Дифференциальные уравнения, 2024, № 8

Российская академия наук
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ
Том 60   № 8   2024   Август
Издается с января 1965 г.
ISSN: 0374-0641
Ежемесячный математический журнал
Журнал издается под руководством Отделения Математических наук
Российской академии наук, Отделения Нанотехнологий и информационных технологий РАН
Главный редактор
В.А. Садовничий
Редакционная коллегия:
А.В. Арутюнов, И.В. Асташова, В.А. Винокуров,
Д.В. Георгиевский, Н.А. Изобов, А.В. Ильин (зам. главного редактора),
В.И. Корзюк, А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов, С.И. Репин,
В.Г. Романов, Я.Т. Султанаев, В.В. Фомичев, Ф.Л. Черноусько
Ответственный секретарь: Н.В. Зайцева
Адрес редколлегии: 
119991, ГСП-1, г.  
Москва, 
Ленинские 
горы,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, факультет ВМК, комната 733б.
Телефон: 8 (495) 932-88-53.
 
Москва
Ф 
ГБУ
 «Издательство «Наука»
© Российская академия наук, 2024
© Редколлегия журнала “Дифференциальные 
 уравнения” (составитель), 2024

СОДЕРЖАНИЕ
Том 60, номер 8, 2024
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Многомерная автономная дифференциальная система, обладающая единичной
мерой неустойчивости, но массивной частной устойчивостью
А. А. Бондарев
1011
Аналитическое вычисление неподвижной точки оператора, порождаемого многомерной
системой с релейным гистерезисом
А. М. Камачкин, В. В. Евстафьева, Д. К. Потапов
1021
Оценки снизу главного собственного значения билапласиана на графе
Р. Ч. Кулаев, С. А. Каркузаев
1034
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Об определении стационарной температуры в неограниченной полосе
Ш. А. Алимов, А. К. Кудайбергенов
1049
Теоремы типа Фрагмена–Линдел¨
ефа
У. Ю. Жураева
1063
Начально-краевая задача для нелинейного модифицированного уравнения Буссинеска
А. А. Замышляева, Е. В. Бычков
1076
Об одной нелокальной задаче для уравнения Геллерстедта с сингулярными
коэффициентами
М. Мирсабуров, Р. Н. Тураев
1086
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Численный метод решения задачи дифракции, описываемой уравнениями Максвелла
с мезоскопическими граничными условиями
Ю. А. Еремин, В. В. Лопушенко
1100
Асимптотические свойства параметрических задач на собственные значения
в гильбертовом пространстве
А. А. Самсонов
1112

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Краевая задача для одного уравнения с переменными коэффициентами и дробной
производной Лиувилля
А. Д. Ахметшин
1124
Целые решения одного класса алгебраических дифференциальных уравнений,
обобщающих уравнения типа Брио–Буке
А. Я. Янченко
1131
ХРОНИКА
О семинаре по проблемам нелинейной динамики и управления
при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова
1137

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2024, том 60, №8, с. 1011–1020
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.51
МНОГОМЕРНАЯ АВТОНОМНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
СИСТЕМА, ОБЛАДАЮЩАЯ ЕДИНИЧНОЙ МЕРОЙ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ, НО МАССИВНОЙ ЧАСТНОЙ
УСТОЙЧИВОСТЬЮ
© А. А. Бондарев
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
e-mail: albondarev1998@yandex.ru
Поступила в редакцию 25.01.2024 г., после доработки 10.05.2024 г.; принята к публикации 04.06.2024 г.
Построен пример неодномерной автономной дифференциальной системы, у которой, с
одной стороны, все решения, начинающиеся во внешности единичного шара, стремятся
к нулю при неограниченном росте времени, а с другой — относительная мера начальных
условий тех решений, которые начинаются в шаре с центром в нуле и удаляются от
него на достаточное расстояние с ростом времени, приближается сколь угодно близко
к единице при стремлении радиуса шара к нулю. Построенная в работе нелинейная
система обладает также нулевым линейным приближением вдоль нулевого решения.
Ключевые слова: дифференциальная система, нелинейная система, автономная система,
устойчивость по Ляпунову, устойчивость по Перрону, верхнепредельная устойчивость,
мера устойчивости, асимптотическое поведение решений.
DOI: 10.31857/S0374064124080019, EDN: KDOBPR
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В классическом примере Р.Э. Винограда [1, гл. III, § 6.3] (и его упрощённой модификации А.Ф. Филиппова [2, гл. 4, § 18]) все решения конкретной двумерной автономной
дифференциальной системы стремятся к нулю (здесь и всюду ниже — при неограниченном
росте времени), но тем не менее нулевое решение этой системы является неустойчивым по
Ляпунову.
Некоторые примеры столь контрастных сочетаний свойств (ляпуновских и недавно введённых перроновских [3] и верхнепредельных [4]) решений также приведены в исследованиях
автора [5–10]. Наиболее логически сильные результаты, представленные в этих работах, состоят в построении многомерных систем, обладающих:
– одновременно как перроновской, так и верхнепредельной, с одной стороны, полной
неустойчивостью (а следовательно, и ляпуновской глобальной неустойчивостью), а с другой —
массивной частной устойчивостью;
– одновременно ляпуновской крайней неустойчивостью и как перроновской, так и верхнепредельной глобальной устойчивостью.
Цель настоящей статьи — построить дифференциальную систему с контрастными сочетаниями свойств (подобными тем, что были предложены в [5–10]), но при этом ещё и
автономную (в отличие от примеров из работ [5–10], нереализуемых в автономном случае
[11]), т.е. систему, у которой:
1) имеется как перроновская, так и верхнепредельная массивная частная устойчивость
(которая есть и у системы, построенной в работе [10, теорема 1]);
1011

