Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2024, № 2

ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
МЕХАНИКА  
ТВЕРДОГО ТЕЛА
№ 2    Март–Апрель     2024
Журнал основан в январе 1966 года  
Выходит 6 раз в год 
ISSN 1026-3519
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор  
В.И. КАРЕВ
доктор технических наук
РЕДКОЛЛЕГИЯ:
Амелькин Н.И. д.ф.-м.н., доцент РАН; Альтенбах Х. (Германия) д.т.н., профессор; 
Бербенни С. (Франция) Phd, профессор; Буренин А.А. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Васильев В.В. д.т.н., академик РАН, профессор;  
Ватульян А.О. д.ф.-м.н., профессор; Ганиев Р.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, 
профессор; Георгиевский Д.В. д.ф.-м.н., профессор; Гдоутос Э. (Греция) Phd, 
иностранный член РАН, профессор; Гуткин М.Ю. д.ф.-м.н.; Гупта Н.К. (Индия) 
Phd, почетный доктор РАН, профессор; Доброхотов С. Ю. д.ф.-м.н., профессор; 
Журавлев В.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; дел-Изола Ф. (Италия) Phd, 
профессор; Климов Д.М. д.ф.-м.н., академик РАН,  профессор;  
Кукушкин С.А. д.ф.-м.н., профессор; Лисовенко Д.С. д.ф.-м.н., профессор РАН 
(ответственный секретарь редколлегии); Ломакин Е.В. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Лурье С.А. д.ф.-м.н., профессор; Мовчан А.А., д.ф.-м.н. профессор; 
Морозов Н.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; Мурашкин Е.В. к.ф.-м.н.; 
Назайкинский В.Е. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, профессор; Назарова Л.А. д.ф.м.н.; 
Радаев Ю.Н. д.ф.-м.н., профессор; Ритчи Р. (США) Phd, иностранный член 
РАН, профессор; Романов А.Е. д.ф.-м.н., профессор; Солдатенков И.А. д.ф.-м.н., 
профессор; Устинов К.Б. д.ф.-м.н., доцент; Шешенин С.В. д.ф.-м.н., профессор 
Зав. редакцией Е. В. Лисовенко
Адрес: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1
Телефон: 8-495-434-35-38
Москва 
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН.  
     Механика твердого тела”  
     (составитель), 2024

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА          № 2,  2024
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Теория тонких упругих пластин – история и современное состояние  
проблемы 
В. В. Васильев
3
Наноиндентирование гибридных кристаллов нано-SiC/Si  
и тонких пленок ALN, ALGaN, GaN, Ga2O3 на нано-SiC/Si
А. С. Гращенко, С. А. Кукушкин, А. В. Осипов
40
Землетрясение Кахраманмарас 06.02.2023: математические  
модели, оценки и методы сейсмической защиты
А. И. Каракозова, С. В. Кузнецов, В. Л. Мондрус
90
Кватернионные регулярные уравнения задачи двух тел и задачи  
о движении спутника в гравитационном поле земли в переменных 
Кустаанхеймо–Штифеля и модифицированных четырехмерных 
переменных: динамика относительного движения
Ю. Н. Челноков
103
Мембранный пьезоэлектрический MDS-актюатор с плоской  
двойной спиралью взаимодействующих электродов
А. А. Паньков
139
Динамические уравнения распространения акустических волн  
в предварительно деформированных материалах 
А. А. Маркин, М. Ю. Соколова
166
Расчет эффективной нормальной жесткости деформируемого  
колеса с наклоненной осью вращения
Е. В. Балакина, М. С. Кочетов
183
Расчет износа манжетного уплотнения вала при случайно  
изменяющихся температуре и нагрузке
И. А. Солдатенков
198
Еще раз о контактной задаче для однородной плоскости  
с конечной трещиной с учетом трения
В. Н. Акопян, А. А. Амирджанян, Л. В. Акопян
216
Вероятностные соотношения для ресурсных режимов  
нагружения при транспортировке
А. Ю. Бондаренко, А. И. Лиходед, В. А. Титов, С. П. Фунтиков, А. Н. Шилин
233
Совместность деформаций и трижды дифференцируемость поля 
перемещений
Д. В. Георгиевский
244

