов Ляпунова—Красовского. Анализируется два 
основных вида устойчивости: по вероятности (стохастическая устойчивость) и устойчивость 
в среднеквадратическом. В основе указанного метода лежат функциональная трактовка решений рассматриваемого класса систем, а также возможность представления используемых 
функционалов Ляпунова—Красовского в виде функции конечного числа переменных, для которой допустимо применение классической формулы Ито. Дальнейшее развитие метода возможно [5—8] с помощью функционалов более общего вида и разработки функционального 
аналога формулы Ито [9].
Для многих современных исследований наряду с задачами устойчивости по всем переменным важную роль также играют более общие задачи частичной устойчивости, изучение которых в значительной степени инициировала статья В.В. Румянцева [10] (см., например, обзор 
[11]). В рамках этих задач анализируются: устойчивость не по всем, а только по отношению 
к части переменных нулевого положения равновесия, и устойчивость по всем и по части переменных “частичного” (нулевого) положения равновесия как детерминированных, так и стохастических систем различной формы описания. Как и при изучении устойчивости по всем 
переменным, основным методом решения является прямой метод Ляпунова в соответствующей модификации. Применительно к классу систем стохастических функционально-дифференциальных уравнений для анализа задачи устойчивости по части переменных, наряду 
с методом функций Ляпунова [12, 13], используется подход, разработанный в научной школе 
Н.В. Азбелева [14, 15].
Предлагаемая в данной статье постановка задачи частичной устойчивости по вероятности 
и подход к ее решению на основе метода функционалов Ляпунова—Красовского дополняет круг 
указанных исследований. Далее рассматривается система нелинейных нестационарных функционально-дифференциальных уравнений с последействием (запаздыванием) общего вида, 
подверженных воздействию взаимно независимых случайных процессов “белого” шума. Предполагается, что система допускает “частичное” (по некоторой части переменных состояния) нулевое положение равновесия. Ставится задача устойчивости по вероятности этого положения 
равновесия; устойчивость рассматривается не по всем, а только по отношению к части определяющих его переменных. Для расширения возможностей используемого метода исследования также предлагается проводить корректировку области функционального пространства, в которой 
строятся вспомогательные функционалы. Допускаются выполненными квазилокальное условие 
Коши—Липшица и условие “линейного роста”, гарантирующие существование и единственность сильных “глобальных” решений изучаемой системы стохастических функционально-дифференциальных уравнений. Получены условия частичной устойчивости указанного вида.
1.	 Постановка задачи. Пусть τ > 0 — заданное число, Rn — линейное пространство n-мер2
ных векторов x с евклидовой нормой |x| = x
x
xn
1
2
2
2
+
+
+
...
 (xi — i-я компонента вектора x), 
R+ = [0, +∞). Сделаем разбиение x = (yT, zT)T (T — знак транспонирования) вектора x на две 
части, где y ∈ Rm, z ∈ Rn-m (1 ≤ m < n). Если t0, β ∈ R+ и β > t0, то для вектор-функции x(t): [t0 – 
τ, β) → Rn определим вектор-функцию xt = x(t + θ) при θ ∈ [–τ, 0] (отображение θ x(t + θ) 
при каждом фиксированном значении t) и сделаем разбиение xt = (yt
T, zt
T)T.
Допустим, что w(t) = [w1(t), w2(t), … , wr(t)]T — r-мерный случайный процесс, компоненты 
которого являются независимыми между собой одномерными стандартными винеровскими 
процессами, определенные при t ∈ R+ на вероятностном пространстве (Ω, F, P); Ω — пространство элементарных событий {ω} с заданными на нем σ-алгеброй F измеримых множеств 
с фильтрацией {
}
Ft t ≥0 и вероятностной мерой P: F → [0, 1].
ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 1 2024

О ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
5 
Рассмотрим нелинейную нестационарную cистему стохастических функционально-дифференциальных уравнений в форме Ито [1—4, 16, 17]:
,
которую с учетом указанного разбиения фазового вектора представим в виде
	