БОНДАРЕВ
2) меры устойчивости и неустойчивости (см. описание свойств в определении 3) всех
трёх типов (ляпуновского, перроновского и верхнепредельного) равны соответственно нулю
и единице, что является логическим ослаблением наличия у системы свойства ляпуновской
почти полной (а значит, и имевшейся у системы из работы [10, теорема 1] ляпуновской
полной) неустойчивости.
Сочетание в автономном случае ляпуновской почти полной неустойчивости с перроновской и верхнепредельной частной устойчивостью также реализуется на дифференциальных
системах (например, на двумерной линейной системе с седловой особой точкой), однако
частная устойчивость оказывается лишь точечной.
Для произвольного числа 𝑛∈N в фазовом пространстве R𝑛с нормой |·| рассмотрим
систему
˙
𝑥= 𝑓(𝑡, 𝑥),
𝑡∈R+ ≡[0, +∞),
𝑥∈R𝑛,
(1)
с правой частью 𝑓: R+ ×R𝑛→R𝑛, удовлетворяющей условиям
𝑓, 𝑓′
𝑥∈𝐶(R+ ×R𝑛),
𝑓(𝑡, 0) = 0,
𝑡∈R+,
обеспечивающим существование и единственность решений задач Коши и наличие нулевого
решения. Положим
𝐵𝜌≡{𝑥0 ∈R𝑛: 0 < |𝑥0| < 𝜌},
𝜌> 0,
а также для каждого 𝑥0 ∈R𝑛через 𝑥(·, 𝑥0) обозначим непродолжаемое решение системы (1),
удовлетворяющее начальному условию 𝑥(0, 𝑥0) = 𝑥0.
Определение 1 [3, 4, 12]. Для системы (1) имеет место ляпуновская, перроновская или
верхнепредельная (отмечены ниже индексом κ = 𝜆, 𝜋, 𝜎соответственно):
1) устойчивость, если для любого 𝜀> 0 существует такое 𝛿> 0, что любое начальное
значение 𝑥0 ∈𝐵𝛿удовлетворяет соответственно условию
𝑡→+∞
|𝑥(𝑡, 𝑥0)| < 𝜀
или
lim
𝑡→+∞|𝑥(𝑡, 𝑥0)| < 𝜀;
(2)
sup
𝑡∈R+
|𝑥(𝑡, 𝑥0)| < 𝜀,
lim
2) полная неустойчивость, если существуют такие 𝜀> 0 и 𝛿> 0, что любое начальное
значение 𝑥0 ∈𝐵𝛿не удовлетворяет соответствующему условию (2) (в частности, если решение
𝑥(·, 𝑥0) определено не на всём луче R+);
3) почти полная неустойчивость, если существуют такие 𝜀> 0 и 𝛿> 0, что все значения 𝑥0 ∈𝐵𝛿, не удовлетворяющие соответствующему условию (2), образуют в шаре 𝐵𝛿
подмножество полной меры;
4) 𝜇-устойчивость при данном значении 𝜇∈[0, 1], если для любого 𝜀> 0 существует
такое 𝛿> 0, что при каждом 𝜌∈(0, 𝛿) все начальные значения 𝑥0 ∈𝐵𝜌, удовлетворяющие
соответствующему условию (2), образуют в шаре 𝐵𝜌подмножество относительной меры
Mκ(𝑓, 𝜀, 𝜌) (т.е. доли от меры всего шара 𝐵𝜌, причём мера здесь и всюду ниже лебегова)
не меньшей 𝜇;
5) 𝜈-неустойчивость при данном значении 𝜈∈[0, 1], если существуют такие 𝜀>0 и 𝛿>0,
что при каждом 𝜌∈(0, 𝛿) все начальные значения 𝑥0 ∈𝐵𝜌, не удовлетворяющие соответствующему условию (2), образуют в шаре 𝐵𝜌подмножество относительной меры Nκ(𝑓, 𝜀, 𝜌) не
меньшей 𝜈.
Определение 2 [3, 4, 13]. Будем говорить, что для системы (1) имеет место перроновская
или верхнепредельная:
6) массивная частная устойчивость, если для любого 𝜀> 0 существует такое 𝛿> 0, что
любое начальное значение 𝑥0 ∈R𝑛∖𝐵𝛿удовлетворяет соответственно второму или третьему
условию в (2);
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№8
2024

