Журнал вычислительной математики и математической физики, 2024, № 2

Российская академия наук
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» 
Российской академии наук
ЖУРНАЛ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Том 64    Февраль    № 2    2024
Выходит 12 раз в год
Основан в январе 1961 г.
академиком Анатолием Алексеевичем Дородницыным
ISSN: 0044-4669
Журнал издается под руководством
Отделения математических наук РАН
Главный редактор Е.Е. ТЫРТЫШНИКОВ
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
А.И. Аптекарев, А.Н. Боголюбов, Ю.В. Василевский, К.В. Воронцов, 
А.В. Гасников, Ю.Г. Евтушенко, И.Е. Капорин, Г.М. Кобельков, 
И.Б. Петров, С.И. Репин, А.В. Сетуха, С.Л. Скороходов 
(зам. главного редактора), С.В. Утюжников, Б.Н. Четверушкин, 
А.А. Шананин, М.А. Эфендиев, А.Г. Ягола 
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ:
Ю.С. Осипов, Г.И. Шишкин
Зав. редакцией Л.В. Раевская
Адрес редакции: 119333 Москва,
ул. Вавилова, 44, корп. 2, ФИЦ ИУ РАН.
редакция “Журнала вычислительной математики и математической физики”
тел. 8-499-135-55-08
е-таil: comp_mat@ccas.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Федеральный исследовательский центр “Информатика 
     и управление” Российской академии наук, 2024
© Редколлегия “Журнала вычислительной математики 
     и математической физики”, (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 64, номер 2, 2024 год
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Оценка QTT рангов регулярных функций на равномерной квадратной сетке
А. В. Зыль, Н. Л. Замарашкин
189
Улучшенная квадратурная формула для прямого значения нормальной производной потенциала 
простого слоя
П. А. Крутицкий, И. О. Резниченко
200
Приближение непрерывных функций с помощью классических синков и значений операторов Cλ
В. Н. Пасечник
220
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Синтез оптимальной устойчивой аффинной системы
Л. Т. Ащепков
225
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Гладкие многообразия Ляпунова для автономных систем нелинейных обыкновенных 
дифференциальных уравнений и их применение к решению сингулярных краевых задач
Н. Б. Конюхова
232
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Явные численно реализуемые формулы для операторов Пуанкаре – Стеклова
А. С. Демидов, А. С. Самохин
253
Метод численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера десятого порядка точности
М. А. Захаров
263
Решение двумерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности  
при краевом режиме, заданном на подвижном многообразии
А. Л. Казаков, О. А. Нефедова, Л. Ф. Спевак
283
О разрешимости существенно нелинейного эллиптического дифференциального уравнения 
с нелокальными краевыми условиями
О. В. Солонуха
304
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Локальная вейвлетная адаптация декартовых сеток в вычислительных задачах газовой динамики
А. Л. Афендиков, В. С. Никитин
322

Новые компьютерно-экономичные аппроксимации случайных функций  
для решения стохастических задач теории переноса
Г. А. Михайлов, И. Н. Медведев
337
Исследование применения явно-итерационной схемы к моделированию дозвуковых реагирующих 
газовых потоков
Е. Е. Пескова, О. С. Язовцева
350
Алгоритм решения четырехволнового кинетического уравнения в задачах волновой турбулентности
Б. В. Семисалов, С. Б. Медведев, С. В. Назаренко, М. П. Федорук
364

