Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 11

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ОСНОВАН В МАРТЕ 1873 ГОДА
ТОМ 166, ВЫПУСК 5 (11)
ВЫХОДИТ 12 РАЗ В ГОД
НОЯБРЬ 2024
М О С К В А
Р А Н
ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ ПОД РУКОВОДСТВОМ ОТДЕЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК РАН
СОДЕРЖАНИЕ
АТОМЫ, МОЛЕКУЛЫ, ОПТИКА
Оценка влияния приближения вращающейся волны на спектры поляризации двухуровневой системы
в полихроматическом поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Антипов А. Г., Уварова С. В.
575
О влиянии характеристик электронного пучка на излучение гармоник однопроходных лазеров на
свободных электронах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Жуковский K. В.
588
Расчет эффективной диэлектрической проницаемости композитного материала, содержащего наполнитель с отрицательной диэлектрической проницаемостью . . . . . . . . . . . . . . . . Тюрнев В. В.
603
Поиск связанных состояний одномерной квантовой системы степенным методом: практическая реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Врублевская Н. Р.,
Шипило Д. Е., Илюшин П. Я., Николаева И. А., Косарева О. Г., Панов Н. А.
612
ЯДРА, ЧАСТИЦЫ, ПОЛЯ, ГРАВИТАЦИЯ И АСТРОФИЗИКА
Нагрев молекулярного облака первичной черной дырой . . . . . . Мелихов А. Н., Михеева Е. В.
618
Прецизионное измерение гравитационного смещения частоты электромагнитных сигналов . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Руденко В. Н., Белоненко А. В., Гусев А. В., Гурин Ф. С.,
Кулагин В. В., Попов С. М., Манучарян Г. Д., Захваткин М. В., Коваленко А. В.
632
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И ЖИДКОСТИ
Физические свойства диборида циркония при температуре 2500–5000 К
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Онуфриев С. В., Савватимский А. И.
641
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала ЖЭТФ (составитель), 2024
573

ЖЭТФ, том 166, вып. 5 (11), 2024
ПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Фазовый переход и кроссоверы на каирской решетке диполей Изинга Шевченко Ю. А., Лобанова Э. А., Трефилов И. В., Стронгин В. С., Овчинников П. А., Нефедев К. В.
655
Уравнение эволюции электрической поляризации мультиферроиков, пропорциональной векторному
произведению спинов ионов ячейки, под влиянием гамильтониана Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Андреев П. А., Труханова М. И.
665
Спектроскопия андреевского отражения FeSe: анализ в рамках двухзонной модели
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . Степанов В. А., Голубков М. В., Садаков А. В., Усольцев А. С., Чареев Д. А.
679
Fractional a. c. Josephson effect as evidence of
topological
hinge
states
in
a
Dirac
semimetal
NiTe2
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Kazmin D. Yu., Esin V. D., Timonina A. V., Kolesnikov N. N., Deviatov E. V.
688
Спектры резонансной магнитопластичности в кристаллах NaCl(Ca + Ni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Альшиц В. И., Колдаева М. В., Петржик Е. А., Даринская Е. В.
696
ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Изменение свойств Hf0.5Zr0.5O2 при циклической переполяризации сегнетоэлектрических конденсаторов с разными материалами электродов . . . . . . . . . . . . . . . . Залялов Т. М., Исламов Д. Р.
703
Диэлектрическая электронно-дырочная жидкость в монослойных гетероструктурах на основе дихалькогенидов переходных металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ратников П. В.
710
СТАТИСТИЧЕСКАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЗИКА,
ФИЗИКА «МЯГКОЙ» МАТЕРИИ
Равновесия и процессы в диссоциированном воздухе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Смирнов Б. М.
727
Особенности работы проволочных Х-пинчей на
компактном
сильноточном
генераторе
КИНГ . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . Тиликин И. Н., Шелковенко Т. А., Мингалеев А. Р., Мингалеев А. А., Тер-Оганесян А. Е., Пикуз С. А.
739
Низкопороговый распад обыкновенной СВЧ-волны в присутствии крупномасштабных когерентных
структур в разреженной плазме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
.Попов А. Ю., Гусаков Е. З., Наговицын А. А., Симончик Л. В., Усачёнок М. С.
748
574

