Журнал экспериментальной и теоретической физики, 2024, № 8

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ЖУРНАЛ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ТОМ 166, ВЫПУСК 2(8)
ОСНОВАН В МАРТЕ 1873 ГОДА
АВГУСТ 2024
ВЫХОДИТ 12 РАЗ В ГОД
РАН
МОСКВА
ЖУРНАЛ ИЗДАЕТСЯ ПОД РУКОВОДСТВОМ ОТДЕЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК РАН
СОДЕРЖАНИЕ
АТОМЫ, МОЛЕКУЛЫ, ОПТИКА
Самосогласованный квазиклассический подход к описанию движения частицы в диссипативной 
среде...........................................................................................................................Сазонов С. В. 153
Когерентное управление населенностями связанных состояний в квантовых ямах парой полупериод- 
ных аттосекундных импульсов ...........................................................................Архипов Р. М.,
Дьячкова O. O., Белов П. А., Архипов М. В., Пахомов А. В., Розанов Н. Н. 162
Когерентное распространение полуциклового светового импульса в трехуровневой среде ................
.........................................Архипов Р. М., Пахомов А. В., Архипов М. В., Розанов Н. Н. 174
Vacuum birefringence and dichroism in a strong plane-wave background .....................................................
...............................................................................................................Aleksandrov I. A., Shabaev V. M. 182
Моделирование процессов поглощения энергии в воде вблизи поверхности золотой наночастицы при 
облучении фотонами рентгеновского диапазона .............................................................................
..................................................................................... Чайников А. П., Кочур А. Г., Дуденко А. И. 194
Процесс расщепления фотона в сильном магнитном поле с учетом влияния позитрония ................
........................................................................Румянцев Д. А., Шленев Д. М., Чистяков М. В. 209
ЯДРА, ЧАСТИЦЫ, ПОЛЯ, ГРАВИТАЦИЯ И АСТРОФИЗИКА
Effect of color randomization on pT broadening of fast partons in turbulent quark-gluon plasma ............
.........................................................................................................................................................Zakharov B. G. 216
ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И ЖИДКОСТИ
Атомный механизм влияния упругих деформаций эпитаксиальных слоев Ge на поверхности Si(111) 
на диффузию адатомов Ge ...........................  
Жачук Р. А. 232
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала ЖЭТФ (составитель), 2024
151

ЖЭТФ, том 166, вып. 2 (8), 2024
ПОРЯДОК, БЕСПОРЯДОК И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ 
В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ
Влияние амплитуды магнитного поля на кинетику перемагничивания магнитных наночастиц.........
......................................................................... Зубарев А. Ю., Искакова Л. Ю., Мусихин А. Ю.
238
Магнитные и сверхпроводящие свойства допированных Fe высокотемпературных сверхпроводников 
YBaCuO, синтезированных золь-гель-методом ........................................Пигальский К. С.,
Вишнёв А. А., Ефимов Н. Н., Васильев П. Н., Шабатин А. В., Трахтенберг Л. И.
246
ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Fabrication and study of the p — Si/a — Si/Ag memristor crossbar array .................................................
................................................................................................Samsonova A., Yegiyan S., Klimenko O., 
Antonov V. N., Paradezhenko G., Prodan D., Pervishko A., Yudin D., Brilliantov N.
255
Untangling the valley structure of states for intravalley exchange anisotropy in lead chalcogenides quantum 
dots .............................................................................................Avdeev I. D., Nestoklon M. O.
261
СТАТИСТИЧЕСКАЯ И НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЗИКА, 
ФИЗИКА «МЯГКОЙ» МАТЕРИИ
BKT transition in Phyllotaxis ..............................................................................................Nechaev S. K.
277
152

ЖЭТФ, 2024, том 166, вып. 2(8), стр. 153-161
© 2024
САМОСОГЛАСОВАННЫЙ КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД К 
ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦЫ В ДИССИПАТИВНОЙ 
СРЕДЕ
С. В. Сазонов *
Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт» 
123182, Москва, Россия
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) 
125993, Москва, Россия
Поступила в редакцию 21 января 2024 г., 
после переработки 17 марта 2024 г. 
Принята к публикации 18 марта 2024 г.
