Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 9

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ОСНОВАН В МАРТЕ 1873 ГОДА
ТОМ 166, ВЫПУСК 3 (9)
ВЫХОДИТ 12 РАЗ В ГОД
СЕНТЯБРЬ 2024
М О С К В А
Р А Н
ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ ПОД РУКОВОДСТВОМ ОТДЕЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК РАН
СОДЕРЖАНИЕ
АТОМЫ, МОЛЕКУЛЫ, ОПТИКА
Дифференцирование и интегрирование огибающей фемтосекундного импульса при помощи одномерных фотонных структур с искусственной формой фотонной запрещенной зоны . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Емельянцев П. С., Свяховский С. Е.
295
Двухфотонная конверсия гравитона на связанных атомных состояниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Залялютдинов Т. А., Дубрович В. К., Соловьев Д. А.
306
Интерференционная поправка к оптическому кондактансу магнитоактивной среды с рассеивающими
неоднородностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Городничев Е. Е., Рогозкин Д. Б.
316
ЯДРА, ЧАСТИЦЫ, ПОЛЯ, ГРАВИТАЦИЯ И АСТРОФИЗИКА
Частотно-временной анализ изменений радоновых выбросов в подземной лаборатории LNGS, измеренных детектором LVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .Якушев В. Ф., Агафонова Н. Ю., Ашихмин В. В., Добрынина Е. А., Еникеев Р. И., Филимонова Н. А., Шакирьянова И. Р., от имени Коллаборации LVD
330
Моделирование зарядовых корреляций адронов в соударениях тяжелых ионов при энергиях NICA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Забродин Е. Е., Коротких В. Л., Лохтин И. П., Петрушанко C. В., Снигирев А. М., Чернышов А. C., Эйюбова Г. Х.
340
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И ЖИДКОСТИ
Точечные дефекты в шпинелях FeMe2O4 (Me = Fe, Cr): исследование в рамках метода DFT+U
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Чичеватов Г. Д., Стегайлов В. В.
347
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала ЖЭТФ (составитель), 2024
293

ЖЭТФ, том 166, вып. 3 (9), 2024
ПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ
В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Спиновая поляризация электронов в туннельных контактах Co0.9Fe0.1/MgO/InSb
. . . . . . . . . . . . . . . .
Виглин Н. А., Цвелиховская В. М., Шориков А. О., Павлов Т. Н., Проглядо В. В.
374
Происхождение линии ЭПР (g ≈4) в магнитных нанокомпозитах — проявление двухквантовых переходов в ферромагнитных гранулах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Дровосеков А. Б.,
Дмитриева
М.
Ю.,
Ситников
А.
В.,
Николаев
С.
Н.,
Рыльков
В.
В.
383
ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Влияние магнитного поля на проводимость туннельной структуры сверхпроводник–изолятор–
нормальный металл . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ермаков А. Б., Тарасов М. А., Эдельман В. С.
391
Формирование полупроводникового состояния в оксисульфостибнитах RSbS2O при R = Dy, Ho, Er
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Байдак С. Т., Лукоянов А. В.
403
Особенности τ-приближения для хаотических электронных траекторий на сложных поверхностях
Ферми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Мальцев А. Я.
409
СТАТИСТИЧЕСКАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЗИКА,
ФИЗИКА «МЯГКОЙ» МАТЕРИИ
Ионосферные плазменно-пылевые облака: влияние неустойчивости Рэлея – Тейлора . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Резниченко Ю. С., Дубинский А. Ю., Попель С. И.
422
Эволюция излучения плазмы барьерного разряда в неоне низкого давления. Атомный спектр . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .Иванов В. А., Скобло Ю. Э.
434
294

