Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2024, № 4

Российская академия наук
ДОКЛАДЫ 
РОССИЙСКОЙ 
АКАДЕМИИ НАУК 
МАТЕМАТИКА,
ИНФОРМАТИКА,
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
Том 518    2024   Июль–Август
Основан в 1933 г.
Выходит 6 раз в год
ISSN 2686-9543
Журнал издается под руководством
Президиума РАН
Редакционный совет
Г.Я. Красников (председатель), В.Я. Панченко, С.Н. Калмыков,
Н.С. Бортников, А.Г. Габибов, В.В. Козлов, О.В. Руденко
Главный редактор
А.Л. Семенов
Редакционная коллегия
А.А. Галяев (заместитель главного редактора),
В.П. Платонов (заместитель главного редактора), В.А. Васильев,
С.Н. Васильев, С.С. Гончаров, И.А. Каляев, В.В. Козлов,
А.Б. Куржанский, И.А. Соколов,
И.А. Тайманов, Д.В. Трещев, Б.Н. Четверушкин
Ответственный секретарь Ю.В. Чехович
Заведующая редакцией Т.А. Оловянникова
Адрес редакции: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 14
E-mail: doklady_mathematics@mail.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
Оригинал-макет подготовлен ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Доклады российской
академии наук. Математика, информатика, 
процессы управления” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 518, 2024
МАТЕМАТИКА
Об устранимых особенностях гармонических функций  
на стратифицированном множестве
Н. С. Даирбеков,  О. М. Пенкин,  Д. В. Савастеев	
5
О гиперэллиптических кривых нечетной степени  
и рода g с 6 точками кручения порядка 2g + 1
Г. В. Федоров	
10
Об условии разрушения типа Дини для решений нелинейных  
дифференциальных неравенств высокого порядка
А. А. Коньков,  А. Е. Шишков 	
18
О таутохронных движениях
А. Г. Петров	
22
Численно-аналитическое  решение уравнений Брента
И. Е. Капорин	
29
Достаточное условие полиномиальной разрешимости  
случайных 3-КНФ формул
С. И. Уваров	
35
Преодоление многоногим роботом широких препятствий
Ю. Ф. Голубев	
40
Новые случаи интегрируемых консервативных и диссипативных  
динамических систем девятого порядка
М. В. Шамолин	
51
Множество банаховых пределов  
и его дискретное и непрерывное подмножества
Н. Н. Авдеев,  Р. Е. Зволинский,  Е. М. Семенов,  А. С. Усачев	
61
О точности вычисления инвариантов внутри центрированных  
волн разрежения и в областях их влияния
В. В. Остапенко,  Е. И. Полунина,  Н. А. Хандеева	
65
Компактификация пространств мер и псевдокомпактность
В. И. Богачев	
75

Новая спектральная мера сложности  
и её возможности по обнаружению сигналов в шуме
А. А. Галяев,  В. Г. Бабиков,  П. В. Лысенко,  Л. М. Берлин	
80
Дополнение к статье “Новая спектральная мера сложности  
и её возможности по обнаружению сигналов в шуме”
А. А. Галяев,  В. Г. Бабиков,  П. В. Лысенко,  Л. М. Берлин	
89

CONTENTS
Volume 518, 2024
MATHEMATICS
On removable singularities of harmonic functions  
on a stratified set
N. S. Dairbekov,  O. M. Penkin,  D. V. Savasteev	
5
On hyperelliptic curves of odd degree and genus g  
with 6 torsion points of order 2g + 1
G. V. Fedorov	
10
On a Dini type blow-up condition for solutions  
of nonlinear higher order differential inequalities
A. A. Kon’kov,  A. E. Shishkov	
18
About tautochronic movements
A. G. Petrov	
22
Semi-analytical solution of Brent equations
I. E. Kaporin	
29
Sufficient condition for polynomial solvability  
of random 3-CNF formulas
S. I. Uvarov	
35
Getting over wide obstacles by the multi-legged robot
Yu. F. Golubev	
40
New cases of integrable ninth-order conservative  
and dissipative dynamical systems
M. V. Shamolin	
51
The set of Banach limits and its discrete  
and continuous subsets
N. N. Avdeev,  R. E. Zvolinskii,  E. M. Semenov,  A. S. Usachev	
61
On the accuracy of calculating invariants in centered  
rarefaction waves and in their influence area
V. V. Ostapenko,  E. I. Polunina,  N. A. Khandeeva	
65
Compactification of spaces of measures and pseudocompactness
V. I. Bogachev 	
75