Предложен приближенный самосогласованный подход, позволяющий описывать квазиклассическую поступательную динамику нерелятивистской частицы в диссипативной среде при произвольном характере 
зависимости соответствующих диссипативных сил от скорости. Показано, что диссипация подавляет 
квантовые свойства частицы. Это приводит к необходимости интерпретировать распространение в диссипативной среде как непрерывный процесс измерения состояния частицы. В качестве примеров рассмотрены нестационарные когерентные состояния частицы на трех стадиях ее торможения в среде за 
счет ионизационных потерь. Данные стадии соответствуют высокоэнергетическим потерям, потерям в 
окрестности брэгговского пика, а также низкоэнергетическим потерям на заключительной стадии распространения.
DOI: 10.31857/S0044451024080017
1. ВВЕДЕНИЕ
уравнений для матрицы плотности [18-23]. С другой стороны, гамильтонов подход, предложенный в 
работах [4,5], привлекает своей простотой. Однако 
здесь возникают трудности при квантовом рассмотрении движения частиц в объемных средах [24, 25].
Развитие методов квантования в открытых системах тесно связано с фундаментальными вопросами измерения состояний квантовых объектов [1,2]. 
В качестве квантового объекта может выступать 
частица, над которой производит измерение диссипативная среда, выполняющая роль классического прибора. При этом непрерывное измерение средой состояния частицы сопровождается непрерывным коллапсом волновой функции [3].
Гамильтонов способ квантования можно использовать после классического анализа движения выделенной частицы в среде, которая действует на эту 
частицу посредством диссипативных сил. Таким образом, в этом случае можно говорить о поиске квантового соответствия движению классической частицы. Уже на данном этапе рассуждений становится понятной квазиклассическая суть подобного рассмотрения.
На сегодняшний день существует множество способов квантово-механического описания движения 
частиц в диссипативных средах [4-17]. При этом 
следует заметить, что различные методы зачастую 
приводят к несколько различающимся физическим 
результатам и выводам. С физической точки зрения, весьма последовательным и приводящим к разумным результатам представляется подход, основанный на марковском приближении при решении
E-mail: sazonov.sergey@gmail.com 
В работах [4-7] развит способ квантования в случае, когда на нерелятивистскую частицу действует 
диссипативная сила, пропорциональная скорости v. 
В работах [26, 27] предложена процедура квазиклас- 
сического квантования при наличии диссипативных 
сил, пропорциональных скорости и квадрату скорости частицы. Важно заметить, что данные силы вводятся в теорию феноменологически, без детального анализа их физической природы. Последовательное микроскопическое рассмотрение движения час153

С. В. Сазонов
ЖЭТФ, том 166, вып. 2 (8), 2024
цированное время T определяется выражением 
t=/ q^ ■ 
m
Отсчет времени здесь начинается с момента попадания частицы в диссипативную среду.
Подставляя (5) в (4), придем к дифференциальному уравнению для определения функции q :
тиц в различных средах показывает, что сопровождающим данное движение потерям энергии можно сопоставить силы, зависящие от скорости весьма 
сложным образом [28-30]. В этой связи возникает 
задача разработки подхода, который позволит найти квазиклассическое соответствие движению нерелятивистской классической частицы под действием 
диссипативных сил, произвольно зависящих от скорости. Решению этой задачи посвящена настоящая 
работа.
q = qf (vo/q). 
(8)
2. КЛАССИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
Дополним данное уравнение очевидным (см. (5)) начальным условием
Пусть движение классической частицы массы m 
q (0) = 1. 
(9)
описывается лагранжианом L, явная зависимость 
которого от времени определяется функцией q (t):
2 
r 
mv2 . ч
(1)
L = 
q(t)Будем полагать ниже, что какие-либо внешние консервативные силы отсутствуют.
Отсюда с помощью уравнения Лагранжа
d dL _
dt д v
придем к уравнению движения
(2)
Отсюда, а также из (4) следует, что q(t) — монотонно возрастающая функция времени. Благодаря диссипации, частица в конце-концов останавливается. 
Тогда, учитывая (5) и (9), приходим к выводу, что 
значения q (t) лежат в интервале 1 < q (t) < х. Отсюда и из (7) видно, что т(t) также монотонно возрастает с течением времени. Если q(t) достигает бесконечного значения за конечное время tmax, то верхнему пределу в интеграле (7), t = tmax, соответствует максимальное значение редуцированного времени Tmax. Возможны ситуации, когда tmax ^ х (см. 
ниже). В общем случае интеграл (7) при t = tmax 
может быть как сходящимся, так и расходящимся.
mV = -mq v, 
q
где точка над переменной обозначает производную 
по времени.
Пусть диссипативная сила, действующая на частицу, имеет вид
Fd = -mf (v (t))v,
(3)
где f (v (t)) — некоторая положительно определенная функция, зависящая от времени через скорость 
v частицы.
Таким образом, решив задачу (8), (9), найдем 
функцию q (t). Этим самым будет найден лагранжиан (1), самосогласованным образом учитывающий действие на частицу диссипативной силы (3). 
В свою очередь, с помощью (5) мы определим классическую скорость частицы как функцию времени. 
Затем, подставив q(t) в (7), найдем редуцированное 
время T. После этого выражение (6) позволит нам 
определить положение классической частицы в пространстве в каждый момент времени.
уравнением двиСопоставляя (2) с классическим
жения и учитывая (3), имеем 
(4)
q=f (v (t)).
Интегрируя (2), получим
С прикладной точки зрения, значительный интерес представляет вычисление потерь энергии W 
частицы в зависимости от пройденного пути s. Из 
(5) и (6) видно, что движение классической частицы является прямолинейным, а ее пройденный путь 
s определяется выражением
V0
(5)
V = —, 
q
s = |Гс - Г0 | = V0т.
где v0 — начальная (при t = 0) скорость частицы.
Тогда, переходя от векторного вида к скалярному, 
запишем
Интегрируя (5), найдем классическую траекторию частицы, описываемую зависимостью радиус- 
вектора гс частицы от времени:
dv
ds
В результате уравнение (2) с учетом (4) примет вид 
Гс = Г0 + V0 T,
(6)
ds = -f (v )■ 
(10) 
где Г0 — начальный радиус-вектор частицы, а реду154

ЖЭТФ, том 166, вып. 2 (8), 2024
Самосогласованный квазиклассический подход...
Тогда нестационарное квазиклассическое уравнение 
Шредингера для волновой функции ф(r, t) запишет™ 
1 = —^ V2 ф, 
(13)
dt 
2mq (t)
Интегрируя данное уравнение с учетом граничного 
условия v(0) = V0, найдем зависимость v(s). Отсюда 
получим зависимость энергии W = mv2/2 частицы 
от пройденного пути. После этого определим удельные потери — dW/ds.
где r — радиус-вектор, принадлежащий одной из 
виртуальных траекторий частицы.
Очевидно, что полная длина пробега smax частицы при торможении в диссипативной среде определится выражением smax = v0Tmax.
Используя (1), для канонического импульса найЛегко видеть, что из (13) следует уравнение 
непрерывности
дем 
Р = |^ = mvq. 
(11)
д v
др _ .
+ V • j = 0, 
dt
Тогда для гамильтониана
где
р = |ф I2,
H = p-v — L
будем иметь
Р2 
H= p .
j = 
(ф * Ъф — ф Ъф * ).
2imq
2mq (t)
Выражения (2), (4)—(9) описывают классическую 
траекторию частицы, соответствующую экстремуму 
функционала действия
Отсюда видно, что величина p(r,t), как и в консервативном случае, имеет смысл плотности вероятности обнаружения частицы в точке с радиус- 
вектором r в момент времени t. Следовательно, 
здесь также справедливо условие нормировки
S = j Ldt'. 
У p(r,t) dr = 1,
0
где интегрирование ведется по всему пространству, 
в котором может находиться частица.
При начальной волновой функции ф(r, 0) уравнение (13) имеет следующее решение:
ф(r, t) = /G(r — r ’ t) ф(r', 0) dr', 
(14)
где квазиклассическая функция Грина G(r — rr,t) 
определяется выражением
G(r—r'^ДЛу/ exp (i27-|r—ri2). (15) 
2 i n Дт 
2 Дт
Поэтому решение уравнения (8) при начальном 
условии (9) содержит величину vo начальной скорости частицы. В результате подстановка найденной 
функции q (t) при заданном значении v0 в выражение (12) приводит к эффективному гамильтониану, 
в котором самосогласованным образом учитывается действие на классическую частицу диссипативных сил, произвольным образом зависящих от скорости частицы. Поскольку характер явной зависимости q (t) определяется только классической траекторией частицы, последующее квантование движения на основе выражений (3), (8), (9) и (12) содержит в себе признаки квазиклассического приближения [31].
Эффективный гамильтониан (12) зависит от 
начальной скорости v0 . Поэтому рассматриваемое 
условие самосогласования заранее накладывает 
ограничение на вид волновой функции частицы. А 
именно, данный вид должен содержать в себе признаки классической частицы, обладающей заданной 
начальной скоростью.
Динамический параметр q (t) в квазиклассиче- 
ском уравнении Шредингера (13) зависит от величины v0 начальной скорости частицы (см. (8)). Поэтому в соответствии с самосогласованным подходом 
выберем начальную волновую функцию в виде гауссова волнового пакета, центрированного в начальной точке r0 нахождения классической частицы и 
содержащего ее начальную скорость v0 [32, 33]:
,/ > 
1 
|r — r0|2 . m
3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
ф(r, 0) = (2^)3/413/2 eXP (42 
+ i JV0’У ’ (16)
Для перехода к квантово-механическому описанию совершим стандартную замену канонического 
импульса p эрмитовым оператором p в координатном представлении:
где l — начальный пространственный масштаб локализации плотности вероятности, имеющий смысл 
начальной неопределенности декартовых координат 
частицы [32, 33].
Р = —ihV.
155

С. В. Сазонов
ЖЭТФ, том 166, вып. 2(8), 2024
Подставляя (15) и (16) в (14), получим
При слабой диссипации, smax lD, под знаком 
корня в формуле (19) с учетом замены s ^ smax 
можно учесть только второе слагаемое. Тогда имеем
1 
/ l 
\3/2
* ' 
12 + .Sr/2 J 
X
max 
l
X
= 2lSmax ’
(20)
2
. m 
. mv2
x exp
|r - rcI2 
4(l2 + ihr/2m)
, (17)
+. XV0-r - т
В этом случае, описывая поступательное движение 
частицы, необходимо учитывать ее волновые свойства.
где rc и т определяются соответственно выражениями (6) и (7).
Используя (17) и стандартные правила квантовой механики [32, 33], легко показать, что неопределенности Apj декартовых компонент канонического 
импульса, где j = x,y,z, не изменяются со временем 
и определяются соотношениями Apj = h/2l. Отсюда и из (11) для неопределенностей Apjph) декартовых компонент физического импульса pjhh = mvj0 
В консервативной среде (при отсутствии диссипации) q = 1 во все моменты времени t = 0. Тогда из (7) следует, что т = t. В этом случае волновая функция (17) соответствует когерентному состоянию свободной частицы [34]. Для конкретных 
случаев диссипативных сред, когда присутствуют 
силы сопротивления, пропорциональные скорости и 
квадрату скорости, аналогичные состояния принадлежат к классу квазиклассических когерентных состояний [26, 27, 35].
имеем Apjph) = h/2ql. При этом неопределенности 
декартовых координат Axj = l . Тогда соотношения неопределенностей типа «координата-канонический импульс» и «координата-физический импульс» имеют соответственно вид
Из (16) для плотности вероятности имеем выражение
/ 
1 f |r - Гс I
Axj APJ = I l
-p 
19 * 
(21)
' 
• exp (-^т
Ax AV(ph) = - — 
(22)
L±xjL±pj =2 ql. 
(22)
где пространственный масштаб lT при прохождении 
частицей дистанции s в моменты времени t 0 определяется соотношением
Отсюда, а также из (9) и (19) видно, что в начальный момент времени соотношения неопределенностей (21) и (22) минимизируются:
=l 1+
(19)
Axj Apj = Axj Apjph) = h/2.
Это, как было сказано выше, соответствует когерентному состоянию (16) частицы при t = 0.
где lD = 2l2/X — дифракционная длина, соответствующая начальной волновой функции (16), 
X = h/mv0 — начальная дебройлевская длина волны 
частицы.
Как было отмечено выше, т = t в консервативной среде, а волновая функция (17) при такой 
замене обладает свойствами когерентного состояния свободной частицы [34]. При этом соотношения 
неопределенностей (21) и (22) тождественны, так 
как нет различия между каноническим и физическим импульсами. Тогда, как видно из (19), правые 
части соотношений неопределенностей (21) и (22) 
неограниченно растут с течением времени.
