Журнал вычислительной математики и математической физики, 2024, № 1

Российская академия наук
Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» 
Российской академии наук
ЖУРНАЛ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ɍɨɦ 64    əɧɜɚɪɶ    ʋ 1    2024
Выходит 12 раз в год
Основан в январе 1961 г.
академиком Анатолием Алексеевичем Дородницыным
ISSN: 0044-4669
Журнал издается под руководством
Отделения математических наук РАН
Главный редактор Е.Е. ТЫРТЫШНИКОВ
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
А.И. Аптекарев, А.Н. Боголюбов, Ю.В. Василевский, К.В. Воронцов, 
А.В. Гасников, Ю.Г. Евтушенко, И.Е. Капорин, Г.М. Кобельков, 
И.Б. Петров, С.И. Репин, А.В. Сетуха, С.Л. Скороходов 
(зам. главного редактора), С.В. Утюжников, Б.Н. Четверушкин, 
А.А. Шананин, М.А. Эфендиев, А.Г. Ягола 
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ:
Ю.С. Осипов, Г.И. Шишкин
Зав. редакцией Л.В. Раевская
Адрес редакции: 119333 Москва,
ул. Вавилова, 44, корп. 2, ФИЦ ИУ РАН.
редакция “Журнала вычислительной математики и математической физики”
тел. 8-499-135-55-08
е-таil: comp_mat@ccas.ru
Москва
ФГБУ «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Федеральный исследовательский центр “Информатика 
     и управление” Российской академии наук, 2024
© Редколлегия “Журнала вычислительной математики 
     и математической физики”, (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 64, номер 1, 2024 год
Памяти Сергея Константиновича Годунова (17.07.1929—15.07.2023) 
3
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Повышение точности экспоненциально сходящихся квадратур
А. А. Белов, В. С. Хохлачев  
7
Оптимальные по порядку сплайн-методы решения особых  
интегродифференциальных уравнений
Н. С. Габбасов 
17
Проекторный подход к алгоритму Бутузова–Нефёдова асимптотического решения  
одного класса дискретных задач с малым шагом
Г. А. Курина, Н. Т. Хоай 
28
Сходимость некоторых разностных схем метода опорных операторов  
для повторных ротационных операций
Ю. А. Повещенко, А. Ю. Круковский, В. О. Подрыга, П. И. Рагимли 
41
Получение известных частных решений задачи о σ-коммутировании (V ≠ 0, ±1)  
тёплицевой и ганкелевой матриц в рамках унифицированного подхода
В. Н. Чугунов, Х. Д. Икрамов 
55
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
О сходимости численного метода решения задачи оптимального управления  
в процессе формообразования панели в режиме ползучести
К. С. Бормотин 
65
Задача мультипликативного управления для нелинейной модели реакции–диффузии
Р. В. Бризицкий, А. А. Дончак 
77
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Моделирование доменных стенок: простые волны в уравнении магнитодинамики
Л. А. Калякин, Е. Г. Екомасов 
94
Лакуны в спектре тонких волноводов с периодически расположенными  
локальными деформациями стенок
С. А. Назаров 
109
Интегральные представления для эллиптических систем второго порядка на плоскости
А. П. Солдатов 
129

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Реальная точность линейных схем высокого порядка аппроксимации  
в задачах газовой динамики
М. Д. Брагин 
149
Численный анализ разрушения одномерного течения полимерной жидкости с фронтом
Л. С. Брындин, Б. В. Семисалов, В. А. Беляев, В. П. Шапеев 
162
Чувствительность функционалов задачи вариационного усвоения данных  
при восстановлении начального состояния и потока тепла  
для модели термодинамики моря
В. П. Шутяев, Е. И. Пармузин 
176

