Журнал вычислительной математики и математической физики, 2024, № 3

Российская академия наук
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» 
Российской академии наук
ЖУРНАЛ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ 
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ɍɨɦ     Ɇɚɪɬ    ʋ     
Выходит 12 раз в год 
Основан в январе 1961 г. 
академиком Анатолием Алексеевичем Дородницыным
ISSN: 0044-4669
Журнал издается под руководством 
Отделения математических наук РАН
Главный редактор Е.Е. ТЫРТЫШНИКОВ
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
А.И. Аптекарев, А.Н. Боголюбов, Ю.В. Василевский, К.В. Воронцов,  
А.В. Гасников, Ю.Г. Евтушенко, И.Е. Капорин, Г.М. Кобельков,  
И.Б. Петров, С.И. Репин, А.В. Сетуха, С.Л. Скороходов  
(зам. главного редактора), С.В. Утюжников, Б.Н. Четверушкин,  
А.А. Шананин, М.А. Эфендиев, А.Г. Ягола 
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ:
Ю.С. Осипов, Г.И. Шишкин
Зав. редакцией Л.В. Раевская
Адрес редакции: 119333 Москва, 
ул. Вавилова, 44, корп. 2, ФИЦ ИУ РАН. 
редакция “Журнала вычислительной математики и математической физики” 
тел. 8-499-135-55-08 
е-таil: comp_mat@ccas.ru
Москва 
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Федеральный исследовательский центр “Информатика  
     и управление” Российской академии наук, 2024
© Редколлегия “Журнала вычислительной математики  
     и математической физики”, (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 64, номер 3, 2024 год
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Точная формула для решения вырожденных систем квадратичных уравнений
Ю. Г. Евтушенко, А. А. Третьяков 
387
Численная схема с экспоненциальной сходимостью для функции тока потенциального обтекания 
тел с осевой симметрией
А. Г. Петров 
392
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 
О построении оптимальной сети точек наблюдений при решении обратных линейных задач 
гравиметрии и магнитометрии
И. Э. Степанова, Д. В. Лукьяненко, И. И. Колотов, А. В. Щепетилов, 
А. Г. Ягола, А. Н. Левашов 
403
Алгоритмы оптимизации систем с многоэкстремальными функционалами
В. К. Толстых 
415
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задача Штурма-Лиувилля для одномерного термоупругого оператора в декартовой, 
цилиндрической и сферической системах координат  
А. В. Земсков, Д. В. Тарлаковский 
424
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
О единственности решения интегрального уравнения Лаврентьева в n-мерном пространстве
М. М. Кокурин, В. В. Ключев, А. В. Гаврилова 
443
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Кинетическая модель для описания трехкомпонентной плазмы
М. В. Абгарян, А. М. Бишаев  
462
О вероятностно-статистическом подходе к анализу параметров нелокальности плотности плазмы
Н. С. Аркашов, В. А. Селезнев 
473
Алгоритмы решения обратной задачи рассеяния для модели Манакова 
О. В. Белай, Л. Л. Фрумин, А. Е. Чернявский 
486
Расчет возмущения слоя  плазмы электрическим полем
Н. М. Гордеева  
499

Локализация начального условия решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
А. Н. Конёнков 
514
Об асимптотике решения задачи Коши для сингулярно возмущенного дифференциальнооператорного уравнения переноса с малой диффузией в случае многих пространственных 
переменных
А. В. Нестеров 
526
Краевая задача о расчете лучевых характеристик океанических
волн, отраженных от береговой линии
И. А. Носиков, А. А.Толченников, М. В. Клименко 
534
ИНФОРМАТИКА
Интерполяция программного управления по целевой точке в задаче о сближении
А. В. Алексеев, А. А. Ершов 
547

