Известия Российской академии наук. Серия физическая, 2024, № 1

ИЗВЕСТИЯ 
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК 
СЕРИЯ 
ФИЗИЧЕСКАЯ
Том 88         № 1         Январь         2024
Журнал основан в сентябре 1936 г.
Выходит 12 раз в год 
ISSN 0367-6765
Журнал издается под руководством Отделения физических наук РАН
Главный редактор
чл.-корр. РАН Д.Р. Хохлов
Редакционная коллегия:
докт. физ.-мат. наук В.В. Воронов (зам. главного редактора) 
чл.-корр. РАН А.В. Наумов (зам. главного редактора)
Редакционный совет:
докт. физ.-мат. наук, проф. Н.С. Зеленская,
чл.-корр. РАН А.А. Калачев,
академик НАНБ, иностр. чл. РАН С.Я. Килин, 
иностр. чл. РАН, Prof. Dr. G. Leuchs,
чл.-корр. РАН М.В. Либанов, Prof. Dr. T. Plakhotnik, 
Prof. Dr. A. Rebane, академик РАН А.С. Сигов,
докт. физ.-мат. наук Е.В. Хайдуков
Заведующий редакцией
канд. физ.-мат. наук К.Р. Каримуллин
Адрес: 117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17Б 
Телефон: +7(499)658-0102
izvphys@gmail.com
 www.izv-fi
 z.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2023
© Редколлегия журнала “Известия РАН. Серия физическая”, 
     (составитель), 2023

СОДЕРЖАНИЕ
Том 88, № 1, 2024
Волновые явления: физика и применения
Дифференцирование оптических сигналов с помощью интегральной структуры  
“металл-диэлектрик-металл”
А. И. Кашапов, Е. А. Безус, Д. А. Быков, Л. Л. Досколович
5
Исследование дифракции света на электрически управляемых мультиплексированных 
многослойных неоднородных голографических дифракционных структурах на основе 
фотополимеризующихся композиций с нематическими жидкими кристаллами
С. Н. Шарангович, В. О. Долгирев, Д. С. Растрыгин
11
Свойства фрактальных спеклоподобных структур
О. М. Вохник, П. В. Короленко, В. И. Мохов
19
Оптические свойства мультиплексных вихревых структур
А. М. Зотов, П. В. Короленко, Н. Н. Павлов
24
Тонкая и грубая структуры частотного спектра мощных лазерных диодов  
при медленной деградации
В. В. Близнюк, В. А. Паршин, А. Г. Ржанов, О. И. Семенова, А. Е. Тарасов
29
РТ-​
симметрия и структура излучения мощных лазерных диодов
А. Г. Ржанов
35
Преобразование частоты четного когерентного состояния вверх
А. В. Белинский, Р. Сингх
40
О влиянии вынужденного комбинационного саморассеяния на динамику импульсов  
в градиентном волноводе
В. А. Халяпин, А. Н. Бугай
43
Непертурбативная теория взаимодействия атомных систем с интенсивными лазерными полями
С. Ю. Стремоухов
48
Учет энергетического дисперсионного расплывания свободных носителей,  
индуцированных мощным фемтосекундным лазерным излучением в диэлектриках
К. В. Львов, С. Ю. Стремоухов
54
Генерация оптико-терагерцовых солитонов малопериодным лазерным импульсом
А. А. Калинович, С. В. Сазонов
60
О параметрических световых пулях с малым числом колебаний
К. В. Кошкин, С. В. Сазонов, А. А. Калинович, М. В. Комиссарова
68
Формирование квазиуниполярных импульсов в неравновесных замагниченных  
плазменных каналах
А. В. Богацкая, Е. А. Волкова, А. М. Попов
74
Многофотонная ионизация в фотонном кристалле на основе углеродных нанотрубок  
под действием предельно короткого оптического импульса
Ю. В. Двужилова, И. С. Двужилов, М. Б. Белоненко
80