	
(1.1)
Система (1.1) относится к классу систем функционально-дифференциаdльных уравнений 
с последействием (запаздыванием): вектор-функции yt, zt в правой части задают компоненты y, z вектора состояния x как функции запаздывающего аргумента t + θ, θ ∈ [–τ, 0]; число 
τ > 0 определяет величину запаздывания.
Рассмотрим пространство С непрерывных вектор-функций φ(θ): [–τ, 0] → Rn с нормой 
||φ|| = max |φ(θ)|, θ ∈ [–τ, 0] и допустим, что выполняются следующие условия:
1)	 операторы сноса X = X(t, φ): R+×C → Rn и диффузии σk = σk(t, φ): R+ × C → Rn непрерывны в области R+×C;
2)	 для каждого I = 1, 2, … существуют постоянные KI > 0, такие, что для всех t ≥ 0, φ1, 
φ2 ∈ C, для которых max (||φ1||,||φ2||) ≤ I, имеют место неравенства (локальное условие Коши—
Липшица в форме [17], называемое также квазилокальным условием [18])
|X(t, φ2) – X(t, φ1)| ≤ KI||φ2 – φ1||,  |σk(t, φ2) – σk(t, φ1)| ≤ KI||φ2 – φ1||;
3)	 в области R+×C существует постоянная М > 0, такая, что (условие “линейного роста”)
|X(t, φ)| ≤ М(1 + ||φ||),  |σk(t, φ)| ≤ М(1 + ||φ||).
Пусть H0 — пространство F0-измеримых вектор-функций ξ = ξ(θ): [–τ, 0] → Rn с нормой ||ξ|| = sup |ξ(θ)|, θ ∈ [–τ, 0], траектории которых с вероятностью 1 ограничены и непрерывны.
При сделанных предположениях для всех t0 ≥ 0, x0 = ξ ∈ H0 существует [17] единственный непрерывный почти наверное случайный многомерный процесс x(t0, ξ), согласованный 
с потоком σ-алгебр {
}
Ft t ≥0 и являющийся сильным решением системы (1.1); при этом система (1.1) понимается как запись соответствующей системы Ито в интегральной форме. Более 
того, E[sup |x(r, ξ)|2] < ∞ при r ∈ [–τ, t], t ≥ 0, где E — оператор математического ожидания 
по отношению к вероятностной мере P. Обозначим через x(t) = x(t; t0, ξ) значения случайной 
вектор-функции x(t0, ξ) в момент времени t.
Проводя в пространстве С разбиение φ = (φy
T, φz
T)T, соответствующее разбиению x = (yT, zT)T 
фазового вектора x, рассмотрим множество М = {φ ∈ C: φy = 0}. Если Y(t, φ) ≡ 0 при φ ∈ М, 
то решение x(t0, ξ) системы (1.1) с вероятностью 1 удовлетворяет условию ||yt(t0, ξ)|| ≡ 0. Другими словами, множество yt = 0 есть “частичное” положение равновесия системы (1.1), являющееся (при сделанном предположении о единственности решений) инвариантным множеством этой системы.
Следуя подходу теории частичной устойчивости, будем анализировать устойчивость “частичного” положения равновесия yt = 0 не по всем определяющим его переменным, а только по  отношению к  их  некоторой наперед заданной части. Для этого предположим, что 
y = (y1
T, y2
T)T, причем вектор y1 включает те компоненты вектора y, устойчивость по отношению к которым изучается. Для расширения функциональных возможностей рассматриваемых далее понятий y1-устойчивости “частичного” положения равновесия yt = 0 введем также 
произвольным образом разбиение z = (z1
T, z2
T)T вектора z “неконтролируемых” переменных 
ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 1 2024