Из (19) видно, что волновой пакет плотности вероятности по мере распространения в диссипативной среде испытывает уширение до максимального 
значения l^ax его размера, определяемого по формуле (19) с учетом замены s ^ smax = v0Tmax. Таким образом, остановка локализованного волнового 
пакета сопровождается «заморозкой» его пространственного размера. На этой стадии в (18) следует совершить замену lT ^ lmax. При этом радиус-вектор 
центра статического волнового пакета определяется 
выражением rc = r0 + v0Tmax.
Отталкиваясь от сказанного в предыдущем абзаце, назовем состояние с волновой функцией (17) 
когерентным состоянием частицы в диссипативной 
среде. В этом случае нарушается знак равенства 
между каноническим и физическим импульсами. 
Правая часть соотношения неопределенностей (21) 
монотонно возрастает с течением времени, достигая 
максимального значения
При условии сильной диссипации, smax lD, частица практически не проявляет волновых свойств. 
В этом случае, как следует из (19), l^ax ~ l. Поэтому здесь частица ведет себя при поступательном 
движении как классический объект.
Axj Apj = hl^ax/2l. 
156

ЖЭТФ, том 166, вып. 2 (8), 2024
Самосогласованный квазиклассический подход...
Таким образом, начальная длина волны де Бройля должна быть значительно меньше неопределенностей координат частицы. Это утверждение в точности совпадает с выводом, представленным в работе [34]. Из (20) и (23) видно, что данный вывод 
эквивалентен неравенству
Apj 0 /p0 = Avj 0 /v0 < 1,
где Avj0 ~ h/ml — неопределенность j-й декартовой 
компоненты начальной скорости.
Из (20) видно, что отношение A/l играет роль 
угла дифракционной расходимости волнового 
пакета плотности вероятности. Малое значение 
данного угла вполне очевидным образом соответствует условию применимости квазиклассического 
приближения.
4. КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ В СРЕДЕ С 
ИОНИЗАЦИОННЫМИ ПОТЕРЯМИ
В качестве конкретных примеров рассмотрим 
три стадии распространения заряженной частицы, 
сопровождаемого ее ионизационными потерями в 
некоторой среде.
4.1. Ионизационное торможение в условиях 
высокоэнергетических потерь
Иначе ведет себя правая часть соотношения неопределенностей (22). Так как с течением времени функция q (t) возрастает, достигая в момент остановки 
частицы бесконечности, то правая часть в этот момент обращается в нуль. Это происходит из-за того, что в момент остановки частицы обращаются в 
нуль неопределенности всех декартовых компонент 
физического импульса. Данная ситуация соответствует непрерывному коллапсу волновой функции 
в импульсном пространстве. По этой причине распространение частицы в диссипативной среде следует рассматривать как непрерывный процесс измерения ее состояния. Беспорядочные последовательные 
столкновения выделенной частицы с большим количеством частиц среды, рассматриваемые в усредненном марковском приближении, приводят к диссипативным потерям и одновременно представляют собой непрерывный измерительный процесс. Диссипативная среда здесь играет роль регистратора (своего 
рода протяженной фотопластинки) состояния частицы в каждый момент времени. При s = smax (или 
t = tmax) происходит регистрация остановившейся 
частицы в малой пространственной окрестности конечной точки классической траектории. Характерный радиус imax этой окрестности фактически ограничивает разброс точек пространства, в которых может быть зарегистрирована частица при конкретном акте измерения.
Учитывая усредненный характер описания динамики торможения частицы посредством регулярно 
зависящей от скорости диссипативной силы, говорить здесь об остановке частице можно лишь условно. При малых скоростях частицы все большее влияние на ее движение оказывают нерегулярные (броуновские) столкновения с частицами среды. Соответствующее исследование выходит за рамки настоящей работы.
Пусть быстрая, но нерелятивистская заряженная частица влетает в среду, где тормозится за счет 
потерь энергии на ионизацию данной среды. При 
этом скорость v влетающей частицы удовлетворяет условию v > ас, где а = е2/Не ~ 1/137, е — 
заряд электрона, с — скорость света в вакууме [36]. 
