Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, 2024, № 1

ИЗВЕСТИЯ
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
МЕХАНИКА 
ТВЕРДОГО ТЕЛА
№ 1    Январь–Февраль    2024
Журнал основан в январе 1966 года 
Выходит 6 раз в год
ISSN 0572-3299
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор 
В.И. КАРЕВ
доктор технических наук
РЕДКОЛЛЕГИЯ:
Амелькин Н.И. д.ф.-м.н., доцент РАН; Альтенбах Х. (Германия) д.т.н., профессор; 
Бербенни С. (Франция) Phd, профессор; Буренин А.А. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Васильев В.В. д.т.н., академик РАН, профессор; 
Ватульян А.О. д.ф.-м.н., профессор; Ганиев Р.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, 
профессор; Георгиевский Д.В. д.ф.-м.н., профессор; Гдоутос Э. (Греция) Phd, 
иностранный член РАН, профессор; Гуткин М.Ю. д.ф.-м.н.; Гупта Н.К. (Индия) 
Phd, почетный доктор РАН, профессор; Доброхотов С. Ю. д.ф.-м.н., профессор; 
Журавлев В.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; дел-Изола Ф. (Италия) Phd, 
профессор; Климов Д.М. д.ф.-м.н., академик РАН,  профессор; 
Кукушкин С.А. д.ф.-м.н., профессор; Лисовенко Д.С. д.ф.-м.н., профессор РАН 
(ответственный секретарь редколлегии); Ломакин Е.В. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, 
профессор; Лурье С.А. д.ф.-м.н., профессор; Мовчан А.А., д.ф.-м.н. профессор; 
Морозов Н.Ф. д.ф.-м.н., академик РАН, профессор; Мурашкин Е.В. к.ф.-м.н.; 
Назайкинский В.Е. д.ф.-м.н., член-корр. РАН, профессор; Назарова Л.А. д.ф.м.н.; 
Радаев Ю.Н. д.ф.-м.н., профессор; Ритчи Р. (США) Phd, иностранный член 
РАН, профессор; Романов А.Е. д.ф.-м.н., профессор; Солдатенков И.А. д.ф.-м.н., 
профессор; Устинов К.Б. д.ф.-м.н., доцент; Шешенин С.В. д.ф.-м.н., профессор 
Зав. редакцией Е. В. Лисовенко
Адрес: 119526, Москва, проспект Вернадского, д. 101, корп. 1
Телефон: 8-495-434-35-38
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Известия РАН. 
     Механика твердого тела” 
     (составитель), 2024

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА          № 1,  2024
С О Д Е Р Ж А Н И Е
Моделирование изгибно-гравитационных волн в ледяном покрове 
на упругих пленках
В. М. Козин
3
Пространственная дисперсия акустических волн в функциональноградиентных стержнях
А. И. Каракозова
23
Совершенствование метода фазовой плоскости для исследования влияния 
эффекта “бифуркационной памяти” на динамику корабля
А. В. Чернышов, С. А. Чернышова
38
Кватернионная регуляризация дифференциальных уравнений возмущенного 
центрального движения и регулярные модели орбитального (траекторного) 
движения: обзор и анализ моделей, их приложение
Ю. Н. Челноков
48
О наихудшем возмущении осциллятора с квадратичным демпфированием 
внешней силой с заданным интегралом
Н. Н. Болотник, В. А.Корнеев
96
Ветвление форм равновесия кольцевой микропластинки в электростатическом 
поле двух электродов
Н. Ф. Морозов, А. В. Лукин, И. А. Попов
110
Структурная модель пространственно и плоско армированной среды 
из жесткопластических анизотропных материалов с разными пределами 
текучести при растяжении и сжатии
А. П. Янковский
133
Исследование влияния радиационного облучения на размер зерен 
и механические свойства тонкопленочного алюминия
Н. А. Дюжев, Е. Э. Гусев, Е. О. Портнова, М. А. Махиборода
158
Влияние капиллярной адгезии на скольжение цилиндра по поверхности 
упругого тела с учетом гистерезиса смачивания
Ю. Ю. Маховская
168
О равновесиях тяжелого обруча, подвешенного на гвозде
А. А. Буров, В. И. Никонов
185
Кватернионное решение задачи оптимального управления ориентацией 
твердого тела (космического аппарата) с комбинированным критерием качества
М. В. Левский
197