ВОРОТНИКОВ, МАРТЫШЕНКО
на две группы переменных. Указанным разбиениям векторов y и z поставим в соответствие 
разбиения на  две части компонент ξy  и  ξz начальной вектор-функции: ξy  = (ξy1
T, ξy2
T)T 
и ξz = (ξz1
T, ξz2
T)T. Обозначим через Sδ область в H0, такую, что {ξ ∈ H0: ||ξy|| < δ, ||ξz1|| ≤ L, 
||ξz2|| < ∞}, где δ — достаточно малое, а L — любое наперед заданное положительные числа; 
||ξy|| = sup |ξy(θ)|, ||ξzi|| = sup |ξzi(θ)| (i = 1, 2), θ ∈ [–τ, 0].
Рассматриваемые далее понятия устойчивости “частичного” положения равновесия yt = 0 
системы (1.1) основаны на допущении, что для любой начальной вектор-функции x0 = ξ ∈ H0 
с вероятностью 1 имеет место включение ξ ∈ Sδ. Поэтому по аналогии с детерминированным 
случаем [19—21] в данном случае можно говорить об устойчивости при больших значениях 
ξz1 в целом по ξz2 (for a large values of ξz1 and on the whole with respect to ξz2).
Определение 1. “Частичное” положение равновесия yt = 0 системы (1.1) y1-устойчиво 
по вероятности при больших значениях ξz1 в целом по ξz2, если для каждого t0 ≥ 0 и для любых 
сколь угодно малых чисел ε > 0, γ > 0, а также для любого заданного числа L > 0 найдется 
число δ(ε, γ, t0, L) > 0, такое, что для любой начальной вектор-функции x0 = ξ ∈ H0, удовлетворяющей условию P{ξ ∈ Sδ} = 1, при всех t ≥ t0 следует неравенство
	
ε
γ.	
(1.2)
Определение 2. “Частичное” положение равновесия yt = 0 системы (1.1) равномерно y1устойчиво по вероятности при больших значениях ξz1 в целом по ξz2, если в определении y1устойчивости δ = δ(ε, γ, L).
Ставится задача нахождения условий y1-устойчивости по вероятности (при больших значениях ξz1 в целом по ξz2) “частичного” положения равновесия yt = 0 системы (1.1) в контексте 
метода функционалов Ляпунова—Красовского.
Сформулированная задача представляет интерес как задача анализа системы (1.1), но может 
использоваться и для решения соответствующей задачи частичной стабилизации этой системы посредством приложения управляющих воздействий. Кроме того, указанная задача может 
рассматриваться также как вспомогательная при анализе устойчивости по отношению ко всем 
переменным “частичного” положения равновесия yt = 0 системы (1.1) при соответствующем 
обобщении и развитии задачи частичной детектируемости. Подобный подход использовался 
для детерминированных функционально-дифференциальных систем с последействием [21]. 
Отметим, что задачи частичной стабилизации и частичной детектируемости динамических 
систем различной формы описания относятся к актуальным задачам современной нелинейной теории управления [22—24].
Замечание 1. В отличие от локального условия Коши—Липшица, условие “линейного 
роста” применительно к правой части системы (1.1) является ограничительным во многих 
случаях. Однако это условие можно заменить более слабыми условиями, которые формулируются в виде требований к вспомогательным функциям Ляпунова или функционалам Ляпунова—Красовского [2, 16, 17].
Замечание 2. Введенные понятия частичной устойчивости опираются на соответствующие понятия стохастической устойчивости по отношению ко всем переменным, предложенные в [1, 2]. Наиболее близкими являются понятия частичной устойчивости: по отношению 
ко всем [25, 26] и по части переменных [27] “частичного” положения равновесия систем стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, детерминированных систем обыкновенных дифференциальных [28, 29] и функционально-дифференциальных уравнений с последействием [20, 21], а также систем дискретных (конечно-разностных) уравнений [30, 31]. 
Предположения “в целом по ξz” или “при больших значениях ξz” характерны для определений 
устойчивости (по всем и по части переменных) “частичного” положения равновесия yt = 0 системы (1.1), но приводят к различным требованиям к функционалам Ляпунова—Красовского. 
За счет разделения ξz = (ξz1
T, ξz2
T)T вектор-функции ξz на две части возникают “промежуточные” понятия y1-устойчивости в смысле введенных определений 1, 2. При этом надлежащий 
выбор указанного разделения определяется конкретной структурой рассматриваемой системы 
(1.1) и является результатом поиска компромисса между содержательным смыслом используемого понятия y1-устойчивости “частичного” положения равновесия yt = 0 и требованиями 
к функционалам Ляпунова—Красовского.
ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 1 2024

О ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
7 
2.	 Условия частичной устойчивости по  вероятности. В  контексте метода функционалов Ляпунова—Красовского рассмотрим однозначные, непрерывные функционалы 
V = V(t, ψ): R+×С → R+, V(t, 0) ≡ 0, определенные на любой вектор-функции ψ ∈ H0 в области
	
t ≥ 0,  ||ψy1|| < h,   ||ψy2|| + ||ψz|| < ∞.	
(2.1)
Разбиение ψ = (ψy1
T, ψy2
T, ψz
T)T соответствует сделанному разбиению x = (y1
T, y2
T, zT)T фазового вектора x; ||ψyi|| = sup |ψyi(θ)| (i = 1, 2), ||ψz|| = sup |ψz(θ)|, θ ∈ [–τ, 0].
Подставим в функционал V(t, ψ) вектор-функцию xt = xt(t0, ξ), определяющую элемент 
траектории системы (1.1) в текущий момент времени t ≥ t0. Аналогом производной функционала в силу исследуемой системы (1.1) стохастических функционально-дифференциальных 
уравнений является ассоциированный с этой системой дифференциальный производящий 
оператор (усредненная производная)
где оператор 
 определяет условное математическое ожидание при xt
 
случайной величины V t
t
(
,
)




x
, порожденной набором реализаций {x(t0, ξ, ω), w(t, ω)} случайного процесса {x(t0, ξ), w(t)}, являющегося решением системы (1.1).
Можно выделить класс функционалов, для которых указанный оператор конструктивно 
вычисляется. Для этого представим произвольный функционал V = V(t, ψ) в виде V = V(t, ψ(0), 
ψ(θ)), θ < 0, и положим [2—4]:
V (t, x) = V(t, ψ) = V(t, xt) = V(t, x(t), x(t + θ)),
ψ = xt,  θ < 0,  x = ψ(0) = x(t).
Предположим, что функция Vψ(t, x) дважды непрерывно дифференцируема по x и имеет 
ограниченную производную по t при почти всех t ∈ R+. Тогда для выделенного класса функционалов имеет место функциональный аналог классической формулы Ито [2—4]:
t
E
x
x
E L
x
[ ( ,
)
( ,
)]
[
( ,
)]
,
–
V t
V s
V r
dr
t
s
r
 
s
2
n
n
0 5
,
, ),
LV(t, ψ) = 
i
j
ij



( , )
( , )
( , )
.
( , )
(
x
x
x
x


,
x
i j
дV
t
дt
дV
t
дx
X t
д V
t
дx дx
a t
i
i
i


1


1
X = (X1, ... , Xn)T = (YT, ZT)T, σk = (σyk 
T, σzk 
T) T, 
σ = (σ1, ... ,σr), {aij(t, x)} = σ ⋅ σ T.
Для формулировки условий частичной устойчивости введем разбиение ψz = (ψz1
T, ψz2
T)T 
 
вектор-функции ψz, отвечающее сделанному разбиению z = (z1
T, z2
T)T компоненты z фазового 
вектора x. Дополнительно будут использоваться следующие вспомогательные функционалы 
и функции.
1.	 Непрерывные в области (2.1) функционалы V *(t, ψy, ψz1), V *(ψy, ψz1), необходимые для 
конкретизации (в соответствии с постановкой задачи) требований к основному V-функционалу Ляпунова—Красовского, и непрерывная в области (2.1) вспомогательная векторная, вообще говоря, функция μ(t, ψ): R+×H0 → Rl (l ≥ 1), μ(t, 0) ≡ 0, посредством которой корректируется 
область функционального пространства, где строится основной V-функционал. Определим 
||μ(t, ψ)|| = sup |μ(t, ψ(θ))| (θ ∈ [–τ, 0], t ∈ R+).
2.	 Непрерывная монотонно возрастающая по r > 0 скалярная функция a(r): R+ → R+, 
a(0) = 0 (функция типа Хана [32]), определяющая стандартные требования к V-функционалу.
Введение наряду с  V-функционалом Ляпунова—Красовского вспомогательной μ(t, 
ψ)-функции мотивируется следующим обстоятельством. При исследовании y1-устойчивости 
ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 1 2024