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2024, том 64, № 1,  с.  3–6
 
(17.07.1929–15.07.2023)
ПАМЯТИ СЕРГЕЯ КОНСТАНТИНОВИЧА ГОДУНОВА
15 июля 2023 г. ушел из жизни накануне своего 94-летия Сергей Константинович Годунов, всемирно известный ученый, один из основоположников вычислительной математики, внесший заметный вклад в теорию 
дифференциальных уравнений, механику сплошных сред, линейную алгебру и их приложения. Его новаторские работы во многом определили характер современного численного анализа и наиболее перспективные 
направления его развития. Особенностью научного подхода С. К. Годунова является органичное сочетание 
глубоких знаний математических и численных методов с умением эффективно решать практические задачи.
В 1951–1953 гг. С. К. Годунов работал в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР. Затем он 
работает в Институте прикладной математики (ныне ИПМ им. М. В. Келдыша РАН), руководя в 1966–1969 гг. 
отделом этого института. Одновременно в 1952–1969 гг. он преподает на кафедре И. Г. Петровского в МГУ, 
сначала ассистентом, затем доцентом и профессором. В 1969 г. С. К. Годунов переезжает в Новосибирский 
Академгородок. Здесь он заведует лабораторией в ВЦ Сибирского отделения АН СССР, а затем с 1980 г. и до 
конца жизни работает в Институте математики (ныне Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН), 
занимая должности зав. отделом, зам. директора, и.о. директора (1981–1986).
Основные научные интересы С. К. Годунова —  
это корректные постановки задач для дифференциальных уравнений, теория разностных схем, вычислительная линейная алгебра, методы решения задач 
гидродинамики, модели вязкоупругих деформаций металлов в задачах высокоскоростного соударения, 
методы гарантированной точности для компьютерных расчетов.
Общей и типичной чертой многих нелинейных процессов является наличие особенностей. Например, в газодинамических явлениях, описываемых нелинейными гиперболическими уравнениями, возмущения распространяются по характеристикам с конечной скоростью. Однако, в отличие от линейного 
случая, они могут появляться самопроизвольно, вызывая образование ударных волн. До сих пор задача 
численного расчета разрывных решений уравнений газовой динамики остается сложной математической 
проблемой. Серьезной трудностью в развитии численных методов является отсутствие теоретических 
представлений о “гладкости” обобщенных решений задач газовой динамики [1960]. Это самое слабое 
место всех вычислительных задач, так как даже самые простые одномерные задачи часто чрезвычайно 
сложны для компьютерной реализации с математической точки зрения [1997]. Ясно только, что рациональная организация методов расчета разрывных решений задач газовой динамики (представляющих 
практический интерес) не может развиваться без учета классов корректности этих задач.
Иными словами, трудности численного решения этого класса задач связаны с отсутствием четких 
теоретических представлений о решениях квазилинейных гиперболических уравнений, в частности в момент появления их особенностей. По этой причине ценность методов, основанных на формальных подходах к задачам численного исследования, невелика. Отсюда также видно, что важна роль теоретических 
3