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2024, ТОМ 64, № 3,  с.  387–391
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.615
ТОЧНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ  
СИСТЕМ КВАДРАТИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ1)
© 2024 г.    Ю. Г. Евтушенко1,2,*, А. А. Третьяков1,3,**
1119333 Москва, ул. Вавилова, 44, ФИЦ ИУ РАН, Россия
2141701 Долгопрудный, М.о., Институтский переулок, 9, Московский физико-технический институт
(государственный университет), Россия
308-110 Siedlce, Siedlce University, Faculty of Exact and Natural Sciences, Poland
*e-mail: yuri-evtushenko@yandex.ru
**e-mail: prof.tretyakov@gmail.com
Поступила в редакцию 05.06.2023 г. 
Переработанный вариант 15.09.2023 г. 
Принята к публикации 20.10.2023 г. 
Рассматривается система нелинейных уравнений вида F x
n
( ) = 0 , где отображение F квадратичное, 
действующее из R
R
n
n
→
. При этом производная F' в решении вырождена, что является одним из 
главных характеристических свойств нелинейности отображения. На основе конструкций теории 
p-регулярности предложен 2-фактор метод решения этой системы, который сходится с квадратичной 
скоростью. Более того, получена точная формула для решения данной системы квадратичных 
уравнений в случае 2-регулярности отображения F. Библ. 7. 
Ключевые слова: вырожденность, p-регулярность, p-фактор оператор.
DOI: 10.31857/S0044466924030012, EDN: XHLYYB
ВВЕДЕНИЕ
Рассматривается система нелинейных уравнений вида F x
n
( ) = 0 , где отображение F определено как 
 
F x
B x
Mx
N
( ) =
[ ]
,
2 +
+
 
(1)
где M – матрица размерности n×n, N – вектор из Rn  и B
n
n
: R
R
→
 – квадратичное отображение вида 
 
B x
B x x
B x x
B x x
n
[ ] =
( , ) = (
, ),
,(
, )
2
1
…
[
]
Τ  
(2)
для x
n
∈R  и Bi  есть n×n симметричная матрица, i
n
= 1,
,
… .
В статье описывается применение теории p-регулярности [1–3] к решению систем нелинейных 
уравнений с отображением F, введенным в (1). Цель статьи представить точную формулу для решения 
уравнения F x
n
( ) = 0 , где F(x) – квадратичное отображение вида (1) с вырождением в решении x*. Отметим, что нелинейные проблемы, среди которых квадратичные и полиномиальные уравнения, интенсивно исследуются в различных областях знаний и прикладных задачах. Оказывается, как это было показано в [4], нелинейность тесно связана с вырожденностью, а именно: так называемые существенно 
нелинейные задачи и вырожденные локально эквивалентны (см. [4]). Поэтому в данной статье исследуем 
системы квадратичных уравнений вида 
 
B x
Mx
N
n
[ ]
= 0
2 +
+
 
(3)
с вырождением, как основным характеристическим признаком нелинейности в решении. В данной 
статье покажем, как на основе теории p-регулярности и специальной конструкции 2-фактор оператора 
свести исходную задачу к системе линейных уравнений и получить формулу для решения системы (3).
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 21-71-30005).
387

ЕВТУШЕНКО, ТРЕТЬЯКОВ
Определение и обозначения. Обозначим через KerS
x
Sx
n
= {
|
= 0 }
∈R
m
 ядро линейного оператора 
S
n
m
: R
R
→
 и через ImS
y
y
Sx
m
= {
|
=
∈R
 для некоторого x
n}
∈R
 – образ этого оператора.
Пусть B
n
n
n
: R
R
R
×
→
 непрерывное симметричное квадратичное отображение. 2-форма, ассоциированная с B, это отображение B
n
n
[]2
⋅
→
: R
R  определено как B x
B x x
[ ] =
( , )
2
, x
n
∈R . Будем использовать следующее обозначение Im 2
2
= {
|
[ ] =
}
B
y
x
B x
y
n
n
∈
∃
∈
R
R
:
 и Ker 2
2
= {
| [ ] = 0 }
B
x
B x
n
n
∈R
. Через 
N(x*) обозначим окрестность точки x*.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ 2РЕГУЛЯРНОСТИ
Напомним некоторые обозначения и определения теории 2-регулярности [1–7] для конечномерного 
случая и опишем несколько версий 2-фактор метода для решения вырожденных нелинейных уравнений. 
Проиллюстрируем, как применять модификацию 2-фактор метода для получения формулы решения нелинейной системы уравнений с квадратичным оператором. Рассмотрим нелинейную систему уравнений 
 