A new spectral measure of complexity and its capabilities  
for detecting signals in noise
A. A. Galyaev,  V. G. Babikov,  P. V. Lysenko,  L. M. Berlin	
80
Addition to the article “A new spectral measure of complexity  
and its capabilities for detecting signals in noise”
A. A. Galyaev,  V. G. Babikov,  P. V. Lysenko,  L. M. Berlin	
89

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, том 518, 
с. 5–9
	
 МАТЕМАТИКА 	
УДК 517.596.2
ОБ УСТРАНИМЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 
НА СТРАТИФИЦИРОВАННОМ МНОЖЕСТВЕ
© 2024 г. Н. С. Даирбеков1, 2, *,  О. М. Пенкин1, 3, **,  Д. В. Савастеев3, ***
Представлено академиком РАН И. А. Таймановым 
Поступило 26.05.2024 г.  
После доработки 21.06.2024 г.  
Принято к публикации 05.07.2024 г.
Рассматриваются множества устранимые для гармонических функций на стратифицированном множестве с плоскими внутренними стратами. Установлено, что относительно замкнутые множества конечной (
2)
n −
-меры Хаусдорфа является устранимыми для ограниченных гармонических функций 
на n-мерном стратифицированном множестве, удовлетворяющему условию “усиленной прочности”. 
Ключевые слова: стратифицированная мера, мягкий лапласиан, среднее значение, неравенство Харнака 
DOI: 10.31857/S2686954324040015, EDN: YZPYUE
1. ВВЕДЕНИЕ
Многие факты теории эллиптических уравнений получили свои аналоги для уравнений на 
стратифицированных множествах. Среди них 
лемма о нормальной производной [1], принцип 
максимума [5, 6, 7], оценки нормы Гельдера [8], 
неравенство Харнака [9], теорема о среднем [10] 
и т.д.
Описание устранимых особенностей решений дифференциальных уравнений с частными 
производными в заданном функциональном 
классе традиционно привлекает внимание большого числа исследователей. Классическим результатом в этом направлении является теорема 
Карлесона об устранимости относительно замкнутого множества нулевой 2-емкости, в частности, относительно замкнутого множества конечной (
2)
n −
-меры Хаусдорфа, для ограниченных 
гармонических функций на области эвклидова 
пространства Rn (см., например, [11]).
Теория дифференциальных уравнений и 
уравнений в частных производных на стратифицированных множествах является относительно 
новым направлением современной математики. 
Систематические исследования дифференциальных уравнений на геометрических графах, 
представляющих собой одномерные стратифицированные множества, были начаты в конце 
80-х годов и в настоящее время им посвящена огромная литература (см., например, [1, 2]). 
Уравнения в частных производных на стратифицированных множествах более высокой размерности изучены гораздо хуже. Началом исследований в этой области можно считать работу 
Р. Куранта [3], в которой рассмотрены колебания мембраны с приклеенным многоугольником 
из струн. Однако систематические исследования 
начались значительно позже и прогресс был достигнут благодаря введению понятия стратифицированной меры и дифференциальных операторов, связанных с ней (см. [1, 4]).
В данной работе приводится аналог этой 
теоремы 
для 
ограниченных 
гармонических 
функций в смысле “мягкого лапласиана” на 
стратифицированном множестве с плоскими 
внутренними стратами.
Основной результат утверждает, что относитель1 Институт математики и математического 
моделирования, Алматы, Казахстан
2 Университет SDU, Каскелен, Казахстан
3 Воронежский государственный университет, 
Воронеж, Россия
*E-mail: nurlan.dairbekov@gmail.com
**E-mail: o.m.penkin@gmail.com
***E-mail: savasteev@gmail.com
но замкнутое множество конечной (
2)
n −
-меры 
Хаусдорфа является устранимым для ограниченных гармонических функций на n-мерном стратифицированном множестве, удовлетворяющему условию “усиленной прочности”. Для n = 2 
ранее в работе [12] была установлена устрани5