ЖЭТФ, 2024, том 166, вып. 3 (9), стр. 295–305
© 2024
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОГИБАЮЩЕЙ
ФЕМТОСЕКУНДНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ПОМОЩИ
ОДНОМЕРНЫХ ФОТОННЫХ СТРУКТУР С ИСКУССТВЕННОЙ
ФОРМОЙ ФОТОННОЙ ЗАПРЕЩЕННОЙ ЗОНЫ
П. С. Емельянцев, С. Е. Свяховский *
Московский государственный унтверситет им. М. В. Ломоносова, физический факультет
119991, Москва, Россия
Поступила в редакцию 6 июня 2023 г.,
после переработки 5 апреля 2024 г.
Принята к публикации 8 апреля 2024 г.
Теоретически показана возможность создания многослойных диэлектрических структур (фотонных кристаллов), выполняющих интегрирование и дифференцирование первого и высших порядков огибающей
фемтосекундного импульса. Эти фотонные кристаллы имеют полностью искусственный профиль фотонной запрещенной зоны, что было достигнуто путем решения обратной задачи вычисления оптического
отклика. Продемонстрирована работоспособность данных оптических устройств в спектральном диапазоне шириной более октавы.
DOI: 10.31857/S0044451024090013
1. ВВЕДЕНИЕ
На сегодняшний день значительная доля информации передается при помощи оптических сигналов, поэтому актуальной задачей является создание устройств обработки оптической информации
напрямую без преобразования в электронный сигнал. Над аналоговыми оптическими сигналами могут выполняться математические операции, такие
как дифференцирование и интегрирование [1]. Рассмотрим вначале фотонные дифференциаторы, выходной оптический сигнал которых пропорционален производной от входного по времени. Существуют две основные категории оптических дифференциаторов: дифференциаторы поля (ДП) и дифференциаторы интенсивности (ДИ). В ДИ как входные сигналы, так и выходные дифференцированные сигналы переносятся оптической интенсивностью или оптической мощностью независимо от фазы сигнала, что полезно для сверхширокополосной
микроволновой связи [2, 3] и кодирования сигнала [4]. ДИ могут быть реализованы посредством
нелинейных эффектов в полупроводниковых опти* E-mail: sse@shg.ru
ческих усилителях [3, 4] с помощью некогерентных
фотонных процессоров [5] оптоволокна с высокой
нелинейностью [2].
С другой стороны, дифференцирование поля
означает, что выходное оптическое поле (комплексный сигнал, включающий как амплитуду, так и фазу) представляет собой дифференцированные сигналы входного поля, что потенциально может применяться для генерации сверхкоротких импульсов [6,7], генерации сигналов Эрмита – Гаусса нечетной симметрии [8], распознавания фронта импульса [9], а также для настраиваемой фильтрации микроволн [10]. На сегодняшний день ДП были реализованы с помощью волоконных брэгговских решеток [11], брэгговских решеток с фазовым сдвигом [12, 13], блоховских волн в одномерных фотонных кристаллах (ФК), длиннопериодных волоконных решеток [8, 14], интерферометров [15], металлдиэлектрических структур [16], полупроводниковых
оптических усилителей [7, 10], кремниевых микрокольцевых резонаторов [17–19], а также селективных направленных ответвителей [20,21].
Оптический временной дифференциатор N-го
порядка определяется как устройство, которое вычисляет производную N-го порядка по времени комплексной огибающей входного оптического сигнала.
Такие устройства способны обеспечить более слож295