В этом случае нерелятивистская версия формулы 
Бете-Блоха для удельных ионизационных потерь 
заряженной частицы при ее прохождении через вещество имеет вид [37,38]
Так как при t = 0 канонический и физический 
импульсы равны друг другу (см. (11) и (9)), равенство (20) можно переписать в виде
dW mods v2 ’
(24)
Axmax _ Apj 0
smax 
p0
(23)
где
4nZa e
*  
2me v 2
----- -— Zn In —-—
me m 
I
Здесь p0 = mv0 - начальный импульс частицы.
Условие применимости квазиклассического приближения в нашем случае имеет вид
imax
Axmax
Za и Z — зарядовые числа рассматриваемой частицы и ядер вещества, при взаимодействии с которыми происходит торможение частицы, n — концентрация ядер вещества, I — энергия ионизации атомов 
вещества, me — масса электрона.
-— «1.
smax
~
smax
Поскольку
Используя здесь (20), получим
A/Axmax < 1.
dv _ d (mv2/2) _ dW 
ds ds 
ds 
157

С. В. Сазонов
ЖЭТФ, том 166, вып. 2 (8), 2024
правая часть в (24) имеет смысл классической силы, 
действующей на частицу со стороны среды. Переходя к векторной форме, запишем для данной силы
Таким образом, в точке остановки частицы ее 
удельные потери неограниченно возрастают, а размер волнового пакета плотности вероятности достигает своего максимального значения.
Fd = —ma v/v 3.
Отношение под знаком логарифма в выражении для a по порядку величины равно 
(v/ac)2. Пусть характерная скорость частицы 
Неограниченный рост удельных потерь обусловлен здесь тем, что при v ^ 0 формула (22), где 
a — const, перестает быть справедливой. Более того, 
в этом случае уже несправедливы многие предположения, при которых была получена формула Бе- 
те-Блоха [29,39].
v ~ 109 см/с > ac ~ 0.1c [39]. При таких скоростях 
частицу еще можно считать нерелятивистской. 
Тогда 2mev2/I ~ 102. В этих условиях логарифм 
в выражении для a является медленной функцией скорости. Поэтому с неплохим приближением 
можно положить a = const. В этом случае
f (q/vo) = a/v3 = aq3/$.
После интегрирования (8) с учетом (9) имеем
В реальных условиях быстрый рост удельных 
ионизационных потерь на промежуточной части 
пробега частицы ограничивается известным пиком 
Брэгга, после чего удельные потери быстро спадают 
до нулевых значений [29, 39]. В окрестности брэгговского пика скорость частицы v ~ ac. Данная окрестность соответствует второй (промежуточной) стадии ионизационного торможения, которую мы рассмотрим ниже.
q = (1 — t/tmax) 1/3, 
(25)
где
4.2. Ионизационные потери в окрестности 
брэгговского пика. «Сухое трение»
(26)
tmax
3 
v0
3a
Отсюда, а также из (7) и (6) найдем
1—
(27)
3
т — 4 tmax
В окрестности максимума удельных ионизационных потерь величину dW/ds можно приближенно 
считать постоянной. В результате для этой стадии 
запишем
—dW/ds — 2ma, 
(31)
где a — некоторая положительная постоянная.
3
1—
(28)
Гс — Г0 + 4 v0 tmax
Поскольку диссипативная сила всегда направлена против вектора скорости, имеем
Полагая в (27) t — tmax, получим
Fd — —ma,
где
Tmax — 3 tmax   v0
4 
4a
a — av/v — av0/v0.
Тогда длина полного пробега
v0
(29)
Smax = 4a
Таким образом, при условии (31) диссипативная 
сила не зависит от скорости, что в классической 
механике соответствует «сухому трению». В этом 
случае
f (v) — a/v — aq/v0.
Из (29) и (19) найдем максимальный размер локализованного волнового пакета в момент его остановки 
при t — tmax .
Тогда, интегрируя (8) с учетом (9), найдем
q — (1 — at/v0 )-1. 
(32)
Подставляя в (10) f (v) — a/v3, после интегрирования получим
Подставляя данное выражение в (7), получим
v — v0\/1 s/smax.
т — t----—t2. 
(33)
2v0
После подстановки данного выражения в (24) для 
удельных ионизационных потерь найдем
W0
(30)
dW 
ds
Отсюда и из (6) имеем хорошо известное выражение 
для радиус-вектора классической траектории при 
равнозамедленном движении:
smax
1 — s/smax
Гс — Г0 + v01 — a t2/2. 
(34)
где W0 — mv2/2 — начальная энергия частицы.