ДАИРБЕКОВ и др.
некоторого 
k -мерного аффинного подпространства RN .
мость 0 -мерных страт (вершин) для гармонических функций на 2 -мерном стратифицированном множестве.
2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Множество     назовем µ -измеримым, 
если каждое пересечение 

kj 
 измеримо в 
смысле k -мерной меры Лебега на σkj . Нетрудно 
заметить, что множество M
Ω всех µ -измеримых 
множеств является σ -алгеброй на Ω. Стратифицированная мера   на Ω (точнее на M
Ω) 
определяется формулой: 




k
kj





( ) =
(
),
kj
Под стратифицированным множеством Ω 
мы понимаем связное подмножество эвклидова пространства RN , состоящее из конечного 
числа попарно непересекающихся связных подмногообразий (без края), называемых стратами. Множество всех страт обозначим через Σ , а 
сами страты через σkj : 
=
.




kj

∪
kj
в которой 

k
kj
(
) обозначает k -мерную меру 
Лебега множества 


kj
kj
=

. Измеримость 
функции f :   R  определяется стандартно: f  
является µ -измеримой, если лебеговы множества L
c
X
f X
c
f ( ) = {
:
(
)
}



 принадлежат M
Ω 
при всех c ∈R . Нетрудно заметить, что интеграл 
Лебега µ -измеримой функции по µ -измеримому множеству ω  сводится к сумме 
Первый индекс показывает размерность страты, 
а второй является номером страты данной размерности. Предполагаются выполненными следующие требования на взаимные примыкания 
страт: 
=
.



 
k



f d
f d



kj
kj
•	 замыкание σkj  каждой страты компактно, 
а ее граница ∂σ
σ
σ
kj
kj
kj
=
\
 является объединением некоторых страт в Σ ; 
Мы часто будем опускать Ω в обозначении , 
надеясь, что стратифицированное множество 
однозначно определяется контекстом.
•	 для любых двух страт 

kj
mi
,
   пересечение замыканий σ
σ
kj
mi
∩
 либо пусто, либо состоит из некоторых страт набора Σ . 
Обозначение 
Всюду далее соотношение σ
σ
kj
mi
≺
 означает 



C1(
)
Ω
 далее применяется к 
пространству касательных векторных полей F  
на Ω, сужения 
F
ki
|σ  которых на каждую страту 


kj
mi
 
. В этом случае мы говорим, что страты примыкают друг к другу.
ki    принадлежат пространству C
kj
1(
)
σ
.


Дивергенция векторного поля 
F
C

1( )
  в точке X
kj



  задается формулой: 
Множество Ω, как подмножество RN , наследует его стандартную топологию; все топологические понятия, встречающиеся далее, предполагаются отнесенными к данной топологии.
 








i
i
(
) =
(
)
(
0
)
,
≻
F X
F X
F X
k
k
i
kj
1








Множество Ω предполагается представленным в виде объединения 



 
 (“внутренности” и “границы”), в котором Ω  — связное 
открытое подмножество Ω, состоящее из некоторых страт из Σ  и удовлетворяющее равенству 

где суммирование проводится по всем (
1)
k +
- 
мерным стратам k
i
1 , примыкающим к σkj. 
Здесь ∇k  в правой части обозначает оператор 
обычной, k -мерной, дивергенции, примененный к сужению 
F kj
|  на страту σkj , 
νi  — единичная внутренняя нормаль к σkj  в k
j
1  в точке 
Ω
Ω
 =
, а оставшаяся часть 




=
\
 оказывается тогда топологической границей множества Ω .

X, а 


F X
i
(
0
)

 
 — предел 
F Y
( ) при Y
k
i



1 , 
стремящемся к X  изнутри страты 

k
i
kj
1 ≻
.
Определения стратифицированного множества и относящихся к нему понятий в более общей ситуации можно найти в [1]. Эти определения, в значительной степени, инспирированы 
работой [13].
Так определенная дивергенция является точным аналогом классической. Можно показать, 
что, как и в обычной ситуации, дивергенция 
 

F X
(
), является плотностью потока векторного поля 

F  в точке X , отнесенной к стратифицированной мере.
В данной статье все внутренние страты предполагаются плоскими в следующем смысле: каждая страта kj    является подобластью 
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 518
2024

Об устранимых особенностях гармонических функций
Для достаточно гладкой скалярной функции 
u  градиент ∇u  является касательным векторным 
полем (в этом случае ∇u  представляет собой просто набор градиентов сужений u  на страты), поэтому естественно определить лапласиан на стратифицированном множестве посредством формулы 
u
u
=
(
)
  
. Так определенный лапласиан часто 
называют “жестким”. В данной работе мы рассматриваем только так называемый “мягкий” лапласиан, определяемый следующим образом.
Как отмечалось во введении, для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах получены аналоги многих результатов 
из теории таких уравнений на областях эвклидова пространства. Для результатов настоящей 
работы ключевую роль играют аналоги теоремы 
о среднем и неравенства Харнака.
Шар B
X
X
d X X
r
r(
) = {
: ( ,
) < }
0
0
 
, относительно внутренней метрики d(, )
⋅⋅ на Ω, называется допустимым, или, подробнее, открытым шаром допустимого радиуса r > 0  с центром в точке 
Страта σkj  называется свободной, если она 
не примыкает ни к какой страте большей размерности. Мягкий лапласиан функции u  на Ω 
определяется равенством 

u
p u
=
(
),
 

где p = 1 на свободных стратах, p = 0  на остальных стратах.
Явное выражение мягкого лапласиана в точках свободных страт совпадает с обычным лапласианом.
Если же страта σkj  не является свободной, 
но существуют свободные страты 

k
i
kj
1 ≻
, то 
тогда в точке X
kj
 
 выражение для мягкого лапласиана имеет следующий вид: 






i
i
(
) =
(
0
)
,
X0  , если r  меньше расстояния от X0  до всех 
страт, замыкания которых не содержат X0. В этом 
случае множество S
X
X
d X X
r
r(
) = {
:
( ,
) = }
0
0
 
 
называется допустимой сферой. Допустимые 
шары и сферы наследуют естественную стратификацию из Ω. Например, для допустимой сферы S  все непустые пересечения kj
S

, kj  , 
являются ее (
1)
k −
-мерными стратами. Стратифицированная мера µS  на стратифицированной 
сфере S  определяется также, как на произвольном стратифицированном множестве.
Пусть Ω — стратифицированное множество, 
у которого все свободные страты имеют одну и 
ту же размерность n . В этом случае p = 1 на всех 
n-мерных стратах и обращается в нуль на всех 
других стратах из Σ .
Для X0    и допустимой сферы S
X
r(
)
0  рассмотрим среднее значение по сфере: 
≻
u X
u X
1


k
i
kj





M S
X
u
S
X
pud
r
r
p
Sr X
S
(
)
=
1
(
)
,
0
0
( 0)




в котором суммирование распространяется на 
все свободные страты 

k
i
kj
1 ≻
.
где S
X
pd
r
p
Sr X
S
(
)
=
0
( 0)