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2024, том 64, № 2,  с.  189–199
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.651
ОЦЕНКА QTT РАНГОВ РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ  
НА РАВНОМЕРНОЙ КВАДРАТНОЙ СЕТКЕ1)
© 2024 г.    А. В. Зыль1,2,*, Н. Л. Замарашкин1, **
1119333 Москва, ул. Губкина, 8, Ин-т вычисл. математики РАН, Россия
2141701 Долгопрудный, М. о., Институтский переулок,  9,  
Московский физико-технический институт, Россия
*e-mail: zyl.av@phystech.edu
** e-mail: nikolai.zamarashkin@gmail.com
Поступила в редакцию 10.07.2023 г.
Переработанный вариант 10.07.2023 г.
Принята к публикации 20.10.2023 г.
В работе доказываются оценки e-рангов для TT-разложений тензоров, полученных путем тензоризации значений регулярной функции одной комплексной переменной на равномерной квадратной 
сетке на комплексной плоскости. Установлена связь точности приближения и геометрии области 
регулярности функции. Библ. 8. Фиг. 2. 
Ключевые слова: тензорный поезд, QTT, оценка рангов ТТ-аппроксимаций, регулярные функции.
DOI: 10.31857/S0044466924020017, EDN: YKVWQO
1. ВВЕДЕНИЕ
В работе получены оценки e-рангов для ТТ-аппроксимаций тензоров, образующихся после тензоризации значений регулярной функции f(z) одного комплексного переменного на равномерной сетке 
в квадратной области в  . Техника доказательства следует работе [1], можно сказать, что результаты из 
[1] обобщаются на комплексный случай. Похожие вопросы также затрагивались в работах [2], [3], [4]. 
В разд. 2, 3 будут даны необходимые сведения о тензорах, ТТ-разложении и оптимальных полиномах, 
доказана лемма 1 об аппроксимации регулярной функции полиномами на квадрате в комплексной плоскости. В разд. 4 сформулирована и доказана оценка e-рангов.
2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
Тензоры являются естественным обобщением матриц на многомерный случай T Î nd . Число 
d называется порядком тензора, а n — его размерностью по соответствующей оси. Для обозначения 
элемента тензора будут использоваться индексы ( , ,
,
)
1
2
i i
id

. Индексы тензора можно группировать 
и преобразовывать, в Matlab это соответствует функции reshape. В дальнейшем потребуется понятие 
( 1
) (
1
)


, для элементов которого справедливо
развертки тензора по измерению k Tk
n
nk
nk
nd
∈
×
+

k
⋅
+
+
⋅
+
k
k
−
−
T
i j
i
i
i
i
n
i
n
i
k
d

=
1
1
1
1
j
i
n
i
⋅
+
+
k
d
k
( , ) =
( ,
,
),
=
1
1
T


d
d
n
i
−⋅
+
1
.
+
−−
,
Определение 2.1. ТТ-разложением d-мерного тензора T Î nd  называется его представление в виде
 
T i
i
G
i G
i
G
i
d
d
d
( ,
,
) =
( )
(
)
(
).
1
1
1
2
2



(1)
Трехмерные тензоры Gk имеют размеры r
n
r
k
k
−×
×
1
, кроме случаев k = 1 и k = d, где они вырождаются в матрицы размеров n
r
1
1
´
 и  r
n
d
d
−×
1
. Элементы Gk(ik) являются матрицами, взятыми как срезы 
трехмерных тензоров. Размеры rk называются рангами ТТ-разложения.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (код проекта No 19-11-00338), Московского центра Фундаментальной и Прикладной Математики в  ИВМ  РАН(Соглашение с Минобрнауки РФ № 075-15-2022-286).
189

Зыль, Замарашкин
Ключевым вопросом в численных расчетах является поиск ТТ-аппроксимации с малыми рангами, 
чтобы получить ускорение и выигрыш в памяти. В литературе существуют примеры оценок рангов для 
тензоров специфического вида или структуры. Однако, на практике часто предположения о структуре 
тензора весьма общие и не позволяют провести анализ. Для оценки ранга TT-аппроксимации введем 
понятие TT e-ранга тензора T
T
S
ε
ε
( ) :=
( ).
:
1,
1
	
S T
S


−
≤
∈
−
F
k
d
k
r
min
max

(2)
Другими словами мы смотрим на минимально возможный ранг оптимальной аппроксимации тензора 
с заданной точностью. Полезным результатом, который будет использоваться далее является теорема об 
аппроксимации из [5]:
Теорема 2.1. Для любого тензора A =
( ,
,
)
1
A i
id