ЖЭТФ, 2024, том 166, вып. 5 (11), стр. 575–587
© 2024
ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
ВОЛНЫ НА СПЕКТРЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ ДВУХУРОВНЕВОЙ
СИСТЕМЫ В ПОЛИХРОМАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ
А. Г. Антипов*, С. В. Уварова **
Санкт-Петербургский государственный университет
199034, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 14 декабря 2022 г.,
после переработки 4 марта 2024 г.
Принята к публикации 14 марта 2024 г.
Спектры поляризации двухуровневой системы в полихроматическом поле получены в двух случаях — с
использованием приближения вращающейся волны и без использования указанного приближения. Полученные спектры сравнивались по двум показателям — по усредненному отклонению по всему частотному
диапазону и по отклонению на частоте перехода. Оба показателя позволяют дать количественную оценку искажения спектров поляризации, которые вносит использование приближения вращающейся волны.
Получены зависимости указанных выше показателей от ключевых параметров модели — от центральной
частоты, от отстройки, от ширины спектра воздействующего полихроматического поля. Полученные зависимости позволяют оценить границы применимости приближения вращающейся полны при заданном
уровне допустимых искажений в спектре поляризации.
DOI: 10.31857/S0044451024110014
1. ВВЕДЕНИЕ
Приближение
вращающейся
волны
(rotating
wave approximation, RWA) — способ упрощения систем дифференциальных уравнений, описывающих
физическую
модель,
применяемый
в
квантовой
оптике и в области квантовых магнитных явлений.
В системе уравнений отбрасываются компоненты,
содержащие высокочастотные операторы, и при
решении системы принимаются во внимание лишь
низкочастотные, медленно протекающие во времени
процессы. Как правило, возможность разделения
существующих в модели процессов на высокочастотные и низкочастотные связано с наличием
близких друг к другу частот, таких, например,
как
частота
перехода
между
энергетическими
уровнями атома и частота воздействующего поля
в квантовой оптике. Разность этих близких частот
дает низкочастотную составляющую, а их сумма —
высокочастотную.
Первым
примером
успешного
использования
приближения вращающейся волны считается [1, 2]
работа Блоха и Зигерта [3], в которой рассматривается уравнение Шредингера для частицы со спином
1/2 в переменном магнитном поле с сильным перпендикулярным постоянным подмагничиванием. В
качестве близких частот в этой модели выступают
ларморова
частота
подмагничивающего
поля
и
частота воздействующего переменного поля. При
их совпадении наблюдается магнитный резонанс,
когда вероятность перехода между состояниями
с
разными
проекциями
спина
на
направление
подмагничивающего поля существенно возрастает.
В работе [3] разность двух частот действительно
полагается малой по сравнению с самими частотами, однако помимо этого предела при выводе
приближенного решения уравнения Шредингера используются еще два важных допущения — малость
отклонения поляризации воздействующего поля от
круговой и малость амплитуды воздействующего
поля по сравнению с величиной подмагничивающего поля. В определенном смысле работу [3] можно
рассматривать не только как пример успешного
* E-mail: a.antipov@phys.spbu.ru
** E-mail: usvik2015@gmail.com
575