Хрупкое разрушение упругого слоя с дефектом в виде окружности при его 
двухосном нагружении
В. В. Глаголев, А. А. Маркин
223
Два способа управления cферическим роботом маятникового типа 
на подвижной платформе в задаче преследования
E. A. Микишанина
230
Влияние формы пор и начального напряженного состояния на электроупругие 
свойства пористой пьезокерамики PZT-4
А. А. Паньков
248
Моделирование динамики экзоскелета системой трех звеньев переменной 
длины с регулируемой жесткостью
А. О. Блинов, А. В. Борисов, Р. Г. Мухарлямов, М. А. Новикова
268
К 100-летию со дня рождения Э.И. Григолюка
285
Федор Николаевич Шклярчук (22.01.1935–29.07.2023)
286

ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 2024, 
№ 1,  с.  3–22
 
УДК 624.124
МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН 
В ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ НА УПРУГИХ ПЛЕНКАХ 
© 2024  г.    В. М. Козина,*
аИнститут машиноведения и металлургии Хабаровского Федерального 
исследовательского центра Дальневосточного отделения Российской 
академии наук, Комсомольск-на-Амуре, Россия 
*e-mail: kozinvictor@rambler.ru
Поступила в редакцию 20.01.2023 г. 
После доработки 31.03.2023 г. 
Принята к публикации 02.04.2023 г.
Отмечено, что на основании наблюдений за колебаниями ледяного покрова в натурных условиях под действием движущихся нагрузок, т.е. при 
возбуждении изгибно-гравитационных волн (ИГВ), последний ведет 
себя аналогично упругой изотропной пластине.  На этом основании предложено новое направление в моделировании некоторых задач деформирования ледяного покрова ИГВ на упругих пленках в обычных опытовых 
бассейнах. Возможность такой технологии подтверждена результатами 
сопоставления записей деформирования движущимися нагрузками 
упругого модельного слоя и натурного ледяного покрова. На основании 
теории подобия и размерностей получены зависимости для пересчета данных модельных испытаний на натуру. Отмечается, что затраты на 
проведение подобных модельных экспериментов несоизмеримо меньше 
с затратами при проведении опытов в ледовых бассейнах. Перечисляются 
ледотехнические задачи, при решении которых может быть использована 
разработанная методика моделирования ИГВ.
Ключевые слова: ледяной покров; упругие пленки; критерии подобия; 
моделирование; изгибно-гравитационные волны
DOI: 10.31857/S1026351924010017, EDN: WBBHFY
1. Введение. Теоретические исследования динамики ледяного покрова 
пока еще не позволяют ответить на многие практические задачи ледотехники. 
Опыты в ледовых бассейнах и тем более исследования поведения ледяного 
покрова в натурных условиях под действием различных динамических нагрузок весьма трудоемки и энергозатратны. Нестабильность во времени и многообразие свойств ледяного покрова, зависимость их от погодных и ледовых 
условий, влияние на них различных факторов, таких как: наличие снежного 
покрова и подледного течения; глубина акватории, ее переменность и рельеф 
дна; внутренняя напряженность льда, возникающая вследствие колебаний 