[
] существует TT-аппроксимация (1) B =
( ,
,
)
1
B i
id

[
]  c 
рангами rk, такими что
d
1
2 ,
ε
A
B
−
≤
−
∑
F
k
k
=1
где ek определяется, как минимум
rank ≤
−
min
εk
B
rk
k
F
A
B
=
.
Ak – это матрица развертки тензора A:
A
i
i
i
i
k
k
k
d
=
[ ,
,
;
,
,
].
1
1
A


+
В статье будут оцениваться e-ранги (2) тензоров, элементы которых являются значениям некоторой комплекснозначной функции. Пусть в некоторой области  задана квадратная сетка N
N
´
 
с равномерным шагом по каждой оси и функция f (z), которая является регулярной в области, содержащей сетку. Сформируем матрицу A
N
N
∈
×

, где A i j
f z i j
( , ) =
(
)
,
 и zi,j это узел сетки в естественной 
нумерации (i — номер строки сетки, i — номер узла в строке i). Матрицу A можно тензоризовать, 
превратив в тензор, пример такой процедуры приведен на фиг. 2. Условием тензоризации матрицы 
является совпадение размеров n
N
d =
. TT-формат полученного тензора мы далее будем называть QTT 
(Quantized Tensor Train).
3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Определение 3.1. Пусть C Ì  компакт, монический полином с комплексными коэффициентами 
P
z
n C
,
* ( )  будем называть чебышевским полиномом множества C, если он удовлетворяет равенству:

(3)
	
P
P
z
n C
Pn
z
C
n
,
*
=
( )
argminmax
.
Î
Здесь минимум берется по всевозможным полиномам P
z
z
a
z
a
n
n
n
n
( ) =
1
1
0
+
+
+
−
−

 степени 
n с комплексными коэффициентами. Другими словами Pn C
,
*
 это полином с единичным старшим 
коэффициентом, наименее уклоняющийся от нуля на C.
Известным является случай C = [ 1;1]
−
⊂ и классические полиномы Чебышёва:
	
T
x
n
x
x
n( ) =
(
),
1
1,
cos
arccos
- 


(4)
	
n
n
n
x
T
x
( ) = 2
( ).
1
(5)
После продолжения в комплексную плоскость формула (4) преобретает вид
n
n
	
T
z
z
z
z
z
n
( )
= 1
2
1
1
2
1
.
2
2
arg
+
−
(
) +
−
−
(
)

(6)
В формуле (6) выбирается одна из регулярных ветвей 
z 2
1
-
. Полином (5) будет единственным решением задачи (3) при C = [ 1;1]
-
, согласно теореме об альтернансе. Нам потребуются некоторые свойства 
этих полиномов.
	
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ	
том 64	
№ 2	
2024

	
Оценка QTT рангов регулярных функций
191
Определение 3.2. Чебышёвской сеткой назывем множество корней Tn,
c
n
n
j
j
n
j =
2
= 0,1,
,
1
cos π
π
+
⋅











−

.
Определение 3.3. Эллипсами Бернштейна называется семейство эллипсов Γρ , ρ > 0, с фокусами в  ±1 
, 
которые получаются после отображения точек окружности w
e
=
iϕρ  с помощью фукнции Жуковского
z
w
w
= 1
2
1
= 1
2
1
1
+











+











+
−











ρ
ρ
ϕ
ρ
ρ
cos
i
sinϕ







.
Эллипс Бернштейна Γρ  имеет полуоси a, b:
,
a
b
a
b
ρ
+











−











+
a
b
= 1
2
1 ,
= 1
2
1 ,
=
= 1
2
2
ρ
ρ
ρ
ρ
.
−
Лемма 3.1. Для любого z Î Γρ  выполнено

T
z
n
n
n
( )
1
2
1 .
≥
−






ρ
ρ






Доказательство. Заметим, что для любого z Î Γρ  выполнено
ϕ
ϕ
i
i
z
e
e
2
2
1 = 1
2
1
.
−
−