F x
n
( ) = 0 ,  
(4)
где F – достаточно гладкое отображение из Rn  в Rn, F x
f x
f
x
n
( ) = (
( ),
,
( ))
1
…
Τ. Пусть x*-решение (4). 
Отображение F называется регулярным в точке x*, если 
 
Im
′
∗
F
x
n
(
) = R  
(5)
или, другими словами, 
rank
′
∗
F
n
x
(
) = ,
где 
′
∗
F
x
(
)  – матрица Якоби отображения F в точке x*. Отображение называется нерегулярным (вырожденным), если (5) не выполнено. Пусть 
 
Rn
Y
Y
=
,
1
2
+
 Y
F
x
1 =
(
)
Im
′
∗, Y
Y
2
1
=
⊥. 
(6)
Определим отображения 
F x
Y
F x
P F x
i
i
n
i
i
Yi
( )
,
( ) =
( ),
= 1,2,
: R
→
где P
Y
Yi
n
i
: R
→
 – ортопроектор на Yi, i = 1,2. Тогда F может быть представлено как F x
F x
F
x
( ) :=
( )
( )
1
2
+
 
или F x
F x
F
x
( ) = (
( ),
( ))
1
2
Τ.
Определение 1. Линейный оператор <2
1
2
( )
(
,
)
h
Y
Y
n
∈
⊕
L R
, где h
n
∈R , h ≠0, определенный как 
<2
1
2
( ) =
(
)
(
)[ ],
h
F x
F
x
h
′
+
′′
∗
∗
называется 2-фактор оператором. (Или 2-фактор оператором, порожденным вектором h .)
Рассмотрим нелинейный оператор <2
2
[]
⋅ такой, что 
<2
2
1
2
2
[ ] :=
(
)[ ]
(
)[ ] .
x
F x
x
F
x
x
′
+
′′
∗
∗
Заметим, что <
<
2
2
2
[ ] =
( )[ ]
x
x
x . 
Определение 2. 2-ядро оператора <2  обозначим 
H2
2
2
=
,
Ker <
где Ker 2
2
1
2
2
= {
|
(
)[ ]
(
)[ ] = 0 }
<
h
F x
h
F
x
h
n
n
∈
′
+
′′
∗
∗
R
.   Отметим,   что Ker
Ker
2
2
=1
2
( )
=
(
)
<
k
k
k
k
F
x
∩
∗, 
где Ker k
k
k
n
k
k
k
n
F
x
F
x
( )
( )
(
) = {
|
(
)[ ]
= 0 }
∗
∗
∈
[
[
R
, k  – ядро оператора Fk
k
k
( )()[]
⋅⋅, k = 1,2. 
Определение 3. Отображение F называется 2-регулярным в точке x* на h, если ImΨ2( ) =
h
n
R . 
Определение 4. Отображение F называется 2-регулярным в точке x*, если оно 2-регулярно на каждом 
h
H
x
n
∈
∗
2(
)
{0 }
\
 или H
x
n
2(
) = {0 }
∗
. 
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ      Том 64      № 3       2024