исследований, способных уменьшить произвол в выборе метода численного исследования. Успешное 
использование информации о корректности задач для улучшения качественных характеристик численного метода является важным для вычислительной практики.
В 1954 г. С. К. Годунов предложил схему численного расчета задач одномерной газовой динамики с разрывными решениями —  
ударными волнами. Она была опубликована в статье [1959-а] и вскоре стала всемирно известной под названием схемы Годунова. Эта схема предназначена для расчета разрывных решений 
задач газодинамики, но сейчас имеет многочисленные обобщения. В ее основе лежит требование сохранения монотонности численного решения при переходе с каждого расчетного слоя по времени на следующий. 
Схема реализована С. К. Годуновым в терминах точного решения задачи Римана о распаде разрыва на каждой границе между соседними расчетными ячейками. Эта работа и ее развитие [1959-б], см. комментарии 
[1997, 2011], были настолько прорывными, что оказали существенное влияние на последующее развитие 
численных методов, рассматривая их на более высоком теоретическом уровне. В упомянутых работах представлены новые математические идеи, которые дают гораздо более глубокое понимание, чем очевидные 
факты, и составляют основу современных принципов построения численных методов. В качестве примеров 
можно привести известные методы коррекции потоков Дж. Бориса и Д. Бука и невозрастания полной вариации А. Хартена, которые естественно называть методами годуновского типа, поскольку они опираются 
на упомянутую выше идею сохранения монотонности. Сейчас метод Годунова продолжает триумфальное 
шествие по всему миру с многочисленными приложениями. Метод является инструментом для численного 
исследования задач и важным элементом математического образования специалистов.
Исследование С. К. Годуновым двумерных нестационарных задач газодинамики и стационарных задач 
трансзвукового обтекания легло в основу метода установления по времени [1961-a]. Эта техника общепризнана и широко используется во всем мире. Многолетний опыт применения схемы Годунова в ее оригинальной форме обобщен в монографии [1976], написанной Сергеем Константиновичем вместе с коллегами.
Пионерские исследования Годунова легли в основу систематического изучения систем квазилинейных уравнений, которые могут быть записаны в виде законов сохранения. Им выполнены оригинальные исследования решений систем квазилинейных гиперболических уравнений. Он обнаружил новый 
эффект сильной зависимости решений от малых диссипативных членов, введенных в гиперболическую 
систему. Эти результаты стимулировали исследования нелинейной теории упругости [1972, 1974].
С. К. Годунов сформулировал важный класс термодинамически совместимых систем, содержащий 
систему уравнений газодинамики, обобщил понятие энтропии и закон возрастания энтропии, нашел новые термодинамические соотношения (тождества), получившие название расширенной термодинамики. 
Эти исследования легли в основу описания структуры законов сохранения и систематизации уравнений 
механики сплошных сред. Так появилось фундаментальное понятие «термодинамически совместимая 
гиперболическая система законов сохранения», описывающая процесс движения в сплошной среде и ее 
термодинамические тождества.
Эти исследования привели к новому математическому подходу [1978, 1998], позволяющему сформулировать в изящном унифицированном виде принципы математического моделирования. Суть этого подхода 
заключается в переформулировке задачи и приведении ее к специальной консервативной (дивергентной) 
форме, более удобной как для теоретического, так и для численного исследования. Следствием такой формы 
уравнений является то, что уравнения могут быть представлены в симметричной t-гиперболической форме 
по Фридрихсу [2008, 2010, 2012]. Ее простейший вариант впервые был рассмотрен в [1961-c]. С. К. Годунов 
связал свойство гиперболичности с понятием корректности задачи и тем самым заложил основы современной теории численных методов для нелинейных уравнений гидродинамики. Эта взаимосвязь оказалась 
необходимой при построении эффективных вычислительных методов. Тот факт, что система уравнений 
может быть представлена в двух формах, консервативной и симметричной t-гиперболической, позволяет 
дискретизировать исследуемую задачу в два этапа. В силу гиперболичности на первом этапе формируется 
предиктор для расчета потоков в законах сохранения. На втором этапе в основу построения корректора положена консервативная форма уравнений. Этот шаг коррекции является ключевым, так как он учитывает 
некоторые дополнительные законы сохранения и закон возрастания энтропии.
Теория термодинамически совместимых систем позволяет сформулировать новые, математически 
корректные уравнения механики сплошных сред в виде законов сохранения. К таким системам относятся многие классические уравнения математической физики и механики сплошных сред: уравнения 
газовой динамики и гидродинамики, магнитной и релятивистской гидродинамики, теории упругости, 
уравнения Максвелла и др. (см. также [2008, 2010, 2012]).
С. К. Годунов внес значительный вклад в теорию разностных схем. Монография, написанная им 
совместно с В. С. Рябеньким [1962], явилась первой на русском языке книгой, обобщающей создание, 
развитие и реализацию численных методов. Эта работа интенсивно проводилась в предшествующее 
 
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
том 64 
№ 1 
2024

 
ПАМЯТИ СЕРГЕЯ КОНСТАНТИНОВИЧА ГОДУНОВА 
5
десятилетие в специально созданных научных институтах и организациях для срочного решения задач, 
необходимых в актуальных, как правило, закрытых приложениях. Впоследствии монография была переработана авторами в учебное пособие [1973], переизданное в 1978 г.
Уже в 1950-е гг. С. К. Годунов не ограничивается исследованиями в области вычислительных проблем 
газодинамики и создает метод ортогональной прогонки, успешно применяемый для расчета ядерных 
реакторов [1964].
С. К. Годунов ввел в вычислительную линейную алгебру новые фундаментальные понятия, такие как 
спектральный портрет матрицы, критерий качества дихотомии и критерий разбиения спектра, гарантированная точность компьютерных вычислений [1992, 1997, 2002].
Его научная деятельность и многообразный педагогический опыт наряду с идеями нового качества 
образования оказали значительное влияние на развитие науки. С. К. Годунов имеет более 50 лет общего педагогического стажа, сначала в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, 
а затем в Новосибирском государственном университете, где он стал профессором кафедры дифференциальных уравнений, а с 1977 г. много лет заведовал этой кафедрой. На механико-математическом и физическом факультетах НГУ он читал курсы лекций “Механика сплошных сред”, “Уравнения математической физики”, “Приближенные вычисления”, “Дифференциальные уравнения”, “Численные методы 
линейной алгебры”, “Современные аспекты линейной алгебры”, “Теория гиперболических уравнений”, 
“Уравнения нелинейной теории упругости”.
С. К. Годунов известен как превосходный педагог; его подробные и всеобъемлющие лекции ясны, 
логичны и просты для понимания. Как преподаватель, С. К. Годунов всегда был неутомимым реформатором. В основе его уникального научно-педагогического стиля лежат твердость и глубина понимания 
важности фундаментальной математики и того, как она определяет правильность концепций прикладной науки. Он обладал выдающейся способностью находить объединяющие понятия в математике и сосредоточиваться на наиболее важных и неотложных научных проблемах.
С. К. Годунов —  
автор более 300 научных работ, в том числе 17 монографий, некоторые из которых 
опубликованы на иностранных языках.
Участие С. К. Годунова в выполнении специальных государственных заданий, связанных с созданием 
новой военной техники (атомный проект и другие секретные работы) отмечено наградами: он лауреат Ленинской премии (1959), награжден орденами Трудового Красного Знамени (1956, 1975), орденом 
Почета (1954, 1981), орденом Александра Невского (2023), награжден академическими премиями им. 
А. Н. Крылова за научные работы по сварке взрывом (1972), им. М. А. Лаврентьева за книгу “Элементы 
механики сплошных сред” (1993), премией Фонда им. М. А. Лаврентьева “За выдающийся вклад в фундаментальную математику и ее приложения”, Золотой медалью им. Леонарда Эйлера (2022), премией 
Р. Агарвала за значительный научный и инженерный вклад в вычислительную гидродинамику (2020). 
С 1997 г. С. К. Годунов —  
почетный профессор Мичиганского университета в США.
Достижения Годунова широко известны в мировой науке. Многие современные программные продукты во всем мире основаны на использовании разностной схемы Годунова и ее модификаций. Некоторым из его методов были посвящены следующие всемирные конференции: “Метод Годунова для газовой 
динамики: современные приложения и будущие разработки” (1–3 мая 1997 г., Анн-Арбор, Мичиган, 
США), “Методы Годунова: теория и приложения” (12–22 октября 1999 г., Оксфорд, Великобритания), 
“Математика и ее приложения”, в честь 90-летия С. К. Годунова (4–10 августа 2019 г., Новосибирск, Россия). Ниже приводится список избранных трудов С. К. Годунова, упоминаемых в тексте. Полный список 
работ, опубликованных до 2019 г., представлен в библиографическом указателе [2019].
Сергей Константинович в течение нескольких десятилетий являлся активным и ответственным членом редакционной коллегии нашего журнала.
Члены редколлегии Журнала вычислительной математики и математической физики, сотрудники редакции и многочисленные авторы глубоко скорбят по случаю кончины Сергея Константиновича и будут 
помнить его светлый образ и сохранять его научное наследие.
СПИСОК ИЗБРАННЫХ ПУБЛИКАЦИЙ С. К. ГОДУНОВА  
(В ХРОНОЛОГИЧЕСКОМ ПОРЯДКЕ)
1. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Математический 
сборник. 1959. Т. 47 (89). № 3. С. 271–306.
2. Термодинамика газов и дифференциальные уравнения // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14. № 5 (89). С. 97–116.
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
том 64 
№ 1 
2024