П. С. Емельянцев, С. Е. Свяховский
ЖЭТФ, том 166, вып. 3 (9), 2024
ботки, совершенно недосягаемой современной электронной техникой.
В последние несколько лет широко исследовались различные реализации фотонных временных
интеграторов на основе различных технологий, например, с использованием волоконной брэгговской
решетки
[37, 38], брэгговских решеток с фазовым
сдвигом [39], резонансных дифракционных решеток [40], микрокольцевого резонатора [41–43], системы свертки временного спектра [44], активного резонатора Фабри – Перо с полупроводниковым оптическим усилителем в качестве активной среды [45].
Следует отметить, что несмотря на обилие работ в этой области, предлагаемые подходы к решению поставленной проблемы опираются на известные спектральные свойства различных фотонных
структур, в том числе и брэгговских. К примеру, для
получения дифференциатора N-го порядка в работе [13] используется комбинация из N микрорезонаторных мод брэгговской структуры с дефектами.
Однако такой подход имеет существенные ограничения, поскольку спектральный отклик дефектной
моды брэгговской струкутры имеет фиксированную
форму, отличающуюся от степенной, и из комбинации таких откликов можно создать степенную зависимость лишь в некотором приближении.
В этой работе мы используем универсальный метод построения спектрального отклика на основе
решения обратной задачи [46]. Необходимый спектральный отклик в виде степенной функции создается искусственно и может иметь произвольную желаемую форму. Предлагаемый метод позволяет реализовать интеграторы и дифференциаторы в любом
спектральном диапазоне без ограничения на его ширину. Демонстрируется применимость метода для
устройств с широким рабочим диапазоном вплоть
до октавы и более.
2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
В работе рассматриваются дифференциаторы и
интеграторы поля импульса. Пусть на оптическую
среду под нулевым углом падает оптический импульс вида
Ei(r, t) = E0(t)ei(ω0t−kr),
(1)
ные временные формы сигналов, такие как функции
Эрмита – Гаусса [22], поскольку данные функции являются производными N-го порядка от гауссовой
функции. Кроме того, оптические сигналы произвольной формы также могут быть составлены из семейства дифференцирований произвольного порядка гауссова импульса.
В спектральном отклике дифференциатора N-го
порядка должен быть нуль N-го порядка на центральной частоте импульса, что достигается, как
правило, путем подбора параметров спектральных
откликов известных структур фотоники. Дифференциаторы высокого порядка были реализованы
каскадными [23], наклонными [24] и специально разработанными волоконными брэгговскими решетками [11], с помощью программируемого формирователя импульсов [25], кремниевых брэгговских решеток [26], двухкаскадного кремниевого волновода с
автосвязью [27] и т. д.
Стоит также отметить возможность реализации
фотонных дифференциаторов на основе интерферометров Маха – Цендера [28,29]. Такие устройства могут служить как ДИ, так и ДП, в зависимости от
относительного сдвига между длиной волны зонда
и резонансной меткой.
Фотонный временной интегратор N-го порядка (где N = 1, 2, 3 . . . относится к порядку интегрирования) представляет собой устройство, которое вычисляет N-й кумулятивный интеграл времени
входного сигнала. Временные интеграторы являются фундаментальными базовыми блоками во многих
представляющих интерес операциях обработки сигналов, например, в вычислительных, управляющих,
сенсорных и коммуникационных сетях [30]. По сравнению со своими электронными аналогами фотонные временные интеграторы могут обеспечить гораздо большую рабочую полосу пропускания, т. е.
более высокую скорость обработки. Фотонные временные интеграторы первого порядка были предложены для различных приложений, включая сверхбыстрое формирование импульсов [31, 32], полностью оптические запоминающие устройства [33,34],
а также устройства для аналоговых оптических вычислений [35, 36]. Релевантным примером применения этих устройств являются вычислительные системы, предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Линейные ОДУ можно решать в режиме реального времени, используя подходящую комбинацию интеграторов первого и высокого порядков, сумматоров и
умножителей. Реализация этих операций полностью
оптическим образом привела бы к скорости обрагде E0(t) — огибающая импульса, ei(ω0t−kr) — осцилляции на центральной частоте импульса ω0, волновой вектор которой в свободном пространстве
k = ω0/c. Поскольку свет падает под нормалью, поляризация импульса не важна, и задача сводится к
одномерной.
296