 
ТОЧНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ 
389
2. 2ФАКТОР МЕТОД РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для решения системы (4) воспользуемся 2-фактор методом, предложенным в [1]: 
 
x
x
F
x
P F
x
h
F x
P F
x
h
k
k
k
Y
k
k
Y
k
+
−
−
′
+
′′
+
′
(
)
1
2
1
2
=
{
(
)
(
) }
(
)
(
)
,  
(7)
где вектор h, h = 1  выбирается таким образом, чтобы матрица 
′
+
′′
(
)
∗
∗
F
x
P F
x
h
Y
(
)
(
)
2
 была обратима. 
Фактически схема (7) – это схема метода Ньютона для решения системы 
 
)( ) =
( )
( )
= 0 .
2
x
F x
P F
x h
Y
n
+
′
 
(8)
Следующий результат устанавливает факт сходимости 2-фактор метода (7). 
Теорема 1. Пусть F
C
n
∈
3(
)
R
 и x* – решение (4). Предположим, что существует вектор h
n
∈R , h = 1  
такой, что F  2 -регулярно в точке x*  на элементе h, т.е. матрица 
′
+
′′
∗
∗
F
x
P F
x
h
Y
(
)
(
)
2
 не вырождена.
Тогда существует окрестность N(x*) точки x* такая, что для x
N x
0
(
)
∈
∗ последовательность {
}
xk , генерируемая 2-фактор методом (7), сходится к x*, причем 
 
x
C x
x
x
k
k
+
∗
∗
−
≤
−
1
2
,  
(9)
где C > 0 – независимая константа. 
Доказательство. Поскольку схема (7) – это метод Ньютона, примененный к системе (8), и матрица 
′
∗
) (
)
x
 не вырождена из условия 2-регулярности F в точке x* на векторе h, причем )(
) = 0
x
n
∗
, то схему 
(7) можно переписать в виде 
 
x
x
x
x
k
k
k
k
+
−
−
′
1
1
=
(
)
(
),
)
)
 
(10)
для которой будет верна оценка (9). Теорема доказана. 
Рассмотрим другую версию 2-фактор метода для решения системы (4). Поскольку 
 
P F
x
h
Y
n
2
(
)
= 0
′
∗
 
(11)
для любого h
n
∈R , то можем рассматривать уравнение 
 
P F
x h
Y
n
2
( )
= 0 .
′
 
(12)
Причем, если на элементе h существует P F
x
h
Y2
*
1
(
)
′′
(
)
−
, то точка x* будет локально единственным 
решением уравнения (12). Поэтому для решения (4) можно рассмотреть схему 
1
 
x
x
P F
x
h
P F
x
h
k
k
k
Y
k
Y
k
+
−
−
′′
(
)
′
1
2
2
=
(
)
(
) ,
= 0,1,  
(13)
для которой будет справедлива следующая теорема сходимости. 
Теорема 2. Пусть F
C
∈
3, x* – решение (4). Предположим, что существует вектор h, h = 1  такой, что 
матрица P F
x
h
Y2
(
)
′′
∗
 не вырождена.
Тогда для x
N x
0
*
(
)
∈
 последовательность (13) сходится к x*, причем 
x
x
C x
x
k
k
+
∗
∗
−
≤
−
1
2
,
где C > 0  – независимая константа. 
Доказательство. Следует из доказательства сходимости классического метода Ньютона. Отметим, что в 
схеме (13) оператор P
Y2  определен в точке x*. Способы его построения по текущей точке xk из достаточно 
малой окрестности N(x*) описаны в [7], и мы не будем здесь останавливаться на этом моменте. 
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С КВАДРАТИЧНЫМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ.  
ТОЧНАЯ ФОРМУЛА
Пусть теперь отображение F определяется как 
 
F x
B x
Mx
N
( ) =
[ ]
,
2 +
+
 
(14)
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ      Том 64      № 3       2024