3. О понятии обобщенного решения // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. № 6. С. 1279–1282.
4. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей 
ударной волной // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1. № 6. С. 1020–1050. Совм. с А. В. Забродиным, 
Г. П. Прокоповым.
5. Интересный класс квазилинейных систем // Докл. АН СССР. 1961. Т. 139. № 3. С. 521–523.
6. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962. 340 с. Совм. с В. С. Рябеньким.
7. Метод сферических гармоник в задаче о критических параметрах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. 
Т. 4. № 3. С. 473–484. Совм. с И. А. Адамской.
8. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана // Успехи матем. наук. 1971. Т. 26. № 3 (159). 
Совм. с У. М. Султангазиным.
9. О диссипативности граничных условий В. С. Владимирова для симметрической системы метода сферических 
гармоник // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. № 3. Совм. с У. М. Султангазиным.
10. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 416 с. То же на фр., исп., польск. языках.
11. Нестационарные уравнения нелинейной теории упругости в эйлеровых координатах // Прикл. механика 
и техн. физика. 1972. № 6. С. 124–144. Совм. с Е. И. Роменским.
12. Разностные схемы: введение в теорию. М.: Наука, 1973. 400 с. Совм. с В. С. Рябеньким.
13. Уравнение состояния упругой энергии металлов при нешаровом тензоре деформации // Прикл. механика 
и техн. физика. 1974. № 2. С. 123. Совм. с Н. С. Козиным, Е. И. Роменским.
14. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с. Совм. с А. В. Забродиным, 
М. Я. Ивановым, А. Н. Крайко, Г. П. Прокоповым.
15. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. 303 с.
16. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: 
Наука, 1988. 456 с. Совм. с A. Г. Антоновым, О. П. Кирилюком, В. И. Костиным.
17. Квазиизометрическая параметризация криволинейного четырехугольника и метрика постоянной кривизны // Siberian Advances in Mathematics. 1995. Т. 5. № 2. С. 1–20. Совм. с В. М. Гордиенко, Г. А. Чумаковым.
18. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Науч. книга, 1997. 390 с.
19. Воспоминания о разностных схемах: Докл. на Международном симпозиуме «Метод Годунова в газовой динамике». Мичиган. ун-т (США). Май, 1997. Новосибирск: Науч. книга, 1997. 40 с.
20. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Науч. книга, 1998. 267 с. Совм. 
с Е. И. Роменским.
21. Лекции по современным проблемам алгебры. Новосибирск: Науч. книга, 2002.
22. Симметрические гиперболические уравнения нелинейной теории упругости // Ж. вычисл. матем. и матем. 
физ. 2008. Т. 48. № 6. С. 1034–1055. Совм. с И. М. Пешковым.
23. Термодинамически согласованная нелинейная модель упругопластической среды Максвелла // Ж. вычисл. 
матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 8. С. 1481–1498. Совм. с И. М. Пешковым.
24. Экспериментальный анализ сходимости численного решения к обобщенному решению в газовой динамике 
// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 1. Совм. с Ю. Д. Манузиной, М. А. Назарьевой.
25. Термодинамическая формализация уравнений гидродинамики заряженного диэлектрика в электромагнитном поле // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2021. Т. 52. № 5. С. 916–929.
26. Моделирование ударно-волновых процессов в упругопластических материалах на различных (атомный, мезо 
и термодинамический) структурных уровнях. М., Ижевск: Ижевский инст. компьют. исслед., 2014. 295 с. 
Совм. с С. П. Киселевым, И. М. Куликовым, В. И. Мали.
27. Экспериментальные исследования разностных моделей газовой динамики с ударными волнами // Ж. вычисл. 
матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 8. С. 5–19. Совм. с Д. В. Ключинским, С. В. Фортовой, В. В. Шепелевым.
28. Годунов Сергей Константинович: Библиографический указатель. Сост. М. Л. Коноводченко, ред. В. Н. Белых. 3-е изд. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2019.
29. Исследование энтропийных свойств линеаризованной редакции метода Годунова // Ж. вычисл. матем. 
и матем. физ. 2020. Т. 60. № 4. С. 639–651. Совм. с В. В. Денисенко, Д. В. Ключинским, С. В. Фортовой, 
В. В. Шепелевым.
30. Численный метод квазиизометрической параметризации для двумерных криволинейных областей // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 4. С. 578–589. Совм. с В. Т. Жуковым, О. Б. Феодоритовой.
 