Электронная пушка с автоэмиссионным катодом на основе углеродных нанотрубок  
для мощного клистрона с распределенным взаимодействием миллиметрового диапазона
В. Е. Родякин, В. Н. Аксенов
85
Исследование генерации на третьей гармонике в сильноточном релятивистском гиротроне  
Ка-диапазона
Э. Б. Абубакиров, А. Н. Денисенко, А. Н. Леонтьев, К. В. Минеев, Р. М. Розенталь
89
Моделирование электронно-оптической системы для релятивистского гиротрона  
диапазона 300 ГГц
Ю. Ю. Данилов, А. Н. Леонтьев, А. М. Малкин, О. П. Планкин, Р. М. Розенталь, Е. С. Семенов
95
Характеристики распределенной локационной системы со сверхширокополосным  
зондирующим сигналом
В. В. Кулагин, В. В. Валуев, В. Н. Корниенко, В. А. Черепенин
100
Широкополосное выпрямление микроволнового тока в магнитных туннельных переходах 
с перпендикулярной магнитной анизотропией
К. В. Киселева, Г. А. Кичин, П. Н. Скирдков, К. А. Звездин
107
Фазовые диаграммы редкоземельных ферримагнетиков с поверхностной анизотропией вблизи 
температуры компенсации
В. В. Юрлов, К. А. Звездин, А. К. Звездин
112
Оценка параметров газонасыщенных осадков мелководной акватории с использованием  
векторного приемника
М. А. Иванов, П. Ю. Муханов, А. С. Шуруп
119
Влияние траектории облучения на скорость тепловой абляции и объем разрушенной биоткани  
при ударно-волновом воздействии фокусированным ультразвуком
П. А. Пестова, П. В. Юлдашев, В. А. Хохлова, М. М. Карзова
125
Вычисление полей, рассеянных на неоднородной области с большим волновым размером
Д. И. Зотов, О. Д. Румянцева, А. С. Черняев
132
Использование геометрических свойств трех инвариантов в волновых задачах гидродинамики 
и электродинамики
В. М. Овсянников
138
О пороговом значении амплитуды вертикальных вибраций, вызывающих рябь Фарадея  
на заряженной поверхности вязкой жидкости
Д. Ф. Белоножко
148
Периодические поверхностные возмущения в концентрационно-стратифицированной  
вязкой жидкости
А. А. Очиров
154
Динамика волновых ритмов головного мозга предсказывает скорость выполнения когнитивных 
задач
Н. А. Брусинский, А. А. Бадарин, А. В. Андреев, В. М. Антипов, С. А. Куркин
160
Оценка сердечно-сосудистой системы эмбрионов Danio rerio с помощью высокочастотного 
ультразвукового сканера
Л. А. Зыкова, А. Б. Бурлаков, С. А. Титов, А. Н. Богаченков
164