ЖЭТФ, том 166, вып. 3 (9), 2024
Дифференцирование и интегрирование...
составляет значительную сложность. В этой работе
мы воспользуемся разработанным ранее [46] универсальным методом построения структуры многослойных сред с произвольной формой спектральной зависимости коэффициента отражения. Применительно к задаче построения заданных откликов KN(ω)
метод состоит в следующем.
Рассмотрим случай N = 1. Построим фотонный
кристалл, спектр коэффициента отражения которого имеет линейную зависимость от частоты c полюсом первого порядка посередине. Пусть изначально
ФК представляет собой сплошную среду толщиной
D = 100 мкм, показателем преломления n0 = 1.5
и оптической толщиной L = nd = 100 мкм. Введем
модуляцию показателя преломления
n1(x) = A1 cos(k1x + φ1) + n0,
(6)
Пусть одномерный фотонный кристалл задается
в виде зависимости показателя преломления n(x) от
длины оптического пути, отсчитываемой от входной
грани. Использование оптического пути позволяет
автоматически учесть влияние дисперсии показателя преломления, что упрощает расчеты. Комплексный спектр коэффициента отражения r(ω) этого ФК
вычисляется при помощи метода матриц распространения [47], при этом непрерывная зависимость
n(x) аппроксимировалась дискретной путем деления среды на слои оптической толщиной 20 нм, что
много меньше длины волны и, следовательно, характерного периода модуляции. Корректность этого
подхода обсуждалась в [48].
Вид отраженного от кристалла импульса находится путем преобразования Фурье. Спектр огибающей исходного сигнала
E0(ω −ω0) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
E0(t)e−iωtdt
(2)
умножается на спектр коэффициента отражения
r(ω), после чего вычисляется обратное преобразование Фурье:
E(t) =
1
√
2π
∞
Z
−∞
r(ω)E0(ω −ω0)eiωtdω.
(3)
Преобразование Фурье выполнялось численно
по алгоритму fast Fourier transform, использовалось
8192 точек с шагом по времени 1 фс, шагом по частоте 2.84 · 1011 Гц.
3. ДИФФЕРЕНЦИАТОР ОГИБАЮЩЕЙ
ИМПУЛЬСА
где k1 — волновое число, соответствующее частоте
ω1; A1, φ1 — амплитуда и фаза волны. Световая волна с волновым числом k1/2 будет испытывать дифракционное отражение от среды с данной модуляцией. При этом коэффициент отражения r(ω1) будет пропорционален амплитуде модуляции A1, соответствующие расчеты приведены, например, в [49],
и при росте A1 коэффициент r(ω1) достигнет максимального значения 1. Чтобы этого не происходило, амплитуда модуляции должна быть ограничена
сверху.
Теперь введем M пространственных гармоник,
пусть их частоты ωj располагаются равномерно
в рассматриваемом диапазоне, середина которого
приходится на ω0. Пусть в некотором требуемом
спектральном диапазоне амплитуда и фаза изменяются линейно с номером гармоники j:
2 ,
j < N
2 ,
2
Дифференциатор сигналов может быть реализован при использовании свойства преобразования
Фурье для функции f(t) и ее производной:
(
−π
π
2 ,
j > N
2 ,
(7)
Aj = δn
 j

,
φj =
M −1
dNf(t)
dtN
F
−
→(iω)Nf(ω).
(4)
где δn — амплитуда модуляции показателя преломления. Просуммируем все гармоники модуляции, в
результате чего получим распределение показателя
преломления c глубиной ФК следующего вида:
В случае дифференцирования огибающей оптического импульса f(t)eiω0t, имеем
dNf(t)
nI(x) = n0 +δn
2
c
+ φj
dtN
F
−
→(i(ω −ω0))Nf(ω −ω0).
(5)
j=1
 j

cos
2ωjx

. (8)
M −1
M
X
Поэтому дифференцирование сигнала может быть
выполнено при помощи элемента, спектральный отклик которого равен
KN(ω) = α(i(ω −ω0))N.
Проектирование и изготовление подобных структур
Зависимость nI(x) полностью задает структуру
ФК. График n(x) показан на рис. 1a, он имеет вид
суммы гармонических функций с близкими частотами, между которыми наблюдаются биения, максимум биений наблюдается примерно в середине кристалла.
297

