Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2024, № 1

Российская академия наук
ДОКЛАДЫ 
РОССИЙСКОЙ 
АКАДЕМИИ НАУК 
МАТЕМАТИКА,
ИНФОРМАТИКА,
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
Том 515    2024   Январь–Февраль
Основан в 1933 г.
Выходит 6 раз в год
ISSN 2686-9543
Журнал издается под руководством
Президиума РАН
Редакционный совет
Г.Я. Красников (председатель), В.Я. Панченко, С.Н. Калмыков,
Н.С. Бортников, А.Г. Габибов, В.В. Козлов, О.В. Руденко
Главный редактор
А.Л. Семенов
Редакционная коллегия
А.А. Галяев (заместитель главного редактора),
В.П. Платонов (заместитель главного редактора), В.А. Васильев,
С.Н. Васильев, С.С. Гончаров, И.А. Каляев, В.В. Козлов,
А.Б. Куржанский, И.А. Соколов,
И.А. Тайманов, Д.В. Трещев, Б.Н. Четверушкин
Ответственный секретарь Ю.В. Чехович
Заведующая редакцией Т.А. Оловянникова
Адрес редакции: 119991, Москва, Ленинский проспект, д. 14
E-mail: doklady_mathematics@mail.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
Оригинал-макет подготовлен ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Доклады российской
академии наук. Математика, информатика, 
процессы управления” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 515, 2024
МАТЕМАТИКА
Функции вращения интегрируемых биллиардов как траекторные инварианты
Г. В. Белозеров, А. Т. Фоменко
5
Операторные оценки для задач в областях с сингулярным искривлением границы:
условия Дирихле и Неймана
Д. И. Борисов, Р. Р. Сулейманов
11
Апериодическая изопериметрическая планарная задача усреднения с критическим диаметром:
общий нелокальный странный член для динамического одностороннего граничного условия
Ж. И. Диаз, Т. А. Шапошникова, А. В. Подольский
18
Об одном парадоксальном свойстве отображения сдвига на бесконечном торе  
С. Д. Глызин, А. Ю. Колесов
28
О структуре характеристического полинома Лапласа для циркулянтных графов
Йо. С. Квон, А. Д. Медных, И. А. Медных
34
Алгебры Рамона, Невё–Шварца и узкие супералгебры Ли
Д. В. Миллионщиков, Ф. И. Покровский
40
Исследование разрешимости системы нелинейных интегральных уравнений,
возникающей в модели логистической динамики в случае кусочно-константных ядер
М. В. Николаев, А. А. Никитин, У. Дикман
44
Учет фазовых ограничений при интенсивном разгоне мобильного робота
и его движении в режиме дрифта
С. А. Решмин, М. Т. Бектыбаева
50
О выводе уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна из принципа наименьшего действия,
методе Гамильтона–Якоби и модели Милна–Маккри
В. В. Веденяпин
60
Об орбитальной устойчивости маятниковых движений твердого тела в случае Гесса
Б. С. Бардин, А. А. Савин
66
Нахождение распределений площади и периметра для плоских пуассоновских процессов
прямой и мозаик Вороного
А. Я. Канель-Белов, М. Голафшан, С. Г. Малев, Р. П. Явиц
71
Нелинейные вариационные неравенства с двусторонними ограничениями, 
совпадающими на множестве положительной меры
А. А. Ковалевский
79

Топологическое произведение модальных логик с аксиомой Маккинси
А. В. Кудинов
84
Двумерные самозаклинивающиеся структуры в трехмерном пространстве
В. О. Мантуров, А. Я. Канель-Белов, С. Ким
92
О числах Борсука пространств Минковского
А.M. Райгородский, А. Сагдеев
100
ИНФОРМАТИКА
TOMMANO – управление виртуализированными сетевыми функциями
в облачной среде на основе стандарта TOSCA
Р. К. Столяров, В. В. Швецова, О. Д. Борисенко 
105
Единое цифровое пространство научных знаний как интегратор политематических
информационных ресурсов
Н. Е. Каленов, А. Н. Сотников
114
ПОПРАВКА
Поправка к статье “Об аналогах теорем Эрбрана и Харропа для совместной логики задач
и высказываний QHC”, 2023, том 514, с. 123–128
А. А. Оноприенко
124