CONTENTS
Volume 88, No. 1, 2024
Wave Phenomena: Physics and Applications
Differentiation of optical signals using an integrated metal-dielectric-metal structure
A. I. Kashapov, E. A. Bezus, D. A. Bykov, L. L. Doskolovich
5
Research of light diffraction on electrically controlled multiplexed multilayer  
inhomogeneous holographic diffraction structures photopolymerizing compositions  
with nematic liquid crystals
S. N. Sharangovich, V. O. Dolgirev, D. S. Rastrygin
11
Properties of fractal speckle-like structures
О. M. Vоkhnik, P. V. Korolenko, V. I. Mokhov
19
Optical properties of multiplex vortex structures
A. M. Zotov, P. V. Korolenko, N. N. Pavlov
24
Fine and rough structure of the frequency spectrum of high-power laser diodes  
during slow degradation
V. V. Bliznyuk, V. A. Parshin, A. G. Rzhanov, O. I. Semenova, A. E. Tarasov
29
PT-​
symmetry and radiation structure of high-power laser diodes
A. G. Rzhanov
35
Frequency up-conversion of an even coherent state
A. V. Belinsky, R. Singh
40
On the influence of intrapulse Raman scattering on the dynamics of pulses in a gradient waveguide
V. A. Khalyapin, A. N. Bugay
43
Non-perturbative theory of atomic systems interaction with intense laser fields
S. Yu. Stremoukhov
48
Accounting for the energy dispersion of free carriers induced by powerful femtosecond  
laser radiation in dielectrics
K. V. Lvov, S. Yu. Stremoukhov
54
Generation of optical-terahertz solitons by a few-cycle laser pulse
А. А. Kalinovich, S. V. Sazonov
60
On the parametric few-cycle light bullets
K. V. Koshkin, S. V. Sazonov, A. A. Kalinovich, M. V. Komissarova
68
Formation of quasiunipolar pulses in nonequilibrium magnetized plasma channels
A. V. Bogatskaya, E. A. Volkova, A. M. Popov
74
Multiphoton ionization in a photonic crystal based on carbon nanotubes under the action  
of a few cycles optical pulse
Yu. V. Dvuzhilova, I. S. Dvuzhilov, M. B. Belonenko
80

Electron gun with an auto-emission cathode based on carbon nanotubes  
for a powerful millimeter-range extended interaction klystron
V. E. Rodyakin, V. N. Aksenov
85
Investigation of the third harmonic generation in a high-current relativistic Ka-band gyrotron
E. B. Abubakirov, A. N. Denisenko, A. N. Leontyev, K. V. Mineev, R. M. Rozental
89
Simulation of electron-optical system for 300 GHz relativistic gyrotron
Yu. Yu. Danilov, A. N. Leontyev, A. M. Malkin, O. P. Plankin, R. M. Rozental, E. S. Semenov
95
Characteristics of a distributed location system with an ultra-wideband probing signal
V. V. Kulagin, V. V. Valuev, V. N. Kornienko, V. A. Cherepenin
100
Broadband rectification of microwave current in magnetic tunnel junctions  
with perpendicular magnetic anisotropy
K. V. Kiseleva, G. A. Kichin, P. N. Skirdkov, K. A. Zvezdin
107
Phase transitions in rare-earth ferrimagnets with surface anisotropy near  
the magnetization compensation point
V. V. Yurlov, K. A. Zvezdin, A. K. Zvezdin
112
Estimation of gas saturated sediments parameters in shallow water using vector receiver
M. A. Ivanov, P. Yu. Mukhanov, А. S. Shurup
119
Impact of treatment trajectory on the thermal ablation rate and biological tissue  
volumetric lesion during irradiation by shock-wave focusing ultrasonic beam
P. A. Pestova, P. V. Yuldashev, V. A. Khokhlova, M. M. Karzova
125
Calculation of fields scattered by inhomogeneous area with a large wave size
D. I. Zotov, O. D. Rumyantseva, А. S. Cherniaev
131
Use of geometric properties of three invariants in wave problems of hydrodynamics  
and electrodynamics
V. M. Ovsyannikov
138
On the threshold value of the vertical vibrations’ amplitude causing Faraday ripples  
on the charged surface of a viscous liquid
D. F. Belonozhko
148
Periodic surface disturbances in the concentrationaly stratified viscous fluid
A. A. Ochirov
154
Dynamics of brain wave rhythms predicts the speed of cognitive tasks
N. A. Brusinsky, A. A. Badarin, A. V. Andreev, V. M. Antipov, S. A. Kurkin
160
Estimation of the cardiovascular system of Danio rerio embryos using  
high-frequency ultrasound scanner
L. A. Zykova, A. B. Burlakov, S. A. Titov, A. N. Bogachenkov
164

ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2024, том 88, № 1,  с.  5–10
 