КОЗИН
уровня воды в водоеме, ветро-волновых нагрузок, дрейфа и подвижек ледяных 
полей; история ледостава и пр. создают дополнительные трудности в получении 
достоверных результатов. Уменьшить трудоемкость подобных экспериментальных 
исследований в полевых условиях на естественном льду вышеперечисленных 
и других задач, обеспечить стабильность свойств объекта исследований, получить устойчивые результаты и, тем самым, существенно облегчить достижение 
стоящих перед экспериментаторами целей, а также повысить энергоэффективность исследований, оценить целесообразность и уровень перспективности 
полученных решений некоторых ледотехнических задач предлагается с помощью разработанной методики проведения модельного эксперимента в обычных 
(неледовых) опытовых бассейнах.
2. Краткий обзор известных методик моделирования ледяного покрова в ледовых 
бассейнах. Метод модельных испытаний для изучения ледовой ходкости судов 
впервые был предложен Л.М. Ногидом [1]. В.В. Лавров разработал способ получения в лабораторных условиях однородного льда пониженной прочности [2]. 
Выполненные на его основании И.И. Позняком и В.В. Лавровым испытания 
моделей судов в моделированном льду показали перспективность нового метода 
исследования ледовой ходкости судов, а с учетом теоретических обоснований 
Ю.А. Шиманского была доказана необходимость создания теоретических 
основ модельного эксперимента и специальной лабораторной базы. На этом 
основании в 1955 г. в СССР в Ленинграде (на Фонтанке) в институте Арктики 
и Антарктики (ААНИИ) был создан первый в мире опытовый ледовый бассейн. 
Положительный опыт его создания и эксплуатации привел к строительству подобных бассейнов во многих странах (Германии, США, Финдяндии, Японии, 
Канаде, Великобритании, Норвегии, Китае и др.). В настоящее время в мире 
построено и функционирует около 30 ледовых бассейнов, характеристики наиболее крупных из них приведены в работах [2, 3].
Заслуживает внимания и опыт создания ледовых бассейнов в зимние периоды 
на поверхности естественных водоемов (рек и озер), когда для намораживания 
льда на их поверхности использовались отрицательные атмосферные температуры. Впервые подобная технология была использована при выполнении научно-исследовательских работ в Институте машиноведения и металлургии ДВО 
РАН (г. Комсомольск-на-Амуре) и Приамурском государственном университете 
им. Шолом-Алейхема (г. Биробиджан) [4, 5]. Они представляли собой ледовые 
каналы размерами L × B = 8.0 × 3.0 м, выпиливаемые в ледяном покрове толщиной 1.1 м озера Хорпи при глубине 2.8 м в районе г. Комсомольск-на-Амуре 
(рис. 1) [6] и во льду толщиной 0.8 м при глубине 2.2 м озера Клименкино (ЕАО) 
в районе п. Бира (рис. 2) [5].
Эксперименты с использованием природного холода также проводились 
в ледовых бассейнах Комсомольского-на-Амуре политехнического института (рис. 3) [4], Горьковского политехнического института (рис. 4) [4], а также 
в ледовом бассейне Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема (рис. 5) [7], созданного на площадях его учебных аудиторий [8] 
и поэтому являющимся уникальным среди известных подобных объектов. При 
использовании естественных низких температур для намораживания модельного 
слоя льда в подобных ледовых бассейнах пересчет моделируемых параметров 
на натуру проводился по методикам работ [2, 9].

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНОГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН...
5
Рис. 1. Ледовый бассейн на льду оз. Хорпи в районе г. Комсомольск-на-Амуре [6].
Рис. 2. Опыты по разрушению ледяного покрова с разводьем от движения модели подводного 
судна с резонансной скоростью [5].
В первом в мире ледовом бассейне (бассейне ААНИИ) использовалась методика приготовления модельного эксперимента, разработанная Ю.А. Шиманским, 
Л.М. Ногидом, И.И. Позняком и В.И. Каштеляном. Ее суть заключалась в получении модельного льда за счет изменения концентрации соли в водном растворе 
и температуры намораживания льда [10]. Е. Enkvist для обеспечения равенства 
коэффициентов трения льда в модельных и натурных условиях предложил наносить на корпус модели судна соответствующее покрытие [11]. J. Schwarz для 
выполнения условия Коши предложил использовать “подогрев” модельного 
льда за счет повышения температуры воздуха над его поверхностью [12]. Более 