CONTENTS
Volume 515, 2024
MATHEMATICS
Rotation functions of integrable billiards as orbital invariants
G. Belozerov, A. Fomenko
5
Operator estimates for problems in domains with singular curving of boundary
D. I. Borisov, R. R. Suleimanov
11
Aperiodical isoperimetric planar homogenization with critical diameter:
universal non-local strange term for a dynamical unilateral boundary condition
J. I. Díaz, T. A. Shaposhnikova, A. V. Podolskiy
18
On a paradoxical property of the shifting mapping on an infinite-dimensional tori  
S. D. Glyzin, A. Yu. Kolesov
28
On the structure of Laplacian characteristic polynomial of circulant graphs
Y. S. Kwon, A. D. Mednykh, I. A. Mednykh
34
Ramond, Neveu–Schwarz algebras and narrow Lie superalgebras
D. V. Millionshchikov, Th. I. Pokrovsky
40
Solvability analysis of the nonlinear integral equations system arising 
in the logistic dynamics model in the piecewise constant kernels case
M. V. Nikolaev, A. A. Nikitin, U. Dieckmann
44
Accounting for phase limitations during intense acceleration of a mobile robot 
and its motion in drift mode 
S. A. Reshmin, M. T. Bektybaeva
50
On derivation of Vlasov–Maxwell–Einstein equations from the principle
of least action, Hamilton–Jacobi method and Milne–McCree Model
V. V. Vedenyapin
60
On the orbital stability of pendulum periodic motions of a rigid body in the Hess case  
B. S. Bardin, A. A. Savin
66
Finding the area and perimeter distributions for flat Poisson processes 
of a straight line and Voronoi mosaics
A. Kanel-Belov, M. Golafshan, S. Malev, R. Yavich
71
Nonlinear variational inequalities with bilateral constraints coinciding 
on a set of positive measure  
A. A. Kovalevsky
79

Topological product of modal logics with McKinsey axiom
A. V. Kudinov
84
Two-dimensional self-trapping structures in three-dimensional space
V. O. Manturov, A. Ya. Kanel-Belov, S. Kim, F. K. Nilov
92
A note on Borsuk’s problem in Minkowski spaces
A. M. Raigorodskii, A. Sagdeev
100
INFORMATICS
TOMMANO – virtualised network functions management
in cloud environment based on the TOSCA standard 
R. K. Stolyarov, V. V. Shvetcova, O. D. Borisenko
105
Common Digital Space of Scientific Knowledge as an integrator of polythematic information resources
N. Kalenov, A. Sotnikov
114
CORRECTION
Correction to the article A. A. Onoprienko “On the analogues
of Erbran and Harrop theorems for the joint logic of problems and QHC statements”
A. A. Onoprienko
124

ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2024, том 515, 
с. 5–10
МАТЕМАТИКА 
УДК 517.938.5
ФУНКЦИИ ВРАЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ БИЛЛИАРДОВ
КАК ТРАЕКТОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
© 2024 г.    Г. В. Белозеров1, *,  академик РАН  А. Т. Фоменко1, 2, **
Поступило 15.12.2023 г.
После доработки 19.01.2024 г.
Принято к публикации 20.01.2024 г.
Изучаются траекторные инварианты интегрируемых биллиардов на двумерных столах-книжках при 
постоянных значениях энергии. Эти инварианты вычисляются по функциям вращения, определенным на однопараметрических семействах 2-торов Лиувилля. Для двумерных биллиардных книжек 
доказан полный аналог теоремы Лиувилля, введены переменные действие-угол, определены функции вращения. Получена общая формула функций вращения таких систем. Для ряда примеров была 
исследована монотонность этих функций, вычислены реберные траекторные инварианты (векторы 
вращения). Оказалось, не все биллиарды обладают монотонными функциями вращения, как изначально предполагала гипотеза А.Т. Фоменко. Тем не менее для некоторых серий биллиардов эта гипотеза верна.
Ключевые слова: интегрируемая система, интегрируемый биллиард, функции вращения, траекторные 
инварианты
DOI: 10.31857/S2686954324010018, EDN: ZUJDFT
торов Лиувилля на границах соседних атомов. 
Этот инвариант классифицирует все ИГС на 
изоэнергетических поверхностях с точностью до 
лиувиллевой эквивалентности, т.е. послойного 
гомеоморфизма слоений Лиувилля (см. [1]).
Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему (далее ИГС) v
H
= sgrad
 с дополнительным первым интегралом F на симплектическом 
многообразии M 4 . Эта система задает разбиение многообразия M 4  на связные компоненты поверхностей совместного уровня функций 
H  и F , которое называется слоением Лиувилля. 
В случае, когда изоэнергетическая поверхность 
Q
x
M
H x
h
h
3
4