А. Г. Антипов, С. В. Уварова
ЖЭТФ, том 166, вып. 5 (11), 2024
применения
приближения
вращающейся
волны,
но и как первую попытку обойти его, поскольку
при
выводе
поправки
к
значению
резонансной
частоты, названной впоследствии сдвигом Блоха –
Зигерта, учитываются малые величины, обратно
пропорциональные частоте воздействующего поля.
Авторы работы [3] ни в ней, ни в последующих
своих работах не применяют термин «приближение вращающейся волны» для обозначения использованного способа поиска приближенного решения
рассматриваемого уравнения. Однако корни происхождения термина можно усмотреть именно в [3]: если воздействующее поле имеет круговую поляризацию, т. е. вращается в плоскости, перпендикулярной
направлению подмагничивающего поля, уравнение
Шредингера допускает точное аналитическое решение, полученное ранее Раби [4]. Если же имеет место отклонение от круговой поляризации, то точное
решение оказывается невозможным и, чтобы найти приближенное решение, приходится прибегать к
дополнительным допущениям, в частности — малости отклонения частоты воздействующего поля от
ларморовой частоты подмагничивающего поля. Таким образом, решение Раби есть решение нулевого
порядка в приближении вращающейся волны в задаче, рассмотренной в [3], в то время как Блох и
Зигерт исследовали поправки уже первого порядка
в указанном приближении. Раби в [4], разумеется,
никакого приближения вращающейся волны не рассматривал, поскольку изначально решал более узкую задачу с круговой поляризацией воздействующего поля.
В дальнейшем, помимо области квантовых магнитных явлений, приближение вращающейся волны
стало применяться и в квантовой оптике. Возможность подобного методологического переноса обусловлена идентичностью уравнений, математически
описывающих, казалось бы, совершенно разные физические процессы (см. [5], разд. III.6). В квантовой оптике в качестве близких частот стали выступать частота воздействующего электромагнитного
излучения и частота перехода между энергетическими уровнями атома. Однако долгое время единого мнения, как называть столь часто применяемое приближение, не было. Некоторые исследователи использовали термин «резонансное приближение» (resonant approximation) [6]. Другие обозначали подход как приближение вращающегося поля,
что выглядит вполне оправданным, если речь идет
о квантовых магнитных явлениях (иногда словосочетание «приближение вращающегося поля» встречается и в современных статьях [7, 8], но в данных случаях можно уже говорить, по-видимому, о
терминологической ошибке). Зачастую исследователи вообще никак не обозначали используемое приближение, ограничиваясь математической формулировкой предела малой разности частот [9]. Одним из первых пропагандистов термина в современном виде можно признать Лэмба, который еще в
1957 г. использовал термин «приближение вращающейся волны» в своей статье [10], посвященной микроволновой спектроскопии атома гелия. Постепенно, особенно после публикации «Теории оптических
мазеров» Лэмба [11] и справочника Хакена [5], термин «приближение вращающейся волны» стал вытеснять все остальные варианты и в 70-е годы стал
общепринятым.
В настоящее время приближение вращающейся
волны активно применяется при расчетах моделей в
квантовой оптике и в области квантовых магнитных
явлений. Например, при работе с такими моделями нанофотоники [12], как квантовые точки [13,14]
и квантовые провода [15]; при описании процессов,
протекающих в оптоэлектронных устройствах [16];
при изучении переходов в ридберговских атомах во
внешних полях [18] и др. Однако в подавляющем
большинстве работ не приводится количественных
оценок, насколько повлияло использование приближения вращающейся волны на конечный результат. Это вполне объяснимо, поскольку подразумевает выполнение расчетов без использования приближения вращающейся волны, что в большинстве ситуаций может быть весьма затруднительным из-за
отсутствия точного аналитического решения и большого объема необходимых вычислений при реализации численных методов решения задачи.
В данной работе мы рассматриваем двухуровневую атомную систему в полихроматическом поле. Данная модель допускает аналитическое решение только в приближении вращающейся волны и
при нулевой отстройке центральной частоты воздействующего поля от частоты перехода [17], в
остальных случаях доступно только численное решение. Особенностью этой модели является то, что
спектральный диапазон воздействующего поля может быть весьма широк и значительное влияние на
границы применимости приближения вращающейся волны оказывает не только величина отстройки
центральной частоты воздействующего поля от частоты перехода, но и количество гармоник полихроматического поля.
Мы оцениваем возмущение в спектрах поляризации, возникающее при использовании приближения вращающейся волны, по двум показателям —
576

