Введение в теорию вероятностей

Российский государственный педагогический университет 
им. А. И. Герцена 
 
 
 
 
 
 
 
К. Г. Аркина 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
2 издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Санкт-Петербург 
Издательство РГПУ им. А. И. Герцена 
2023 

УДК 519.211 
ББК 22.17я73 
А 82 
Печатается по решению  
редакционно-издательской деятельности 
РГПУ им. А. И. Герцена 
Р е ц е н з е н т ы :  
Е. А. Толкачева, кандидат физико-математических наук, Санкт-Петербургский 
государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина), 
М. Я. Якубсон, кандидат физико-математических наук, Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена) 
А 82     Аркина К. Г. Введение в теорию вероятностей : учебное пособие / 
К. Г. Аркина. — 2-е изд., испр. — Санкт-Петербург: Издательство 
РГПУ им. А. И. Герцена, 2023. — 132 с. 
ISBN 978-5-8064-3403-7 
Учебное пособие соответствует содержанию блока 1 структуры программы бакалавриата следующих направлений подготовки: 03.03.02 физика, 09.03.01 информатика 
и вычислительная техника, 09.03.02 информационные системы и технологии, 27.03.02 
управление качеством, 38.03.01 экономика, 38.03.02 менеджмент, 38.03.03 управление 
персоналом, 38.03.04 государственное и муниципальное управление, 39.03.01 социология, 43.03.01 сервис, 43.03.02 туризм, 43.03.03 гостиничное дело, 44.03.01 педагогическое образование (для профилей по математике, информатике, физике, безопасности 
жизнедеятельности и ряду других), а также специалитета по направлению 38.05.01 экономическая безопасность. 
Пособие имеет учебно-методическое назначение и предназначено для изучения 
студентами общего материала теории вероятностей: случайные события и их вероятности, условная вероятность и последовательные испытания, независимые события, независимые испытания и схема Бернулли, дискретные случайные величины, функция распределения вероятностей, непрерывные случайные величины, равномерное, нормальное 
и показательное распределения непрерывных случайных величин. 
Научная специальность 01.01.05 Теория вероятностей и математическая статистика. 
Табл. 31, Ил. 17, Библиогр.: 7 назв. 
УДК 519.211 
ББК 22.17я73 
ISBN 978-5-8064-3403-7 
© С. В. Лебединский, обложка, 2023 
© РГПУ им. А. И. Герцена, 2023
 

 
 
СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 
 
Введение ....................................................................................... 
5 
1. 
Случайные события и их вероятности 
...................................... 
7 
2. Классическое и статистическое определения вероятности .. 
11 
3. Геометрическое определение вероятности ............................ 
21 
4. Вероятность суммы событий ................................................... 
26 
5. Условная вероятность. Последовательные испытания ......... 
30 
6. Независимые события 
............................................................... 
37 
7. Полная вероятность. Формула Байеса .................................... 
50 
8. Независимые испытания. Схема Бернулли ............................ 
55 
9. Локальная теорема Муавра — Лапласа. Интегральная  
теорема Муавра — Лапласа. Предельная теорема Пуассона ............................................................................................. 
60 
10. Случайные величины 
................................................................ 
67 
11. Дискретные случайные величины 
........................................... 
68 
12. Числовые характеристики дискретных случайных  
величин 
....................................................................................... 
78 
13. Функция распределения вероятностей ................................... 
89 
14. Непрерывные случайные величины 
........................................ 
93 
15. Числовые характеристики непрерывных случайных вели- 
 
чин 
............................................................................................... 
98 
3 

16. Равномерное, нормальное и показательное распределения 
непрерывных случайных величин 
......................................... 
101 
Контрольная работа № 1 ...................................................... 
114 
Контрольная работа № 2 ...................................................... 
118 
Приложение 1 .......................................................................... 
126 
Приложение 2 .......................................................................... 
128 
Список литературы 
................................................................ 
131 
 
 
 
 
 
 
4 

 
 