Эволюция индикаторов повреждаемости при циклическом нагружении 
композиционной пластины с отверстием
А. С. Дзюба, С. И. Елеонский, М. Д. Зайцев, В. С. Писарев
249
Влияние циклической нагрузки на физико-механические свойства 
тонкопленочных мембранных структур
Н. А. Дюжев, Е. Э. Гусев, Е. О. Портнова, О. В. Новикова
269
Прецессионные движения гиростата, имеющего неподвижную точку,  
в трех однородных силовых полях
Г. В. Горр
283
О кинетической физико-математической теории ползучести металлов, 
контролируемой термоактивированным скольжением дислокаций
В. М. Грешнов, Р. И. Шайхутдинов
305
Неосесимметричная связанная нестационарная задача 
термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра
Д. А. Шляхин, В. А. Юрин
325

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 2024, 
№ 2,  с.  3–39
УДК 539.3
ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН ‒ ИСТОРИЯ 
И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ
© 2024 г.    В. В. Васильева, *
аЦентральный НИИ специального машиностроения, Хотьково, Россия
*e-mail: vvvas@dol.ru
Поступила в редакцию 09.10.2023 г.
После доработки 24.10.2023 г.
Принята к публикации 27.10.2023 г.
Статья является аналитическим обзором и посвящена теории тонких, 
изотропных упругих пластин. Приводятся основные соотношения теории, 
основанной на кинематической гипотезе, согласно которой тангенциальные перемещения распределяются линейно по толщине пластины, а 
ее прогиб не зависит от нормальной координаты. В результате получена 
система уравнений шестого порядка относительно двух потенциальных 
функций – проникающего потенциала, определяющего прогиб пластины, 
и краевого потенциала, позволяющего поставить на краю пластины три 
граничных условия и устранить известное противоречие теории пластин 
Кирхгофа. Рассмотрены задачи, не имеющие корректного решения в рамках теории Кирхгофа – цилиндрический изгиб пластины со свободным 
краем, изгиб прямоугольной пластины с неклассическим шарнирным 
закреплением, кручение квадратной пластины моментами, распределенными по контуру, изгиб пластины жестким штампом. В заключение представлен краткий исторический обзор работ, посвященных теории изгиба 
пластин.
Ключевые слова: теория тонких упругих пластин
DOI: 10.31857/S1026351924020018, EDN: uwrosi
1. Введение. Рассмотрим прямоугольную пластину, отнесенную к 
координатам x y z
, ,
, и определим ее как тело, относительная толщина 
которого h
h
a
 
/
, где a  – характерный размер пластины в плане (рис. 1), 
значительно меньше единицы. Асимптотический анализ уравнений теории 
упругости показывает [1], что если принять порядок деформаций пластины 
в плоскости xy  равным H , то порядок деформаций сдвига в плоскостях 
xz  и yz  оказывается равным h 2H , а порядок деформации в направлении 
оси z  составляет h 4H . Таким образом, трансверсальные по отношению к 
плоскости xy  деформации для относительно тонких пластин оказываются 
второстепенными. Это обстоятельство, по существу, и лежит в основе 
традиционно называемой классической теории пластин, построенной в XIX в. 
С. Пуассоном и Г. Кирхгофом [2] и предполагающей линейное распределение 