ЕВТУШЕНКО, ТРЕТЬЯКОВ
где M – матрица размерности n×n, N  – вектор из Rn  и B
n
n
: R
R
→
 – отображение, определенное 
формулой (2). Рассмотрим, как 2-фактор метод (13) может быть применен для поиска решения уравнения 
(14).
Более того, покажем, что 2-фактор метод (13) сходится за одну итерацию к решению x* уравнения (14), 
и дадим точную формулу для решения x* уравнения (14). Для уравнения (14) предположения теоремы 2 
сводятся к существованию вектора h
n
≠0  такого, что
1)
 
P
B x
M h
Y
n
2 (2 [
]
)
= 0
∗+
,  
(15)
2)
 
P
Bh
Y2 2
.
не вырождена  
(16)
При этом соотношение (15) выполнено для любого h
n
∈R , так как (2 [
]
)
(
)
B x
M h
F
x
∗
∗
+
∈
′
Im
, а 
P
Y2  – ортопроектор на (
(
))
*
Im
′
⊥
F
x
. Проблема состоит в построении оператора P
Y2, который, вообще говоря, определяется неизвестной точкой x*. Однако при x
U
x
0
(
)
∈
∗
H
, где ε>0 достаточно малое, мы можем 
восстановить оператор P
Y2, используя только информацию о точке x0. Полное описание этого факта и 
саму процедуру построения оператора P
Y2 можно найти, например, в [7].
Тогда первая итерация 2-фактор метода дает 
 
x
x
P Bh
P
Bx
M h
Y
Y
1
0
2
1
2
0
=
(2
)
[2
(
) ],
−
+
−
 
(17)
что эквивалентно 2
(
) =
(2
)
2
1
0
2
0
P Bh x
x
P Bx
M h
Y
Y
−
−
+
. Учитывая, что 2
[ ,
] = 2
[
, ]
2
0
2
0
P B h x
P B x
h
Y
Y
, получаем 
 
x
P Bh
Mh
x
Y
1
2
1
=
=
1
2
(
),
∗
−
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⋅
 
(18)
где вектор h удовлетворяет условию (16).
Отметим, что множество векторов h
n
∈R , для которых выполнено условие (16), является массивным 
множеством (см. [3]), и поэтому мы не будем в данной статье останавливаться на способах построения 
векторов h, удовлетворяющих (16).
Пример 1. Рассмотрим отображение F : R
R
2
2
→
 следующего вида: 
⎛
⎞
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟ 
(19)
 
F x
x
x
x
x x
x
( ) =
2
1 = 0
0 .
1
2
2
2
1
−
−
+
−
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎠
1 2
2
Представим отображение F в форме (14) при 
⎞
⎛
⎛
1
0
0
1
−
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
⎛
⎞
B =
−
−
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
,
=
2
0
0
1 ,
= 1
0
M
N
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎠
⎠
⎝
0
1
2
1
2
0
⎛
Уравнение F x
( ) = 0  имеет локально единственное решение x∗
Τ
= (1,0) . В этом примере Y1 = 0
0
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟, 
Y2
2
= R , P
Y1
2 2
= [0] × , P
I
Y2
2 2
= [ ] × , h = (1,0)Τ. Следовательно, применяя формулу (18), получаем 
x
P Bh
Mh
Y
 ∗
−
−
−
⎡
⎝
⎜
⎜
=
1
2[
]
(
) =
1
2
1
0
0
2
2
0
= 1
0
2
1
⎜
⎜
⎞
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
⎛
что означает x
x
 ∗
∗
=
, и мы получаем точную формулу для решения системы квадратичных уравнений 
(14). 
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ      Том 64      № 3       2024

