Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2024, № 2

Российская академия наук
ДОКЛАДЫ 
РОССИЙСКОЙ 
АКАДЕМИИ НАУК 
МАТЕМАТИКА,
ИНФОРМАТИКА,
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
Том 516    2024   Март–Апрель
Основан в 1933 г.
Выходит 6 раз в год 
ISSN 2686-9543
Журнал издается под руководством 
Президиума РАН
Редакционный совет
Г.Я. Красников (председатель), В.Я. Панченко, С.Н. Калмыков, 
Н.С. Бортников, А.Г. Габибов, В.В. Козлов, О.В. Руденко
Главный редактор
А.Л. Семенов
Редакционная коллегия
А.А. Галяев (заместитель главного редактора), 
В.П. Платонов (заместитель главного редактора), В.А. Васильев, 
С.Н. Васильев, С.С. Гончаров, И.А. Каляев, В.В. Козлов, 
А.Б. Куржанский, И.А. Соколов, 
И.А. Тайманов, Д.В. Трещев, Б.Н. Четверушкин
Ответственный секретарь Ю.В. Чехович 
Заведующая редакцией Т.А. Оловянникова
Адрес редакции: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 14 
E-mail: doklady_mathematics@mail.ru
Москва 
ФГБУ «Издательство «Наука»
Оригинал-макет подготовлен ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Доклады российской 
академии наук. Математика, информатика, 
процессы управления” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 516, 2024
МАТЕМАТИКА
О восстановлении операторов Колмогорова с разрывными коэффициентами
В. И. Богачев,  С. В. Шапошников 
5
Точные оценки функций в пространствах Соболева с равномерной нормой
Д. Д. Казимиров,  И. А. Шейпак 
9
О неразрешимости теорий подмножеств некоторых унаров 
Б. Н. Карлов 
15
Индуцированные леса и деревья в случайном графе Эрдёша–Реньи
М. Б. Ахмеджанова,  В. С. Кожевников 
21
Обобщенное решение смешанной задачи для волнового уравнения  
с негладкой правой частью
И. С. Ломов 
26
О ядрах инвариантных расширений оператора Шрёдингера  
с точечными взаимодействиями. Задача Гриневича–Новикова
М. Маламуд,  В. Марченко 
31
Совместная логика задач и высказываний
С. А.  Мелихов 
38
Описание турбулентных течений с помощью кинетической модели
Б. Н. Четверушкин,  А. Е. Луцкий,  Е. В. Шильников 
51
Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях  
со сколь угодно большой длиной периода
В. П. Платонов,  Г. В. Федоров 
59
Инварианты однородных динамических систем седьмого порядка с диссипацией
М. В. Шамолин 
65
Об одной экстремальной задаче для финитных положительно определённых функций
А. Д. Манов 
75
Об инварианте крашенных кос
В. О. Мантуров,  И. М. Никонов 
79
Максимальные индуцированные деревья в разреженных случайных графах
Х. К. Буитраго Оропеса 
83

Об оценке Боярского–Мейерса для градиента решения задачи Дирихле  
для линейного эллиптического уравнения второго порядка со сносом.  
Случай критического показателя Соболева
Ю. А. Алхутов,  А. Г. Чечкина 
87
Проблема обращения преобразований Радона, определенных  
на псевдовыпуклых множествах
Д. С. Аниконов,  Д. С. Коновалова 
93
Мульти-вихри и оценки снизу фрактальной размерности аттракторов  
для системы уравнений Навье—Стокса
А. Г. Костянко,  А. А. Ильин,  Д. Стоун,  С. В. Зелик 
98
ИНФОРМАТИКА
Применение методов с машинным обучением для управления  
сетевой вычислительной инфраструктурой
Р. Л. Смелянский,  Е. П. Степанов 
103