−
ρ
ρ
Тогда, согласно формуле (6) имеем

−
ϕ
ϕ
i
i
+






T
z
e
e
n
n
n
( ) = 1
2
1
.
ρ
ρ






Откуда сразу следует оценка из условия леммы.
Лемма 3.2. Длина контура эллипса Γρ  удовлетворяет неравенству |
|
1
Γρ
π ρ
ρ
≤
+
(
)
−
.
Доказательство. Оценим контурный интеграл:

2
2
1 ,
Γ
π
ϕ
ρ
ρ ϕ
=
=
−

2
2

+
(
) ⋅
=
+











−
ρ
ρ
π
π ρ
ρ
−
dz
y
dy
e
d











=
−(
)
∫
∫
∫
S
i
1
2 1
1
1
2 1
1
2 1
2
0
Γ
ρ
ρ
ρ
где Sρ  – это сфера радиуса r c цетром в нуле.
Далее под Q1 будет подразумеваться квадрат в   с центром в нуле и длиной стороны 2 (см. фиг. 1).
	
Q
z
x
iy
x
y
1 =
=
(
,
)
1
.
+
≤
{
} ⊂
|max

(7)
Лемма 3.3. При ρ* = 1
5
2
2 5 / 2
+
+
+
(
)
 квадрат Q1 касается вершинами эллипса Γρ* , см. фиг. 1.
Доказательство. Пусть a, b это полуоси Γρ , точки эллипса можно параметризовать в виде:
⋅
cos ,
sin ,
x t
a
t
y t
b
t
t
( ) = ( )
( ) = ( )
0;2
.
ρ
ρ
π
⋅
∈[
]
Очевидно, что ρ*  достигается, когда углы квадрата Q1 принадлежат эллипсу Γρ* . То есть существует 
t*
[0;2 ]
Î
π , такое что x t
y t
( ) =
( ) = 1
*
*
. Решая систему относительно переменных t*  и  ρ* ,
x t
( ) = 1
,
*
y t
( ) = 1
,
*
получаем
ρ* = 1
2 1
5
2
2 5
2.89.
+
+
+
(
) ≈
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ	
том 64	
№ 2	
2024

Зыль, Замарашкин
Фиг. 1. Эллипс Gr* касающийся квадрата Q из леммы 3.3.
Лемма 3.4. Пусть ρ
ρ

** =
2
3
+
, тогда расстояние между квадратом Q1 и эллипсом Γρ удовлетворяет 
неравенству:
1
Q Γρ
ρ
ρ
≥
−
−
−
dist(
,
)
2
2.
1
Доказательство. Опишем вокруг единичного куба Q1 окружность диаметром 
2  c центром в начале 
координат. Далее грубо оценим расстояние снизу, как разность меньшей полуоси Γρ и описанной вокруг 
Q1 окружности,
1
Q
b
Γρ
ρ
ρ
ρ
≥
−
−
−
−
dist(
,
)
( )
2 =
2
2.
1
Заметим, что чтобы оценка была осмысленной, необходимо требовать неотрицательность правой части 
неравенства. Легко проверить, что это выполнено при ρ
ρ
≥
+
** =
2
3 .
В данной работе интерес составляет оценка |
( ) |
,
*
P
z
n intΓρ
 при z Î intΓρ . В [6], [7] исследуются оценки 
значения (3) для различных компактов. В частности, доказано утверждение леммы 3.1, оно будет использовано далее.
Теорема 3.1 (см. [6]). Пусть C Ì  это эллипс с фокусами в точках ±1  и полуосями a, b. Пусть P
z
n( ) 
является комплексным полиномом степени n, коэффициент при старшей степени которого равен единице. 
Тогда выполнено:
n
n
P
z
a
b
a
b
	
z
C
n
∈
≥
+










+
−











max
( )
2
2
. 
(8)
Причем равенство в (8) достигается лишь в случае Pn
n
º  из (5).
Докажем лемму, необходимую для доказательства основной теоремы, отметим, что данная техника 
использовалась в [1].
Лемма 3.5. Пусть функция f(z) регулярна в эллипсе Γρ  при ρ
ρ
>
=
2
3
**
+
 (см. 3)), причем |
( ) |
f z
M