КОЗИН
Рис.  3. Приготовление модельного 
льда в ледовом бассейне.
Рис. 4. Приготовление композитной модели льда.
Рис. 5. Фрагмент разрушения сплошного ледяного покрова при движении модели подводного 
судна со скоростью Fr = 0.42 [7].
лучший результат в этом направлении был достигнут Н. Kaitagawa в результате 
быстрого нагрева воздуха в бассейне и усиленной вентиляции [13]. G.W. Timco 
рекомендовал для получения в ледовом бассейне лабораторного льда использовать водный раствор карбамида, а прочность льда на изгиб менять путем 
изменения температуры воздуха над поверхностью льда, а не концентрации 
вещества в бассейне [14, 15]. Его исследования, направленные на дальнейшее 
совершенствование физико-механических характеристик лабораторного льда, 
привели к разработке карбамидного льда нового состава, получившего название EG/AD/S-ice [16]. Его свойства были всесторонне исследованы в Iwate 
Universiti (Япония) [17], Institute for Marin Dynamics (Канада) [18], US Army 
CRREL (США) [19], Technical Research Centre (Финляндия) [20] и Ship Research 
Institute (Япония) [21]. Такая технология приготовления модельного льда или ее 
модификации используются в ряде ледовых бассейнов мира [2]. Е. Enkvist [22] 
и А. Nortala-Hoikkanen [23] разработали новый способ приготовления высокозернистого льда, основанного на создании слоев льда с различными свойствами 
за счет варьирования количества компонентов в распыляемом над поверхностью 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН...
7
льда водном растворе. Такая технология применяется при исследованиях взаимодействия судов и инженерных сооружений со льдом в ледовом бассейне 
Крыловского государственного научного центра (Санкт-Петербург) [2]. В начале 
80-х годов в Горьковском политехническом институте (ныне Нижегородский 
государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева) под руководством проф. В.А. Зуева возникло новое направление в теории и практике модельного эксперимента в ледовом бассейне, которое развивали Е.М. Грамузов, 
Б.П. Ионов, Ю.А. Двойченко, В.Б. Беляков и др.  [24–26]. В его основе в качестве 
базовой характеристики льда, отвечающей ряду требований  [2], была принята 
работа на его разрушение. С учетом этого были разработаны критерии подобия и технология приготовления лабораторного льда. Метод показал хорошую 
сходимость результатов модельного эксперимента с натурными данными и его 
независимость от масштаба модели [2]. Аналогичный результат был получен 
при сопоставлении данных экспериментов с моделями подводных судов, полученных в ледовых бассейнах [5–7], с результатами теоретических расчетов для 
соответствующих ледовых условий. Следует отметить, что толщина намораживаемого льда в этих опытах составляла 1.5–2.0 мм, поэтому в последующих 
расчетах размеры зеркала в месте замеров деформаций и глубину бассейнов 
позволяли считать их бесконечными.
Наряду с методами моделирования взаимодействия судов и инженерных 
сооружений со льдом в ледовых бассейнах выполнены работы по созданию 
синтетического льда. Так, B. Michel разработал синтетический лед [28], технология приготовления которого состоит в поочередном нанесении на поверхность воды смеси из пяти элементов: пластикового полиэтиленового порошка; 
пластиковых полиэтиленовых шариков; тяжелого растительного масла; легкого 
растительного масла и стеариновой кислоты с последующим затвердеванием 
этой смеси. Такой лабораторный лед обеспечивал моделирование его плотности, прочности на изгиб и модуля деформации при обеспечении стабильности 
физико-механических свойств в течение трех суток и возможность его использовать при комнатной температуре. В 1970–1989 гг. в Канаде было построено 
четыре бассейна, в которых этот лед использовался для моделирования исследований взаимодействия инженерных сооружений с ледяным покровом. В 90-х 
годах в компании “Fleet Technoplogi Ltd. of Canada” был разработан новый тип 
гибридного льда [29], который производится путем внедрения пластиковых 
шариков на поверхность EG/AD/S раствора и последующего замораживания 
полученного состава. Отмечается, что использование этого типа льда в большом бассейне требует применения сложного и дорогостоящего оборудования 
для внесения и распределения по поверхности раствора пластиковых шариков 
перед замораживанием, что ставит под вопрос перспективность использования 
такой технологии [2]. Для облегчения процесса равномерного распределения 
шариков может использоваться разработанный автором статьи способ приготовления подобного модельного льда [30].
3. Целесообразность разработки методики моделирования ИГВ в ледяном 
покрове на упругих пленках. Проведенный обзор известных методик моделирования ледяного покрова в ледовых бассейнах и выполненные на их основе исследования показывают актуальность, практическую значимость и все 