ВАСИЛЬЕВ
Рис. 1. Напряжения, действующие в пластине.
тангенциальных перемещений по толщине пластины и независимость прогиба 
от нормальной координаты, то есть
u
x y z
z
x y
u
x y z
z
x y
( , , )
( , ),
( , , )
( , )
=
=
x
x
y
y
θ
θ
,
 (1.1)
u
x y z
w x y
( , , )
( , )
=
z
Здесь Tx  и Ty  – углы поворота элемента пластины в плоскостях xz  и yz , 
которые выражаются через прогиб пластины:
θ
θ
x
y
w
x
w
y
= −∂
∂
= −∂
∂
,
.
 (1.2)
Для поля перемещений, определяемого равенствами (1.1) и (1.2), имеем 
ε
ε
xz
yz
=
= 0  и εz = 0 , то есть трансверсальные деформации отсутствуют. В 
результате теория сводится к бигармоническому уравнению для прогиба:
D
w
p
ΔΔ( ) =
.
(1.3)
где D
Eh
=
−
3
2
12 1
/
(
)
ν
 – изгибная жесткость пластины и р  – давление, 
действующее на ее поверхности. 
Традиционная классическая теория обладает принципиальным недостатком, 
следующим из соотношений (1.2). В задаче изгиба элемент пластины обладает 
тремя независимыми степенями свободы, соответствующими перемещению w
и углам поворота T
T
x
y
,
. Однако в обсуждаемой теории эти кинематические 
переменные не являются взаимно независимыми, так как углы поворота 
выражаются через прогиб. В результате возникает известное противоречие 
между порядком уравнения (1.3) и числом граничных условий – на краю 
пластины действуют три напряжения (два касательных и одно нормальное, 

ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН...
5
(рис. 1), а уравнение (1.3) позволяет сформулировать только два условия. Это 
противоречие породило многолетнюю дискуссию, которая завершилась формальным преобразованием статических граничных, предложенных Г. Кирхгофом [3] и физически обоснованных Томсоном и Тэтом [4], но не приведших 
к окончательному решению проблемы [5]. Попытки построить теорию 
пластин, свободную от отмеченного недостатка, продолжаются [6]. Здесь не 
обсуждаются многочисленные работы, посвященные уточненным теориям 
пластин из материалов с относительно низкой трансверсальной жесткостью. 
Рассматриваются тонкие изотропные пластины, то есть предлагается ревизия 
традиционной классической теории пластин.
2. Уравнения теории пластин. Приведем основные соотношения теории, 
выведенные в работах [7–9] и основанные на результатах, полученных 
Г. Кирхгофом [3], Г. Генки [10] и Л. Болле [11]. Поле перемещений задается, как 
и в теории Г. Кирхгофа, равенствами (1.1), в которых углы поворота являются 
независимыми переменными и не связаны с прогибом равенствами (1.2). Эти 
равенства, предложенные Г. Генки [10], обеспечивают существование трех 
независимых степеней свободы элемента пластины и устраняют основной 
недостаток традиционной классической теории. При этом трансверсальные 
деформации сдвига оказываются отличными от нуля и учитываются приближенно, 
а деформация в направлении оси z  остается равной нулю. Напряжения, 
действующие в плоскости пластины, определяются законом Гука и имеют вид:
σ
θ
ν θ
τ
ν
θ
θ
x
x
y
xy
x
y
Ez
x
y
х у
E
z
y
x
=
∂
∂
+
∂
∂
⎛
1
2
ν
.
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−
∂
∂
+ ∂
∂
⎛
⎠
( , ),
(
)
1
2
1
⎟
=
−
, E
E
⎝
⎜
⎞
(2.1)
Символ ( , )
х у  обозначает перестановку индексов, позволяющую получить 
из равенства для направления х  аналогичное равенство для направления у . 
Имеется принципиальная возможность использовать аналогичный подход для 
определения трансверсальных касательных напряжений, то есть
τ
ν
ν
θ
xz
x
z
x
E
u
z
u
x
E
w
x
х у
=
−
∂
∂
+ ∂
∂
⎛
⎠
⎟=
−
+ ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
1
1
2
1
(
)
(
)
( , ).
(2.2)
⎝
⎜
⎞
Это выражение не удовлетворяет статическим граничным условиям 
на поверхностях пластины, которые свободны от нагрузки так, что 
τxz z
h
(
/ )
= ±
=
2
0  (рис. 1). Однако полученный результат является неправомерным, так как он требует дифференцирования перемещения ux  по координате 
z . Дело в том, что функция u
z
x( ) в равенствах (1.1) является приближенной, а 
дифференцирование приближенных функций, как известно, не допускается. Для 
того чтобы исключить операцию дифференцирования, введем равнодействующие 
касательных напряжений – поперечные силы:
h
/
(
)
(
/ )
(
/ )
(
2
1
2
1
2
2
х
х у
, ), (2.3)
x
x
x
=
=
−
−
−
+
∂
∂
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
/
2
Q
dz
E
u
h
u
h
h w
x
S
x
xz
h
−∫
τ
ν
γ