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
том 64 
№ 1 
2024

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2024, том 64, № 1,  с.  7–16
ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 519.6
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ 
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО СХОДЯЩИХСЯ КВАДРАТУР 
1)
© 2024 г.    А. А. Белов1,2,*, В. С. Хохлачев1,**
1119991 Москва, Ленинские горы, 1, стр. 2, МГУ им. М. В. Ломоносова, Россия;
2117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, РУДН, Россия
*e-mail: aa.belov@physics.msu.ru
**e-mail: valentin.mycroft@yandex.ru
Поступила в редакцию 24.05.2023 г.
Переработанный вариант 24.05.2023 г.
Принята к публикации 25.07.2023 г.
Вычисление одномерных интегралов возникает во многих задачах физики и техники. Для этого чаще 
всего используются простейшие квадратуры средних, трапеций и Симпсона на равномерной сетке. Для 
интегралов от периодических функций по полному периоду сходимость этих квадратур резко ускоряется 
и зависит от числа шагов сетки по экспоненциальному закону. В данной работе получены новые асимптотически точные оценки погрешности таких квадратур. Они учитывают расположение и кратность полюсов подынтегральной функции в комплексной плоскости. Построено обобщение этих оценок на случай, когда априорная информация о полюсах подынтегральной функции отсутствует. Описана процедура 
экстраполяции погрешности, которая кардинально ускоряет сходимость квадратур. Библ. 19. Фиг. 3.
Ключевые слова: экспоненциальные квадратуры, контроль точности, экстраполяция погрешности.
DOI: 10.31857/S0044466924010015, EDN: ZKGAXU
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Прикладные задачи
Рассмотрим задачу о вычислении однократного интеграла от функции f (x) по вещественному отрезку
x
T
‰ [0, ]
 
I
f x dx
T
= ∫0
( )
. 
(1)
Интегралы, не1 берущиеся в элементарных функциях, встречаются во многих физических приложениях. Приведем некоторые примеры:
1. Вычисление специальных функций математической физики: функции Ферми–Дирака, равные моментам фермиевского распределения, гамма-функция, цилиндрические функции, —  
W-функции Ламберта и ряд других.
2. Расчет скорости реакции по заданному сечению.
3. Расчет коэффициентов Фурье, преобразований Фурье и Лапласа заданной функции.
4. Численное решение интегральных уравнений, как корректно поставленных, так и некорректных.
5. Решение краевых задач для уравнений в частных производных (включая задачи на собственные 
значения), записанных в форме интегральных законов сохранения и т.д.
Такие интегралы необходимо вычислять с высокой точностью вплоть до ошибок компьютерного 
округления.
1.2. Вычисление квадратур
Как правило, для сеточного вычисления квадратур используют методы трапеций, средних и Симпсона 
на равномерной сетке [3]. Для этих методов хорошо известна мажорантная оценка погрешности. Для 
непериодических C2-гладких функций погрешность формул трапеций и средних есть O(N–2), для 
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (код проекта № 22-71-00028).
7