 .
Наконец, если страта не является свободной 
и не примыкает ни к каким свободным стратам 
на единицу большей размерности, то на такой 
страте ∆
u = 0  автоматически.
Определение 1. Для открытого множества 
Теорема А (о среднем [10]). Пусть Ω — стратифицированное множество, у которого все свободные 
страты имеют одну и ту же размерность, u  — 
 
гармоническая функция на Ω, X0    и S
X
r(
)
0  — 
допустимая сфера. Тогда 
U    обозначим через 
C
U
loc
2 ( ) множество 
функций u U
:
→R , удовлетворяющих следующим 
условиям: 
M S
X
u
u X
r(
)
= (
).
0
0


•	 u  непрерывна на U , 
•	 для каждой свободной страты σni  сужение 
u U
ni
|

 дважды непрерывно дифференцируемо, 
а градиент ∇u  этого сужения имеет непрерывное 
продолжение в каждую точку X
U
n
j




1  любой 
внутренней страты n
j
1 , примыкающей к σni. 
Функция u U
:
→R  называется гармоничеЗамечание 1. Аналогичное утверждение верно, если 
вместо средних по допустимым сферам рассмотреть средние по допустимым шарам. 
Следующее утверждение является точным 
аналогом классического неравенства Харнака.
Теорема B ([9]). Пусть Ω — стратифицированное 
множество, а K  — произвольный компакт в Ω. 
Тогда для каждой неотрицательной гармонической 
в Ω  функции u  выполняется неравенство 
ской на U, если u
C
U
∈loc
2 ( )  и u  удовлетворяет 
уравнению 
u X
C
u X

sup
inf
(
)
(
)
∆
u X
(
) = 0
X
K
X
K


с константой C
C K
=
(
,
)
Ω , не зависящей от u. 
для всех X
U
∈
. 
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 518
2024

ДАИРБЕКОВ и др.
3. ТЕОРЕМА ОБ УСТРАНИМОЙ 
ОСОБЕННОСТИ
Лемма 2. Пусть Ω — усиленно прочное стратифицированное множество размерности n, а 
u
n
:
2


 \

 R — ограниченная гармоническая 
функция. Тогда u  можно продолжить до гармонической функции на всeм Ω. 
Для стратифицированного множества Ω обозначим через Σk  объединение всех внутренних 
страт размерности k  и обозначим через Σk  объединение всех внутренних страт размерности, не 
превосходящей k : 
Для двумерных стратифицированных множеств утверждение леммы 2 было ранее установлено в [12].
k
l
=
,
=
.



k
=0
∪
∪

j
kj
k
l
Лемма 1 выводится из стандартной теоремы 
об устранимых особенностях для ограниченных 
гармонических функций на областях эвклидова пространства. Доказательство леммы 2 более 
сложно и опирается на вышеприведенные теоремы 1 и 2.
Назовем Ω усиленно прочным (размерности n), 
если все свободные страты имеют одну и ту же 
размерность n  и для любой точки X
n



2 существует такой допустимый радиус r > 0, что множество B
X
r
n
(
)
2
\    связно.
Следующая теорема является основным результатом данной статьи.
ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ
Исследование выполнено при финансовой поддержке МНВО РК (проект AP14871251).
Теорема 1 (об устранимой особенности). Пусть 
Ω — усиленно прочное стратифицированное множество размерности n , S    — относительно 
замкнутое подмножество конечной (
2)
n −
-меры 
Хаусдорфа и u
S
:  \
 R  — ограниченная гармоническая функция. Тогда u  можно продолжить 
до гармонической функции на всем Ω. 
Условие усиленной прочности существенно. 
Рассмотрим, для примера, стратифицированное 
множество Ω составленное из двух плоских треугольников, имеющих одну общую вершину σ01 
и не имеющих других общих точек (см. рис. 1). 
 