П. С. Емельянцев, С. Е. Свяховский
ЖЭТФ, том 166, вып. 3 (9), 2024
1.54
1.504
1.0
|r|
Power fit (1.004)
Power fit (1.003)
(a)
(b)
1.500
0.8
1.52
36
38
40
1.496
0.6
n
|r|
1.50
0.4
1.48
0.2
10
11
12
13
14
15
0.0
0
20
40
60
80
100
1.46
x (um)
k (103 cm
--1)
Рис. 1. a — Структура ФК в виде пространственного профиля показателя преломления nI(x), на вставке увеличенный
фрагмент 60–63 мкм, b — спектр амплитудного коэффициента отражения этого ФК с аппроксимациями частей графика
степенными функциями
1.2
1.0
(a)
(b)
0.8
E in
E out
|r|
|E0|
0.8
0.4
0.6
0.0
0.4
Amplitude
Amplitude
--0.4
0.2
--0.8
0.0
--200
0
200
400
600
700
750
800
850
900
950
Time (fs)
Wavelength (nm)
Рис. 2. a — Спектр модудя коэффициента отражения в сравнении со спектром падающего импульса, b — временные
профили действительной части падающего и отраженного от данного ФК импульсов
Построим такой ФК, выбрав L
=
100 мкм,
δn = 0.07, число гармоник M = 300, спектральный
диапазон от 11 до 14 тыс. обратных сантиметров.
Середина диапазона соответствует волновому числу k0 = 12500 см−1 или длине волны λ0 = 800 нм.
Спектр коэффициента отражения такого ФК продемонстрирован на рис. 1b. Спектр имеет V -образную форму в виде функции y = |x|, нуль функции
совпадает с серединой спектрального диапазона.
Участки спектра, которые были заданы в виде линейных функций, были аппроксимированы
степенной функцией, нуль которой соответствовал
волновому числу k0
=
12500 см−1. Участок от
11 до 12.4 тыс. см−1 аппроксимировался функцией
y = A(k0 −k)α, участок от 12.6 до 14 тыс. см−1 —
функцией y = A(k −k0)α. Результаты аппроксимации дают значения показателей степени α1 = 1.003
и α2 = 1.004 соответственно, что очень близко к линейной функции.
Пусть на этот ФК падает импульс света с центральной длиной волны 800 нм и гауссовой огибающей длительностью 50 фс, его спектр показан на
рис. 2а, а временной профиль на рис. 2b. Спектр импульса попадает в рабочую область ФК, центральная частота импульса соответствует нулю коэффициента отражения. Временные профили отраженного и прошедшего сквозь кристалл импульсов показаны на рис. 2b.
Огибающая отраженного импульса имеет форму
функции Эрмита – Гаусса первого порядка, что соответствует производной гауссовой функции. Центр
отраженного импульса выходит из ФК в момент
t = 334 фс, что соответствует прохождению оптического пути ct = 100 мкм, таким образом импульс
отражается приблизительно от середины кристалла.
Для той же структуры nI(x) рассмотрим примеры дифференцирования других функций. На рис. 3
показаны расчеты отраженных импульсов для раз298

ЖЭТФ, том 166, вып. 3 (9), 2024
Дифференцирование и интегрирование...
1.2
0.8
(a)
(b)
0.8
E in
E out
|r|
Power fit(2.009)
Power fit(1.999)
0.6
0.4
|r|
0.0
0.4
Amplitude
--0.4
0.2
--0.8
--200
0
200
400
600
10
11
12
13
14
15
0.0
Time (fs)
k (103 cm--1)
1.2
1.2
(c)
(d)
0.8
0.8
E in
E out
E in
E out
0.4
0.4
0.0
0.0
Amplitude
Amplitude
--0.4
--0.4
--0.8
--0.8
--200
0
200
400
600
--200
0
200
400
600
Time (fs)
Time (fs)
Рис. 3. Временные профили падающих и отраженных импульсов от ФК с линейно модулированной запрещенной зоной.
Падающие импульсы: a — Эрмита – Гаусса 1 порядка, b — Эрмита – Гаусса 5 порядка, c — прямоугольный, d — треугольный
4. ДИФФЕРЕНЦИАТОРЫ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
Рассмотрим дифференциатор второго порядка.
Пусть пространственный профиль показателя преломления имеет вид
nII(x) = n0 +
+ δn
2
c
+ 2φj
j=1
 j

2
cos
2ωjx

.
(9)
M −1
M
X
личной формы падающих. В случае падения импульсов, огибающая которых имеет форму функции Эрмита – Гаусса порядков 1 и 5, отраженные импульсы имеют огибающую, форма которой соответствует функции Эрмита – Гаусса порядков 2 и 6 соответственно. Прямоугольный импульс дифференцируется в виде двух коротких пиков противоположного знака, временная задержка между максимумами соответствует длительности исходного импульса.
Треугольный импульс после преобразования имеет вид двух последовательных Π-образных импульсов разной полярности с горизонтальными участками, среднее значение амплитуды которых составляет 0.56 и 0.67, при этом отклонения импульсов от
средних значений горизонтальных участков не превышают 17 %.
Спектр коэффициента отражения такого ФК показан на рис. 4a. На участке 11–14 тыс. см−1 он имеет форму квадратичной функции, ветви этой функции были аппроксимированы при помощи степенной
функции с нулем в середине диапазона. Результаты
аппроксимации показывают степени 2.009 и 1.999,
299