Contents
Volume 516, 2024
MATHEMATICS
On Reconstruction of Kolmogorov Operators with Discontinuous Coefficients
V. I. Bogachev,  S. V. Shaposhnikov 
5
Exact Estimates of Functions in Sobolev Spaces with Uniform Norm
D. D. Kazimirov,  I. A. Sheipak 
9
On Undecidability of Subset Theories of Some Unars
B. N. Karlov 
15
Induced Forests and Trees in Erdös–Rényi Random Graph
M. B. Akhmejanova,  V. S. Kozhevnikov 
21
Generalized Solution of a Mixed Problem for a Wave Equation  
with a Non-Smooth Right-Hand Side
I. S. Lomov 
26
On Kernels of Invariant Schrödinger Operators with Point Interactions.  
Grinevich–Novikov Conjecture
M. M. Malamud,  V. V. Marchenko 
31
A Joint Logic of Problems and Propositions
S. A. Melikhov 
38
Description of Turbulent Flows Using a Kinetic Model
B. N. Chetverushkin,  А. Е. Lutsky,  Е. V. Shilnikov 
51
Continued Fractions in Hyperelliptic Fields with an Arbitrarily Large Period Length
V. P.  Platonov,  G. V. Fedorov 
59
Invariants of Seventh-Order Homogeneous Dynamical Systems with Dissipation
M. V. Shamolin 
65
On an Extremal Problem for Compactly Supported Positive Definite Functions
A. D. Manov 
75
On an Invariant of Pure Braids
V. O. Manturov,  I. M. Nikonov 
79
Maximum Induced Trees in Sparse Random Graphs
J. C.  Buitrago Oropeza 
83

On the Boyarsky–Meyers Estimate for the Gradient of the Solution  
to the Dirichlet Problem for a Second-Order Linear Elliptic Equation  
with Drift. The Case of the Critical Sobolev Exponent
Yu. A. Alkhutov,  A. G. Chechkina 
87
Inversion Problem for Radon Transforms Defined on Pseudoconvex Sets
D. S. Anikonov,  D. S. Konovalova 
93
Multi-vortices and Lower Bounds for the Attractor Dimension of 2D Navier–Stokes Equations
A. G. Kostianko,  A. A. Ilyin,  D. Stone, S. V. Zelik 
98
COMPUTER SCIENCE
On ML Methods for Network Powered by Computing Infrastructure
R. L. Smeliansky,  E. P. Stepanov 
103

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, том 516, 
с. 5–8
 
 МАТЕМАТИКА  
УДК 517.955
О ВОССТАНОВЛЕНИИ ОПЕРАТОРОВ КОЛМОГОРОВА  
С РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
© 2024 г.    Член-корр. РАН  В. И. Богачев1, 2, 3, *,  С. В. Шапошников1, 2, **
Поступило 23.01.2024 г. 
После доработки 09.02.2024 г. 
Принято к публикации 09.02.2024 г.
Получены широкие условия для восстановления коэффициентов оператора Колмогорова по решению задачи Коши для соответствующего уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова.
Ключевые слова: оператор Колмогорова, уравнение Фоккера–Планка–Колмогорова, мартингальная 
задача
DOI: 10.31857/S2686954324020018, EDN:  XJFWEY
мерима по Борелю для всякого борелевского 
множества E  в Rd , конечны интегралы 
Оператором Колмогорова с зависящими от 
времени коэффициентами на Rd  называют эллиптический дифференциальный оператор второго порядка вида 
K
ij
i
s
a
x s
b x s
dx ds
∫∫
+
(
)
P
0
( , )
( , )
T
L
x t
a
x t
x
( , ) =
,
M
M
(
)∂∂
( ) +
∑
ij
xi
x j
i j
d
, ≤
для компактов K
d
⊂R  и для каждой функции 
M ∈
∞
C
d
0 (
)
R
 выполнено тождество 
b
x t
x
,
,
M
+
(
)∂
( )
∑
t
i
xi
i
d
≤
d
s
d
d
L d
ds
∫
∫
∫∫
−
 
  
 

=
.
R
R
R
d
t
d
Требуемое при этом условие локальной интегрируемости коэффициентов относительно 
решения автоматически выполнено в случае 
локально ограниченных коэффициентов. Решением называют также меру P
P
=
(
)
t dx dt , которая 
определяется равенством 
где для фиксированного отрезка 
[ , ]
W T  на 
Rd
T
×[ , ]
W
 заданы отображение b
bi
= (
) со значениями в Rd  и отображение A
aij
= (
) со значениями в пространстве неотрицательно определенных симметричных d
d
×
-матриц, причем 
функции bi  и aij  измеримы по Борелю. Для такого оператора ставится задача Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова 
T
d
t
f d
f x y
dx dt
×
∫
∫∫
(
)
(
)
[ , ]
=
,
.




R
R
d
T
,
 
(1)
 
∂
∂∂
(
)−
∂(
)
≤
≤
∑
∑
t
t
i j
d
xi
x j
ij
t
i
d
xi
i
t
a
b
P
P
P
=
Указанное условие на коэффициенты есть 
локальная интегрируемость относительно P .
с начальным условием 
 
 =
, где Q  – борелевская вероятностная мера на Rd . Вероятностным 
решением указанной задачи Коши называется 
семейство (
)
[ , ]


t t
T
∈
 борелевских вероятностных 
мер на Rd , для которых функция t
E
t
 P ( ) из1 Московский государственный университет  
имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия
Пусть y
d
∈R  и (
)
[ , ]


t
y
t
T
∈
 – семейство борелевских вероятностных мер на Rd , удовлетворяющее уравнению (1) с начальным условием 


 =
y  – мерой Дирака в точке y . В работе 
Колмогорова [1] было показано, что в случае достаточно регулярных коэффициентов они могут 
быть вычислены по таким решениям посредством формул 
2 Национальный исследовательский университет 
Высшая школа экономики, Москва, Россия
 
1
=
,
,
lim
R



 
(2)
h
d
i
i
h
y
i
h
x
y
dx
b
y
→+
+
∫
−
(
)
(
)
(
)
0
 
1
2
=
,
.
lim
R



 (3)
h
d
i
i
j
j
h
y
ij
h
x
y
x
y
dx
a
y
→+
+
∫
−
(
)
−
(
)
(
)
(
)
0
3 Православный Свято-Тихоновский гуманитарный 
университет, Москва, Россия
*E-mail: vibogach@mail.ru
**E-mail: starticle@mail.ru
5

БОГАЧЕВ,  ШАПОШНИКОВ
Поэтому найдется такое множество S
T
⊂[ , ]
W
 
с дополнением меры нуль, что при всех s
S
∈
 
последовательность f
s
n(, )
⋅
 сходится в L
s
1(
)
P
 к 
некоторому пределу f
s
(, )
⋅
. Нетрудно проверить, 
Естественно возникает вопрос о возможности восстановления коэффициентов по решениям в общем случае. В недавней работе [2] показано, что если коэффициенты непрерывны, 
удовлетворяют оценкам 
ij
a
x t
C
x
,
1
,
2
(
) ≤
+
(
)
i
b
x t
C
x
,
1
(
) ≤
+
(
),
что сходимость имеет место и при s = W , так что 
можно считать, что W ∈S  и поэтому есть функция f
(, )
⋅W , которая будет играть важную роль в 
теореме 2.
с некоторой постоянной C  (при этих оценках 
интегралы от |
|2
x
 по мерам Pt  ограничены на 
отрезках), то указанные А.Н. Колмогоровым равенства справедливы.
Новая функция f
  является версией исходной 
в том смысле, что f x s
f x s
( , ) =
( , ) почти всюду относительно меры P  на Rd
T
×[ , ]
W
. Это свойство, 
конечно, зависит от меры P , но если известно, что всякое вероятностное решение данного 
уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова обладает почти всюду положительной плотностью 
относительно меры Лебега на Rd
T
×[ , ]
W
, то построенная версия универсальна для всех мер с 
плотностями. Известны различные достаточные 
условия положительности плотностей всех вероятностных решений, в частности, достаточно, 
чтобы матрица диффузии была локально липшицева и обратима, а коэффициент сноса был 
локально ограничен (см. [3, гл. 8]).
Ясно, что всякая непрерывная и ограниченная функция f  на [ , ]
W T
d
× R  аппроксимируема 
относительно (
)
[ , ]


t t
T
∈
, причем можно считать, 
что f
f
 =
.
Если коэффициенты aij , bi  не имеют непрерывных версий, то эти равенства нуждаются в 
уточнении, так как поточечно они могут не выполняться просто из-за того, что изменение коэффициентов на множестве нулевой Pt dt -меры 
не меняет уравнение. Кроме того, интересно 
получить аналоги этих равенств в случае, когда 
начальное условие не является дельта-мерой. 
Ниже в теореме 2 представлен результат такого рода. Он дает широкие достаточные условия 
восстановления коэффициентов по решению, 
покрывающие случай непрерывных коэффициентов и дираковских начальных распределений, 
а также случай разрывных коэффициентов и начального распределения, заданного плотностью 
с некоторыми свойствами. Доказательства будут 
опубликованы в подробной статье.
Приведем достаточное условие аппроксимируемости функции f  относительно семейства 
(
)
[ , ]


t t
T
∈
, выполненное без предположения о ее 
непрерывности.
Определение 1. Будем говорить, что борелевская функция f  на Rd
T
×[ , ]
W
 аппроксимируема относительно семейства вероятностных мер 
(
)[ , ]


t
T , если существует такая последовательность ограниченных борелевских функций fn  на 
Rd
T
×[ , ]
W
, что эти функции непрерывны по x , 
выполнено равенство 
 
t
x U
n
n
f
x t
f
x
→
∈
(
)−
(
)
W
W
limsup
,
,
= 0  
(4)
Теорема 1. Предположим, что для почти всех 
t
T
∈[ , ]
W
 мера Pt  имеет плотность U(, )
⋅t  относительно меры Лебега, причем на всяком шаре U  
функции U(, )
⋅t  равномерно интегрируемы (например, равномерно ограничены в L U
p( ) , где p > 1). 
Пусть локально ограниченная измеримая функция 
f  удовлетворяет следующим условиям: 
для каждого шара U, а также выполнено равенство 
 
R
t
T
x
R
t
f x t
dx
→∞∈[
]
≥
∫
(
)
lim
sup


,
| |
( , )
= 0,  
(6)
 
n
s
T
n
L
s
f
s
f
s
→∞
∈[
]
(
)
⋅
(
)−
⋅
(
)
lim esssup
τ
μ
,
1
,
,
= 0. 
(5)
для каждого шара 
U  множество функций 
x
f x t

( , ) имеет компактное замыкание в L U
1( ) и 
 
t
x U
f x t
f x
→
∈
(
)−
(
)
W
W
limsup
,
,
= 0. 
(7)
В силу этого определения для всякого H > 0  
существует такой номер N , что для всех m n
N
,
≥
 
и почти всех s
T
∈[ , ]
W
 справедлива оценка 
 
 
f
s
f
s
m
n
L
s
(, )
(, )
.
1(
)
⋅
−
⋅
≤


Тогда функция f  аппроксимируема относительно семейства (
)
[ , ]


t t
T
∈
. 
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 516
2024

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ОПЕРАТОРОВ КОЛМОГОРОВА
Пример 1. (i) Всякая ограниченная измеримая функция f , не зависящая от t , аппроксимируема относительно семейства мер (
)
[ , ]


t t
T
∈
, 
непрерывного по t  в слабой топологии и удовлетворяющего указанному в предложении условию на плотность U . Действительно, условие 
предкомпактности и (7) тривиально выполнены, 
а для проверки (6) достаточно заметить, что данное семейство мер равномерно плотно по теореме Прохорова, поскольку оно компактно в слабой топологии в силу непрерывности Pt  по t .
В формулировке используется некоторое семейство мер Pt
y , порожденное решением задачи 
(1) с начальным распределением   и дающее 
решения задачи (1) с дираковскими начальными распределениями Gy . Это семейство строится следующим образом. Согласно известному 
принципу суперпозиции (см. [6], [7], [8]), при 
условии (8) существует такая борелевская вероятностная мера P  на пространстве непрерывных траекторий 	 :=
([ , ],
)
C
T
d

R
 с его обычной 
sup-нормой, что 



t
t
t
P
e
e
t
=
,
( ) =
( ),
1

−
где
и для всякой функции M ∈
∞
C
d
0 (
)
R
 отображение 

 
 
 
 

,
,
t
t
L
s
s ds
t
(
)
( )
(
)−
( )
(
)−
( )
(
)
∫

(ii) Всякая непрерывная функция f , не зависящая от t , аппроксимируема относительно 
всякого семейства мер (
)
[ , ]


t t
T
∈
, относительно которого она равномерно интегрируема. 
Здесь в качестве gn  можно брать срезки \n f
( ), 
где \n u
u
( ) =
 при |
|
u
n
≤
, \n u
n
( ) =
 при u
n
> , 
\n u
n
( ) = − при u
n
< −. Например, это верно, 
если функция 
f  непрерывна, удовлетворяет 
оценке |
( ) |
|
|
f x
C
C
x k
≤
+
 и меры Pt  обладают 
равномерно ограниченными моментами некоторого порядка m
k
>
.
является мартингалом относительно P  и фильтрации Ft , порожденной отображениями es , 
W ≤
≤
s
t . Такая мера P  называется решением 
мартингальной задачи (см. [4], [5]). Пусть P y  – 
условные меры, получающиеся при дезинтегрировании меры P  относительно меры  . 
Это означает, что мера P  записывается в виде 
P d
P
d
dy
y
(
) =
(
)
(
)


 
, т.е. для всякого борелевского множества B ⊂:  выполнено равенство 
P B
P
B
dy
d
y
( )
( )
(
)
∫
=
,
R

(iii) Более общим образом, непрерывная на 
Rd
T
×[ , ]
W
 функция f  аппроксимируема относительно семейства мер (
)
[ , ]


t t
T
∈
, если функции 
f
t
(, )
⋅
 равномерно интегрируемы относительно 
мер Pt . Например, это верно при тех же оценке 
|
( , ) |
|
|
f x t
C
C
x k
≤
+
 и условии равномерной 
ограниченности моментов меры Pt  порядка 
m
k
>
. В частности, если (
)
[ , ]


t t
T
∈
 – решение 
задачи 
(1), 
где 
|
( , ) |
(1
|
| )
2
a
x t
C
x
ij
≤
+
, 
где каждая мера P y  сосредочена на множестве 
e
y
W
−1( ) и борелевски зависит от y . Непосредственно проверяется, что для  -почти всякого y  семейство мер Pt
y
y
t
P
e
=
1

− является решением уравнения (1) с начальным условием 



y
y
=
.
|
( , ) |
(1
|
|)
b x t
C
x
i
≤
+
 и начальное условие имеет 
второй момент, то непрерывная функция f  с 
оценкой |
( , ) |
(1
|
| )
1
2
f x t
C
x
≤
+
, аппроксимируема относительно (
)
[ , ]


t t
T
∈
. 
Отметим, что решения Pt
y  не обязаны существовать при всех y . Кроме того, не предполагается единственность решения задачи Коши. В 
случае неединственности важно использовать 
именно указанные решения, порожденные решением мартингальной задачи (его единственность также не предполагается).
Теорема 2. Предположим, что 
2
<
sup
R
При применении к решениям задачи (1) указанное условие на плотности исключает сингулярные начальные распределения в момент W, 
но известно, что оно выполнено, если матрицы A x t
( , ) 1
− равномерно ограничены, матрицы 
A x t
( , )  равномерно липшицевы по x , а плотность 

(, )
⋅
 локально ограничена (см. [3, §7.3]).
t
T
d
t
x
dx
∈[
]∫
(
)
∞


,
и коэффициенты bi  аппроксимируемы относительно семейства (
)
[ , ]


t t
T
∈
. Тогда справедливо 
равенство 
Приведем основной результат о восстановлении коэффициентов A  и b  по вероятностному 
решению (
)
[ , ]


t t
T
∈
 уравнения (1) при следующем условии: 
1
+
∫
∫
−
(
)
(
) −
i
h
x
y
dx
h
d
d
i
i
h
y
 a
x t
x
b
x t
dx dt
ij
i
t
,
1 ,
,
=
.
(
)
+
(
)
(
)
интегрируемы в мере P
P
 (8)
b
y
dy
→+
,
= 0.
lim
R
R






−
(
)
(
)
0
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 516
2024

БОГАЧЕВ,  ШАПОШНИКОВ
Если, более того, функции aij  интегрируемы 
относительно меры P  и функции x b
j
i  аппроксимируемы относительно семейства (
)
[ , ]


t t
T
∈
, 
причем при некотором 
p > 2  интегралы от 
|
|
x
p  по мерам 
Pt  равномерно ограничены 
 
и 
t
L
t
b
t
sup  
 
(, )
<
2(
)
⋅
∞
P
, то верно равенство 
 
1
2
,
= 0.
lim
R
R

 



 
h
d
d
i
i
j
j
h
y
ij
h
x
y
x
y
dx
a
y
dy
→+
+
∫
∫
−
(
)
−
(
)
(
) −
(
)
(
)
0
Таким образом, равенства (2) и (3) выполнены в 
смысле сходимости в L
1(
)
 . 
Статья поддержана проектом 23-Ш05-16 в 
рамках Междисциплинарных научно-образовательных школ Московского университета.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kolmogoroff A. // Math. Ann. 1931. B. 104. S. 415–
458; русский пер.: Колмогоров А.Н. // Успехи матем. наук. 1938. Т. 5. С. 5–41.
2. Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников С.В. // 
Теория вероятн. и ее примен. 2023. Т. 68. № 3. 
С. 420–455.
3. Bogachev V.I., Krylov N.V., Röckner M., Shaposhnikov 
S.V. Fokker–Planck–Kolmogorov equations, Amer. 
Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2015.
4. Stroock D.W., Varadhan S.R.S. Multidimensional 
diffusion processes. Springer-Verlag, Berlin – New 
York, 1979.
5. Rogers L.C.G., Williams D. Diffusions, Markov 
processes, and martingales. V. 2. Itô calculus. 
Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
6. Figalli A. // J. Funct. Anal. 2008. V. 254. N 1. P. 109–153.
7. Trevisan D. // Electron. J. Probab. 2016. V. 21, Paper 
No. 22, 41 pp.
8. Bogachev V.I., Röckner M., Shaposhnikov S.V. // 
J. Dynam. Differ. Equat. 2021. V. 33. N 2. P. 715–739.
ON RECONSTRUCTION OF KOLMOGOROV OPERATORS  
WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS
Corresponding Member of the RAS  V. I. Bogacheva, b, c, *,  S. V. Shaposhnikova, b, **
aMoscow State Lomonosov University, Moscow, Russia 
bNational Research University Higher School of Economics, Moscow, Russia 
cSaint-Tikhon's Orthodox University, Moscow, Russia
We obtain broad sufficient conditions for reconstructing the coefficients of a Kolmogorov operator by means 
of a solution to the Cauchy problem for the corresponding Fokker–Planck–Kolmogorov equation.
Keywords: Kolmogorov operator, Fokker–Planck–Kolmogorov equation, martingale problem
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 516
2024