 
ТОЧНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ 
391
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белаш К.Н., Третьяков А.А. Методы решения вырожденных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. 
Т. 28. №. 7. С. 1097–1102. 
2. Белаш К.Н. Решение систем нелинейных уравнений общего вида // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990. 
Т. 30. №. 6. С. 837–843. 
3. Измайлов A.Ф., Третьяков А.А. Фактор-анализ нелинейных отображений. М.: Наука, 1994. 
4. Tret’yakov A., Marsden J.E. Factor analysis of nonlinear mappings: p-regularity theory // Communications on 
Pure & Applied Analysis. 2003. Vol. 2. No. 4. P. 425–445. 
5. Facchinei F., Fisher A., Kanzow C. On the Accurate Identification of Active Constraints //  SIAM J. Optim. 1998. 
No. 9. P. 14–32. 
6. Измайлов А.Ф., Третьяков А.А. 2-регулярные решения нелинейных задач. Теория и численные методы. М.: 
Физматлит, 1999. 
7. Брежнева О.А., Третьяков А.А. Новые методы решения существенно нелинейных задач. М.: ВЦ РАН, 2000. 
 EXACT FORMULA FOR THE SOLUTION OF DEGENERATE  
SYSTEM OF QUADRATIC EQUATIONS
Yu. G. Evtushenkoa,b,*, A. A. Tret'yakova,c,**
aFederal Research Center “Computer Science and Control” of RAS
Vavilova str., 44, Moscow, 119333 Russia
bMoscow Institute of Physics and Technology (National Research University),
Institutskiy per, 1, Dolgoprudnyi, Moscow Region, 141701 Russia
cFaculty of Exact and Natural Sciences Siedlce University,
Siedlce, 08-110 Poland
*e-mail: yuri-evtushenko@yandex.ru
**e-mail: prof.tretyakov@gmail.com
Received 05 June, 2023
Revised 15 September, 2023
Accepted 20 October, 2023
Abstract. The paper devoted to the solution of nonlinear system of equations F(x) = 0, where the mapping F is 
quadratic, acting from R
R
n
n
→
. We consider the case, when the derivative F' is degenerate at the solution 
point. Based on the constructions of the p-regularity theory was proposed a 2-factor method for solving singular 
system of equations, which converges at a quadratic rate. Moreover, an exact formula is obtained for solving 
this quadratic system of equations in the 2-regular case of the mapping F(x).
Keywords: degenerate, p-regularity, p-factor method.
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ      Том 64      № 3       2024

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2024, ТОМ 64, № 3,  с.  392–402
 
УДК 519.64
ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СХОДИМОСТЬЮ  
ДЛЯ ФУНКЦИИ ТОКА ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ  
С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ1)
© 2024 г.  А.Г. Петров1,*
1119526 Москва, пр-т Вернадского, 101, корп. 1, 
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Россия 
*e-mail: petrovipmech@gmail.com
Поступила в редакцию 05.02.2023 г.
Переработанный вариант 10.10.2023 г.
Принята к публикации 20.10.2023 г.
Рассматривается численная схема метода граничных элементов для задачи потенциального обтекания 
осесимметричных торообразных тел. Выводится интегральное уравнение для распределения скорости 
на теле. Показывается экспоненциальная сходимость численной схемы решения рассматриваемого 
уравнения. Библ.17. Фиг.6. Табл.2.
Ключевые слова: метод граничных элементов, осевая симметрия, потенциальное обтекание, экспоненциальная сходимость.
DOI: 10.31857/S0044466924030021, EDN: XHHTJU
ВВЕДЕНИЕ
В осесимметричном случае, так же как и для плоских задач, потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости можно формулировать как с помощью потенциала поля скорости, так и с помощью 
функции тока.
В работах [1]–[5] были разработаны численные схемы метода граничных элементов для решения задач потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости. Потенциал поля скорости удовлетворяет уравнению Лапласа, и для него выводится линейное интегральное уравнение на граничной поверхности. Оно связывает между собой значение функции и ее нормальную производную на этой поверхности. 
Для плоской и осесимметричной задач граничную поверхность определяет одномерный контур. Поэтому 
интегральное уравнение является одномерным, и с помощью удачно подобранных квадратурных формул интегральное уравнение аппроксимируется линейной системой уравнений. Для задачи Дирихле по 
заданному потенциалу из системы уравнений находится нормальная производная. Для задачи Неймана 
по заданной нормальной производной потенциала находится потенциал. Потенциал в каждой точке области, ограниченной контуром, линейно выражается через распределение потенциала и его нормальной 
производной на контуре. В этом и состоит суть метода граничных элементов.
Существует также много более современных работ [6]–[10], в которых предлагаются различные 
численные схемы также для потенциала.
Функция тока потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости также удовлетворяет 
уравнению Лапласа, и для нее схема граничных элементов строится аналогично. В [11] было показано, 
что для плоских задач обтекания схема вычисления функции тока оказывается проще. При этом 
значительно упрощается задача построения линий тока. Для обтекания контура с циркуляцией функция 
тока однозначная в области течения жидкости, а потенциал – неоднозначный.
Интегральные операторы интегрального уравнения на граничном контуре действуют на периодические 
функции. Периодом является длина контура. Если контур аналитичен, то коэффициенты n-й гармоники 
ряда Фурье периодических функций убывают по экспоненте exp(
)
−cn . С помощью этого наблюдения в 
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ, проект № 124012500442-3. 
392