ВАСИЛЬЕВ
γ
θ
x
x
w
x
x y
=
+ ∂
∂
( , ) .
(2.4)
Здесь Jx  – осредненная по толщине пластины деформация сдвига, а 
S
Eh
=
−
(
) /
1
2
ν
 – жесткость пластины при трансверсальном сдвиге. Таким 
образом, равенство (2.2) в рассматриваемой теории отсутствует, а соотношения 
упругости для трансверсального сдвига существуют только в форме осредненной 
по толщине. Такая ситуация представляется естественной, так как деформация 
пластины в направлении оси z равна нулю, то есть она считается абсолютно 
жесткой в этом направлении. Как известно, распределение напряжений по 
поверхности абсолютно жесткого тела не влияет на его поведение – существенны 
только равнодействующие силы (в рассматриваемом случае это поперечные 
силы Qx  и Qy ).
Напряжения (2.1) статически эквивалентны моментам:
/
( , )
2
,
h
x
y
=
=
∂
∂
+
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
/
2
M
zdz
D
x
y
х у
x
x
h
⎠
⎟
−∫
σ
θ
ν
θ
/
(
)
2
1
2
1
.
(2.5) 
h
x
y
=
=
−
∂
∂
+ ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
/
2
M
zdz
D
y
x
xy
xy
h
⎠
⎟
−∫τ
ν
θ
θ
Моменты и поперечные усилия, действующие на элемент пластины, связаны 
традиционными уравнениями равновесия:
∂
∂
+ ∂
∂
−
=
M
x
M
y
Q
x
xy
x
0, ∂
∂
+ ∂
∂
−
=
M
y
M
x
Q
y
xy
y
0, ∂
∂
+ ∂
∂
+
=
Q
x
Q
y
p
x
y
0 .
(2.6)
Подставляя в эти уравнения силы и моменты из равенств (2.3), (2.4) и (2.5), 
получим следующую систему:
L
L
L
w
x
y
11
12
13
0
(
)
(
)
( )
θ
θ
+
+
=
(2.7)
L
L
L
w
x
y
21
22
23
0
(
)
(
)
( )
θ
θ
+
+
=
(2.8)
L
L
L
w
p
x
y
31
32
33
0
(
)
(
)
( )
θ
θ
+
+
+
=
 (2.9)
Здесь
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( ),
⋅=
∂
⋅
L
D
S
x
k
y
11
∂
+
∂
⋅
∂
−⋅
L
L
k
x y
12
21
2
2
1
1
( )
( )
( )
⋅=
⋅=
+
−
∂
⋅
∂∂
ν
ν
,
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( ),
⋅=
∂
⋅
L
D
S
y
k
x
22
∂
+
∂
⋅
∂
−⋅
L
S L
x
13
31
1
( )
( )
( )
⋅= −
⋅= −∂⋅
∂
,
L
S L
y
23
32
1
( )
( )
( ),
⋅= −
⋅= −∂⋅
∂
L
S
33( )
( )
⋅=
⋅
Δ
.

ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН...
7
2
2
2
k
D
S
2
2
1
=
−
(
),
ν
Δ( )
( )
( )
⋅= ∂
⋅
2
x
y
.
∂
+ ∂
⋅
∂
Используя операторный метод, приведем эту систему к одному уравнению 
относительно функции F  в соответствии с равенствами:
θx
L L
F
L L
F
x L F
=
−
= −∂
∂
12
23
13
22
( )
( )
( ),
θy
L L
F
L L
F
y L F
=
−
= −∂
∂
21 13
23 11
( )
( )
( ) ,
(2.10)
w
L L
F
L L
F
L F
D
S
L F
=
−
=
−
11 22
12
21
( )
( )
( )
( ),
Δ
L F
F
k
F
( ) =
−
2Δ
. (2.11)
Подстановка равенств (2.10) в уравнения (2.7) и (2.8) приводит к тождественному удовлетворению этих уравнений, а подстановка в уравнение (2.9) дает
D
F
p
ΔΔΔ( ) =
.
(2.12)
Предположим, что L F
( ) ≠0, и введем потенциальную функцию:
ϕ = L F
( ).
(2.13)
Тогда из соотношений (2.10) и (2.11) следует:
θ
ϕ
x
x
= −∂
∂, θ
ϕ
y
y
= −∂
∂, w
D
S
=
−
ϕ
ϕ
Δ
.
(2.14)
и уравнение (2.12) приводится к форме:
D
p
ΔΔϕ =
.
(2.15)
Следует заметить, что уравнение (2.15) имеет четвертый порядок, тогда как 
система (2.7)–(2.9) имеет шестой порядок. Следовательно, должно существовать 
еще одно уравнение второго порядка. Учтем, что преобразования (2.10), (2.11) 
несправедливы, если L F
( )  0. В этом случае, согласно равенствам (2.11), w  0 . 
Как следует из соотношений (2.14), функция M  является потенциалом движения 
в плоскости пластины. Действительно, при z
z
 
0  из равенств (1.1) имеем:
u
z
x z
x
x
0
0
0
=
= −∂
∂
θ
ϕ
, u
z
y z
y
y
0
0
0
=
= −∂
∂
θ
ϕ
.
(2.16)
В результате угол поворота в плоскости пластины
⎛
⎞
ωz
x
y
u
y
u
x
0
0
0
1
2
0
=
∂
∂
−∂
∂
⎝
⎜
⎜
⎠
⎟
⎟=
.
 (2.17) 

ВАСИЛЬЕВ
Как известно из кинематики, в общем случае движение складывается из 
потенциальной и вращательной составляющей. Вращение в плоскости пластины описывается соотношениями:
θ
ψ
x
y
= ∂
∂, θ
ψ
y
x
= −∂
∂, w  0 .
(2.18)
В этом случае аналогично равенствам (2.16) и (2.17) имеем:
u
y z
x
0
0
= ∂
∂
ψ
, u
x z
y
0
0
= −∂
∂
ψ
, ω
ψ
z
z
0
0
2
=
Δ
.
Подстановка равенств (2.18) в уравнение (2.9) дает р  0, а уравнения (2.7) 
и (2.8) принимают вид:
∂
∂
=
x L( )
,
ψ
0
∂
∂
=
y L( )
ψ
0 .
Оператор L( )
˜  определяется равенством (2.11). Таким образом, L
t
( )
.
ψ = cons
Принимая несущественную для потенциальной функции константу равной 
нулю, получим:
k2
0
Δψ
ψ
−
= , k
D
S
h
2
2
2
1
6 1
=
−
=
−
(
)
(
)
ν
ν .
(2.19) 
Поскольку задача является линейной, ее общее решение определяется 
суперпозицией решений (2.14) и (2.19), то есть
θ
ϕ
ψ
x
x
y
= −∂
∂
+ ∂
∂, θ
ϕ
ψ
y
y
x
= −∂
∂
−∂
∂, w
D
S
=
−
ϕ
ϕ
Δ
.
(2.20)
Потенциалы M  и \  определяются из уравнений (2.15) и (2.19). Моменты 
и поперечные усилия выражаются через потенциальные функции следующим 
образом:
2
2
⎤
2
1
ϕ
ν
ϕ
ν
ψ
(
)
,
2
2
M
D
x
y
x y
x = −
∂
∂
−
−
∂
∂∂
⎡
∂
+
∂
⎦
⎥
⎥
⎣
⎢
⎢
2
2
⎤
2
1
ϕ
ν
ϕ
ν
ψ
(
)
,
2
2
M
D
y
x
x y
y = −
∂
∂
+
−
∂
∂∂
⎡
∂
+
∂
⎦
⎥
⎥
⎣
⎢
⎢
2
2
2
⎤
⎛
2
ν
ϕ
ψ
ψ
,
(2.21)
2
M
D
x y
x
y
xy = −
−
∂
∂∂
+
∂
∂
−∂
∂
⎠
⎟
⎟
⎡
⎝
⎜
⎜
⎞
⎦
⎥
⎥
(
)
1
1
2
⎣
⎢
⎢
Q
S
w
x
D x
S
y
x
x
=
+ ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟= −
∂
∂
+
∂
∂
θ
ϕ
ψ
Δ
, Q
S
w
y
D y
S
x
y
y
=
+ ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟= −
∂
∂
+
∂
∂
θ
ϕ
ψ
Δ
,
Напряжения, действующие в плоскости пластины, следуют из равенств 
(2.1) и (2.5):

ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ПЛАСТИН...
9
σx
x
M
3
, τxy
xy
M
3
.
 (2.22)
h
z
= 12
h
z
= 12
h
z
= 12
3
, σy
y
M
Трансверсальные касательные напряжения определяются интегрированием 
уравнений равновесия теории упругости с учетом граничных условий на 
поверхностях пластины и имеют следующий окончательный вид:
2
.
(2.23)
τxz
x
Q
h
z
2
, τyz
y
Q
h
z
h
=
−
⎛
h
=
−
⎛
⎠
⎟
⎟
3
2
1
4 2
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
3
2
1
4 2
⎝
⎜
⎜
⎞
При S →∞ имеем k  0, из уравнений (2.15) и (2.19) следует ϕ = w , 
ψ = 0, и рассматриваемая теория вырождается в традиционную классическую 
теорию пластин. При конечном значении коэффициента сдвиговой жесткости 
построенная теория учитывает два эффекта, связанные с деформацией сдвига. 
Первый эффект связан со вторым членом в последнем равенстве (2.14) и учитывает влияние сдвига на прогиб пластины при изгибе. Второй эффект описывается 
уравнением (2.19), которое определяет быстро изменяющееся напряженное состояние, связанное с кручением пластины. Это состояние невозможно описать, 
если считать, что пластина обладает бесконечно большой жесткостью при 
поперечном сдвиге.
Таким образом, рассматриваемая теория сводится к уравнениям (2.15) и 
(2.19) для потенциальных функций M  и \. Аналогичные функции были впервые 
введены в работе Л. Болле [11].
В теории Кирхгофа, как следует из соотношений (1.2) и (2.17), ϕ = w  и 
ψ = 0, то есть потенциальной функцией для углов поворота является прогиб, 
а потенциал, позволяющий учесть возможный поворот элемента пластины в 
ее плоскости, отсутствует.
3. Граничные условия. Полученные уравнения имеют в совокупности шестой 
порядок, и их решение должно удовлетворять на краю пластины трем граничным 
условиям. Для формулировки граничных условий воспользуемся вариационным 
принципом Лагранжа. В рамках принятых гипотез вариация функционала 
Лагранжа имеет вид:
⎤
⎡
σ δ
σ δ
x
x
y
y
u
x
u
y
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
dxdydz
δ
δ
τ
δ
τ
L
xy
x
y
x
=
.
∫∫∫
u
y
u
x
u
z
w
x
+
∂
∂
+ ∂
∂
⎛
∂
∂
+ ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+
z
x
τ δ
yz
y
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
u
z
w
y
+
∂
∂
+ ∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎦
⎣
−
p wdxdy
δ
∫∫
С учетом соотношений, представленных в разделе 2, этот функционал может 
быть приведен к двумерной форме: