Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа, 2024, № 1

 
Известия Российской академии наук
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ 
И ГАЗА
Январь–Февраль    № 1    2024
Выходит 6 раз в год 
Основан в январе 1966 г.
ISSN: 1024-7084
Журнал издается под руководством
Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН
Главный редактор С.Т. Суржиков
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
А.В. Аксенов, В.Б. Баранов, А.М. Гайфуллин, А.Н. Голубятников, 
В.В. Измоденов, С.А. Исаев, В.П. Карликов, А.Н. Крайко,
А.Г. Куликовский, В.А. Левин, Н.В. Никитин, 
А.Н. Осипцов (заместитель главного редактора), 
В.В. Пухначев, Е.М. Смирнов, С.А. Таковицкий, Г.Г. Цыпкин
Зав. редакцией Т.А. Каллаур
Адрес редакции: 119526, Москва,
проспект Вернадского, 101, корп. 1, тел. 8-495-434-22-21
e-mail: mzg@ipmnet.ru; http: //mzg.ipmnet.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Механика жидкости 
     и газа” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Номер 1, 2024
Развитие полного лагранжева подхода для  моделирования течений разреженных 
дисперсных сред (обзор) 
А. Н. Осипцов 
3
Аномальная интенсификация вихревого теплообмена при отрывном обтекании воздухом 
наклонной канавки на нагретом изотермическом участке пластины
С. А. Исаев, С. З. Сапожников, Д. В. Никущенко, В. Ю. Митяков, В. В. Сероштанов, Е. Б. Дубко 
52
Диффузионная устойчивость кавитационного пузырька в жидком микровключении 
под действием внешней вынуждающей силы
К. В. Леонов, И. Ш. Ахатов  
63
Диагностика ионизационных процессов в углеводородном пламени с использованием 
вольтамперных характеристик
В. А. Полянский, И. Л. Панкратьев 
77
Анализ структуры течения в сверхзвуковом канале с каверной
Р. К. Селезнев 
83
Колебания жидкости в круговом цилиндре с возвышением на дне
С. В. Нестеров, В. А. Калиниченко 
91
Движение нагрузки по ледяному покрову приналичии слоя жидкости со сдвиговым течением
Л. А. Ткачева 
99
Численное решение краевой задачи задачи для инерционно-гравитационных внутренних волн
Д. И. Воротников, А. М. Савченко 
112
Конические тела с волнообразным поперечным контуром, имеющие минимальное 
волновое сопротивление
С. А. Таковицкий 
123
Моделирование нестационарных аэродинамических характеристик профиля NACA 0015 
по данным численного расчета обтекания
К. А. Абрамова, Д. А. Алиева, В. Г. Судаков, А. Н. Храбров 
131
Диффузионно-дрейфовая модель поверхностного тлеющего разряда в сверхзвуковом потоке газа 
С. Т. Суржиков 
145

CONTENTS
No. 1, 2024
Development of the Full Lagrangian Approach for Modeling Dilute Dispersed Media Flows (a Review) 
A. N. Osiptsov 
3
Anomalous Intensifi
 cation of Vortex Heat Transfer in the Case of Separated Air Flow over an Inclined 
Groove in a Hot Isothermal Region of a Flat Plate 
S. A. Isaev, S. Z. Sapozhnikov, D. V. Nikushchenko, V. Yu. Mityakov, V. V. Seroshtanov, E. B. Dubko 
52
Diff
 usion Stability of an Externally Driven Cavitation Bubble in Micro-Confi
 nement
I. Sh. Akhatov, K. V. Leonov 
63
Diagnostics of the Ionization Processes in Hydrocarbon Flame with the Use of the Current-Voltage Characteristics
V. A. Polyanskii, I. L. Pankrat’ev 
77
Analysis of the Flow Structure in a Supersonic Channel with Cavity
R. K. Seleznev 
83
Fluid Oscillations in a Circular Cylinder with a Bottom Elevation 
S. V. Nesterov, V. A Kalinichenko 
91
Load Motion on an Ice Cover in the Presence of a Liquid Layer with Velocity Shear 
L. A. Tkacheva 
99
Numerical Solution of the Boundary Value Problem for Inertia-Gravity Internal Waves
D. I. Vorotnikov, A. M. Savchenko 
112
Conical Bodies with Star-Shaped Transverse Contour Having the Minimum Wave Drag
S. A. Takovitskii 
123
Modeling of the Unsteady Aerodynamic Characteristics of the NACA 0015 Airfoil from the Data of Numerical 
Calculations of the Flow
K. A. Abramova, D. A. Alieva, V. G. Sudakov, A. N. Khrabrov 
131
Diff
 usion-Drift Model of the Surface Glow Discharge in Supersonic Gas Flow
S. T. Surzhikov  
145

ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА, 2024, № 1, с. 3–51
 
УДК 532.529
РАЗВИТИЕ ПОЛНОГО  
ЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ 
ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННЫХ ДИСПЕРСНЫХ СРЕД (ОБЗОР)
© 2024 г. А. Н. Осипцов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,
Научно-исследовательский институт механики, Москва, Россия
E-mail: osiptsov@imec.msu.ru
Поступила в редакцию 01.10.2023 г.
После доработки 10.10.2023 г.
Принята к публикации 20.10.2023 г.
Континуальные модели сред без собственного давления широко используются в различных разделах 
физики и механики, в том числе при исследовании многофазных течений для описания разреженной 
диспергированной фазы. В средах без давления возможно пересечение траекторий частиц среды, формирование “складок” и “сборок” фазового объема, а также появление каустик (огибающих траекторий 
частиц), вблизи которых плотность среды резко возрастает. В последние десятилетия явления кластеризации и аэродинамической фокусировки инерционной примеси в потоках газа и жидкости привлекают 
все большее внимание исследователей. Это обусловлено важностью учета неоднородностей концентрации 
примеси при описании распространения аэрозольных загрязнений в окружающей среде, механизмов 
роста капель в дождевых облаках, рассеивания излучения дисперсными включениями, инициирования 
детонации в двухфазных смесях, а также при решении задач двухфазной аэродинамики, интерпретации 
измерений, полученных методами LDV и PIV, и во многих других приложениях. Перечисленные проблемы стимулируют значительный рост числа публикаций, посвященных процессам аккумуляции и 
кластеризации инерционных частиц в потоках газа и жидкости. В рамках классических двухжидкостных 
моделей и стандартных эйлеровых подходов, предполагающих однозначность континуальных параметров 
сред, оказывается невозможным описать зоны многозначности полей скорости и сингулярности плотности среды в течениях с пересекающимися траекториями частиц. Одной из альтернатив является 
полный лагранжев подход, предложенный автором ранее. В последние годы этот подход получил дальнейшее развитие в комбинации с осредненными эйлеровыми и лагранжевыми (метод вихревых доменов) 
методами описания динамики несущей фазы. Такие комбинированные подходы позволили исследовать 
структуру локальных зон накопления инерционных частиц в вихревых, нестационарных и турбулентных 
потоках. Описаны базовые идеи полного лагранжева подхода, даны примеры полученных наиболее 
существенных результатов, иллюстрирующие уникальные возможности метода, и дан обзор основных 
направлений его развития применительно к нестационарным, вихревым и турбулентным течениям сред 
типа газ–частицы. Часть обсуждаемых идей и представленных результатов имеет более общее значение, 
поскольку применима и к другим моделям сред без собственного давления.
Ключевые слова: среда без давления, многофазный поток, частица, “каустика”, сингулярность плотности, 
полный лагранжев метод, вихревой поток, вихревой домен, турбулентность, область аккумуляции частиц
DOI: 10.31857/S1024708424010012  EDN: SEELUM
ВВЕДЕНИЕ
В различных разделах физики и механики используются континуальные бесстолкновительные модели 
сред, лишенных собственного давления [1]. Пренебрежение “напряжениями” при введении континуального описания среды, состоящей из дискретных элементов (частиц), справедливо в случае, когда флуктуационными скоростями соседних частиц можно пренебречь по сравнению с их среднемассовой скоростью. 
Такие модели успешно применялись для описания динамики самогравитирующих дискретных масс 
(крупномасштабное распределение вещества во Вселенной, “блины Зельдовича” [2], формирование планетных систем, волны плотности и спиральная структура галактик [3]), “холодной” и пылевой компонент 
в плазме [4], коллективного движения птиц, насекомых и микроорганизмов [5], моделирования транспортных потоков [6] и ряда других систем.
Значительный вклад в понимание формирования особенностей плотности и каустик на границах областей пересекающихся траекторий частиц в средах без давления внесли труды В.И. Арнольда и его последователей (см., например, работу [7]). В указанных работах была проведена классификация основных 
типов возникающих каустик и сингулярностей плотности в двумерных и трехмерных течениях сред без 
3

ОСИПЦОВ 
давления, однако при этом изучались лишь движения сред по инерции либо в потенциальных силовых 
полях.
Можно упомянуть также работы [8, 9], в которых рассматривались среды без давления (либо с давлением, зависящим только от времени [10]) с условием “слипания” частиц среды при пересечении их траекторий. Иногда в литературе такое условие, применимое при значительных объемных концентрациях 
частиц, называется условием запрещенного обгона [1]. При таком ограничении возникает необходимость 
вводить в рассмотрение сильные разрывы [9], несущие конечную массу, импульс и энергию поверхностной 
фазы, движущейся вдоль разрыва [8].
Течения разреженных двухфазных сред типа “газ/жидкость — инерционные частицы/капли/пузырьки”, 
как правило, описываются в рамках двухконтинуального подхода, при этом несущая фаза, в общем случае, 
описывается уравнениями Навье–Стокса с источниковыми членами, учитывающими обратное влияние 
частиц, а дисперсная фаза моделируется континуумом, лишенным собственных напряжений [11–16]. 
Такой континуум является чрезвычайно “cжимаемым”. Более того, как отмечалось ранее, в разреженной 
“холодной” среде возможно возникновение зон пересекающихся траекторий частиц, на границах которых 
возникают каустики — огибающие траекторий. Вблизи каустик, а также точек или линий “сборки” континуума частиц происходит резкое возрастание числовой концентрации (осредненной плотности) среды 
частиц в силу локального схлопывания трубок тока дисперсной фазы [1, 7, 17].
В литературе для расчета параметров дисперсной фазы часто используются конечно-разностные методы, 
основанные на эйлеровом описании среды частиц. Такой подход предполагает однозначность полей континуальных параметров дисперсной фазы, поэтому он неприменим для исследования течений с пересекающимися траекториями частиц. Другой известный подход — использование лагранжева метода типа 
“частицы-в-ячейках” [18], основанного на отслеживании многих траекторий отдельных частиц без учета 
уравнения неразрывности дисперсной фазы. Концентрация дисперсной фазы при этом вычисляется путем суммирования всех частиц, приходящихся на одну эйлерову ячейку несущей фазы. Иногда малый 
лагранжев объем дисперсной среды заменяют “крупной частицей”, представляющей группу соседних 
частиц. Масса “крупной частицы” считается неизменной в процессе движения.
Указанный подход требует расчета неоправданно большого числа траекторий частиц для адекватного 
описания поля концентрации дисперсной фазы в областях пересекающихся траекторий и зонах больших 
градиентов концентрации, где даже малый лагранжев объем среды частиц испытывает очень большие 
деформации.
Альтернативой является полный лагранжев подход (ПЛП), предложенный автором ранее — см., например, работы [17, 19, 20]. Этот подход использует лагранжево описание полей скорости и числовой 
плотности дисперсной фазы. При этом уравнение неразрывности среды частиц, записанное в лагранжевой 
форме, решается путем привлечения дополнительных уравнений для нахождения компонент якобиана 
перехода от эйлеровых к лагранжевым переменным. Эти уравнения решаются совместно с уравнениями 
динамики частиц на выбранных траекториях дисперсной фазы.
Такой подход позволяет свести задачу определения всех континуальных параметров дисперсной фазы 
(включая плотность среды частиц) к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений 
в лагранжевых переменных на выбранных траекториях частиц и рассчитать с контролируемой точностью 
поле осредненной плотности дисперсной фазы, в том числе в областях пересекающихся траекторий 
и вблизи каустик. По сути, ПЛП является методом характеристик для уравнений дисперсной фазы, реализованным в лагранжевых переменных, с учетом возможности пересечения этих характеристик в физическом пространстве.
Наша статья содержит обзор основных результатов, полученных с использованием ПЛП и его модификаций. В разд. 1–6 описаны базовые предположения используемой бесстолкновительной модели среды, 
основные идеи ПЛП и варианты его модификации для течений с рождающимися и исчезающими частицами, для отслеживания лагранжевых материальных поверхностей и линий, расчета дифференциальных 
характеристик полей континуальных параметров среды частиц, в том числе вычисления якобиана и гессиана перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, а также для решения кинетического уравнения 
бесстолкновительной среды частиц с фазовыми переходами.
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 2024