 
ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ СХОДИМОСТЬЮ 
393
[12], [13] разработаны аппроксимации интегральных уравнений линейной системой, погрешность которых убывает с ростом числа элементов сетки по экспоненте.
В настоящем исследовании численные схемы метода граничных элементов для решения плоских 
задач с помощью функции тока распространяются на решения задачи обтекания осесимметричного 
тела и тора с циркуляцией. Следует отметить, что функция тока осесимметричного потенциального 
тела удовлетворяет уравнению эллиптического типа, отличного от уравнения Лапласа. Поэтому 
для нее следует выводить новые интегральные уравнения на граничном контуре. Функция Грина, 
которая фигурирует в интегральном уравнении плоской задачи, будет отличаться от функции Грина 
осесимметричной задачи, и ее следует вывести отдельно.
1. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Компоненты скорости vr, vz  в цилиндрической системе координат z r
, ,M выражаются через функцию 
тока <  следующим образом: 
v
r
z
v
r
r
r
z
= 1
,
=
1
∂
∂
−∂
∂
Ψ
Ψ.
Угловая компонента вектора вихря rotν  имеет вид 
rotϕν =
=
1
1
∂
∂
−∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟+ ∂
∂
∂
∂
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
v
z
v
r
z r
z
r r
r
r
z
Ψ
Ψ
⎟=
.
2
D Ψ
Рассмотрим потенциальное осесимметричное течение вне осесимметричного тора, S  — область, 
которая получается в результате сечения тора меридианальной плоскостью. Из приведенных равенств 
получаем уравнение потенциального (безвихревого) течения 
D2
= 0.
<
Функцией Грина G  осесимметричного потенциального течения будет функция тока вихревого 
осесимметричного кольца C  радиуса a . Согласно формуле Био–Савара поле скорости вихревого кольца имеет вид (фиг. 1): 
v
ds
r
r
r
r
=
(
)
|
|
.
3
−
′×
′ −
′ −
∫

Фиг. 1. Вихревое кольцо
В декартовой системе координат x,  y, z  векторы под интегралом имеют компоненты 
′
′ −
r a
a
r r
z
ds
a
a
d
(
,
,0),
( ,0, ),
(
,
,0)
.
cos
sin
sin
cos
I
I
I
I
I
Отсюда находим радиальную скорость vr  вихревого кольца 
2
cos

   
v
az
d
2
2
2 3/2
a
ar
r
z
r =
(
2
)
.
0
 
∫
−
+
+
cos
Ее можно выразить через функцию тока G:
r = 1
,
v
r
G
z
∂
∂
2
 
 
(1)
cos

   
G r z a
ar
d
2
2
2 1/2
cos
, ,
=
2
.
0
a
ar
r
z
 
(
)
−
−
+
+
(
)
∫
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ      Том 64      № 3       2024