ЖЭТФ, том 166, вып. 5 (11), 2024
Оценка влияния приближения вращающейся волны на спектры. . .
содержит зависящие от времени недиагональные
элементы
V12 = ℏ˜
V12eiw12t + ℏ˜
V ∗
12e−iw12t,
˜
V12(t) = Ω12 0
2
+
m=1
Ω12 m cos(m∆12t),
(2)
M12
X
матрицы
Γ =
,
L =
0
λ2
 
γ1
Γ12
Γ∗
12
γ2
!
 
λ1
0
!
по отклонению спектральной амплитуды, усредненному по всему частотному диапазону, и по отклонению спектральной амплитуды на частоте перехода.
Получены зависимости обоих показателей от ключевых параметров модели, таких как центральная
частота воздействующего поля, отстройка, количество полихроматических компонент. Данные зависимости позволяют установить, при заданной допустимой величине отклонения, применимо ли использование приближения вращающейся волны или
нет для конкретного набора параметров модели. За
счет экстраполяции определенные выводы можно
сделать и для тех наборов параметров, при которых
вычисления непосредственно не проводились. Полагаем, что предложенная методика оценки влияния
приближения вращающейся волны может быть использована и для других моделей квантовой оптики.
— соответственно матрицы релаксации и накачки, а
символ «·» отвечает поэлементному перемножению
матриц. В (2) ∆12 обозначает спектральный интервал между компонентами полихроматического поля
на переходе между уровнями с индексами 1 и 2; M12
определяет количество спектральных компонент поля; Ω12 m, m = 0, 1, . . ., M12 — их амплитуды.
Выполним преобразование, смещающее спектр
недиагональных элементов матрицы плотности на
частоту, определяемую разностью соответствующих
энергетических уровней:
ρ = ˜
ρ · eiωt,
(3)
где матрица преобразования имеет вид
eiωt =
,
eiω21t
1
 
1
eiω12t
!
ω =
,
 
0
ω12
ω21
0
!
Работа построена следующим образом. В разд. 2
рассматривается
уравнение
матрицы
плотности
применительно к многоуровневой атомной системе
в полихроматическом поле, а также упрощенный
вариант уравнения, возникающий в приближении
вращающейся волны. В разд. 3 изложены детали
проведенных
численных
расчетов
исходного
и упрощенного уравнений и вводятся критерии
сравнения спектров поляризации, получаемых при
решении уравнений. Результаты расчетов, в частности, зависимости величин искажений спектров,
возникающих из-за
использования приближения
вращающейся волны, от ключевых параметров модели, обсуждаются в разд. 4. Выводы представлены
в разд. 5.
ω12 = E2 −E1
ℏ
.
После подстановки (3) в (1) и поэлементного домножения обеих частей равенства на e−iωt с учетом значения коммутатора диагональной матрицы E с матрицей плотности,
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ ДВУХУРОВНЕВОЙ
СИСТЕМЫ В ПОЛИХРОМАТИЧЕСКОМ
ПОЛЕ
[E, ρ] = −ℏω · ρ,
и равенства
L · e−iωt = L
Рассмотрим уравнение матрицы плотности, описывающее двухуровневую систему — неподвижный
атом в полихроматическом поле в дипольном приближении:
приходим к следующему уравнению:
iℏdρ
iℏd˜
ρ
dt = [H, ρ] −iℏΓ · ρ + iℏL,
(1)
dt =

V, ˜
ρ · eiωt 
· e−iωt −iℏΓ · ˜
ρ + iℏL.
где гамильтониан взаимодействия
Поскольку элементы матрицы ω определяются разностью энергетических уровней, для любых трех индексов 1 ⩽j, k, l ⩽2 имеем
H = E + V =
+
0
E2
ωjk + ωkl + ωlj = 0.
 
E1
0
!
!
 
0
V12
V ∗
12
0
577

А. Г. Антипов, С. В. Уварова
ЖЭТФ, том 166, вып. 5 (11), 2024
Это позволяет занести экспоненту под знак коммутатора:
каждая из которых относится к одному из непересекающихся спектральных доменов с центрами на
частотах
d˜
ρ
dt = −i
(w12 + ω12) s,
s = 0, ±1, ±2, . . . ,
(7)
ℏ

V · e−iωt, ˜
ρ
 
−Γ · ˜
ρ + L,
и, подставляя (2), получаем
d˜
ρ
dt = −i
h
˜
V · ei(w−ω)t, ˜
ρ
i
−i
h
˜
V ∗· e−i(w+ω)t, ˜
ρ
i
−
−Γ · ˜
ρ + L.
(4)
причем взаимодействие между компонентами соседних доменов осуществляется исключительно за счет
второго, высокочастотного коммутатора. Действительно, остальные составляющие уравнения (4) при
достаточно больших значениях w + ω выполняют
отображение лишь внутри отдельных спектральных
доменов: домножение на ei(w−ω)t не меняет существенно спектр ˜
ρ в силу (5), домножение на ˜
V — в
силу (6), дифференцирование не порождает новых
спектральных компонент, Γ и L вообще не зависят
от времени.
Рассмотрим асимптотическое разложение решения уравнения (4) в пределе w + ω →∞:
˜
ρ = ρ(RWA) + ρ(1) + ρ(2) + . . . ,
(8)
где ρ(l), l = 1, 2, . . . — слагаемые различной степени
малости в рассмотренном пределе,
ρ(l) ∝(w + ω)−l
или, для отдельных элементов матриц,
ρ(l)
jk ∝||w + ω||−l ∝(w12 + ω12)−l, 1 ⩽j, k ⩽2.
В получившемся выражении имеются два коммутатора с разными частотными характеристиками. В
первом коммутаторе присутствует медленно изменяющийся с течением времени оператор — характерные частоты определяются разностями частот воздействующего поля w и частот переходов ω. Во втором коммутаторе, напротив, имеется быстро осциллирующий оператор, характерные частоты последнего задаются суммой частот w и ω.
Приближение вращающейся волны заключается
в отбрасывании второго, высокочастотного коммутатора в уравнении для матрицы плотности (4), в
результате чего получившееся упрощенное уравнение описывает исключительно низкочастотные, медленно зависящие от времени процессы.
В качестве обоснования такого упрощения можно привести следующие соображения. Рассмотрим
предел w + ω →∞такой, что
|w −ω| ≪w + ω,
(5)
M · ∆≪w + ω,
(6)
где матрицы M, ∆, характеризующие полихроматическое поле, для двухуровневой системы имеют вид
Можно утверждать, что первое слагаемое в асимптотическом разложении (8), не исчезающее при
w + ω
→
∞и обозначенное ρ(RWA), относится
исключительно к наиболее низкочастотному спектральному домену (с индексом s = 0), иначе говоря, его спектр обладает только частотами внутри
диапазона
M =
,
∆=
.
 
