Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа, 2024, № 2

 
Известия Российской академии наук
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ 
И ГАЗА
Март–Апрель    № 2    2024
Выходит 6 раз в год 
Основан в январе 1966 г.
ISSN: 1024-7084
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор С.Т. Суржиков
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
А.В. Аксенов, В.Б. Баранов, А.М. Гайфуллин, А.Н. Голубятников, 
В.В. Измоденов, С.А. Исаев, В.П. Карликов, А.Н. Крайко,
А.Г. Куликовский, В.А. Левин, Н.В. Никитин, 
А.Н. Осипцов (заместитель главного редактора), 
В.В. Пухначев, Е.М. Смирнов, С.А. Таковицкий, Г.Г. Цыпкин
Зав. редакцией Т.А. Каллаур
Адрес редакции: 119526, Москва,
проспект Вернадского, 101, корп. 1, тел. 8-495-434-22-21
e-mail: mzg@ipmnet.ru; http: //mzg.ipmnet.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Механика жидкости 
     и газа” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Номер 2, 2024
Оценка начала ламинарно-турбулентного перехода на пластине при полете в атмосфере Марса
Ю. Н. Григорьев, И. В. Ершов 
3
Нелинейные режимы электроконвекции слабопроводящей жидкости в невесомости 
при низких частотах электрического поля
В. А. Ильин 
17
Аналитическое решение задачи о нагнетании или снижении пластового давления 
в коллекторе с трещиной
А. М. Ильясов, В. Н. Киреев 
23
Начальный этап слияния составной капли в импактном режиме
Ю. Д. Чашечкин, А. Ю. Ильиных, Ш. Х. Хайирбеков 
35
Автомодельное решение первой задачи Стокса для неньютоновских жидкостей 
со степенным законом вязкости
В. Н. Колодежнов 
52
Развитие волнового движения, вызванного придонными периодическими возмущениями 
в двухслойном сдвиговом потоке
И. В. Стурова 
58
Аномальная интенсификация теплообмена при отрывном обтекании зигзагообразного плотного 
пакета наклонных канавок на стенке канала при различных температурных граничных условиях
С. А. Исаев, О. О. Мильман, А. А. Клюс, Д. В. Никущенко, Д. С. Хмара, Л. П. Юнаков 
71
Линейные волны на мелкой воде над неровным дном, замедляющиеся у берега
И. Е. Мельников, Е. Н. Пелиновский 
94
Влияние отсоса газа на неустойчивость поперечного течения при обтекании стреловидного крыла
А. В. Новиков, А. О. Образ, Д. А. Тимохин 
105
Численное моделирование взаимодействия слабых ударных волн и сверхзвукового 
пограничного слоя на плоской пластине с затупленной передней кромкой
И. В. Егоров, Н. К. Нгуен, П. В. Чувахов 
113
 
Собственные колебания жидкости в скважине, сообщающейся с пластом системой радиальных трещин 
Р. А. Башмаков, Д. А. Насырова, З. Р. Хакимова 
126
Определение формы и размеров молекул полимеров в растворах с использованием 
диффузионной ЯМР-релаксации 
В. А. Иванова, А. В. Максимычев, П. Л. Меньшиков, А. Р. Пашутин 
А. М. Перепухов, А. Н. Рожков, М. В. Царьков 
135
Разрушение детонационной волны в плоском канале с множественными барьерами 
Т. А. Журавская, В. А. Левин 
139
Асимптотическое исследование течений, индуцированных колебаниями цилиндрических тел 
А. Н. Нуриев, О. Н. Зайцева, А. М. Камалутдинов, Е. Е. Богданович, А. Р. Баймуратова 
150

CONTENTS
No. 2, 2024
Estimate of the Onset of Laminar-Turbulent Transition on a Plate in Flight in the Mars Atmosphere
Yu. N. Grigor’ev, I. V. Ershov 
3
Nonlinear Regimes of Electric Convection of Poorly Conducting Fluids in Weightlessness 
at Low Frequencies of an Electric Field
V. A. Il’in 
17
Analytical Solution to the Problem of Injection or Reduction of the Formation Pressure 
in the Reservoir with a Fracture
A. M. Il’yasov, V. N. Kireev 
23
The Initial Stage of the Coalescence of a Compound Drop in an Impact Regime
Yu. D. Chashechkin, A. Yu. Il’inykh, Sh. Kh. Khaiirbekov 
35
Self-Similar Solution of the First Stokes Problem for Non-Newtonian Fluids with Power-Law Viscosity
V. N. Kolodezhnov 
52
Development of the Wave Motion Induced by Near-Bottom Periodic Disturbances 
in a Two-Layer Shear Current
I. V. Sturova 
58
Anomalous Heat Transfer Enhancement in Separated Flow over a Zigzag-Shaped Dense Package 
of Inclined Grooves in a Channel Wall at Diff
 erent Temperature Boundary Conditions
S. A. Isaev, O. O. Mil’man, A. A. Klyus, D. V. Nikushchenko, D. S. Khmara, L. P. Yunakov 
71
Linear waves in shallow water over an uneven bottom, slowing down near the shore
I. E. Melnikov, E. N. Pelinovsky 
94
Gas Suction Eff
 ect on the Crossfl
 ow Instability in Flow Past a Swept Wing
A. V. Novikov, A. O. Obraz, D. A. Timokhin 
105
Numerical Simulation of the Interaction between Weak Shock Waves and Supersonic Boundary 
Layer on a Flat Plate with the Blunt Leading Edge
I. V. Egorov, N. K. Nguen, P. V. Chuvakhov 
113
Natural Vibrations of Fluid in a Well Connected with the Reservoir by a System of Radial Fractures 
R. A. Bashmakov, D. A. Nasyrova, Z. R. Khakimova 
126
Determination of the Shape and Dimensions of the Polymer Molecules in Solutions Using 
Diff
 usional NMR Relaxation
V. A. Ivanova, A. V. Maksimychev, P. L. Men’shikov, A. R. Pashutin, 
A. M. Perepukhov, A. N. Rozhkov, M. V. Tsar’kov 
135
Failure of a Detonation Wave in a Plane Channel with Multiple Obstacles 
T. A. Zhuravskaya, V. A. Levin 
139
Asymptotic Study of Flows Induced by Oscillations of Cylindrical Bodies 
A. N. Nuriev, O. N. Zaitseva, A. M. Kamalutdinov, E. E. Bogdanovich, A. R. Baimuratova 
150

ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА, 2024, № 2, с. 3–16
 
УДК 532.5
ОЦЕНКА НАЧАЛА ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА 
НА ПЛАСТИНЕ ПРИ ПОЛЕТЕ В АТМОСФЕРЕ МАРСА
© 2024 г. Ю. Н. Григорьевa,*, И. В. Ершовa,b,**
a Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, Новосибирск, Россия
b Новосибирский государственный аграрный университет, Новосибирск, Россия
*E-mail: grigor@ict.nsc.ru
**E-mail: ivershov1969@gmail.com
Поступила в редакцию 07.10.2023 г.
После доработки 03.12.2023 г.
Принята к публикации 14.12.2023 г.
На основе eN-метода выполнены сравнительные расчеты положения начала зоны ламинарно-турбулентного перехода для двух точек на траектории посадки космического аппарата Pathfi
 nder на поверхность 
Марса. В расчетах использовалась трехкомпонентная модель термохимически неравновесной смеси 
CO2–CO–O. Набор частот пространственных возмущений находился по нейтральным кривым для 
первых неустойчивых мод временных возмущений. Число Рейнольдса перехода ReGT определялось по 
огибающим семейств кривых N-факторов при NT = 8. В гиперзвуковом режиме при M = 12.6 учет развитой термохимической неравновесности приводит к значительному снижению статической температуры газа в нижней части пограничного слоя. В результате начало зоны ламинарно-турбулентного перехода сдвигается вниз по потоку примерно на 9% по сравнению со случаем совершенного газа.
Ключевые слова: атмосфера Марса, линейная устойчивость, ламинарно-турбулентный переход, eN-метод, 
интегральная кривая N-фактора
DOI: 10.31857/S1024708424020015  EDN: RJTCMO
Полеты космических аппаратов к Марсу, достаточно полный обзор которых представлен в [1], инициировали обширную литературу, посвященную проблемам аэротермодинамики гиперзвукового полета и 
посадки в марсианской атмосфере [2, 3]. Но до последнего времени рассчитывались относительно малые 
беспилотные аппараты, движущиеся с большими перегрузками по баллистическим траекториям [4, 5].
Вместе с тем по прогнозам [1] первые пилотируемые полеты на Марс начнутся уже в следующем десятилетии. Эскизные проекты обитаемых космических аппаратов (КА), предназначенных для доставки 
экспедиций на планету с безопасными перегрузками, представляются конструкциями с характерными 
размерами в десятки метров. В частности, рассматривается проект марсианского КА, близкого по конфигурации и размерам к аппаратам типа “Буран” (Space Shuttle).
Другой вариант представляет надуваемый на траектории спуска гиперконус с диаметром основания 
около пятидесяти метров. Подобные космические аппараты на многовитковых траекториях в атмосфере 
Марса будут использовать аэродинамическое торможение. При этом на характерных для них протяженных 
поверхностях малой кривизны за головной ударной волной должны развиваться гипер- и сверхзвуковые 
пограничные слои (ПС).
При проектировании систем управления и теплозащиты КА необходимы расчеты устойчивости пограничного слоя для оценки положения зоны перехода к турбулентности, где возникает пик теплового потока. 
Для расчетов положения зоны перехода широко используется eN-метод, основанный на представлении об 
экспоненциальном нарастании пространственных возмущений до определенного уровня амплитуды AT 
к началу ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП). Амплитуды для частотного спектра нарастающих 
возмущений рассчитываются на основе линейной теории [6, 7] в соответствии с соотношением
 
AT = A0exp(NT),
где AT – амплитуда в точке перехода; A0 – амплитуда начального возмущения; NT – так называемый 
N-фактор перехода, значение которого принимается в зависимости от конкретной задачи.
3

ГРИГОРЬЕВ и др.
В расчетах необходимо использовать реальные характеристики марсианской атмосферы, около 96% 
которой составляет углекислый газ CO2, физико-химическая кинетика которого существенно сложней 
кинетики двухатомных компонент воздуха. Несмотря на разреженность и низкую температуру атмосферы 
Марса высокие скорости на траектории посадки в пределах 2–6 км/с определяют высокие температуры 
в ПС за ударной волной, которые в верхней части траектории существенно превышают температуру полной диссоциации CO2. При этом в пограничном слое возникает многокомпонентная термохимически 
неравновесная смесь атомов и колебательно возбужденных молекул, для учета свойств которой необходима 
адекватная физико-математическая модель.
В статье выполнены сравнительные расчеты положения начала зоны ЛТП для двух характерных режимов течения гиперзвукового пограничного слоя, соответствующих 66-й и 87-й секундам полета аппарата 
Pathfi
 nder при посадке на Марс [5]. В данном случае они рассматриваются как последовательные положения на многовитковой траектории в процессе аэродинамического торможения.
В качестве наиболее опасного взято двумерное возмущение моды II, совпадающее с направлением 
несущего потока. Значение показателя степени нарастания возмущений выбрано N = 8. Для расчета стационарных течений использовались локально автомодельные уравнения плоского пограничного слоя на 
пластине с изотермической некаталитической поверхностью.
1. МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В качестве исходной математической модели рассматривается система двухтемпературных уравнений 
сверхзвукового течения углекислого газа, учитывающая колебательную релаксацию и реакции диссоциации–рекомбинации с образованием молекул угарного газа CO и атомарного кислорода O:
 
.



R
2
CO
CO
O
A
A  
(1.1)
Здесь частица – партнер по столкновению A – представляет собой одну из компонент смеси CO2–CO–O. 
Рассматриваемая модель в сравнительных расчетах [3] аэродинамических характеристик при спуске конического КА в атмосфере Марса показала малое отличие от моделей с более сложной химической кинетикой.
Относительно молекул угарного газа CO принято предположение [8], что при диссоциации CO2 молекула CO мгновенно приходит в термодинамическое равновесие со средой, а ее дальнейшую диссоциацию 
можно не рассматривать. При этом колебательная энергия молекул CO находится в состоянии равновесия 
и характеризуется статической (поступательной) температурой потока. Это связано с тем, что характерное 
время диссоциации CO значительно больше, чем для молекулы углекислого газа CO2.
Система гидродинамических переменных включает в себя скорость потока u, плотность смеси ρ, массовые доли молекул CO2 – Y1, CO – Y2 и атомов O – Y3, статическое давление p, удельную внутреннюю 
энергию смеси, связанную с квазиравновесными внутренними степенями свободы et, удельную колебательную энергию молекул CO2 – ev1, поступательную (статическую) температуру T, колебательную температуру Tv.
Поскольку сумма массовых долей компонентов смеси равна единице, то массовая доля любой компоненты может быть выражена через массовые доли двух других компонент, в частности Y3 = 1 – Y1 – Y2. 
Замкнутая система в терминах этих переменных включает следующие уравнения.
Уравнение неразрывности смеси в целом
 


.
wU  ’ U
 
w
0
t
u
 
(1.2)
Уравнения неразрывности компонентов смеси
 


,
, .
wU
 ’ U
 ’

 
w
1 2
i
i
i
i
Y
Y u
J
W
i
t
 
(1.3)
Уравнения импульсов для смеси
 


.
wU
 ’ U
 ’  ’
w
p
t
u
uu
â  
(1.4)
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 2024

 
ОЦЕНКА НАЧАЛА ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА НА ПЛАСТИНЕ ПРИ ПОЛЕТЕ...  
5
Уравнение для плотности внутренней поступательно-вращательной энергии смеси
e
e
p
T
c T
h W
R
t
u
u
u
J
â
 
(1.5) 
 


.
ª
º
wU
 ’ ˜ U

’
 ’ O’




«
»
w
¬
¼
¦
¦
0
1
t
t
pi
i
i
i
v
i
i
Уравнение для плотности колебательной энергии CO2
1
1
1
1
1
1 1
1
v
v
v
v
v
v
Y e
Y e
T
e
R
t
u
J
 
(1.6)
 




.
wU
 ’ U
 ’ O ’


w
Уравнение состояния газовой смеси
 


/
.
 U
¦
i
i
i
p
RT
Y M
 
(1.7)
Здесь Ji – плотность диффузионного потока i-й компонента смеси; Wi – скорость производства i-й 
компоненты смеси в химических реакциях. Тензор вязких напряжений [9]
 


(
)
(
)
,
Tr
2
3
b
§
·
ª
º
 K
’
 ’
 K 
K
’ ˜
¨
¸
¬
¼
©
¹
u
u
u I
â
 
где η, ηb – динамическая и объемная вязкости смеси; Rv1 – источниковый член, описывающий колебательно-диссоциативное взаимодействие; cpi = cVi + R/Mi – удельная теплоемкость при постоянном давлении, связанная с квази- равновесными внутренними степенями свободы; h0i – удельная энтальпия образования i-го компонента; λ – теплопроводность смеси; λv1 – теплопроводность, обусловленная колебательными модами молекул CO2; Mi – молярная масса i-й компоненты; R – универсальная газовая постоянная.
Плотность внутренней поступательно-вращательной энергии молекул смеси определяется следующим 
образом:
3
3
 
,
,
,
1
1
t
s t s
s V s
s
s
e
Y e
Y c
T
 
 
 
 
¦
¦
где 
;
,
 

 
tr
rot
tr
rot
Vi
Vi
Vi
Vi
Vi
c
c
c
c
c
 – теплоемкости квазиравновесных степеней свободы i-й компоненты при постоянном объеме. Теплоемкости cVi равны 
(
),
 
1
1
5
2
V
c
R
M
 
(
),
 
2
2
7
2
V
c
R
M
 
(
).
 
3
3
3
2
V
c
R
M
Здесь в равновесную теплоемкость угарного газа в связи со сделанным предположением добавлена 
равновесная теплоемкость ее колебательной моды cV2 = R/M2. Соответственно, теплоемкости при постоянном давлении есть cp1 = 7R/(2M1), cp2 = 9R/(2M2), cp3 = 5R/(2M3). Числовые значения энтальпий образования h0i для компонент смеси CO2–CO–O приведены в табл. 1 [10].
Таблица 1. Стандартные энтальпии образования
Компонент смеси
CO2
CO
O
h0i, кДж/моль
–393.51
–110.52
249.18
 
1.1. Коэффициенты переноса
Коэффициенты вязкости η и теплопроводности λ смеси вычисляются по формулам Вилке [11]
2
1 4
1
1


 
8 1
X
f
f
M
M
X f
Y
Y
f
X
M
M
M
M
/
/
/
,
,
,
/

ª
º

§
·
«
»
¬
¼
 
M
 
 
¨
¸
M
©
¹

¦
¦
¦
i
j
i
i
j
j
j
j
i
j
jf
j
i
j
i
i
j
i
jf


где fi – вязкость или теплопроводность i-й компоненты смеси. Вязкость i-й компоненты рассчитывается 
по формуле Блотнера [12]:
 
( )
. exp[(
ln
)ln
],
K
 


0 1
i
i
i
i
T
A
T
B
T
C
которая применима при высоких температурах вплоть до 104 K. Ai, Bi и Ci здесь являются постоянными 
величинами [4], числовые значения которых для компонент смеси CO2–CO–O приведены в табл. 2.
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 2024

ГРИГОРЬЕВ и др.
Таблица 2. Коэффициенты Ai, Bi и Ci вязкой модели Блотнера
Компонент смеси
Ai
Bi
Ci
CO2
–0.01952739
1.047818
–14.32212
CO
–0.01952739
1.013295
–13.97873
O
0.02031440
0.429440
–11.60314
Для вычисления теплопроводности i-й компоненты λi используются модифицированные соотношения 
Эйкена [13]:
tr
rot
tr
rot
i
i
i
Vi
Vi
i
c
c
i
5
6
1 2 3
2
5
 
,
, , .
§
·
O  O
 O
 

K
 
¨
¸
©
¹
Теплопроводности λvi, обусловленные колебательными модами молекул CO2 и CO, вычисляются следующим образом:
6
1 2
5
de
R
c
c
c
i
dT
M
vib
vib
vib
vib
v
i
Vi
i
V
V
v
 
,
,
,
, .
O
 
K
 
 
 
1
1
2
2
Подстановка значений теплоемкостей дает
99
123
15
20
20
4
R
R
R
M
M
M
 
,
,
.
§
·
§
·
§
·
O  
K
O  
K
O  
K
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
©
¹
1
1
2
2
3
3
1
2
3
Плотность диффузионного потока определяется законом Фика:
 
,
 U
’
i
i
i
D
Y
J
где Di – эффективный коэффициент диффузии i-й компоненты. Аналогично [3, 14, 15] предполагается, 
что диффузия компонент смеси характеризуется с помощью постоянного числа Шмидта Sc = 0.5. При этом
i
i
D
K
U
 
 
(1.8)
 
.
Sc
1.2. Модель колебательно-диссоциативного взаимодействия
Колебательно-диссоциативное взаимодействие описывается источниковым членом Rv1, который входит с противоположными знаками в правые части уравнений (1.5) и (1.6) и записывается следующим 
образом:
 
,
 

1
1
1
vib
chem
v
v
v
R
R
R
 
(1.9)
где первое слагаемое определяет вклад колебательной релаксации возбужденных колебательных мод молекул CO2, а второе слагаемое – связь между химическими реакциями и колебательной релаксацией. При 
этом первое слагаемое в правой части (1.9) выражается формулой Ландау–Теллера
v
v
v
vib
v
e
T
e
T
R
Y
1
1
1
1
1
 
 

 ,
§
·

 U
¨
¸
W
©
¹
где τ1 – характерное время колебательной релаксации.
Молекула CO2 имеет три колебательные моды – продольные симметричную и антисимметричную, а 
также дважды вырожденную изгибную, характеризуемые различными временами релаксации. В многотемпературном приближении им соответствуют три колебательные температуры. Однако близость характерных частот симметричной и изгибной мод [3] и рассматриваемый высокотемпературный диапазон 
позволяет характеризовать [16, 17], колебательную энергию молекулы СО2 одной колебательной температурой Tv. В приближении гармонического осциллятора колебательная энергия молекулы СО2 записывается следующим образом [4, 16]:
2
 
,
v
3
1
2
1
1
3
1
2
1
1
1
exp
exp
exp
R
e
M
T
T
T
v
v
v
T
T
T
§
·
 


¨
¸
§
·
§
·
§
·
T
T
T
¨
¸



¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
©
¹
©
¹
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 2024

 
ОЦЕНКА НАЧАЛА ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА НА ПЛАСТИНЕ ПРИ ПОЛЕТЕ...  
7
где θ1 = 1903 K, θ2 = 945 K, θ3 = 3329 K − характеристические колебательные температуры первой, второй 
и третьей мод.
Для времени релаксации τ1 в [17] предложена универсальная зависимость
 


/
exp
.
.
,

W  

1 3
1
36 5
17 71
p
T
где τ1 измеряется в секундах, давление p − в атмосферах.
Второе слагаемое в правой части (1.9), определяющее связь между химическими реакциями и колебательной релаксацией, представляется в виде
 
.
 
v1
v1
1
chem
R
e
W
1.3. Химические реакции
В статье рассматриваются три реакции диссоциации–рекомбинации, различающиеся частицей-партнером по столкновению, которые записывается в виде (1.1). Скорости производства компонент смеси 
в системе (1.2)–(1.7) определяется следующим образом:
2
3
3
3
1
2
1
2
2
1
1
2
1
3
1
1
2
3
1
2
3
1
1
f
b
Y
Y
M
Y
Y
Y
Y
M
W
M
k
k
W
W
W
W
M
M
M
M
M
M
M
M
 
,
,
.
§
·§
·
§
·
§
·
 U

U


 
 
¨
¸¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
©
¹©
¹
Используется чисто аррениусовская кинетика, определяемая формулами [4, 16]
f
b
f
b
f
f
b
b
k
C T
k
C T
T
T
 
exp
,
exp
.
T
T
ª
º
ª
º
 

 

«
»
«
»
¬
¼
¬
¼
Более сложные модели, как известная двухтемпературная модель Парка [2], в которых учитывается 
возбуждение колебательных степеней молекул, обычно используются в более, чем пограничный слой, 
экстремальных течениях, таких как ударные волны и слои.
Принимается, что для рассматриваемых здесь реакций константы скоростей прямой kf и обратной kb 
реакций не зависят от вида частицы – партнера по столкновению. Такой выбор связан с тем, что нас в 
первую очередь интересует реакция диссоциации СО2, для которой это имеет место [18].
В расчетах использовались следующие числовые данные: Cf = 3.7 × 1011 м3/(кмоль × с), Cb = 
= 6.1 × 103 м6/(кмоль2 × с), f = 0, b = 0.75, θf = 52 500 K и θb = –10 240 K [4, 16, 18].
2. ОБЕЗРАЗМЕРИВАНИЕ И ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
В качестве характерных величин для обезразмеривания уравнений (1.2)–(1.7) выбраны текущее расстояние вдоль пластины x = L, параметры невозмущенного потока вне пограничного слоя, отмеченные 
индексом ∞: скорость U∞, плотность ρ∞ и температура T∞. Коэффициенты переноса смеси η, λ и ее компонент ηi, λi обезразмериваются на значения коэффициетов переноса для CO2 в невозмущенном потоке 
η1∞ и λ1∞, скорости прямой kf и обратной kb химических реакций – на kf∞ и kb∞, время колебательной 
релаксации τ1 – на τ1∞. Скорости производства компонент смеси Wi нормировались на комплекс 
,
2
1
f
k
M
f
f
U
а энергии e, ei, ev1 и энтальпии образования компонент смеси h0i – на комплекс T∞R/M1. Для обезразмеривания давления и времени используются комбинированные величины 
f
f
U
2
U
 и L/Uf соответственно.
В обезразмеренную систему уравнений кроме числа Шмидта (1.8) входят следующие безразмерные 
критерии – числа Рейнольдса Re
f
f
f
 K
U
1 LU
и Прандтля Pr
;
f
f
 K
O
1
1
1
p
c
 число Маха 
;
f
f
 
J
1
M
U
RT
M
 числа Дамкелера химических реакций 
f
f
 
W
Dad
d
t
 и VT-энергообменов 
.
f
f
 
W1
DaVT
t
 Здесь J = cp1/cV1 – показатель адиабаты; 
(
)
f
f
f
W
 
U
1
d
f
M
k
 – характерное время реакции 
диссоциации; W1f – характерное время релаксации колебательных мод CO2.
Для рассматриваемой задачи лиейной устойчивости обезразмеренная система (1.2)–(1.7) линеаризовалась на стационарном решении уравнений пограничного слоя в локально параллельном приближении. 
Мгновенные значения газодинамических переменных представлялись в виде суммы стационарного 
 
решения и возмущений:
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 2024

ГРИГОРЬЕВ и др.
 
( )
,
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
x
s
y
s
i
is
i
s
v
vs
v
u
U
y
u
u
v
y
Y
Y
y
Y
T
T
y
T
T
T
y
T
 

 
U  U
 U
 

 

 

c
c
c
c
c
c
где индексом s отмечено стационарное решение, а штрихом – возмущения газодинамических переменных. 
Для обоих режимов рассчитывался альтернативный случай совершенного газа при Dad = DaVT = 0. Мгновенные значения коэффициентов переноса, скоростей производства компонент смеси и времени колебательной релаксации определялись следующим образом:
 
3
3
(
)
,
s
s
i
s
Ts
Yis
i
i
f
f
i
i
f
f
T
T
Y
T
Y
T
Y
 
 
 
 
1
1
s
s
§
·
§
·
wK
wK
¨
¸
c
c
c
c
c
K  K
 K  K 

 K  K

K
¨
¸
¨
¸
¨
¸
w
w
©
¹
©
¹
¦
¦
 
3
3
(
)
,
s
s
i
s
Ts
Yis
i
i
f
f
i
i
f
f
T
T
Y
T
Y
T
Y
 
 
 
 
1
1
s
s
§
·
§
·
wO
wO
¨
¸
c
c
c
c
c
O  O
 O  O 

 O  O

O
¨
¸
¨
¸
¨
¸
w
w
©
¹
©
¹
¦
¦
,
,
,
,
 


1
2
3
W
W
W
W
T
Y
Y
Y
W
W
T
T
j
j
j
j
s
s
s
s
s
j
js
f
f
f
f
 
 
s
s
3
3
,
, , ,
, ,
,
,
,


,
,
,
W
Y
W
W
T
W
W
Y
j
f
T Y Y Y
Y
1
2
3
1
1
1 2 3
j
i
js
j Ts
j
s
j Yis
i
i
i
i
f
f
U
 
 
 
s
§
·
§
·
w
w
¨
¸
¨
¸
c
c
c
c
c
c
 
U

 


U 
¨
¸
¨
¸
w
wU
©
¹
©
¹
§
·
w
¨
¸
c
c
c
c

 


U 
 
 U
¨
¸
w
©
¹
¦
¦
 
,
,
(
)
,
(
)
,
d
d
T
T
T
T
T
T
dT
dT
i
i
i
i
s
i
is
is
i Ts
i
i
s
i
is
is
i Ts
T T
T T
 
 
§
·
§
·
K
O
c
c
c
c
c
c
¨
¸
¨
¸
K  K
 K  K

 K
 K
O  O
 O  O

 O
 O
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
s
s
1
1
1
1
1
1
 
,
(
)
.
d
T
T
T
dT
 
s
s
s
s
Ts
T T
§
·
W
c
c
c
¨
¸
W  W
 W  W

 W
 W
¨
¸
©
¹
Исследовались двумерные возмущения типа бегущих плоских волн вида
 
( , , )
( )exp[ (
)],
( )
( ,
, ,
,
,
, ,
),
c
 
D
 Z
 
D
U
T T
1
2
3
v
x y t
y
i
x
t
y
u
v
y y
y
q
q
q
 
(2.1)
где α = αr + iαi – комплексное волновое число вдоль координаты x, ω = ωr + iωi – комплексная частота, 
i – мнимая единица. Подстановка (2.1) в обезразмеренную линеаризованную систему дает систему уравнений для амплитуд двумерных возмущений, которая имеет вид
 
,
U
U  DU V  D
 0
s
s
d
D
v dy
 
(2.2)
1
1
1
1
1
1
1
1
Da
0
Sc
Sc
Sc
 
,
Re
Re
Re
s
s
s
s
y
s
s
d
dY
d
dY
d y
d
y
Dy
v
W
dy
dy
dy
dy
dy
K
K
§
·
'
 U
 D U


K

 
¨
¸
©
¹
 
(2.3)
2
2
2
2
2
2
1
1
Da
0
Sc
Sc
Sc
 
,
Re
Re
Re
s
s
s
s
y
s
s
d
dY
d
dY
dy
d
y
Dy
v
W
dy
dy dy
dy
dy
K
K
§
·
'
 U
 D U


K

 
¨
¸
©
¹
 
(2.4)
2
1
1
0
s
s
s
s
y
s
s
dU
d
dU
du
d
u
Du
v
i
i
v
dy
dy
dy
dy
dy
 
(2.5)
 
,
Re
Re
Re
K
K §
·
§
·
'
 U
 D U
 DH 
 D

K
 
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
 
,
Re
Re
Re
DK
K
H
D
DK
§
·
'
 DU




 
¨
¸
©
¹
0
s
s
s
y
s
d
dU
d
dv
i
v
D v
iu
dy
dy
dy
dy
 
(2.6)
2
2
2
s
s
s
s
y
s
s
s
s
7
M
M
2
2
de
dU
dU
du
De
v
p
i
v
dy
dy
dy
dy
Pr Re
Re
3
7
1
2
Sc
(
)
Pr Re
Re
1
j
js
s
s
s
s
pj
s
s
y
j
s
s
j
dy
dY
d
dT
d
T
d
d
d
c
T
y
T
dy dy
dy
dy
dy
dy
dy
dy
 
ª
º
O
J
§
·
' T  U
 D U
DJ
V 
K
 D
 K

«
»
¨
¸
©
¹
¬
¼
-
½
ª
º
ª
º
O
K
T
§
·
§
·
°
°


O

K
'


K
 K T

®
¾
«
»
«
»
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
°
°
¬
¼
¬
¼
¯
¿
¦
 (2.7)
 
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 2024

 
ОЦЕНКА НАЧАЛА ЛАМИНАРНО-ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕХОДА НА ПЛАСТИНЕ ПРИ ПОЛЕТЕ...  
9
( )
(
)
e
e
h W
e W
e
W
Y
Da
Da
Da
¦
3
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
v
v
v
d
j
j
d
v
s
v s
VT
s
s
s
j
 
 


e
T
e
T
Y
Y
y
Da
0
(
)
(
)
,
1
1
1
1
1
1
1
1
v s
s
v s
vs
s
s
VT
s
s
s
s
T 
T
§
·




U

¨
¸
W
©
¹

§
·
ª
º
U

U
 U

W
 
¨
¸
«
»
W
W
¬
¼ ©
¹
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
s v s
v
v s
s
s
y v
s
s
v
s v s
s
6
6
6
1
5
5
5
Sc
dY e
de
de
d
d
e
Y De
e
Dy
v
dy
dy
dy
dy
dy
Re
Re
Re
Re
e
W
Da


 (2.8)
v s
1
1
s
s
s v s
v s
s
s v s
y
v s
v
s
d
v
s
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
d Y
dY
d
e
de
dY
dy
d
e
y
e
e
e W
dy
dy
dy
dy
dy
dy
dy


§
·
K
K
'
 U
 U
 D U


K

u
¨
¸
©
¹
ª
º
K
§
·
§
·
§
·
u K
'
 K

K

 K

«
»
¨
¸
¨
¸
¨
¸
«
©
¹
©
¹
©
¹»
¬
¼
e
e
Y
e
T
e
T
Y
Y
y
( )
(
)
(
)
(
)
.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Da
Da
0
v
v
v
s
s
v s
s
v s
vs
VT
s
s
VT
s
s
s
s
s
ª
º
§
·ª
º
T 
T
U


U

U
 U

W
 
¨
¸
«
»
«
»
W
W
W
¬
¼
©
¹¬
¼
Здесь
2
2
2
1
3
s
y
s
b
d
dv
D
i
U
iu
p
dy
dy
 
,
,
,
,
Re
DK
Z
§
·
§
·
'
 
 D
 D

V  

H  

P

V
¨
¸
¨
¸
D
©
¹
©
¹
 
,
,
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
M
M
y
y
y
M
M
T
M
M
p
p
p
Y
Y
Y
T
M
M
M
M
M
Y
Y
Y
M
M
1
1
1
2
3
2
3
1
1
1
2
3
2
2
3
1
1
1
2
3
2
3
ª
º
§
·
§
·


«
»
¨
¸
¨
¸
§
·
§
·
§
·
U
U
T
©
¹
©
¹
«
»
 


 


¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
«
»
U
§
·
§
·
J
©
¹
©
¹
©
¹


«
»
¨
¸
¨
¸
«
»
©
¹
©
¹
¬
¼
3
y
y
y
Y
Y
Y
y
,
,
,
 

 


K  K T 
K
¦
1
s
s
s
Ts
Yjs
j
j
 
 
3
1
2
3
1
2
1
3
y
,
,
,
O  O T 
O
K
 K
T
W  W
T
,
,
¦
Ts
Yjs
j
j
j Ts
Ts
j
1
1
1
 
3
3
1
1
1
1
j
j Ts
j
s
j Yks
k
Ts
Yjs
i
v
v Ts
v
k
j
W
W
W
W
y
e
e
e
y
e
e
 
,
,
,
,
,
,
.
U
 
 
 
T 
U 
 
T 
 
T
¦
¦
3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
В качестве профилей стационарного течения использовались решения системы локально автомодельных уравнений пограничного слоя, которая представляется в виде
 
(
)
,
cc c
cc
U K M
 MM  0
s
s
 
(3.1)
W
Y
Y
Da
 
(3.2)
1
1
1
4
Sc
Sc
0
s
s
s
s
s
d
s
 
(
)
,
§
·
[
c c
c
U K

M

 
¨
¸
U
©
¹
W
Y
Y
Da
 
(3.3) 
2
2
2
4
Sc
Sc
0
s
s
s
s
s
d
s
 
(
)
,
§
·
[
c c
c
U K

M

 
¨
¸
U
©
¹
2
3
3
2
0
f
h
W
T
h
h Y
Pr
Pr
Pr
Pr
(
)
¦
¦
8
Da
2
M
2
7
14
7Sc
7
1
1
d
i
is
s
s
s
s
s
s
s
s
is
is
s
i
i
 
 
 


Y e
T
Y e
T
e
W
 
(3.4)




1
1
1
1
1
1
v s
s
v s
vs
VT
d
v s
s
Pr
Pr
,
8
Da
8
Da
0
7
7
1
s
s
§
·
[
J
§
·
§
·
§
·
c
c
c
cc
c c
U O

M

U K M

U K


¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
U
©
¹
©
¹
©
¹
©
¹
§
·

[
[
§
·
§
·


 
¨
¸
¨
¸
¨
¸
W
U
©
¹
©
¹
©
¹
c
c
c
c
c
U K

M

U K

s
s v s
s v s
s
s v s
s
1
1
1
1
1
1
 






e
Y e
e
Y
Sc
Y e
T
Y e
T
e
W
s v s
s
s v s
vs
VT
d
v s
s
1
1
1
1
1
1




,
 
(3.5)
5
5
6
6
10 Da
10 Da
0
3
3
1
s
s
§
·

[
[
§
·
§
·


 
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
W
U
©
¹
©
¹
©
¹
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 2024