 
РАЗВИТИЕ ПОЛНОГО  
ЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ... 
5
В разд. 7 сформулирована замкнутая эйлерово-лагранжева модель двухфазной среды, обобщающая 
классическую модель запыленного газа на случай пересекающихся траекторий частиц.
В разд. 8 приведены примеры наиболее интересных особенностей распределения концентрации среды 
частиц в стационарных и нестационарных течениях, иллюстрирующие возможности ПЛП. Обсуждаются 
каустики в сталкивающихся дисперсных потоках, задачах обтекания тел газодисперсным потоком, фокусировка частиц в течениях с ударными волнами, в узких каналах и пограничных слоях, локальные зоны 
накопления примеси в течении типа торнадо, каустики космической пыли в гелиосфере и других течениях. 
В основном приведены примеры распределений концентрации частиц, которые невозможно описать с 
использованием стандартных эйлеровых подходов.
Разделы 9–11 посвящены развитию бессеточных, полностью лагранжевых подходов для расчета параметров несущей и дисперсной фазы при исследовании нестационарных вихревых газодисперсных течений 
с несжимаемой вязкой несущей фазой. Описан бессеточный лагранжев метод, основанный на комбинации 
ПЛП для дисперсной фазы и метода вязких вихревых доменов для несущей фазы. Обсуждаются примеры 
расчета плоских вихревых двухфазных течений, течений с вихревыми кольцами и импульсных газодисперсных струй, в том числе — с учетом полидисперсности и испарения дисперсной фазы.
Наконец, в заключительном разд. 12 приведены примеры использования модифицированного ПЛП 
для расчета зон предпочтительной аккумуляции инерционных частиц в пульсирующих и турбулентных 
потоках.
1. О МОДЕЛИ РАЗРЕЖЕННОЙ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ
Рассматривается смесь, состоящая из несущей фазы (жидкости или газа) и сферических включений, 
имеющих радиус  и массу m. В общем случае при учете фазовых переходов радиус и масса частиц могут 
изменяться в процессе движения среды. Температура вещества частиц Ts предполагается однородной по 
объему частицы. Объемная концентрация дисперсной фазы считается пренебрежимо малой, столкновениями частиц и броуновскими эффектами пренебрегается. Режим обтекания отдельных частиц может 
варьировать в широких пределах: от континуального до свободномолекулярного. В общем случае при 
наличии распределения частиц по размерам, скоростям и температурам осредненное поведение дисперсной фазы может быть описано с помощью бесстолкновительного кинетического уравнения для одночастичной функции распределения f  
(1)(t, r, c, Ts, ):
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
( /
)
( / )
0.
s
 
f
q c m
f
f
f
m
f
j
t
T















f
c
r
c
 
(1.1)
s
Здесь t — время, c — скорость, r — радиус-вектор, f — сила, действующая на пробную частицу, q — приток тепла к частице со стороны несущей фазы, cs — теплоемкость вещества частицы, j — скорость изменения радиуса частицы (за счет испарения, горения или конденсации). Частные производные по векторным переменным для краткости обозначают дивергенцию по компонентам соответствующих векторов. 
В общем случае в число фазовых переменных могут быть добавлены и другие параметры, например, 
угловая скорость вращения частиц, параметр формы и пр.
Числовая концентрация ns и макроскопическая скорость Vs дисперсной фазы определяются стандартным 
образом:
 
(1)
(1)
( , )
,
.
s
s
s
s
s
n t
f
d d dT
n
f
d d
dT






r
c
V
c c
Индекс s здесь и далее относится к макропараметрам среды частиц.
На макромасштабе несущая фаза в общем случае описывается уравнениями Навье–Стокса с дополнительными источниковыми членами Q1, Q2 и Q3, которые учитывают межфазный обмен массой, импульсом 
и энергией. Если массообмен отсутствует (  j = Q1 = 0), источниковые члены в правых частях уравнения 
импульса и уравнения энергии, записанного в форме уравнения притока тепла, имеют вид
 
(1)
(1)
(1)
2
3
,
(
)
.
s
s
s
f
d d dT
Q
f
qd dT d
f
d dT d









f c
c
f c
V
c
Q
Здесь V — скорость несущей фазы. В последнем соотношении первый член описывает приток тепла от 
частиц к несущей фазе, а второй — работу сил трения на относительном перемещении фаз. В частном 
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 2024

ОСИПЦОВ 
случае отсутствия фазовых переходов и распределения частиц по температурам кинетико-континуальное 
описание двухфазной среды использовалось, например, в работах [21–23]. В абсолютном большинстве 
публикаций по моделированию дисперсных сред используются дальнейшие упрощения: считается, что 
фазовые переходы отсутствуют, а среду частиц можно разбить на конечное число сортов частиц с концентрациями nsk. Частицы каждого сорта имеют одинаковый размер, одинаковые локальные скорости Vsk и 
температуру Tsk (k — номер сорта частиц). Здесь, как и ранее, Tsk — температура материала частиц, а не 
термодинамическая температура континуума частиц, которая для каждого сорта частиц в принятых предположениях равна нулю. Предполагается, что функция распределения по скоростям и температурам для 
частиц k-го сорта имеет вид дельта-функции Дирака
 
(1)
( , ) (
) (
).
sk
sk
s
sk
f
n
t
T
T





r
c
V
Для такой функции распределения из кинетического уравнения для k-го сорта частиц стандартным 
образом, после интегрирования по скоростям и температурам, получаются уравнения “холодного” континуума (индекс k в дальнейшем опущен)
 
div(
)
0,
,
.
s
s
s
s
s
s
s
s
n
d
dT
n
m
c m
q
t
dt
dt






V
V
f
 
(1.2)
При формулировке уравнений “холодной” среды вместо числовой плотности частиц ns часто используют массовую плотность ρs = mns и переписывают уравнения (1.2) в более привычном для механики 
сплошной среды виде:
 
div(
)
0,
,
,
,
.
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s s
s
s s
d
dT
c
Q
n
Q
n q
t
dt
dt











V
V
F
F
f
В данном случае скорость континуума частиц Vs совпадает с реальной скоростью пробной частицы, 
fs — осредненная сила, действующая на пробную частицу (в зависимости от условий обтекания частиц fs 
может задаваться различными выражениями и включать составляющие негидродинамической природы), 
qs — осредненный тепловой поток к пробной частице. В качестве fs и qs обычно используют выражения 
для силы и притока тепла для одиночной сферы в вязком потоке несущей фазы, параметры которого 
(V и T ) находятся из осредненных уравнений несущей фазы. Выражения для fs и qs зависят от локальных 
условий обтекания частицы, т. е., в основном, от локальных значений чисел Рейнольдса и Маха обтекания 
частиц:
 
2
Re
,
M
.
s
s
s
s
a






V
V
V
V
Здесь ,  и a — плотность, динамическая вязкость и скорость звука несущей фазы. Например, при 
обтекании малой частицы (капли, пузырька) вязкой средой при малых числах Рейнольдса суммарная сила, 
действующая на частицу со стороны несущей фазы, имеет вид [24]
3
V
f
f
f
f
f
f
V
V
f
g
s
St
Ar
vm
BB
St
s
Ar
d
dt
4
;
6
(
),
,
3
















 
(1.3)
 
3
2
V
V
V
V
f
f
t
s
s
s
s
vm
BB
(
)/
2
;
6
/
.
3
d
d
d
d
d
dt
dt
t

















0
Здесь fSt, fAr, fvm и fBB — силы Стокса, Архимеда, присоединенных масс и Бассэ–Буссинеска соответственно. Индекс s при производной здесь обозначает дифференцирование вдоль траектории частицы. Для 
газовзвесей и аэрозолей первая сила (сила аэродинамического сопротивления при стационарных условиях 
обтекания) значительно превосходит все остальные. При конечных числах Рейнольдса обтекания частицы 
ее принято представлять в виде
 