0
M12
M12
0
!
!
 
0
∆12
−∆12
0
−(w12 + ω12)/2 . . . +(w12 + ω12)/2.
Матричные неравенства (5), (6) подразумевают, что
любой недиагональный элемент матрицы из левой
части по модулю много меньше любого недиагонального элемента матрицы в правой части. Для матриц
размера 2 × 2 все сводится к соотношениям между
единственными недиагональными элементами
|w12 −ω12| ≪w12 + ω12,
M12∆12 ≪w12 + ω12.
Требование (5) является универсальным и применимо, в том числе для монохроматического поля; требование (6) — специфично для полихроматического
поля. В рассматриваемом пределе решение уравнения (4) можно представить в виде суммы компонент,
Действительно, если бы это было не так, то, с учетом наличия дифференцирования по времени в (4),
при рассмотрении любого иного спектрального домена мы бы получили бесконечно растущую при
w +ω →∞левую часть, которую невозможно скомпенсировать вполне конечной правой частью.
Уравнение, определяющее функцию ρ(RWA), есть
уравнение (4), рассмотренное замкнуто в низкочастотной области — спектральном домене с индексом
s = 0. Это означает, что из уравнения (4) изъят высокочастотный коммутатор, поскольку он переводит
ρ(RWA) в соседние спектральные домены с индексами s = ±1, где результату действия высокочастотного коммутатора на ρ(RWA) приравнивается произ578

ЖЭТФ, том 166, вып. 5 (11), 2024
Оценка влияния приближения вращающейся волны на спектры. . .
поляризации
Pj = −1
2⟨ρ12 eij∆12t⟩t,
водная по времени от ρ(1) в соответствующем домене — величина того же порядка малости по w + ω
(нулевого), что и ρ(RWA):
dρ(1)
s=±1
dt
= −i
h
˜
V ∗· e−i(w+ω)t, ρ(RWA)i
.
(9)
Таким образом, в уравнении, определяющем ρ(RWA),
полностью исчезает зависимость от суммы частоты
перехода ω и центральной частоты воздействующего
поля w и остается зависимость лишь от их разности.
Вводя отстройку
,
δ = w −ω =
!
 
0
w12 −ω12
ω12 −w12
0
двухуровневой системы, определяющие дисперсию
и поглощение среды. Для этого численно решалось
уравнение (4) для матрицы плотности и полученные спектры недиагональных элементов матрицы
плотности сравнивались с аналогичными спектрами, полученными в результате решения уравнения
(10) для матрицы плотности в приближении вращающейся волны.
Для численного решения уравнений для матрицы плотности использовался метод Рунге – Кутты второго порядка. Задавалось начальное значение
матрицы плотности
получаем окончательно уравнение для матрицы
плотности в приближении вращающейся волны:
,
ρ0 =
 
1
2
0
!
0
1
2
dρ(RWA)
dt
= −i
h
˜
V · eiδt, ρ(RWA)i
−Γ·ρ(RWA) +L. (10)
после чего рекуррентно строилась последовательность матриц ρk = ρ(k∆t), k = 1, 2, . . ., отражающая дискретную эволюцию матрицы плотности по
времени с шагом ∆t:
ρk = ρk−1 + ∆t
2 [f((k −1)∆t, ρk−1) +
+ f(k∆t, ρk−1 + ∆tf((k −1)∆t, ρk−1))] ,
(11)
где матрица
f(t, ρ) = −i
h
˜
V · eiδt, ρ
i
−i
h
˜
V ∗· e
−i(2ω+δ)t, ρ
i
−Γ·ρ+L
использовалась при решении точного уравнения, а
матрица
f(t, ρ) = −i
h
˜
V · eiδt, ρ
i
−Γ · ρ + L
— при решении уравнения в приближении вращающейся волны. В качестве не зависящих от времени
матриц релаксации и накачки на уровни были взяты
матрицы
Γ =
,
L =
.
1
1
0
0
 
1
1
!
 