|
( )
 является компактной 
и регулярной, а ограничение F  на Qh
3  является
функцией Ботта, слоение Лиувилля этой системы на Qh
3  однозначно кодируется инвариантом 
Фоменко–Цишанга. 
Инварианты Фоменко–Цишанга вычислены 
для многих ИГС физики, механики и геометрии. 
С их помощью были обнаружены неожиданные 
связи некоторых динамических систем. Более 
того, оказалось, что инварианты Фоменко–
Цишанга корректно определены не только для 
гладких систем, но и для систем с отражением, 
а именно для биллиардов, ограниченных дугами 
софокусных квадрик [2], а также топологических биллиардов [3] и биллиардных книжек [4].
О п р ед е л е н и е  1. Семейством софокусных 
квадрик на плоскости называется множество 
квадрик, заданных уравнением 
Напомним, что инвариантом Фоменко–Цишанга (или меченой молекулой) называется граф 
Риба, вершины которого оснащены символами атомов, описывающих слоение Лиувилля 
в  окрестности особого слоя, а ребра – числовыми метками r , ε , n , отвечающими склейке 
(
)
(
)
(
)(
),
b
x
a
y
a
b










2
2
1 Московский государственный университет 
им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия
где a
b
>
> 0  – фиксированные числа, a    – 
вещественный параметр.
2 Московский центр фундаментальной и прикладной 
математики, Москва, Россия
*E-mail: gleb0511beloz@yandex.ru
**E-mail: atfomenko@mail.ru
Напомним, что биллиардной книжкой D  называется 2-комплекс, склеенный из плоских 
софокусных 
биллиардных 
столов 
D
Dn
1,
,

5

БЕЛОЗЕРОВ, ФОМЕНКО
• s s
1
2
,
 – непрерывно дифференцируемые 
функции от H  и Λ ;
•интегральные кривые биллиарда в этих 
координатах задаются системой дифференциальных уравнений


s
h s s
i
i
i
i


 
0
1 2
1
2
,
( ,
)
, ,

(т.е. компактных областей, ограниченных дугами софокусных квадрик, имеющих углы излома 
на границе, равные π / 2) вдоль некоторых изометричных участков границ. На каждом участке 
склейки задана перестановка   S n
( ) , отвечающая переходу материальной точки с одного листа на другой (более подробно см. в [4]). Ребро 
книжки, которому отвечает тождественная перестановка, мы будем называть свободным.
где hi  – некоторые непрерывные функции (т.е. 
интегральные траектории есть не что иное, как 
прямолинейные обмотки торов Лиувилля). 
З а м е ч а н и е  1. Отметим, что первые два 
пункта этой теоремы доказаны В.В. Ведюшкиной.
Классический биллиард (система с отсутствием внешних сил) на биллиардной книжке 
является интегрируемым. Он обладает двумя 
функционально независимыми первыми интегралами: полная механическая энергия H  и параметр Λ  софокусной квадрики, которой одновременно касаются все прямолинейные участки 
(или их продолжения) траектории частицы. 
З а м е ч а н и е  2. Переменные si  почти всюду можно определить как интеграл от формы 





p d
p d
1
1
2
2  (здесь λ λ
1
2
,
 – эллиптические 
координаты семейства софокусных квадрик, 
а p p
1
2
,
 – сопряженные им импульсы) по некоторым базисным циклам γi на торе Лиувилля. 
Биллиардные книжки реализуют слоения 
Лиувилля многих гладких ИГС. В настоящее 
время активно изучается гипотеза А.Т. Фоменко 
о реализации биллиардными книжками слоения 
Лиувилля произвольной ИГС с двумя степенями 
свободы.
Теорема 1 позволяет ввести функции вращения на ребрах молекулы биллиардной книжки 
классическим способом. 
В настоящей работе мы обратимся к вопросу 
устройства траекторий биллиардных книжек на 
регулярных участках слоения Лиувилля.
Выберем на однопараметрическом семействе 
торов Лиувилля, отвечающем некоторому ребру 
молекулы, координаты ( ,
,
)
  
1
2 , где ϕi  – угловые переменные. Согласно теореме 1, в этих координатах интегральные кривые биллиарда выпрямляются.
О п р ед е л е н и е  2. Функцией вращения ( )

Напомним, что в гладком случае ответ на 
этот вопрос давала теорема Лиувилля. Однако 
билллиард, благодаря наличию отражения, является кусочно-гладкой системой (его фазовое 
пространство является кусочно-гладким). Тем 
не менее нам удалось доказать полный аналог 
классической теоремы Лиувилля для биллиардных книжек.
на ребре грубой молекулы называется величина, 
равная тангенсу угла обмотки на торе Лиувилля 
в координатах 
 
1
2
,

 . Иными словами, ( )

Теорема 1. Пусть Tξ  – связная компонента неособой поверхности уровня пары интегралов (
,
)
H Λ
определена системой:
биллиарда на книжке D , не содержащей свободные 
ребра на фокальной прямой. Тогда:

2
если
0
h
h
h
( )
( )
( ) ,
( )
,




1
1


1) поверхность Tξ  гомеоморфна двумерному 
тору;
h
если
0
,
( )
,





1


2) слоение Лиувилля в малой окрестности U
где hi  – функции из теоремы 1.
слоя Tξ  тривиально, т.е. гомеоморфно прямому 
произведению двумерного тора T 2  и диска D2 ;
3) в окрестности U  существуют непрерывные координаты s s
1
2
1
2
,
,
,
 

, такие, что
Далее для определенности будем считать, что 
цикл γi , участвующий в определении переменной si  (см. замечание 2), на торе Лиувилля направлен вдоль эллиптической координаты λi .
• s s
1
2
,
 – координаты на диске D2 , а 
В этом случае удается найти общую формулу 
функций вращения биллиардных книжек.
ϕ ϕ
1
2
,
 – 2π -периодические координаты на 
торах Лиувилля;
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 515
2024

ФУНКЦИИ ВРАЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ БИЛЛИАРДОВ
a
b
c
Теорема 2. Функции вращения ρ  биллиардакнижки на ребрах его молекулы вычисляются по 
формуле
b
,
j
N
1
1
dt
t
a
t
b
t
j
1



a
1
,
j
( )
(
)(
)(
)






b
N
j
2
2
Рис. 1. Плоские биллиардные столы, симметричные относительно координатных осей.
dt
t
a
t
b
t
(
)(
)(
)




j
1
,
,



a
2
,
j
ность. Таких биллиардных столов ровно три: 
эллипс, эллиптическое кольцо, бесфокусная 
область, ограниченная эллипсом и гиперболой 
(см. рис. 1). 
где a  и b  – параметры семейства софокусных квадрик, а величины N a
b
i
i j
i j
,
,
,
,  зависят от комбинаторного устройства книжки. При этом числа Ni
постоянны на ребрах, а функции a
b
i j
i j
,
,
( ),
( )
Λ
Λ
принимают следующие значения:
• числа a  и b ;
• параметры квадрик, входящих в состав границ листов книжки;
Все эти биллиарды при   b  имеют седловую 
особенность, поэтому ребра их молекул мы разделим на два класса: эллиптические (   ( , )
0 b ) и 
гиперболические (   ( , )
b a ). Через ρ1 обозначим 
функцию вращения на эллиптическом ребре, а 
через ρ2  на гиперболическом. 
• параметр каустики, т.е. Λ. 
Теорема 3. Функции вращения ρ1 и ρ2  биллиарда внутри эллипса являются монотонными. Более 
того, если на ребрах молекулы выбрать направление к седловому атому, то вектор вращения R  на 
эллиптическом ребре равен ( ,
)
0  , а на гиперболическом ( ( , ),
)
l a b  , где l  – константа, зависящая 
от полуосей эллипса.
З а м е ч а н и е  
3. 
Аналогичная 
формула 
для биллиарда внутри эллипса была получена 
В.В.  Козловым и Д.В.  Трещёвым в книге [5]. 
В. Драгович и М. Раднович в работе [6] вычислили функции вращения некоторых биллиардов, 
ограниченных софокуcными квадриками. Отметим, что В. Драгович и М. Раднович посвятили ряд работ ([7–10]) изучению периодических 
траекторий интегрируемых биллиардов.  
Как и в гладком случае, по функции вращения можно построить вектор, который будет 
траекторным инвариантом ограничения системы на ребро молекулы (см. [11]). Напомним его 
определение.
Пусть функция ( )
  определена на интервале 
З а м е ч а н и е  4. Полученный результат совпал с ответом В.В. Ведюшкиной (см. [12]), которая вычислила меченую t -молекулу этого 
биллиарда исходя из следующего факта. При 
стремлении меньшей полуоси трехосного эллипсоида к нулю геодезический поток на нем 
переходит в плоский биллиард. При таком предельном переходе траектории переходят в траектории и сохраняется интегрируемость. Отметим, 
что меченая t -молекула геодезического потока 
на эллипсоиде была вычислена А.Т. Фоменко и 
А.В. Болсиновым (см., например, [11]).
Теперь рассмотрим биллиард внутри эллиптического кольца. Будем считать, что 0 и 0
0
(
)