 
на Γρ . Пусть P
z
n( ) — полином Лагранжа степени n для f(z) на чебышёвской сетке c (
1)
n +
 узлом {
,
,
}
0
c
cn

. 
Тогда для всех точек из квадрата на комплексной плоскости z
Q
∈
⊂
1
 выполнено следующее:
n
n
+
−−
1
−
ρ
ρ
.
*
1
*
1
f z
P
z
M
n
1
−
( ) ≤
⋅
+
1
1
−
ρ
ρ
+
−−
n
n
( )
2
−
⋅
+
ρ
ρ
ρ
ρ
−
−
2
2
	
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ	
том 64	
№ 2	
2024

	
Оценка QTT рангов регулярных функций
193
Доказательство. Полином Чебышёва T
z
n+1( ) на [ 1;1]
-
 имеет вид
n
n
+
+
	
T
z
z
z
z
z
n
+
+
−
(
)
+
−
−
(
)
1
2
1
2
1
( ) = 1
2
1
1
2
1
.
(9)
Корнями T
z
n+1( ) являются числа, составляющие чебышёвскую сетку,
c
n
n
j
j
n
j =
2(
1)
1
,
= 0,1,
, .
cos
π
π
+
+
+
⋅












Выберем произвольное z
Q
c
cn
*
1
0
{
,
,
}
Î
\

, определим функцию
F z
f z
( ) =
( )
.
n
(
)
(
)
z
z
z
c
j
j
*
=0
−
⋅
−
∏
Заметим, что F(z) имеет полюса первого порядка {
,
,
,
}
*
0
z
c
cn

 в области, ограниченной Γρ . Применим 
теорему о вычетах для F(z) на Γρ . Тогда


f c
(
)
n
i
*
F z dz
f z
i
,
+
n
( )
= 2
(
)
n
(
)
z
c
(
)
(
c
z
c
−
Γρ
k
i
i
j
c
−
π
∫
∏
∑
∏
−
k
=0
*
=0
*
=0


















)
i
j
j
i
≠


n


(
)
z
c
−
k
∏
=0
*
n
n
k
k
i
≠
(
)
( )
= 2
(
)
f c
(
) .
−
−
πi
	
i

(10)
n
z
c
F z dz
f z
∏
∫
∑
k
=0
*
*
=0
k
i
c
c
Γρ
i
j
∏
−
=0


















(
)
j
j
i
≠


Заметим, что по определению {
,
,
}
0
c
cn

 выполнено
n
T
z
z
c
n
n
k
+
∏
−
1
=0
( ) = 2
(
).
k
Интерполяционный полином Лагранжа функции f в чебышевских узлах {
,
,
}
0
c
cn

 имеет вид:
n
(
)
z
c
−
k
∏
=0
n
k
k
i
≠
P
z
(
).
i
( ) =
∑
n
=0
f c
n
i
(
)
c
c
−
i
j
∏
=0
j
j
i
≠
Тогда уравнение (10) принимает вид
n


(
)
z
c
−
k
*
∏
n
i
f c
0
2
(
)
( )
n
k
k
z
c
f z
dz
i f z
(
) ,
=
−
π
≠
i
k
(
)
*
n
n
k
0
0
=
=
(
)
c
c
(
)
(
)
z
z
z
c
−
−
⋅
−
*
Γρ
i
j
j
i
*
=
∏
∫
∏
∑
−
∏
0
j
0
=


















j
j
i
=
≠


ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ	
том 64	
№ 2	
2024

Зыль, Замарашкин
πi

(11)
*
*
(
)
( )
(
)
( ) = 2
(
)
(
) .
	