2
1
(
)
.
2
d
d
s
s
C





f
V
V
V
V
Здесь Cd — коэффициент сопротивления, в общем случае зависящий от чисел Res и Ms обтекания частицы. При малых числах Маха для Cd часто используется формула Л.С. Клячко [25], удовлетворительно 
аппроксимирующая стандартную кривую сопротивления сферы до Res ~ 103:
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 2024

 
РАЗВИТИЕ ПОЛНОГО  
ЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ... 
7
 
2/3
24
1
1
Re
.
Re
6
d
s
s
C








В условиях обтекания частицы в режиме сплошной среды при конечных Ms для Cd широко используются 
аппроксимационная формула из работы [26]. Выражение для Cd при свободномолекулярном режиме обтекания частиц можно найти, например, в работе [27]. При учете вращения частиц и движении частиц в 
узких областях с большими градиентами продольной скорости (пограничных слоях, слоях смешения, 
узких каналах) важную роль играют подъемные силы, действующие на частицы (см. примеры в разд. 8). 
Среди сил негидродродинамической природы, влияющих на динамику частиц, часто учитываются сила 
тяжести mg (здесь g — в общем случае, градиент гравитационного потенциала) и сила Лоренца (в системе 
СИ), действующая на заряженную частицу с зарядом e во внешнем электромагнитном поле с напряженностями E и B [23, 28]
 


(
)
.
L
s
e



f
E
V
V B
Для теплового потока к частице чаще всего используется аппроксимационная формула Ранца–Маршалла [29]:
 
1/2
1/3
4
(
) (Re ,Pr,M ),
1
0.3Re
Pr
.
s
s
s
s
s
q
T
T G
G





В случае конечных чисел Маха обтекания частиц для поправочной функции G можно использовать 
аппроксимационную формулу из [26].
В уравнениях несущей фазы источниковые члены, соответствующие одному сорту частиц, принимают 
вид
 
2
3
,
(
).
s s
s s
s s
s
Q
n
Q
n q
n




f
f
V
V
 
(1.4)
В общем случае уравнения (1.2) должны решаться для каждого сорта частиц, а источниковые члены 
в уравнениях несущей фазы равняются сумме выражений (1.4) по всем сортам частиц.
Решение уравнений “холодного” континуума (1.2) является важнейшим элементом моделирования 
разреженных дисперсных потоков для большинства используемых в настоящее время моделей многофазных сред. При конечных массовых концентрациях частиц их влияние на несущую фазу обычно учитывается путем итераций по величине источниковых членов (1.4), при этом на каждом шаге итераций поля 
параметров несущей фазы в (1.2) считаются известными.
Как отмечалось во введении, аналогичные модели среды без собственного давления (с другими выражениями для сил, действующих на частицы) используются во многих разделах физики и механики, поэтому 
часть результатов, представленных ниже, применима не только в механике многофазных сред.
При использовании уравнений типа (1.2) основные математические трудности связаны с очень высокой “сжимаемостью” континуума невзаимодействующих частиц. Более того, в некоторых областях течения траектории частиц могут пересекаться в одних и тех же точках пространства, формируя “сборки” и 
“складки”, на границах которых (каустиках) концентрация дисперсной фазы неограниченно возрастает 
[1, 7, 17]. 
Вопрос о границах применимости модели невзаимодействующих частиц при наличии зон накопления 
или пересечения траекторий частиц обычно решается на основе дополнительного микроструктурного 
анализа. Примеры такого анализа приведены в работе [17], где с использованием элементов теории вероятности, в предположении пуассоновского распределения числа частиц в конечном объеме, получены 
выражения для среднего значения (математического ожидания) расстояния между частицами M(l) и его 
дисперсии D(l) в точках неограниченного роста числовой плотности частиц на каустиках:
1/
3

 
(1.5)
 
s
s
k
L
D l
s
s
M l
s
M
l
s
s
2
2
s
3
( )
2
(2/ )
,
1.
( )
(1 / ) 4
( )
(1/ )

























Здесь Γ — гамма-функция Эйлера, L — макромасштаб длины для рассматриваемой задачи, на котором 
среда частиц описывается континуальными уравнениями, 
3
s
(4/3)
s
n





 — характерная объемная 
доля среды частиц вдали от сингулярности концентрации, а положительные константы (интегральные 
характеристики сингулярности) k и s определяются из следующих соображений.
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 2024

ОСИПЦОВ 
Рассмотрим точку x0, лежащую на каустике, в которой числовая плотность среды частиц неограниченно 
(но интегрируемым образом) возрастает, и окружим эту точку сферой r радиуса r. Предположим, что при 
малых r/L среднее число частиц в сфере r имеет следующее асимптотическое представление:
s
s
 
( / )
.
















s
s
r
r
N
r L
n dv
k
o
L
L

r
Из выражения (1.5) следует, что, несмотря на неограниченный рост числовой плотности на каустике, 
среднее расстояние между частицами остается конечным, поскольку конечный лагранжев объем среды 
частиц “схлопывается” не в точку, а в конечный элемент поверхности с конечной поверхностной плотностью среды частиц. Оценки показывают [17], что для большинства типичных сингулярностей плотности 
среды частиц, возникающих при моделировании течений газовзвесей в условиях, представляющих интерес для приложений, среднее расстояние между частицами в точках сингулярности числовой плотности 
остается много больше размера частиц, т. е. бесстолкновительная модель дисперсной фазы остается применимой.
На каустиках, являющихся огибающими траекторий частиц в точках разворота траекторий и лежащих 
в области конечных значений скорости несущей фазы, числовая плотность частиц имеет интегрируемую 
сингулярность типа 
0
1/
|
|

x
x
 [30], где 
0
|
|

x
x
 — расстояние до точки сингулярности x0. При учете 
небольшого распределения частиц по скоростям (малого отличия исходной функции распределения частиц 
по скоростям от дельта-функции) числовая плотность среды частиц вблизи каустики становится конечной, 
оставаясь достаточно большой [31].
Имеющиеся в литературе оценки границ применимости бесстолкновительной среды для моделирования течений с локальными зонами пересекающихся траекторий частиц показывают, что в условиях, 
представляющих интерес для большинства приложений, для инерционных частиц (размером более 1 мкм) 
бесстолкновительная модель остается применимой при исходной объемной концентрации, не превосходящей величину ~ 10–4–10–5 (см., например, работы [31–32]).
С увеличением концентрации дисперсной фазы возрастает вероятность столкновений между частицами, 
движущимися по пересекающимся траекториям, например, вблизи тела, обтекаемого запыленным газом 
с инерционными частицами, отражающимися от обтекаемой поверхности. Существует довольно много 
публикаций, посвященных построению полуэмпирических столкновительных моделей дисперсных систем 
(см., например, [33–35]), в которых используются статистические и кинетические подходы и предположения, во многом аналогичные теории газовых смесей. В частности, как правило, предполагается быстрая 
“максвеллизация” функции распределения сталкивающихся частиц по скоростям.
Последнее предположение является необоснованным при учете гидродинамического взаимодействия 
частиц в несущей вязкой среде, где локальная функции распределения частиц по скоростям существенно 
зависит от предыстории скоростной релаксации частиц и их начального пространственного распределения 
[36]. 
Наиболее перспективными представляются подходы, использующие кинетико-континуальные модели 
двухфазной среды с расчетами неупругих столкновений частиц методом Монте-Карло [37], при этом 
описание межчастичных столкновений при наличии вязкой несущей фазы требует привлечения эмпирической информации о коэффициентах аккомодации импульсов и моментов импульсов сталкивающихся 
частиц. Несмотря на обилие публикаций, построение обоснованных моделей дисперсных систем с конечным объемным содержанием частиц при учете их гидродинамического взаимодействия и контактных 
столкновений является очень сложной и не решенной до настоящего времени проблемой механики многофазных сред.
Ниже рассматривается предельная модель полностью бесстолкновительной среды частиц, справедливая для достаточно разреженных дисперсных систем.
2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ПОЛНОГО ЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА
Для вычисления концентрации частиц в зонах пересекающихся траекторий (“складок”) частиц и вблизи 
каустик естественно перейти от эйлерова к лагранжеву описанию среды частиц. В качестве лагранжевых 
координат для простоты используем значения декартовых координат выбранной лагранжевой частицы 
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 2024

 
РАЗВИТИЕ ПОЛНОГО  
ЛАГРАНЖЕВА ПОДХОДА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ... 
9
x0, y0, z0 в некоторый момент, принятый за начало отсчета t = 0. Рассматривая радиус-вектор выбранной 
частицы rs, скорость Vs и температуру Ts как функции лагранжевых координат r0 = (x0, y0, z0) и времени t, 
уравнения (1.2) можно записать в лагранжевой форме:
 
,
0
0
0
,
,
( , ) det( )
( ,0).
s
s
s
s
s
s
s
s
s
T
m
c m
q
n
t
J
n
t
t
t










r
V
V
f
r
r
 
(2.1)
Здесь компоненты матрицы Якоби J имеют вид Jij
  = ∂xi / ∂x0j (i, j = 1, 2, 3; x1 = x, x2 = y, x3 = z). При фиксированном значении r0 первые три уравнения превращаются в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющих рассчитать данную траекторию частиц и распределение скорости и температуры дисперсной фазы вдоль этой траектории. Если бы компоненты якобиана Jij
  на траектории были 
известны, то из последнего соотношения (2.1) можно было бы найти распределение концентрации частиц 
вдоль данной траектории. В большинстве моделей разреженных дисперсных сред межфазная сила fs считается известной функцией координат, скоростей и температур фаз (а также производных параметров 
несущей фазы по эйлеровым координатам и времени), но не зависит явно от концентрации частиц. Последнее условие позволяет вывести замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для 
компонент Jij
  на траектории частиц. Продемонстрируем вывод на примере стоксовой межфазной силы. 
Пусть
 
2 0
s
2
(
),
.
6
9
s
s
m
m








f
V
V
Здесь τ — время скоростной релаксации частиц, ρs
0 — плотность вещества частиц. Дифференцируя 
первые два векторных уравнения (2.1) по лагранжевым координатам x0j и меняя порядок дифференцирования по времени и x0j, получаем систему
 
0
1
,
,
.
ij
ij
i
si
ij
kj
ij
ij
k
j
k
J
v
v
J
t
t
x
x






















  
(2.2)
Таким образом, если скорость несущей фазы и ее производные по эйлеровым координатам известны, 
уравнения (2.1) совместно с (2.2) составляют замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и конечного соотношения, позволяющих определить все параметры дисперсной фазы, 
включая концентрацию, на выбранной траектории частиц.
Для трехмерных неустановившихся течений порядок системы ОДУ для расчета одной траектории, 
компонент скорости, температуры и вспомогательных функций Jij
 , ij
 , необходимых для расчета концентрации частиц вдоль этой траектории, равен 25, для двумерных — 13. Начальные условия для указанной 
системы ОДУ получают естественным образом из граничных условий для рассматриваемого течения. 
Например, если расчет траектории начинается из области однородного потока частиц, направленного 
вдоль оси x, то при t = 0 имеем r = r0, Ts = Ts0, ns = ns0, us = us0, vs = 0, ws = 0, Jii  = 1, Jij
  (i ≠ j) = 0, ij
  = 0. При 
использовании других моделей межфазного взаимодействия уравнения для вспомогательных функций ij
  
имеют более сложный вид (см., например, [23, 27, 38–41], но описанная выше процедура вывода этих 
уравнений остается неизменной.
Предложенный метод расчета концентрации частиц устраняет проблему пересекающихся траекторий, 
так как различным траекториям, пересекающимся в одной и той же точке физического пространства, 
соответствуют различные значения лагранжевых координат r0 и t. Границы областей пересекающихся 
траекторий (каустики) легко определяются в процессе расчета, поскольку на них якобиан обращается 
в ноль.
Расчет концентрации можно продолжить за точку пересечения траекторий частиц, при этом для автоматического учета возникновения “складки” определитель в уравнении неразрывности среды частиц, 
в общем случае, следует взять по модулю, как это сделано в выражении (2.1), поскольку за точкой пересечения траекторий меняется направление обхода лагранжева элемента. Если траектория частиц пересекает поверхность сильного разрыва параметров несущей фазы (например, ударную волну [41]), правые 
части ОДУ (2.1)–(2.2) и переменные Jij
 , ij
 , также претерпевают разрывы. При этом для продолжения 
расчетов параметров дисперсной фазы после разрыва на выбранной траектории следует учитывать непрерывность координат и скоростей среды частиц, а также их производных вдоль поверхности разрыва.
ИЗВЕСТИЯ РАН. МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 2024