Положим 

 =
, т. е., Ω
Ω
 =
. Функция u, 
равная 0  на одном треугольнике и 1 на другом, 
является гармонической на  \ 01, но не имеет 
продолжения до гармонической функции на Ω.
Теорема 1 является прямым следствием следующих двух лемм.
Лемма 1. В условиях теоремы 1 функцию u  можно 
продолжить до ограниченной гармонической функции на 

 \
n2. 
 σ22
 σ22
 σ22
Рис. 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	 Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. и  др. 
Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М: Физматлит, 2005.
2.	 Kuchment P. Quantum graphs: I. Some basic structures. // Waves Random Media. 2004. V. 14. P. 107–128.
3.	 Courant R. Über die Anwendung der Variationsrechnung in der Theorie der Eigenschwingungen und über 
neue Klassen von Funktionalgleichungen. // Acta 
Math. 1926, V. 49. P. 1–68.
4.	 Penkin O.M. About a geometrical approach to 
multistructures and some qualitative properties 
of solutions // Partial Differential Equations on 
Multistructures (Lecture Notes in Pure and Applied 
Mathematics, 219). Marcel Dekker. 2001. P. 183–191.
5.	 Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О  несовместных 
неравенствах для эллиптических операторов на 
стратифицированном множестве // Дифференц. 
уравнения. 1998. Т. 34. № 8. С. 1107–1113.
6.	 Мироненко Ф.Д. Оценки максимума для решений 
эллиптического и параболического уравнений на 
стратифицированном множестве вида “книжка” // 
 
Сиб. матем. журн. 2023. Т. 64. № 6. С. 1263–1278.
7.	 Мироненко Ф.Д., Назаров А.И. Локальная оценка 
максимума типа Александрова–Бакельмана для 
решений эллиптических уравнений на стратифицированном множестве вида “книжка” // Краевые задачи математической физики и  смежные 
вопросы теории функций. 50, Зап. научн. сем. 
ПОМИ, 519, ПОМИ, СПб. 2022. С. 105–113.
8.	 Медведев К.М., Назаров А.И. Оценка нормы Гельдера для решения дивергентного эллиптического 
уравнения на стратифицированном множестве // 
Алгебра и анализ. 2024. Т. 36. № 1. С. 170–194.
9.	 Даирбеков Н.С., Пенкин О.М., Савастеев Д.В. Неравенство Харнака для гармонических функций 
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 518
2024

Об устранимых особенностях гармонических функций
12.	 Савастеев Д.В. Теорема об устранимой особенности для гармонической функции на двумерном стратифицированном множестве // Вестник 
Тамбовского университета. Серия Естественные 
и технические науки. 2016. Т. 21. № 1. С. 108–116.
13.	 Pham F. Introduction a l'étude topologique des 
singularités de Landau. Paris: Gauthier-Villars 
Éditeur, 1967.
на стратифицированном множестве // Сиб. матем. журн. 2023. Т. 64. № 5. С. 971–981.
10.	 Ощепкова С.Н., Пенкин О.М. Теорема о  среднем 
для эллиптического оператора на стратифицированном множестве // Матем. заметки. 2007. Т. 81. 
№ 3. С. 417–426.
11.	 Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М: Мир, 1971.
ON REMOVABLE SINGULARITIES OF HARMONIC FUNCTIONS  
ON A STRATIFIED SET
N. S. Dairbekova, b,  O. M. Penkina, c,  D. V. Savasteevc
Presented by Academician of the RAS I. A. Taimanov
aInstitute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, the Republic of Kazakhstan
bSDU University, Kaskelen, the Republic of Kazakhstan
cVoronezh State University, Voronezh, Russia
We consider sets removable for bounded harmonic functions on a stratified set with flat interior strata. 
We establish that relatively closed sets of finite Hausdorff (
2)
n −
-measure are removable for bounded harmonic 
functions on an n-dimensional stratified set satisfying the “strong sturdiness” condition. 
Keywords: stratified measure, soft Laplacian, mean value, Harnack inequality
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 518
2024