УДК 535.4
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ С  ПОМОЩЬЮ 
ИНТЕГРАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ “МЕТАЛЛ-ДИЭЛЕКТРИК-МЕТАЛЛ”
© 2024 г.    А. И. Кашапов1, 2, *, Е. А. Безус1, 2, Д. А. Быков1, 2, Л. Л. Досколович1, 2
1Федеральное государственное бюджетное учреждение науки “Институт систем обработки  
изображений Российской академии наук” — ​
филиал федерального государственного учреждения  
“Федеральный научно-исследовательский центр “Кристаллография и фотоника”  
Российской академии наук”, Самара, Россия
2Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования  
“Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королёва”,  
Самара, Россия
*E-mail: ar.kashapov@outlook.com
Поступила в редакцию 29.08.2023 г.
После доработки 15.09.2023 г.
Принята к публикации 29.09.2023 г.
Проанализированы возможности применения интегральных структур “металл-диэлектрик-металл”, 
расположенных в плоскопараллельном диэлектрическом волноводе, в задачах оптического дифференцирования первого и второго порядка профиля падающего оптического пучка в отражении. Согласно 
приведенным результатам численного моделирования в рамках электромагнитной теории дифракции, 
исследуемые структуры могут выполнять операции пространственного дифференцирования с высоким качеством. Полученные результаты могут найти применение в новых системах оптической обработки информации и оптических вычислений на основе интегральных структур нанофотоники.
DOI: 10.31857/S0367676524010015, EDN: SBPYGC
ВВЕДЕНИЕ
Дифференцирование оптических сигналов 
играет важную роль в аналоговой оптической обработке информации, позволяя извлекать необходимую информацию о пространственной и временной динамике оптических сигналов. В связи 
с развитием нанотехнологий и растущим интересом к высокоскоростным и компактным оптическим системам обработки информации разработка 
новых структур нанофотоники для дифференцирования оптических сигналов представляется важной 
и актуальной задачей.
Преобразование оптического сигнала, которое 
происходит при его отражении или при прохождении через дифракционную структуру, можно рассматривать как преобразование, осуществляемое 
линейной системой. Передаточная функция (ПФ) 
этой системы определяется коэффициентом отражения или пропускания структуры, рассматриваемым как функция угловой и (или) пространственной частоты [1–3]. Поскольку ПФ идеального 
дифференциатора имеет нуль на центральной (несущей) частоте, то для оптического дифференцирования необходимо, чтобы спектр отражения или 
пропускания дифракционной структуры содержал 
нули. Как правило, нули отражения и пропускания 
обусловлены резонансными эффектами, связанными с возбуждением собственных мод структуры. 
Именно поэтому для дифференцирования широко 
используются различные резонансные структуры, 
в частности, резонансные дифракционные решетки [1, 2] и слоистые структуры [4–7].
Недавние исследования авторов настоящей работы показали, что простые трехслойные структуры “металл-диэлектрик-металл” (МДМ-структуры) позволяют оптически вычислить первую производную по пространственной переменной или во 
времени в отражении [5, 6]. Также было показано, 
что “каскадные” МДМ-структуры, состоящие из 
нескольких одиночных МДМ-структур, позволяют 
реализовать оптическое вычисление производных 
n-го порядка [7]. Важно отметить, что в широком 
диапазоне параметров всегда можно обеспечить 
требуемый для дифференцирования нуль отражения за счет выбора толщин слоев МДМ-структуры.
В настоящей работе рассмотрено применение 
интегральных аналогов слоистых МДМ-структур, состоящих из металлических “полос”, “погруженных” в  плоскопараллельный волновод, 
для оптического дифференцирования пучков, 
распространяющихся в волноводе. Рассмотрено 
два типа интегральных МДМ-структур. Первый 
5