ВОРОТНИКОВ, МАРТЫШЕНКО
по вероятности “частичного” положения равновесия yt = 0 системы (1.1) в общем случае имеет место зависимость V-функционала Ляпунова—Красовского не только от t, ψy1, но и от ψy2, 
ψz. Ситуация аналогична той, что имеет место для функций Ляпунова в задаче устойчивости 
по части переменных для систем обыкновенных дифференциальных, стохастических, а также дискретных уравнений (см. например, работы [19, 31, 32]).
В результате анализ y1-устойчивости в обычно рассматриваемой области
	
||ψy1|| < h1 < h,   ||ψy2|| + ||ψz|| < ∞	
(2.2)
функционального пространства не  всегда дает возможность выявить желаемые свойства 
V-функционала или наделить его этими свойствами. Целесообразно перейти к описанию 
V-функционала в более узкой области:
	
||ψy1|| + ||μ(t, ψ)|| < h1 < h,   ||ψy2|| + ||ψz|| < ∞,	
(2.3)
если иметь в  виду, что фактически y1-устойчивость “частичного” положения равновесия yt = 0 системы (1.1) означает выполнение требуемых вероятностных оценок вида (1.2) 
не только для компонент вектора y1, но и для компонент некоторой μ(t, x)-функции фазовых переменных системы (1.1). Указанную μ(t, x)-функцию не всегда возможно указать заранее. Поэтому соответствующую ей μ(t, ψ)-функцию в функциональном пространстве R+×H0 
естественно трактовать как дополнительную векторную функцию, которая (как и сам подходящий функционал Ляпунова—Красовского) определяется в процессе решения исходной 
задачи y1-устойчивости.
Таким образом, выбор подходящего V-функционала Ляпунова—Красовского не  только возможен, но и его целесообразно согласовывать с выбором области функционального 
пространства, в которой функционал строится. Этого можно добиться введением наряду 
с V-функционалом дополнительной вспомогательной μ(t, ψ)-функции для соответствующей 
корректировки области функционального пространства.
Теорема 1. Допустим, что для системы (1.1) наряду с V-функционалом Ляпунова—Красовского V = V(t, ψ) можно указать векторную функцию μ(t, ψ), μ(t, 0) ≡ 0, для которых при 
всех t ≥ 0 и достаточно малом h1 > 0 в области (2.3) выполняются следующие условия:
	
V(t, ψ) ≥ a(|ψy1(0)| + |μ(t, ψ(0))|),	
(2.4)
	
V(t, ψ) ≤ V *(t, ψy, ψz1),  V *(t, 0, ψz1) ≡ 0,	
(2.5)
	
LV(t, ψ) ≤ 0.	
(2.6)
Тогда “частичное” положение равновесия yt = 0 системы (1.1) y1-устойчиво по вероятности 
при больших значениях ξz1 в целом по ξz2.
Теорема 2. Если условия (2.5) заменить условиями
	
V(t, ψ) ≤ V *(ψy, ψz1),  V *(0, ψz1) ≡ 0,	
(2.7)
то “частичное” положение равновесия yt = 0 системы (1.1) равномерно y1-устойчиво по вероятности при больших значениях ξz1 в целом по ξz2.
Доказательство теорем 1 и 2 приведено в Приложении.
Замечание 3. В теоремах 1 и 2 рассматриваемый V-функционал Ляпунова—Красовского и ассоциированный с системой (1.1) дифференциальный производящий оператор LV(t, 
ψ) являются, вообще говоря, знакопеременными в области (2.2). Наряду с V-функционалом 
вспомогательная μ-функция вводится для наиболее рациональной замены области (2.2) областью (2.3). Условия (2.5) и (2.7) позволяют выделить допустимую структуру используемого V-функционала, которая определяется спецификой (при больших значениях ξz1 в целом по  ξz2) поставленной задачи частичной устойчивости; в  этих условиях допускается 
ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 1 2024

О ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
9 
произвольный непрерывный V * -функционал, удовлетворяющий соответственно условию V *(t, 
0, ψz1) ≡ 0 или V *(0, ψz1) ≡ 0, ограничивающий V-функционал сверху. Условия (2.5) являются 
“промежуточными” между менее ограничительным условием V(t, 0, ψz) ≡ 0 и более ограничительными условиями V(t, ψ) ≤ V *(t, ψy), V *(t, 0) ≡ 0, при выполнении которых “частичное” 
положение равновесия yt = 0 системы (1.1) соответственно y1-устойчиво по вероятности при 
больших значениях ξz или y1-устойчиво по вероятности в целом по ξz; аналогичное утверждение касается также и условий (2.7).
Замечание 4. В рамках предложенного подхода нелинейные V-функционалы Ляпунова—Красовского могут быть построены как знакоопределенные квадратичные функционалы 
(или функционалы более высокого порядка) V(t, ψ) ≡ V*(t, ψy1, μ(t, ψ)), определенные на вектор-функциях ψy1 и μ(t, ψ). При этом выбор μ-функций должен быть согласован с условиями 
(2.5) и (2.7): допустимы, например, μ-функции вида μ = μ(ψy2, ψz1), μ(0, ψz1) ≡ 0.
Замечание 5. При отсутствии последействия в системе (1.1) теоремы 1 и 2 переходят 
в соответствующие результаты для систем стохастических уравнений с непрерывной [27] 
и дискретной [31] динамикой, а в случае wk(t) ≡ 0 получаем соответствующие результаты для 
детерминированных систем обыкновенных дифференциальных [28, 29], дискретных (конечно-разностных) [30] и функционально-дифференциальных [19, 21] уравнений. Если система 
(1.1) допускает “полное” положение равновесия xt = 0, то в случае wk(t) ≡ 0, μ(t, ψ) ≡ 0, а также 
при предположении ||ξ|| < δ, при выполнении условий (2.4), (2.6) имеем функционально-дифференциальный вариант (см. [19, 32]) классической теоремы В.В. Румянцева [10, 11] об устойчивости по отношению к части переменных.
Замечание 6. Возможности использования метода функций Ляпунова для анализа задач 
частичной устойчивости (стабилизации) систем стохастических дифференциальных уравнений Ито анализировались в ряде публикаций [33—43], в том числе с учетом случайной структуры таких систем [38—40].
3.	 Примеры. Рассмотрим примеры, показывающие особенности предложенного подхода 
к анализу частичной устойчивости системы (1.1).
Пример 1. Рассмотрим систему уравнений
dy1(t) = [ay1(t) + ly2(t – τ1)z1(t − τ1)]dt + αy1(t − τ2)dw1(t),
	
dy2(t) = [b + dy1(t)]y2(t)dt,	
(3.1)
dz1(t) = [c + ey1(t)]z1(t)dt,   dz2(t) = Z2(t, xt)dt,
где τ1 > 0, τ2 > 0 — постоянные, определяющие дискретно входящие запаздывания; a, b, c, d, 
e, l, α — постоянные параметры. Система (3.1) является частным случаем системы (1.1), в которой τ = max (τ1, τ2); оператор Z2 удовлетворяет общим требованиям к системе (1.1).
Система (3.1) допускает “частичное” положение равновесия
	
y1t = y2t = 0.	
(3.2)
Рассмотрим V-функционал Ляпунова—Красовского (β = const > 0)
	
	
(3.3)
и вспомогательную скалярную μ1-функцию вида
	
μ1(ψ) = ψy2ψz1.	
(3.4)
Имеют место соотношения
0.5[ψy1
2(0) + μ1
2(0)] ≤ V(ψ) = V *(ψy1, ψy2, ψz1),  V *(0, 0, ψz1) ≡ 0.
ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 1 2024