 – 
параметры эллипсов его границы. Следующая 
теорема описывает поведение функций вращения на эллиптических ребрах этого биллиарда.
( , )
0 1 . Построим вектор R , состоящий из вещественных чисел и символов  ,  . В качестве 
первого элемента возьмем правый предел функции ρ  в нуле. Затем, двигаясь вдоль интервала 
( , )
0 1 , будем последовательно выписывать значения функции ρ  в максимумах, минимумах и 
полюсах. При этом каждый полюс изображается 
двумя символами  , знаки которых соответствуют знакам левого и правого пределов в этой 
точке. В конце напишем левый предел функции 
ρ  в единице. Полученный вектор называется 
вектором вращения на ребре молекулы.  
Рассмотрим плоские биллиардные столы, 
симметричные относительно осей координат, и 
исследуем их функции вращения на монотонТеорема 4. Функция вращения ρ1 биллиарда 
внутри эллиптического кольца имеет ровно один 
локальный максимум, который достигается в точке   0 . Если на эллиптических ребрах молекулы 
выбрать направление к седловому атому, то вектор вращения R  на них равен ( , (
, , ), )
0
0
0
l
a b
λ
, где 
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 515
2024

БЕЛОЗЕРОВ, ФОМЕНКО
l
 – константа, зависящая от полуосей граничных 
эллипсов.
эквивалентными, тем не менее их грубые молекулы и реберные траекторные инварианты совпадают.
З а м е ч а н и е  5. Эта теорема показывает, что 
функции вращения биллиардов, вообще говоря, устроены нетривиально, в частности они не 
всегда являются монотонными. Таким образом, 
гипотеза А.Т. Фоменко о том, что функции вращения любого биллиарда являются монотонными (см. [13]), неверна. 
Свойство симметрии биллиардных столов относительно координатных осей упрощает исследование монотонности функций вращений. В 
случае отсутствия симметрий у области исследование монотонности будет довольно трудной задачей, нерешаемой в общем виде. В связи с этим 
мы рассмотрим упрощенный вариант биллиарда: топологический биллиард на замкнутой 
поверхности, склеенной из круговых дисков и 
колец. Соответствующие биллиардные книжки 
будем называть гармошками.
Вопрос о монотонности функций вращения 
на гиперболических ребрах труден, поэтому мы 
рассмотрим два предельных случая: λ0  близко к 
b  и λ0  близко к нулю. Оказывается, эти два случая хорошо поддаются анализу. 
Теорема 5. 1. Существует   0 , такое, что для 
любого 

0 

b
 функция вращения ρ2  не является монотонной.
2. Если a
b
> 2 , то при малых λ0  функция ρ2
не является монотонной.
Оказывается, функции вращения таких биллиардов выражаются через элементарные. Тем 
не менее отметим, что этот класс биллиардов 
является очень важным с точки зрения лиувиллевой эквивалентности систем. Такие топологические биллиарды реализуют слоения Лиувилля 
интегрируемых геодезических потоков на компактных ориентируемых поверхностях с дополнительным первым интегралом, линейным по 
импульсам. 
3. Если a
b


0
2 , функция ρ2  монотонна. 
В частности, если a
b
< 2 , то при малых λ0  функция ρ2  монотонна.
Осталось разобраться с биллиардом внутри 
стола 1c.
Биллиардные гармошки бывают двух типов: 
сферические (гомеоморфные двумерной сфере) 
и торические (гомеоморфные двумерному тору). 
Они изображены на рис. 2.
Сферическую гармошку D  можно однозначно задать, указав последовательность радиусов склейки ее листов. Эту последовательность 
можно разбить на две: последовательность макТеорема 6. Функции ρ1 и ρ2  биллиарда внутри 
области 1c являются монотонными. Более того, 
реберный траекторный инвариант этого биллиарда совпадает с реберным траекторным инвариантом биллиарда внутри эллипса того же параметра.
симумов Ri i
n
  1  и последовательность миниму
З а м е ч а н и е  6. Отметим, что биллиарды 
внутри областей 1a и 1c не являются лиувиллево 
1 . При этом сама последовательность
1
мов rj
j
n
  