T
z
f z dz
z
z
T
z
f z
P
z
n
n
n
+
+
⋅
−
−
[
]
∫
1
*
*
1
Γρ
Поскольку z* принадлежит квадрату Q1, то z* принадлежит и внутренности эллипса intΓρ* , который касается квадрата согласно лемме 3. Далее применим оценку максимума модуля многочлена на Γρ* , используя теорему 1 из [6] и принцип максимума:


+
+
n
n
a
b
1
1
2
*
*
.



















1
1
1
2
2
(
)
max
( )
max
( )
*
T
z
T
z
T
z
a
b
n
z Q
n
z
n
n
+
∈
+
∈
+
=
⋅
+







*
*


Γρ

+
−



*
Заметим, что a* и b* являются константами и равны соответственно










−











a
b
*
*
*
*
*
*
= 1
2
1 ,
= 1
2
1 .
ρ
ρ
ρ
ρ
+

Используя явно выражение для a* и b*, запишем


T
z
n
n
n
+
+
+
⋅
+ 
1
(
)
1
2
1
.

ρ
ρ










*



1
*
*
1





Из леммы 3.1:

T
z
z
n
n
n
+
+
+
−






∈
1
1
1
( )
1
2
1
.

ρ
ρ
ρ
Γ






Из леммы 3.2 и 3.4 получим:
−
1
2
2
1
, min
( ,
)
Γ
Γ
ρ
ρ
π ρ
ρ
ρ
ρ


+











−
=
−
−
∈
∈
*
*
  
при z
z
Q
z
z
Q
dist
Γρ.
Собирая воедино все полученные выше оценки и  подставляя их в  уравнение (11), для любого 
z
Q
c
cn
*
0
{
,
,
}
Î
\

 имеем
dz
1
−−
n
(
)
(
) =
(
)
∫
n
f z
P
z
T
z
f z dz
z
z
T
z
M
n
n
2
( )
(
)
( )
4
*
*
1
*
+
∫
π
π ρ
ρ
z
z
T
z
( )





⋅
−
⋅
≤
*
1
*
1
*
−
⋅
−
≤
+
+
n
+
*
1
n
+
Γρ
ρ
Γ
n
n
+
−−
+
−−
1
−
Γ
ρ
M
n
n
M
ρ
ρ
*
1
*
1
,
*
1
*
1
n
n
n
n
n
dz
*
1
*
1
1
1
⋅
+
1
1
+
−−
+
−
ρ
ρ
+
−−
+





⋅
4
2
n
n
2
Γ
dist
ρ
n
−
⋅
+
−
⋅
−
≤
⋅
+
−
⋅
≤
−−
z
z
M
Q
1
*
ρ
ρ
ρ
ρ
+
−−
∫
ρ
π
ρ
ρ
π ρ
ρ
ρ

1
1
2
( ,
)
Γ
−
−
ρ
ρ
ρ
2
2
что и требовалось доказать.
4. QTT ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОДНОГОКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Введем равномерную сетку на квадрате Q1 Ì , расположим вдоль вещественной оси квадрата m d  
точек на равном расстоянии друг от друга, аналогично с мнимой осью, см. фиг. 2. Получаем двумерную 
сетку с  m d
2  узлами. Далее под обозначением i будет пониматься индекс в тензоре, а под i — мнимая 
единица. Все точки, входящие в сетку, можно естественным образом тензоризовать, сопоставив каждой 
мультииндекс. Узел сетки c мультииндексом (
,
,
)
1 1
i j
i j
d d

 вычисляется как
d
−


z i j
i j
i
j
m
−
i
i






⋅2 .
i
j
m
i
d d
+
+ ⋅
(
)
+
+
+ ⋅
d
d
1 1
1
1
1
2
2
2
,
,
=
1


(
)
−
+
(
) +
+ ⋅
(
)
+
i
i
j
m
d
d
(
)


	
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ	
том 64	
№ 2	
2024

	
Оценка QTT рангов регулярных функций
195
Заметим, что пара ikik соответствуют горизонтальной и вертикальной части, если отождествлять  
с  2 .
Следуя обозначениям работ [8], [1], тензоризацией функции f  в узлах равномерной сетки, будем 
называть тензор Tm d Q f
, , ( ) , составленный из значений f z i j
i j
d d
( (
,
,
))
1 1 
. Матрицей развертки тензора 
Tm d Q f
, , ( )  по оси k  будем называть матрицу
T
i j
i j
i
j
i j
k
k k
k
k
d d
1 1
1
1
,
,
;
,
,
.