Кашапов и др.
а
тип — ​
“одиночная” интегральная МДМ-структура, 
состоящая из двух металлических полос, разделенных “сегментом” волновода, и обладающая нулем 
отражения первого порядка. Как показано ниже, 
указанная структура может быть использована для 
оптического вычисления первой производной от 
профиля падающего пучка, распространяющегося 
в волноводе. Второй тип — ​
“двойная” интегральная МДМ-структура, состоящая из двух последовательно расположенных одиночных МДМ-структур. 
Данная структура обладает нулем второго порядка 
и позволяет вычислить производную второго порядка профиля падающего пучка.
б
ОДИНОЧНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ 
МДМ-СТРУКТУРА
Рис. 1. Геометрия одиночной (а) и “двойной” (б) интегральных МДМ-структур, а также схематическое изображение вычисления первой пространственной производной 
одиночной МДМ-структурой (а).
=
×
1
2
cos
w
k n
θ
0
d
eff

r w
2
,
arg
arg

(2)
	
r
w
t
w
r w
j
π

1
2
1
2
1
2
×
(
)
(
) −
(
)
−
(
) +






,
j

∈
Структура для вычисления первой производной 
состоит из двух металлических полос, “погруженных” в одномодовый плоскопараллельный диэлектрический волновод (рис. 1а), толщина которого 
для рассматриваемых ниже примеров составляет 100 нм. В рассматриваемых примерах в качестве материала волновода выбран фосфид галлия 
(GaP), в качестве подложки — диоксид кремния 
(SiO2), а материала области над структурой — ​
воздух (nsup = 1).
В работах [5, 6] исследовались неинтегральные МДМ-структуры, состоящие из двух металлических слоeв, разделенных слоем диэлектрика. 
Формулы для расчета параметров МДМ-структур 
из работы [5] могут быть “перенесены” на случай 
интегральной геометрии при условии отсутствия 
т.н. “паразитного” рассеяния, которое может быть 
достигнуто при правильном выборе угла падения 
волноводной моды с  ТЕ-поляризацией [8–10]. 
Предполагая данное условие выполненным, рассмотрим формулу для расчета ширины первой металлической полосы (при заданной ширине второй 
металлической полосы) для достижения нулевого 
отражения [5]:
	
r w
r
w
t
w
r w
1
2
1
2
1
2
(
)
(
) −
(
)
=
(
) , 
(1)
где r w
( ) , t w
( )  — ​
комплексные коэффициенты 
отражения и пропускания падающей волноводной 
моды через металлическую полосу шириной w; w1, 
w2 — ​
ширины первой и второй металлических полос (1). Отметим, что в формуле (1) коэффициенты 
где k0 — ​
волновое число, neff — ​
эффективный показатель преломления (константа распространения, нормированная на волновое число) волноводной моды.
В настоящей работе будут рассмотрены две 
одиночные интегральные МДМ-структуры, отличающиеся материалами металлических полос. 
В первом случае в качестве материала металлических полос используется золото (Au) с показателем преломления nau = 0.1851 + 3.4123i, во втором 
случае — ​
хром (Cr) с показателем преломления 
ncr = 3.1451 + 3.3092i. Показатели преломления указаны для длины волны в свободном пространстве 
λ = 630 нм  (для данной длины волны nwg = 3.3212, 
nsub = 1.4571) [11, 12].
Для расчета параметров первой интегральной 
МДМ-структуры (с золотыми металлическими полосами) выберем ширину второй полосы w2 равной 50 нм. Будем рассматривать наклонное падение 
r w
( )  и  t w
( )  предполагаются рассчитанными при 
фиксированных угле падения q и длине волны l 
падающей ТЕ-поляризованной волноводной моды. 
После нахождения ширины первой металлической 
полосы w1 ширина диэлектрического сегмента волновода между металлическими полосами, обеспечивающая нулевое отражение, может быть найдена 
из формулы [5]:
	
ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ	
том 88	
№ 1	
2024

	
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
7
В качестве примера была рассчитана двойная 
МДМ-структура с золотыми металлическими полосами, ширины металлических и диэлектрических частей которой составляют:
	