1
0
!
По сравнению с исходным уравнением (4) уравнение (10) оказывается существенно проще, позволяя в ряде случаев представить решение в аналитическом виде [17]. С точки зрения выполнения численных расчетов, уравнение (10) также является
более предпочтительным, нежели (4). При численном расчете величина шага по времени определяется максимальной частотой, с которой флуктуируют
элементы матрицы плотности. Поэтому при работе с уравнением (10), описывающим низкочастотные
процессы, можно взять шаг по времени меньше по
сравнению с тем шагом по времени, который требуется использовать при численном решении уравнения (4). В случаях, когда отношения максимальных
частот и, следовательно, шагов по времени велики,
объем необходимых вычислений может различаться
на порядки. Именно поэтому приближение вращающейся волны столь популярно при численном решении уравнений матрицы плотности.
Выполнив замену
ρ(RWA) = ˜
ρ(RWA) · eiδt,
можно сместить нулевую частоту спектра на частоту отстройки, тем самым заменив осциллирующий
сомножитель в коммутаторе на чисто мнимую добавку к матрице релаксации
d˜
ρ(RWA)
dt
= −i
h
˜
V , ˜
ρ(RWA)i
−(Γ + iδ) · ˜
ρ(RWA) + L.
3. ПРОВЕДЕННЫЕ РАСЧЕТЫ
Мы
изучали
влияние,
которое
оказывает
приближение
вращающейся
волны
на
спектры
Для двухуровневой системы в матрицах M, ∆,
Γ, w, ω, δ имеется всего один недиагональный элемент (M12, ∆12, . . . ). При дальнейшем изложении
нижние индексы у этих величин будут опускаться.
Величина шага по времени ∆t выбиралась так,
чтобы на период максимальной частоты спектрального домена (7) с индексом s = 1, т. е. (4π/3)/(w+ω),
приходилось 50 шагов. При использовании приближения вращающейся волны в большинстве ситуаций такая величина шага является избыточной, однако, чтобы процедура расчета была максимально одинаковой в обоих случаях, величина
∆t = (4π/150)/(w + ω) бралась при расчете как
579

А. Г. Антипов, С. В. Уварова
ЖЭТФ, том 166, вып. 5 (11), 2024
Во-вторых, в ряде ситуаций для оценки искажений спектра поляризации также целесообразно использовать отклонение спектра на частоте перехода
(j = 0):
dpeak =
P0





P (RWA)
0
−P0




 .
(13)
Зачастую именно на частоте перехода в мнимой части спектра поляризации наблюдается выраженный
пик, что дает возможность оценить влияние приближения вращающейся волны в этой части спектра поглощения. Для вещественной части спектра поляризации оценка по формуле (13), как правило, является мало полезной, поскольку значение дисперсии на
частоте перехода оказывается близким к нулю. Так,
при нулевой отстройке вещественная часть спектра
поляризации в приближении вращающейся волны
равна нулю на частоте перехода, а при использовании точной формулы (4) имеет малое, но отличное от нуля значение. Следовательно, оценка вещественной части спектра, выполненная по формуле
(13), дает ровно единицу, что не отражает адекватно сложившуюся ситуацию.
Очевидно, что величина возмущений спектров,
возникающих при использовании приближения, зависит от ряда параметров, таких как частота перехода, величина отстройки, ширина спектра полихроматического поля. Рассчитанные и представленные далее зависимости позволяют оценить корректность применения приближения вращающейся волны в том или ином случае.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
по точной формуле, так и в приближении вращающейся волны. Количество шагов, которое необходимо выполнить при расчете, определяется длительностью переходных процессов, приводящих, в конечном итоге, к тому, что элементы матрицы плотности оказываются периодическими функциями с
периодом, равным периоду 2π/∆частоты межкомпонентного сдвига полихроматического поля. Частота ∆межкомпонентного сдвига оказывается минимальной базовой частотой процессов, установившихся в системе. Длительность переходных процессов, выраженная в периодах базовой частоты, задается отношением ∆к усредненной величине элементов матрицы релаксации Γ, и при рассматриваемых
параметрах достаточно было вычислить несколько
периодов базовой частоты, чтобы устранить влияние переходных процессов на результаты расчетов.
С учетом выбранной величины шага по времени ∆t,
количество необходимых шагов составляло порядка
105–106.
После получения двух последовательностей матриц (11) из них выбирались матрицы, соответствующие последнему периоду 2π/∆базовой частоты
полихроматического поля, и дискретным преобразованием Фурье вычислялись спектры недиагональных элементов ρ12 на частотах 0, ±∆, ±2∆, . . . В полученных спектрах, с точностью до коэффициента
представляющих собой спектры поляризации двухуровневой системы, рассматривались отдельно вещественные и мнимые составляющие.
Искажения спектров, возникающие при использовании приближения вращающейся волны, количественно оценивались по двум характеристикам. Вопервых, вычислялось квадратичное отклонение по
всему спектру поляризации, нормированное на полную энергию точного спектра,
j