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, том 516, 
с. 9–14
 
 МАТЕМАТИКА  
УДК 517.984, 517.518.82
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА  
С РАВНОМЕРНОЙ НОРМОЙ
© 2024 г.   Д. Д. Казимиров1, *,  И. А. Шейпак1, **,
Представлено академиком РАН Б. С. Кашиным
Поступило 21.11.2023 г. 
После доработки 11.01.2024 г. 
Принято к публикации 09.02.2024 г.
Для функций, принадлежащих пространству Соболева W n

∞[0;1], и произвольной точки a ∈(0;1)  
получены наилучшие оценки в неравенстве |
( ) |
( )
,0,
( )
[0;1]
f a
A
a
f
n
n
L

∞
∞
⋅ 
 
. Установлена связь 
этих оценок с наилучшими приближениями сплайнов специального вида многочленами в L
1[0;1] 
и с ядром Пеано. Найдены точные константы вложения пространства W n

∞[0;1] в L∞[0;1] . 
Ключевые слова: оценки производных, пространства Соболева, теоремы вложения, аппроксимация 
многочленами, ядро Пеано 
DOI: 10.31857/S2686954324020022,  EDN: XJEWHK
1. ВВЕДЕНИЕ
Далее нас интересует глобальный максимум 
функции An k p
, ,  на отрезке [0;1]: 
Рассмотрим пространство Соболева W n

/n k p
a
n k p
A
a
, ,
(0;1)
, ,
:=
( ),
∈
max
при этом очевидно, что A
A
n k p
n k p
, ,
, ,
(0) =
(1) = 0 .
p[0;1] 
(1 
p
∞), состоящее из вещественнозначных 
функций f , обладающих абсолютно непрерывными производными до порядка n −1 включительно, таких, что f
L
n
p
( )
[0;1]
∈
, и удовлетворяющих краевым условиям 
f
f
j
n
j
j
( )
( )
(0) =
(1) = 0,
= 0,1,
,
1.
…
−
Число /n k p
, ,  является точной константой 
вложения пространства Wp
n[0;1]

 в пространство 
W k
∞[0;1]

, k
n
= 0,
1
−: 
( )
n
⎧
⎨
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
/n k p
k
L
[0;1]
Пространство Wp
n[0;1]

 снабжено естественной нормой 
Lp
f
f
, ,
( )
[0;1]
=
:
= 1 .
sup
∞
⎩
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
f
f n
0;1
[
].
Lp
:=
( )
Для каждого a ∈(0;1) и k
n
= 0,
1
− поставим 
целью изучить величины A
a
n k p
, , ( ), являющиеся 
наименьшими возможными в неравенствах 
f
a
A
a
f
k
n k p
n
( )
, ,
( )
[0;1].
( ) ≤
( )
Lp
В работе [1] было показано, что функции 
An k
, ,2  обладают следующим свойством: при четных k  глобальный максимум находится в середине отрезка, а при нечетных k  середина отрезка является локальным минимумом. Глобальный 
максимум An k
, ,2  при нечетных k  находится в 
точке локального максимума, ближайшего к 
середине отрезка. Также были явно вычислены 
константы /n k
, ,2  при всех четных k , в то время 
как случай нечетных k  оказался сложнее.
В работе [2] получено явное описание функций 
An k
, ,2  в терминах гипергеометрических 
функций типа 3
2
F . В работе [4] изучались функции An n
,
1,
−∞ и было показано, что они обладают таким же свойством, что и An k
, ,2 : при четных 
k
n
=
1
− глобальный максимум находится в се1 Московский государственный университет 
им. М.В. Ломоносова, Московский центр 
фундаментальной и прикладной математики, 
Москва, Россия
*E-mail: danil.kazimirov@math.msu.ru
**E-mail: iasheip@yandex.ru
9