БЕЛОВ, ХОХЛАЧЕВ
формулы Симпсона —  
O(N–4), если подынтегральная функция является C 
4-гладкой. Здесь N —  
число 
шагов сетки. Если f (x) можно периодически продолжить за пределы отрезка (0,T ), и это периодическое продолжение непрерывно вместе с p производными, то порядок точности указанных квадратур 
повышается на p единиц.
Если подынтегральная функция является периодической (т.е. периодическое продолжение является 
бесконечно гладким), и интеграл вычисляется по полному периоду, то сходимость резко ускоряется. 
Зависимость погрешности от шага становится не степенной, а экспоненциальной  exp(
)
−
⋅
const N  [5, 
6, 18]. Это означает, что при уменьшении шага вдвое число верных знаков в ответе примерно удваивается. 
Эта скорость сходимость аналогична таковой в методе Ньютона.
Аналогичной скоростью сходимости обладают спектральные методы, основанные на аппроксимации первообразной полиномами Чебышёва I рода (см., например, [7–13, 15–17]). В методах этого 
класса для первообразной составляют дифференциальное уравнение, решение которого представляют в виде разложения по базису указанных полиномов с некоторыми коэффициентами. Однако 
трудоемкость расчета оказывается довольно высокой. Кроме того, система уравнений относительно 
коэффициентов порой оказывается плохо обусловленной, поэтому для ее обращения используют 
регуляризацию.
1.3. Контроль точности и экстраполяция погрешности
1. Проведем расчеты на нескольких сетках с числом шагов N, 2N, 4N…, т.е. с шагом h, h/2, h/4…  Получим последовательность сеточных значений квадратур IN, I2N, I4N… Если, начиная с некоторого достаточно большого N, эта последовательность стремится к некоторому пределу, то можно констатировать 
сходимость квадратуры.
Если известна зависимость погрешности E от числа шагов, то можно построить асимптотически 
точные оценки точности. Например, для разностных формул порядка точности p имеем δ  N
p
 ,  т.е. 
при уменьшении шага вдвое главная асимптотика погрешности убывает в 2p раз. Отсюда следуют хорошо 
известные оценки погрешности по методу Ричардсона [4, 14]
 
δ2
2
=
2
1
N
N
N
p
I
I


 
(2)
либо
2

 
δN
p
N
N
p
I
I
= 2
2
1

. 
(3)
Форма записи (3) более предпочтительна, поскольку она работоспособна не только на участке 
регулярной сходимости δ  N
p
 , но и по достижении ошибок округления.
Оценки (2), (3) асимптотически точны. Поэтому их можно использовать для исключения главной 
асимптотики погрешности. Для этого вычтем оценку из квадратуры
 

I
I
N
N
N
2
2
2
=
.
 δ
 
(4)
Этот прием называется экстраполяцией точности. Он не требует априорной информации 
о подынтегральной функции (кроме естественных предположений о гладкости) и повышает порядок 
точности на 2 единицы.
2. Если известны производные подынтегральной функции в точках x = 0 и x
T
=
 порядка до 2
1
M   
включительно, то погрешность можно оценить по формуле Эйлера-Маклорена
M
2
(2
1)
(2
1)
 
δ =
( )
(0) .
m
m
m
m
c h
T
f
∑
−
−
−
(
)
f
 
(5)
m
=1
Пользуясь этой оценкой, можно провести экстраполяцию погрешности аналогично (4). Такое 
уточнение повышает порядок точности на 2M  единиц. Выигрыш по точности оказывается существенно 
большим, чем при ричардсоновской экстраполяции (4). Однако при этом требуется значительно больше 
априорной информации о подынтегральной функции.
3. Для случая, когда квадратуры средних и трапеций сходятся экспоненциально, известны оценки 
точности Трефетена–Вайдемана [18]. Однако они не являются асимптотически точными и поэтому непригодны для экстраполяции погрешности.
 