КОЗИН
возрастающий интерес к этой проблеме. Объяснить это довольно просто: более 70% мировых запасов углеводородов находятся на дне замерзающих акваторий, для разработки и добычи которых придется ее решать. Использование 
традиционных технологий в этом направлении (строительство дорогостоящих 
опытовых ледовых бассейнов с использованием непростых способов получения модельного льда и пр.) требует значительных затрат на их реализацию. 
Такой подход в большинстве случаев вполне оправдан, т. 
к. процесс механического разрушения ледяного покрова любым известным ледоразрушающим 
средством довольно сложный и энергоемкий. Так, при прокладке ледоколом 
канала в сплошном льду его энергия затрачивается на: изгиб бесконечной 
ледяной пластины; сопротивление ломке, обусловленное разрушением льда 
форштевнем и бортами судна; интенсивное трещинообразование во льду; 
преодоление сопротивления, обусловленного потерями энергии при соударениях корпуса ледокола со льдом; раскрытие магистральных трещин с последующим образованием обломков льда; поворот и притапливание обломков, 
сопровождающиеся возникновением присоединенных масс воды, что требует 
дополнительных энергозатрат; раздвигание обломков льда; преодоление сил 
трения между корпусом судна, обломками льда и снежным покровом; смятие 
острых и неровных кромок канала; преодоление сопротивления воды; дробление обломков льда бортами судна; фрезерование льда, попадающего в диски 
гребных винтов; изменение посадки судна (возникновение крена и дифферента) при его наползании на кромку льда; преодоление сил трения, возникающих из-за налипания на смоченную судовую поверхность раздробленного 
льда и мокрого снега; буксировку носовой оконечностью обломков льда при 
работе ледокола “набегами” и пр.
Вместе с тем существует ряд практически важных ледотехнических задач, 
при решении которых можно не учитывать большинство вышеперечисленных 
энергозатрат, например, когда ставятся задачи по сохранению несущей способности ледяного покрова, его упругого деформирования (в области работы закона Гука), когда нет механического контакта технических средств со льдом и пр. 
К ним можно отнести: разрушение ледяного покрова и заторов резонансными 
изгибно-гравитационными волнами (ИГВ); определение безопасных режимов 
эксплуатации ледяных переправ; рекомендации по использованию ледяного 
покрова в качестве взлетно-посадочных полос; оптимизация технологии проведения взрывных работ с использованием энергии ИГВ, возбуждаемых при их 
выполнении; всплытие подводных судов в сплошном льду при его разрушении 
резонансными ИГВ (бесконтактным методом) [32, 33] и пр.
К аналогичным задачам можно отнести исследования возможностей начинающегося использоваться открытого сравнительно недавно резонансного 
метода разрушения льда, реализуемого судами на воздушной подушке (СВП) 
(рис. 6) [34–36]. Для этого следует изучить влияние на них различных факторов, 
таких как: ширина акватории; близость береговой кромки к месту выполнения ледокольных работ и ее форма; наличие во льду локальных неоднородностей в виде майн, свободных кромок льда или сквозных раскрытых трещин 
и разводий; заторошенность льда и ориентация гряды торосов по отношению 
к направлению движения судна; наличие подводных островов, приводящих 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБНОГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН...
9
Рис. 6. Примеры использования резонансного метода разрушения ледяного покрова СВП:
(a) – “Вояжер”; (b) –  “Ларус”; (c) – “BHT”; (d) – канадскими судами; (e) –  “Скат”; 
(f) –  “Мурена”.
к возникновению гидроударов при разрушении льда гидродинамическими 
нагрузками; интерференция и дифракция возбуждаемых ИГВ при разрушении 
ледяного покрова резонансным методом; режимы нагружения льда динамическими нагрузками; трансформация параметров ИГВ, возбуждаемых движущимися нагрузками с их выходом со льда на берег и последующим сходом с него; 
гидрология русла водоема и пр.
Очевидно, что при решении подобных задач, когда не обязательно использовать модель разрушаемого льда, т.е. при деформировании льда в пределах 
работы закона Гука, можно использовать модель неразрушаемого льда в виде 
упругих пленок. Такое заключение было сделано нами на основании результатов 
наблюдений за поведением ледяного покрова в натурных условиях А.Д. Сытинского, В.П. Трипольникова [37] и В.Н. Смирнова [38, 39]. В своих работах 
авторы отмечали, что при воздействии на лед движущихся нагрузок, т.е. при 
возбуждении ИГВ, а также при ветро-волновых и кратковременных нагрузках, последний ведет себя аналогично упругой изотропной пластине. На этом