P (RWA)
j
−Pj

2
X
davg =
j
Pj
2
,
(12)
X
v
u
u
u
u
u
u
t
причем указанное отклонение можно отдельно рассчитывать как для вещественной части спектра поляризации, так и для мнимой. Отклонение davg, рассчитанное по формуле (12) для вещественной части
спектра поляризации, дает количественную оценку усредненного по всему набору частот искажения спектра дисперсии, вызванного использованием
приближения вращающейся волны, а рассчитанное
для мнимой части спектра — аналогичную оценку
усредненного искажения спектра поглощения.
На рис. 1 показаны спектры поляризации, полученные в приближении вращающейся волны и без
использования указанного приближения, для двухуровневой системы, находящейся под воздействием
полихроматического поля, состоящего из 101 компоненты с одинаковыми амплитудами (M
= 50,
Ω= 0.2Γ). Данный случай в приближении вращающейся волны был рассмотрен в работах [19,20] и выделяется наличием излучения на частоте перехода
(отрицательный импульс в спектре Im P при j = 0).
Обращают на себя внимание два явных отличия спектров в приближении вращающейся волны (показанных пунктиром) от точных спектров.
Во-первых, спектр в приближении вращающейся
волны обладает определенной четностью относительно частоты перехода j →−j, точный спектр
такой четности не демонстрирует. Это связано с тем,
что у двухуровневой системы при нулевой отстрой580

ЖЭТФ, том 166, вып. 5 (11), 2024
Оценка влияния приближения вращающейся волны на спектры. . .
a
b
Рис. 1. Спектры поляризации, полученные с использованием приближения вращающейся волны и без использования
указанного приближения: a — вещественная часть поляризации; b — мнимая часть поляризации. M = 50, Ω= 0.2Γ,
∆= 0.3Γ, δ = 0, w = 150∆
Рис. 2. Спектр поглощения в высокочастотной области спектра. M = 50, Ω= 0.2Γ, ∆= 0.3Γ, δ = 0, w = 150∆
(j ≈(w+ω)/∆= 2w/∆), т. е. в спектральном домене
с индексом s = 1 (см. (7)). Последнее неудивительно,
поскольку, как отмечалось ранее, в решении ρ(RWA)
ке в приближении вращающейся волны отсутствует вещественная часть недиагональных элементов
матрицы плотности [17]. В результате спектр поляризации характеризуется некоторой четностью —
вещественная часть оказывается нечетной, а мнимая часть — четной. Если не использовать приближение вращающейся волны, то вещественная
часть недиагональных элементов оказывается ненулевой и четность спектра нарушается. Во-вторых,
в спектрах поляризации, рассчитанных в приближении вращающейся волны, полностью отсутствуют возмущения вблизи удвоенной частоты перехода
уравнения (10) существенную роль играют лишь
низкочастотные компоненты в спектральном домене
с индексом s = 0. На рис. 2 подробнее показана высокочастотная спектральная область s = 1. Чтобы
добиться лучшего приближения к точному решению
в этой спектральной области требуется рассматривать следующую за ρ(RWA) поправку в асимптотическом разложении (8), вычисленную по формуле (9)
и показанную на рис. 2 штриховой линией.
581