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
том 64 
№ 1 
2024

 
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО СХОДЯЩИХСЯ КВАДРАТУР 
9
Нами ранее были построены апостериорные асимптотически точные оценки для сеточных методов с экспоненциальной сходимостью [19]. Они напоминают таковые в методе Ричардсона. Эти оценки имеют вид
 
δN
N
N
I
I
=
−
2
,  
(6)
(
)
I
I
 
δ4
4
2
3
(
)
.  
(7)
I
I
=
−
−
N
N
2
2
N
N
N
Оценка (6) основана на том, что в силу исключительно быстрой сходимости значение I2N  значительно 
ближе к точному ответу, чем IN. Оценка (7) учитывает экспоненциальную зависимость погрешности от 
числа шагов.
В данной работе построены новые асимптотически точные оценки погрешности экспоненциально 
сходящихся квадратур трапеций и средних. Они учитывают расположение и кратность полюсов 
подынтегральной функции на комплексной плоскости. Предложено обобщение этих оценок на случай, 
когда априорная информация о полюсах подынтегральной функции отсутствует. Экстраполяция 
погрешности позволяет кардинально повышать точность таких квадратур. Приведены примеры, 
иллюстрирующие преимущества предлагаемых подходов.
2. ПОГРЕШНОСТЬ КВАДРАТУРЫ ТРАПЕЦИЙ
Пусть подынтегральная функция f (x) является периодической на отрезке (0,T). С помощью замены 
переменной z
ix
T
=
(2
/
)
exp
π
 перейдем от (1) к интегралу по единичной окружности на комплексной 
плоскости z
 
I
g z dz
z
=
,
=1
∫
( )
 
(8)
где
 
g z
T
iz f
z
( )
(ln ).
 2π
 
(9)
Введем на окружности z = 1  сетку z
in
N
n =
(
)
exp
/
,
2π
 n
N
= 0,1,
,
1
!
 ,  шаг сетки равен 
h
iN
z
n
n
= 2
1
π

.  Запишем квадратуру трапеций для интеграла (8)
 
I
iN
g z
z
N
n
n
N
n
n
= 2
,
1
=0
=
1
π
−
−
∑
(
)
 
(10)
2.1. Оценка Трефетена–Вайдемана
В работе [18] доказано следующее утверждение. Пусть g(z) имеет полюс первого порядка при z  0, 
функция zg(z) аналитична и удовлетворяет неравенству zg z
M
( ) <
,  M  const  в кольце R
z
R
1 <
<
 
для некоторого R. Тогда для квадратуры (10) справедлива мажорантная оценка погрешности
 
δN
N
N
I
I
M R
=
2
1
.
1
−
≤
−
(
)
−
 
(11)
Наш анализ показал следующее [2]. Во-первых, зависимость EN от N асимптотически точна, если все 
конечные особые точки g(z) суть полюсы первого порядка, и ближайшая к контуру особая точка попадает 
на границу указанного кольца. В этом случае константа M формально обращается в бесконечность. Вовторых, если ближайшая к контуру особая точка является полюсом порядка 2 и выше, то оценка (11) 
теряет применимость.
2.2. Единственный полюс
В данной работе найдена новая главная по N асимптотика погрешности квадратурной формулы 
(10), применимая к существенно более широкому классу подынтегральных функций, чем оценка 
Трефетена–Вайдемана.
Сначала рассмотрим простейший случай: пусть g(z) имеет единственный полюс порядка q, расположенный в точке z = a внутри единичной окружности, и не имеет других конечных особых точек. 
Отметим, что при q p 2 даже этот простейший случай выходит за пределы применимости оценки (11).
Представим подынтегральную функцию в виде
 
g z
f z
z
a
q
f z
z
a
q
a
q
( ) =
( )
−
(
)
=
−
(
)
(
)
∂
( )
−
(
)
(
)
−
−
−
(
)
−
1
1
1
1
!
,  
(12)
ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
том 64 
№ 1 
2024