[22.1, 415.5, 28.8, 324.7, 31.7, 408.8, 200.0] нм.(4)
Структура (4), обладающая нулем отражения 
второго порядка, будет рассмотрена далее для оптического вычисления второй производной.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ
TE-поляризованной моды волновода (эффективный 
показатель преломления neff = 2.7567) при угле падения θ = 50o, обеспечивающем отсутствие паразитного рассеяния. Для указанных параметров левая часть 
(1) рассчитывалась для диапазона значений w (моделирование проводилось в рамках электромагнитной 
теории дифракции методом [13]), и затем выбиралась 
ширина w1, обеспечивающая выполнение равенства 
(1). Таким образом было получено, что равенство (1) 
достигается при w1 = 28.5 нм. Ширина разделяющего 
диэлектрического сегмента, найденная по формуле 
(2), составляет wd = 411 нм. Аналогичным образом 
были рассчитаны параметры второй структуры (материал металлических полос — ​
хром): w1 = 10.6 нм, 
wd = 418.9 нм, w2 = 50 нм.
ДВОЙНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ 
МДМ-СТРУКТУРА
Рассмотрим возможность применения исследуемых интегральных МДМ-структур для дифференцирования оптических сигналов, распространяющихся в волноводе, на примере “волноводного” 
аналога Гауссова пучка с профилем
	
P
x
x
inc
inc
inc
(
) =
−
(
)
exp
,
2
2
σ

 (5)
где σ — ​
ширина пучка, заданного в системе координат падающего пучка (рис. 1а). Рассмотрим разложение падающего пучка по волноводным модам 
различных направлений (с пространственными частотами kx,inc):
 (6)
	
P
x
G k
ik
x dk
x
x
x
inc
inc
inc
inc
inc
(
) =
(
)
(
)
∫
,
,
,
exp
,
Ω
Структура, предлагаемая для вычисления второй производной, состоит из двух МДМ-структур, 
которые разделены сегментом волновода определенной ширины (рис. 1б). Рассмотрим методику 
и пример расчета двойной МДМ-структуры. В работе [7] приводятся формулы для расчета “каскадных” слоистых МДМ-структур, обладающих нулем 
отражения заданного порядка. Аналогично предыдущему разделу, данные формулы можно применить и в случае интегральной геометрии. Рассмотрим условие нуля отражения второго порядка
	
−
=
ρ
ρ
θ
1
2
4
2
0
t
e ik w n
s
eff cos
,
(3)
0
где G kx
(
)
,inc  — ​
спектр падающего пучка, заданный 
в некоторой области W.
Как было отмечено ранее, преобразование падающего пучка рассматриваемой интегральной структурой можно рассматривать как преобразование линейной системой с передаточной функцией [5–7]:
k
k
+
×


x inc
x
,
,
θ
0
	
H
k
R
cos
(
) =




k
k n
x
x
s
inc
inc
eff
,
0
2
1
. 
(7)
,


×
−
(
)




Таким образом, профиль отраженного пучка 
в локальной системе координат, связанной с ним 
(рис. 1а), будет иметь вид
P
x
G k
H
k
refl
refl
inc
s
inc
x
x
(
) =
(
)
(
) ×
∫
,
,
Ω
	

(8)
ik
x
dk
nc.
,
,
exp
x
x
inc refl
i
×
(
)
В случае одиночных МДМ-структур, имеющих 
нуль отражения первого порядка, ПФ H
k
s
x,
,
inc
inc
(
) ∼
+
 