158

ЖЭТФ, том 166, вып. 2 (8), 2024
Самосогласованный квазиклассический подход...
плотности вероятности (неопределенности координат частицы) в любой момент времени. Максимальное значение imax данного масштаба определяется 
по формуле (19) с учетом замены
Таким образом, в окрестности брэгговского пика волновой пакет плотности вероятности совершает равнозамедленное движение с ускорением —а (см. 
(18) и (34)).
s ^ smax = v0Tmax = v0/у
и достигается при t ^ то, когда частица в среде 
выполняет полный пробег. При этом волновой пакет плотности вероятности останавливается, имея 
форму трехмерного локализованного статического 
домена.
Из (5) следует, что частица, а вместе с ней и 
волновой пакет плотности вероятности (см. (17)), 
прекращает свое движение при q ^ то. Тогда из 
(32) приходим к выражению для времени движения частицы tmax = v0/а. Отсюда и из (33) находим Tmax = v0/2а. Таким образом, пройдя за время 
t = tmax = v0/а до полной остановки расстояние 
smax = v0/2а, волновой пакет плотности вероятности приобретает максимальный статический размер, 
определяемый по формуле (19) при замене s ^ smax.
После подстановки f (v) = 7 в (10), последующего интегрирования и простых преобразований будем 
иметь для величины удельных потерь
—dW/ds = 2m7v0 (1 — s/smax). 
(38)
Рассмотренная стадия «сухого трения» является самой короткой из трех стадий ионизационного торможения, так как ей соответствует малая 
окрестность вблизи максимального значения удельных потерь.
Таким образом, удельные потери уменьшаются с 
увеличением пройденной дистанции и исчезают при 
s = smax.
В реальных условиях, прежде чем остановиться, частица переходит в третью (низкоэнергетическую) стадию ионизационного торможения, где 
v ас [36]. Ниже проанализируем квазиклассиче- 
скую динамику частицы на данной стадии.
4.3. Ионизационное торможение в условиях 
низкоэнергетических потерь. «Вязкое 
трение»
В этом случае для удельных потерь имеем выражение [36,40-42]
—dW/ds = 2myv, 
(35)
где y — положительная постоянная.
Всем трем рассмотренным стадиям распространения частицы в среде с ионизационными потерями 
соответствуют классические силы сопротивления, 
общее выражение для которых имеет вид (3). На 
начальной, высокоэнергетической, стадии торможения частицы сила сопротивления обратно пропорциональна квадрату скорости. В окрестности брэгговского пика сила сопротивления практически не 
зависит от величины скорости, поэтому по аналогии 
с классической механикой здесь мы ее назвали силой «сухого трения». Заключительный, низкоэнергетический, этап торможения описывается диссипативной силой, пропорциональной скорости частицы, 
что соответствует силе «вязкого трения» в классической механике. Понятно, что во всех случаях речь 
не идет о силах трения в физическом смысле, так 
как само это понятие относится к физике макроскопических объектов. Правильнее здесь говорить о соответствующей математической аппроксимации.
Из (35) приходим к выводу, что в данном случае соответствующая классическая диссипативная 
сила (сила «вязкого трения») пропорциональна скорости: Fd = —myv. Отсюда и из (3) имеем f (v) = 7. 
Тогда из (8) и (9) находим q = eYt. Заметим, что 
данная зависимость q(t) в точности совпадает с аналогичной зависимостью, найденной в работах [4, 5] 
без использования квазиклассического приближения. Подставляя данное выражение в (7), найдем
Для полного квазиклассического описания торможения частицы на всей дистанции распространения, видимо, следует надлежащим образом произвести «сшивку» всех трех стадий, что не являлось 
целью настоящей работы.
т = 1 — e Yt. 
(36)
7
Отсюда и из (6) получим
Гс = Г0 + V01—e---- . 
(37)
7
Подставляя (36) в (19), придем к выражению 
для пространственного масштаба волнового пакета 
Приведем некоторые численные оценки для 
основной стадии высокоэнергетических ионизационных потерь. Длина пробега smax альфа-частицы 
в воздухе при нормальных условиях и начальной 
энергии W0 ~ 10 МэВ составляет около 10 см [39]. 
Приведенному значению энергии, как отмечалось выше, соответствует начальная скорость 
v0 ~ 109 см/с. Тогда начальная длина волны 
159