П. С. Емельянцев, С. Е. Свяховский
ЖЭТФ, том 166, вып. 3 (9), 2024
1.2
1.2
(a)
(b)
0.8
0.8
E in
E out
E in
E out
0.4
0.4
0.0
0.0
Amplitude
Amplitude
--0.4
--0.4
--0.8
--0.8
--200
0
200
400
600
--200
0
200
400
600
Time (fs)
Time (fs)
1.2
1.2
(c)
(d)
0.8
0.8
E in
E out
E in
E out
0.4
0.4
0.0
0.0
Amplitude
Amplitude
--0.4
--0.4
--0.8
--0.8
--200
0
200
400
600
--200
0
200
400
600
Time (fs)
Time (fs)
Рис. 4. a — Спектр модудя коэффициента отражения ФК nII и аппроксимации частей спектра степенными функциями,
b — временные профили действительной части падающего и отраженного от данного ФК импульсов в случае падения
гауссова импульса, c — прямоугольного, d — треугольного
Дифференциаторы более высоких порядков (N)
могут быть получены путем построения структуры
фотонного кристалла вида
nN(x) = n0 +
+ δn
2
c
+ Nφj
j=1
 j

N
cos
2ωjx

.
(10)
M −1
M
X
что говорит о хорошем воспроизведении заданной
квадратичной последовательности.
Вычисленный результат отражения гауссова импульса длительностью 50 фс и центральной длиной
волны 800 нм = 12500 см−1 показан на рис. 4b. Форма отраженного импульса соответствует функции
Эрмита – Гаусса 2-го порядка. Как и в случае дифференциатора первого порядка, центр отраженного
сигнала также смещен на 330 фс, что соответствует
отражению от середины кристалла. В случае прямоугольного импульса (рис. 4c) отклик имеет вид четырех резких пиков, соответствующих производной
от функции, изображенной на рис. 3c. В случае треугольного импульса зависимость отраженного сигнала имеет вид трех пиков, средний из которых имеет обратную полярность и вдвое больше крайних.
Это соответствует производной от первой производной треугольной функции (рис. 3d).
На рис. 5 показаны примеры построения дифференциаторов высших порядков и соответствующих
отраженных импульсов для случая падения импульса гауссовой формы длительности 50 фс. Все профили отраженных импульсов имеют число нулей, соответствующее степени дифференцирования. Однако
с ростом этой степени падает величина первого и последнего максимума и форма огибающей отличается
от соответствующей функции Эрмита – Гаусса. Поэтому дальнейшее увеличение степени дифференцирования было решено не выполнять.
300

ЖЭТФ, том 166, вып. 3 (9), 2024
Дифференцирование и интегрирование...
1.2
(a)
(b)
0.8
0.8
E in
E out
|r|
Power fit (2.945)
Power fit (2.966)
0.4
0.6
|r|
0.0
0.4
Amplitude
--0.4
0.2
--0.8
--200
0
200
400
600
10
11
12
13
14
15
0.0
Time (fs)
k (103 cm-1)
1.2
1.0
(c)
(d)
0.8
E in
E out
|r|
Power fit (4.034)
Power fit (4.025)
0.8
0.4
0.6
|r|
0.0
0.4
Amplitude
--0.4
0.2
--0.8
--200
0
200
400
600
10
11
12
13
14
15
0.0
Time (fs)
k (103 cm-1)
1.2
1.0
(e)
(f )
0.8
E in
E out
|r|
Power fit (4.974)
Power fit (4.963)
0.8
0.4
0.6
|r|
0.0
0.4
Amplitude
--0.4
0.2
--0.8
--200
0
200
400
600
10
11
12
13
14
15
0.0
Time (fs)
k (103 cm-1)
1.2
(g)
(h)
0.8
0.8
|r|
Power fit (6.036)
Power fit (5.950)
E in
E out
0.4
0.6
|r|
0.0
0.4
Amplitude
--0.4
0.2
--0.8
--200
0
200
400
600
10
11
12
13
14
15
0.0
Time (fs)
k (103 cm-1)
Рис. 5. Cпектры модудя коэффициента отражения ФК, аппроксимации частей спектра степенными функциями и временные профили отраженных импульсов, соответствующих порядкам дифференциатора: a,b — 3, c,d — 4, e,f — 5, g,h — 6
301