+
+
(
)
Определим открытую область G
G l z
L
C
=
( ,
, ) Ì , см. фиг. 2, как сумму Минковского
G
Q z
L
B l
C
=
(
, )
( ,0),
+
где Q z
L
C
(
, )  это квадрат, стороны которого параллельны осям , левый нижний угол совпадает с zC, 
а длина стороны равна L. B(l, 0) это открытый шар с радиусом l и центром в точке 0.
Теорема 4.1. Пусть на квадрате Q z
L
C
(
, ) задана равномерная сетка с  m d  отсчетов по каждой оси. Пусть 
функция f
G
:
®  регулярна в области G
Q z
L
B
l
C
=
(
, )
(0, )
+
, где l
L
m
>
/
. Пусть также |
( ) |
f z
M

 при 
z
G
Î
.
Тогда для любого ε > 0 , каждой матрицы развертки Tk
m k
m
d
k
∈
×
−

2
2(
)  тензора Tm d Q zC L f
, , (
, )( )  
2
2(
)  такая, что:
существует матрица Bk
m k
m
d
k
∈
×
−

	
T
B
B
s
k
k
k
k
−
+
∞< ,
(
)
1,
ε
rank


(12)
где



k
.
(13)
	
s
M
lm
L
k
k
k
2
lm
L
k
=
+
⋅
















+
+





−
1
2
1















=
+
(
)
ρ
ρ
ε
ρ
/ **
log
,
1
6
1
2
        




ρ** =
2
3
+
 — константа.
Доказательство. Зафиксируем некоторое k
d
Î 1,
. Определим мультииндексы
,
i
i m
i
m
i
i
m
i
m
k
k
k
k
d
k
d
d
k
=
0;
1
=
0;
1
1
1
1
1
−
+
−−
−
+
+
∈
−






+
+
∈
−





…

…

j
j m
j
m
j
j
m
j
m
k
k
k
k
d
k
d
d
k
=
0;
1
=
0;
1
1
1
1
1
…

…



.
+
+
∈
−






+
+
∈
−


−
+
−−
−
Паре (i, j) можно сопоставить число i
j
+ ⋅
i
, тогда данный комплексный вектор будет задавать “смещение” в квадрате Q z
L
C
(
, ) , указывая на подквадрат Qi,j (см. фиг. 2). Вектор i
j


+ ⋅
i
,  задает смещение 
в выбранном подквадрате Qi,j. Рисунок демонстрирует геометрический смысл матрицы развертки Tk 
тензора Tm d Q zC L
, , (
, ) : в каждой строке матрицы Tk расположены все значения функции f на узлах сетки 
соответствующего подквадрата Qi,j. Заметим, что длина стороны подквадрата равна h
L m
k
=
⋅
−.
Построим взаимнооднозначное соответствие между подквадратом z
Q i j
Î
,  и единичным квадратом 
w
Q
Î
 из (7):

i
i
z w
w
h
w
z
i
j h
h
i j
C
( ) =
=
2
(
)
(1
) 2
,
β
α
+
⋅
+
+
+
⋅
+
+

 















.
смещение вQi,j
центр квадратаQi,j
На Qi,j определим функцию
β
α
(
)
+
( , )
,
( ) =
( ) =
(
),
i j
i j
	
g
w
f z w
f
w

(14)

w
B R
(
,0)
,
∈
⊂
k
где B(R, c) обозначает шар радиуса RК с центром в точке c Î  и
L
m
l
= 1
2
.
+
+
+
⋅
L
m
L
l
k
k
R
h
l
h
k
=
/ 2
/ 2
= 2
k
m
2
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ	
том 64	
№ 2	
2024