Рис. 2. (a) Сферическая гармошка; (b) Торическая гармошка.
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 515
2024

ФУНКЦИИ ВРАЩЕНИЯ ИНТЕГРИРУЕМЫХ БИЛЛИАРДОВ
склейки радиусов выглядит следующим образом: R r R
Rn
1
1
2
, ,
,
,

.
Более того, найдется гармошка D', структурно эквивалентная D, все функции вращения на 
ребрах которой строго монотонны.
Первыми интегралами биллиарда на сферической гармошке D  являются функции H  и f, где 
З а м е ч а н и е  7. Для торических гармошек 
утверждение теоремы 7 изменится лишь на 
двух ребрах, содержащих уровень f = 0 . На них 
функция вращения имеет следующий вид:
n

2
n
 


.
H  – полная механическая энергия, а f  – ориентированный радиус каустики (он берется со знаком « + », если траектория закручивается против 
часовой стрелки, и cо знаком « −», если по часовой). На неособой изоэнергетической поверхности Qh


( )
arcsin
arcsin
f
f
R
f
r
j
j
j
j
1
1










Она всегда является монотонной, т.к. представляется в виде суммы n  монотонных функций вида 2 /
(arcsin
/
arcsin
/
)

f
R
f
r
i
i

.
Таким образом, гипотеза А.Т. Фоменко в некотором смысле верна для биллиардов на столах-гармошках.
БЛАГОДАРНОСТИ
3  критическими значениями функции f
являются ±Ri  и ±rj , где i
n
= 1,
,

, j
n


1
1
,
,

. 
При этом ±rj  являются седловыми критическими значениями, а ±Ri  соответствуют локальным 
минимумам и максимумам. Следовательно, зная 
взаимное расположение радиусов R r
i
j
,
, можно 
однозначно вычислить инвариант Фоменко–
Цишанга биллиарда на гармошке D  (см. [14]). 
Более того, меченая молекула (и сама система) 
симметрична относительно уровня f = 0  и любое ее ребро при f ≥0  (а также при f ≤0 ) однозначно кодируется подпоследовательностью 
нескольких подряд идущих максимальных радиусов R
R
i
i k
,
,

+ . На этом ребре функция f  изАвторы благодарят В.В. Ведюшкину и Е.А. Кудрявцеву за ряд ценных замечаний и внимание 
к работе.
,
,
l
n
l l
n
l
r
r
1
1
1
1


,
меняется либо на отрезке 










min
, min
ФИНАНСИРОВАНИЕ
если ребро содержит уровень f = 0 , т.е. кодируется последовательностью R
Rn
1,
,

, либо на 
Работа выполнена в МГУ им. М.В. Ломоносова при поддержке гранта РНФ № 22-71-00111.
отрезке 
max
,
,
min
,
,
r
r
r
i
i k
l
k
i l













1
0
1

, если ребро 
Г.В. Белозеров является стипендиатом Фонда 
развития теоретической физики и математики 
«БАЗИС».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 
не содержит уровень f = 0  и кодируется последовательностью R
R
i
i k
,
,

+ . В силу симметрии 
системы относительно уровня 
f = 0  симметричные ребра кодируются одинаковыми последовательностями, а области определения функций f  являются симметричными относительно 
нуля.
1.
Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых 
гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. 
С. 546–575.
Отметим, что при увеличении максимальных 
радиусов склейки топология слоения Лиувилля 
биллиарда не меняется. Гармошки, получающиеся друг из друга таким преобразованием, назовем структурно эквивалентными. 

2.
Фокичева В.В. Описание особенностей системы 
бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами. Вестн. Моск. унта. Сер. 1. Матем., мех. 2014. № 4. С. 18–27.
1
n
  
Теорема 7. Пусть 
Ri i
n
  1 , 
rj
j
3.
Фокичева В.В. Топологическая классификация 
биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик. Матем. 
сб. 2015. Т. 206. № 10. С. 127–176.
1  – последовательности максимумов и минимумов сферической гармошки D , тогда функция вращения ρ( )
f
на ребре грубой молекулы, соответствующем максимальным радиусам R
R
i
i k
,
,

+  имеет следующий 
вид:
k


2
k
 


1
.




( )
arcsin
arcsin
f
f
R
f
r
i
j
j
i
j
j
0
0










4.
Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные 
книжки моделируют все трехмерные бифуркации 
интегрируемых гамильтоновых систем. Матем. 
сб. 2018. Т. 209. № 12. С. 17–56.
ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ
том 515
2024