H
k
k
O k
s
x
x
x
,
,
,
inc
inc
inc
(
) ∼
+




2
 пропорциональна ПФ идеального дифференциатора первого порядка 
H
k
ik
x
x
id
inc
inc
,
,
,
(
) =
(
)  и профиль отраженного пучгде r1 и r2 — ​
коэффициенты при линейных членах 
разложения в ряд Тейлора коэффициентов отражения для первой и второй одиночных интегральных 
МДМ-структур, имеющих нули отражения первого 
порядка, t0 — ​
комплексный коэффициент пропускания для первой структуры, ws — ​
ширина разделяющего сегмента волновода.
Условие (3) может быть записано аналогично 
(1), (2) в виде двух равенств модулей и аргументов. 
Метод расчета параметров двойной МДМ-структуры при этом также будет аналогичен описанному выше методу расчета параметров одиночной 
МДМ-структуры. Отличие заключается в том, что 
из равенства модулей будут определяться параметры первой МДМ-структуры (параметры второй 
МДМ структуры предполагаются фиксированными), а из равенства аргументов — ​
ширина сегмента 
волновода между структурами ws [7]. Отметим, что 
расчет двойной интегральной МДМ-структуры является гораздо более трудоемким с точки зрения 
времени вычислений по сравнению со случаем неинтегральных слоистых структур, ориентированных на работу с излучением, распространяющимся 
в свободном пространстве.
ка будет пропорционален первой производной P
inc  
[5–7]:
ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ	
том 88	
№ 1	
2024

Кашапов и др.
Табл. 1. Численные значения параметров для рис. 2.
а
Металл
σ, мкм
max | Prefl |
СКО, %
Cr
10
0.014
0.081
50
0.0027
0.055
Au
10
0.14
1.95
50
0.029
0.094
б
а
б
Рис. 2. Профили пучков при ширине σ = 10 мкм (пунктирная синяя линия) и σ = 50 мкм (сплошная линия), отраженных от интегральной МДМ-структуры с металлическими полосами из золота (а) и хрома (б); аналитическая 
функция, соответствующая производной (9) (пунктирная 
черная линия).
	
P
x
d
dx
P
x
refl
refl
inc
inc
inc
x
x
inc
refl
(
) ∼
(
)
=
.
(9)
В случае двойной МДМ-структуры с  нулем отражения второго порядка H
k
k
O k
s
x
x
x
,
,
,
inc
inc
inc
(
) ∼
+




2
3
k
O k
x
x
,
,
,
inc
inc
inc
(
) ∼
+




2
3
 профиль отраженного пучка будет пропорционален второй производной [5–7]:
2
	
P
x
d
2
.
(10)
dx
P
x
x
x
refl
refl
inc
inc
inc
=
inc
refl
(
) ∼
(
)
Рис. 3. Модуль ПФ исследуемой двойной интегральной 
МДМ-структуры (сплошная линия) (4) и нормированный 
спектр профиля падающего пучка (5) (пунктирная линия) 
(а); численно рассчитанный профиль отраженного пучка 
методом [13] (сплошная линия) и аналитическая функция, 
соответствующая второй производной (10) (пунктирная линия) (б).
На рис. 2 показаны модули численно рассчитанных профилей пучков, отраженных от рассчитанных МДМ-структур с металлическими полосами из золота (рис. 2а) и хрома (рис. 2б) при 
σ = 10 мкм и σ = 50 мкм. Данные профили были 
	
ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ	
том 88	
№ 1	
2024

	
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
9
дифференцирования первого и второго порядков 
с высоким качеством. Полученные результаты могут найти применение при разработке новых систем оптической обработки информации и аналоговых оптических вычислений на основе интегральных структур нанофотоники.
Работа выполнена при поддержке Российского 
научного фонда (проект № 19-19-00514, исследование интегральных МДМ-структур) и в рамках 
государственного задания ФНИЦ “Кристаллография и фотоника” РАН (реализация моделирующего программного обеспечения).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
рассчитаны в рамках электромагнитной теории 
дифракции с использованием метода [13] и близки к нормированным аналитически рассчитанным 
первым производным, показанным на рис. 2 черными пунктирными линиями. В табл. 1 приведены численные значения характеризующих качество дифференцирования величин (максимальной 
амплитуды отраженного пучка и нормированного 
среднеквадратичного отклонения (СКО) профиля 
отраженного пучка от аналитически рассчитанной 
производной), соответствующие рис. 2. При расчете СКО центральные минимумы отраженных 
пучков и аналитических производных помещались 
в одну точку. Как видно из табл. 1, при увеличении размера σ падающего пучка снижается СКО, 
но и уменьшается амплитуда отраженного пучка. 
При этом выбор материала металлических полос 
позволяет “управлять” соотношением между указанными характеристиками.
Рассмотрим далее возможность оптического 
вычисления второй производной (10) с помощью 
двойной МДМ-структуры (4). На рис.  3а представлена ПФ (7) исследуемой структуры, имеющей нуль отражения второго порядка. Как видно 
из рис. 3а, спектр падающего пучка с s = 25 мкм 
лежит преимущественно в “интервале квадратичности” ПФ, в связи с чем можно ожидать хорошего качества вычисления второй производной. 
На рис. 3б черной сплошной линией показан модуль профиля отраженного пучка, рассчитанного 
с использованием метода [13], а пунктирной линией показана аналитически рассчитанная вторая 
производная. Нормированное СКО в этом случае 
составляет 5.9% (при расчете СКО центральные 
максимумы пучков помещались в одну точку).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.	Bykov D.A., Doskolovich L.L., Soifer V.A. // Opt. Lett. 
2011. V. 36. No. 17. P. 3509.
2.	Doskolovich L.L., Bykov D.A., Bezus E.A., 
Soifer V.A. // Opt. Lett. 2014. V. 39. No. 5. P. 1278.
3.	Zhou Y., Zheng H., Kravchenko I.I., Valentine J. // 
Nature Photon. 2020. V. 14. P. 316.
4.	Головастиков Н.В., Досколович Л.Л., Безус Е.А. и др. // ЖЭТФ. 2018. Т. 154. № 2. С. 238; 
Golovastikov N.V., Doskolovich L.L., Bezus E.A. et 
al. // JETP. 2018. V. 154. No. 2. P. 202.
5.	Kashapov A.I., Doskolovich L.L., Bezus E.A. et al. // 
J. Optics. 2021. V. 23. No. 2. Art. No. 023501.
6.	Kashapov A.I., Doskolovich L.L., Bykov D.A. et al. // 
Comp. Opt. 2021. V. 45. No. 3. P. 356.
7.	Doskolovich L.L., Kashapov A.I., Bezus E.A., 
Bykov D.A. // Photon. Nanostruct. Fundam. Appl. 
2022. V. 52. Art. No. 101069.
8.	Hammer M., Hildebrandt A., Förstner J. // Opt. Lett. 
2015. V. 40. P. 3711.
9.	Doskolovich L.L., Bezus E.A., Bykov D.A. // Photon. 
Res. 2018. V. 6. No. 1. P. 61.
10.	Bezus E.A., Bykov D.A., Doskolovich L.L. // Opt. Lett. 
2022. V. 47. No. 17. P. 4403.
11.	 https://refractiveindex.info/.
12.	Johnson P.B., Christy R.W. // Phys. Rev. B. 1972. V. 6. 
No. 12. P. 4370.
13.	Silberstein E., Lalanne P., Hugonin J.-P., Cao Q. // 
J. Opt. Soc. Amer. A. 2001. V. 18. P. 2865.
Исследовано оптическое выполнение операций 
пространственного дифференцирования с помощью МДМ-структур, интегрированных в плоскопараллельный диэлектрический волновод. Рассчитаны одиночные и двойные МДМ-структуры, 
имеющие нули отражения первого и второго порядков соответственно. Результаты строгого численного моделирования показывают, что рассчитанные структуры позволяют выполнить операции 
ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ	
том 88	
№ 1	
2024