 
 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Целью издания данного учебного пособия является публикация методического материала, непосредственно связанного с дисциплинами учебного плана уровня бакалавриата, в которых используется 
математический 
аппарат 
теории 
вероятностей. 
В пособии изложены основы теории вероятностей в возможно более доступной для студентов уровня бакалавриата нематематических специальностей форме. Пособие содержит основные теоретические сведения, необходимые для решения задач по теории 
вероятностей. Приведенная теория иллюстрируется большим количеством задач с подробным ходом решения. Также предлагается 
набор задач с ответами для решения и самопроверки. В конце 
учебного пособия содержится многовариантная индивидуальная 
домашняя работа по рассмотренным темам. 
Пособие содержит основные разделы теории вероятностей, такие как случайные события и их вероятности, классическое и статистическое определение вероятности, геометрическое определение 
вероятности, 
вероятность 
суммы 
событий, 
условная 
вероятность и последовательные испытания, независимые события, полная вероятность и формула Байеса, независимые испытания и схема Бернулли, локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа, предельная теорема Пуассона, дискретные 
случайные величины, числовые характеристики дискретных случайных величин, функция распределения вероятностей, непрерывные случайные величины, числовые характеристики непрерывных 
случайных величин, равномерное, нормальное и показательное 
распределения непрерывных случайных величин. 
5 

Пособие рекомендуется к использованию студентам уровня 
бакалавриата следующих направлений подготовки: 03.03.02 физика, 09.03.01 информатика и вычислительная техника, 09.03.02 
информационные системы и технологии, 27.03.02 управление качеством, 38.03.01 экономика, 38.03.02 менеджмент, 38.03.03 
управление персоналом, 38.03.04 государственное и муниципальное управление, 39.03.01 социология, 43.03.01 сервис, 43.03.02 туризм, 43.03.03 гостиничное дело, 44.03.01 педагогическое образование (для профилей по математике, информатике, физике, 
безопасности жизнедеятельности и ряду других), а также студентов специалитета по направлению 38.05.01 экономическая безопасность. Учебное пособие может быть полезно также студентам 
направления 01.03.01 прикладная математика и информатика, студентам магистратуры различных направлений при написании работ, связанных с обработкой статистического материала. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 

 
1. Случайные события и их вероятности 
 
 
 
Теория вероятностей — это наука о математических закономерностях случайных явлений. Речь идет о явлениях, наблюдения 
над которыми не всегда приводят к одним и тем же определенным 
результатам, но для которых при массовом повторении наблюдений проявляются закономерности в получении близких результатов. Опыт, эксперимент будем называть испытанием. Результат 
наблюдения (эксперимента) называют случайным событием. События обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С и т. д. Каждому случайному событию приписывается 
числовая характеристика Р(А), называемая вероятностью этого 
события и оценивающая «степень случайности». Таким образом, 
осуществляется переход от реальных, «физических», явлений к их 
абстрактным математическим моделям («вероятностным» моделям). Построение вероятностных моделей и математический анализ закономерностей для Р(А) составляют основное содержание 
теории вероятностей. 
 
Классификация событий. Действия над событиями 
 
Определение 1.1. Будем называть событие достоверным, 
если в результате испытания оно обязательно произойдет. Будем 
обозначать его буквой U. 
Определение 1.2. Событие называется невозможным, если 
оно никогда не может произойти, при данном эксперименте. Оно 
обозначается буквой V. 
Пример 1.1. Игральный кубик при подбрасывании обязательно упадет вниз — событие достоверное. Но выпадение 7 очков, при однократном бросании одной игральной кости — событие 
невозможное. 
Определение 1.3. Событие, которое не будет достоверным 
или невозможным будем называть случайным событием. 
7 

Определение 1.4. Если появление одного события исключает 
появление другого, то говорят, что события несовместны. 
Пример 1.2. При однократном броске игральной кости не может выпасть одновременно и 5 и 6 очков одновременно. 
Допустим, что проводится некоторый эксперимент, и о его 
предполагаемом результате делается высказывание А. Например, 
если бросаются одновременно три монеты, то А может иметь вид: 
«из трех монет хотя бы одна упала гербом вверх». Составление высказываний подобного рода является первым этапом математического описания случайных событий. Причем понятие «событие 
произошло» отождествляется с истинностью высказывания А. Известно из курса математической логики, что над высказываниями 
можно определить операции дизъюнкции, конъюнкции, импликации и эквиваленции. Проделывая такие операции, будем получать 
словесные описания «сложных» событий на основе описания 
«простых». В теории вероятностей на этот счет принята следующая терминология. Если А и В — случайные события, то их суммой А + В, произведением АВ, разностью А – В называются события, состоящие соответственно в том, что «происходит А или В», 
«А и В», «А и не В». 
Суммой событий А + В называется событие, которое заключается в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В. Не 
исключается и появление обоих событий. 
Произведением событий АВ называется событие состоящее 
в том, что происходят и событие А и событие В. 
Разностью событий А и В называется событие А – В, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. 
Разности событий соответствует разность множеств. 
Событие 
A
E
A
−
=
 называется событием, противоположным 
А. Оно состоит в том, что А не происходит. 
Пример 1.3. Выпадение герба и цифры — противоположные 
события. Ясно, что А + Ā = U и AĀ = V. 
Определение 1.5. Пусть число результатов эксперимента конечно. Если они попарно несовместны и в результате эксперимента одно из них обязательно появится, то будем говорить, что 
8 

они образуют полную группу событий Ω. К полной группе событий предъявляется требование равновозможности событий. 
Классическое определение вероятности работает с равновозможными (равновероятными) событиями. 
Понятие равновозможных событий не определяется, а лишь 
поясняется примерами. Для каждого из таких событий характерно 
то, что ни одно из них не является объективно более возможным, 
чем другие. В практической задаче исследователь сам решает, какие события считать равновозможными. 
Задача 1.1. Монета бросается три раза. Событие А состоит 
в том, что ровно два раза выпал герб. Чему равна его вероятность? 
Решение. Определим полную группу событий Ω в виде троек 
из букв г — «герб» и ц — «цифра». Ω = {(ггг), (ггц), (гцг), (цгг), 
(ццг), (цгц), (гцц), (ццц)}; А = {(ггц), (цгг), (гцг)}. Первый символ 
показывает, каков исход первого бросания монеты, второй — второго, третий — третьего. Если предположить, что восемь элементарных событий, составляющих полную группу Ω равновозможны, то вероятность А, вычисленная по классической схеме, 
равна 3/8. 
Даже в таком простом примере не ясно, почему полная группа 
выбрана именно так, а не иначе. Можно предложить другой вариант. 
Пусть Ω содержит только четыре элементарных события: 
число гербов из трех равно 0, 1, 2 или 3. Если предположить, что 
все четыре элементарных события равновозможны, то вероятность 
А будет равна 1/4. Таким образом, для разных моделей получаем 
разные оценки вероятности. Какая модель лучше описывает эксперимент? 
В общем случае это довольно сложный вопрос, ответить на который помогает статистика (то есть обработка реальных экспериментальных данных). Если модель достоверно отражает закономерности 
реального 
эксперимента 
(адекватна 
ему), 
то 
относительные частоты, с которыми наблюдаются результаты 
этого эксперимента, при большом числе повторений эксперимента 
должны быть «близки» к вероятностям, рассчитанным с помощью 
модели. 
9 

В рассмотренном примере можно предложить логическое «тестирование» двух моделей. В качестве теста предлагается сравнить вероятности событий X и У: X — «все три монеты упали одинаковой стороной вверх»; У — «не все три монеты упали 
одинаковой стороной вверх». 
Интуитивно ясно (и можно подтвердить на опытах), что событие X менее вероятно, чем У. Первая модель адекватно отражает 
эту закономерность, тогда как во второй вероятности X и У не 
равны. 
Ответ. 3/8. 
Пример 1.4. Полная группа событий при однократном броске 
игральной кости это выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Так при 
бросании игральной кости равновозможно появление любого количества очков от 1 до 6. 
Определение 1.6. Если в результате наступления события А 
обязательно наступает событие В, то говорят, что событие А благоприятно для В. 
Пример 1.5. Так события «выпадение 2 очков», «выпадение 
4 очков», «выпадение 6 очков» являются благоприятствующими 
для события «выпадение четного количества очков». 
Пример 1.6. По мишени произведено три выстрела. Пусть событие А0 состоит в том, что попаданий нет, событие А1 — в том, 
что произошло одно попадание, А2 — в том, что произошло два 
попадания, А3 соответствует трем попаданиям. Рассмотрим событие А — «произошло не больше двух попаданий». Очевидно, что 
А0 ⊂ А, А1 ⊂ А, А2 ⊂ А. Кроме того, А0 + А1 + А2 = А. События А0 
и А1, например, несовместны (они не могут произойти одновременно), то есть А0⋅А1 = V. Понятно, что А1⋅А = А1 (если произошли 
одновременно события А1 и А, то это значит, что произошло событие А1). А3 является событием, противоположным событию А (если 
А не происходит, то есть из трех выстрелов произошло больше 
двух попаданий, то значит, произошло А3). Событие А – А2 состоит 
в том, что произошло не больше двух попаданий, но не два ровно, 
то есть стрелок попал в цель один раз или не попал ни одного раза, 
поэтому А – А2 = А0 + А1. 
 
 
10