МНОГОМЕРНАЯ АВТОНОМНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
1013
7) асимптотическая устойчивость, если для некоторого 𝛿>0 любое начальное значение
𝑥0 ∈𝐵𝛿удовлетворяет условию
lim
𝑡→+∞
|𝑥(𝑡, 𝑥0)| = 0
или
lim
𝑡→+∞|𝑥(𝑡, 𝑥0)| = 0.
Определение 3 [12]. Для системы (1) при κ =𝜆, 𝜋, 𝜎назовем ляпуновской, перроновской
или верхнепредельной соответственно:
а) мерой устойчивости такое число 𝜇κ(𝑓) ∈[0, 1], что для каждого 𝜇∈[0, 𝜇κ(𝑓)) система (1) обладает 𝜇-устойчивостью, а для каждого 𝜇∈(𝜇κ(𝑓), 1] — нет;
б) мерой неустойчивости такое число 𝜈κ(𝑓) ∈[0, 1], что для каждого 𝜈∈[0, 𝜈κ(𝑓)) система (1) обладает 𝜈-неустойчивостью, а для каждого 𝜈∈(𝜈κ(𝑓), 1] — нет.
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Ниже в теореме представлена автономная дифференциальная система, у которой:
– имеется как перроновская, так и верхнепредельная массивная частная устойчивость
(первое свойство);
– меры устойчивости и неустойчивости всех трёх типов (ляпуновского, перроновского и
верхнепредельного) равны соответственно нулю и единице (второе свойство).
Теорема. Для каждого числа 𝑛> 1 существует автономная система (1), которая
имеет правую часть 𝑓∈𝐶1(R𝑛), удовлетворяющую условию 𝑓′(0) = 0, а также обладает
следующими свойствами:
1) каждое начальное значение 𝑥0 ∈R𝑛∖𝐵1 удовлетворяет равенству
lim
𝑡→+∞|𝑥(𝑡, 𝑥0)| = 0;
(3)
2) для мер устойчивости и неустойчивости системы выполнены равенства
𝜇κ(𝑓) = 0,
𝜈κ(𝑓) = 1,
κ = 𝜆, 𝜋, 𝜎.
Замечание. Отметим, что система, существование которой утверждается в теореме,
неодномерна. Более того, при 𝑛=1 существование двух начальных значений разных знаков,
удовлетворяющих равенству (3), эквивалентно [14, теорема 29] наличию у системы асимптотической устойчивости (как перроновской, так и верхнепредельной), а значит, одномерного
примера с таким набором свойств не существует.
Доказательство теоремы. Построение описанной в теореме системы проведём в два
этапа.
Этап I. Введём на декартовой плоскости 𝑂𝑥1𝑥2 полярные координаты 𝜌, 𝜙по формулам
𝑥1 = 𝜌cos 𝜙,
𝑥2 = 𝜌sin 𝜙,
𝜌⩾0,
𝜌2 ≡𝑥2
1 +𝑥2
2,
𝜙∈R,
(4)
и рассмотрим автономную двумерную систему
(︂˙
𝜌
˙
𝜙
)︂
= −𝜌2(𝜌2 −sin2(2𝜙))2
(︂P(𝜌, 𝜙)
Φ(𝜌, 𝜙)
)︂
,
(5)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№8
2024

БОНДАРЕВ
где
𝜌−sin(2𝜙)−2 cos2(2𝜙),
𝜌⩽sin(2𝜙),
−cos(2𝜙),
𝜌⩽sin(2𝜙),
P(𝜌, 𝜙) =
Φ(𝜌, 𝜙) =
(6)
𝜌+sin(2𝜙)−2 cos2(2𝜙),
𝜌⩽−sin(2𝜙),
cos(2𝜙),
𝜌⩽−sin(2𝜙),
⎧
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎪
⎨
𝜒(𝜌, 𝜙),
𝜌> | sin(2𝜙)|;
𝜌3 sin(2𝜙),
𝜌> | sin(2𝜙|);
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎩
2𝜌4 cos(2𝜙),
| cos 𝜙| ⩾1/2
или
| cos 𝜙| < 1/2
и
𝜓(𝜌, 𝜙) ⩽0,
𝜒(𝜌, 𝜙) =
⎧
⎨
2𝜌4 cos(2𝜙)+768𝜓2(𝜌, 𝜙),
| cos 𝜙| < 1/2
и
𝜓(𝜌, 𝜙) > 0,
(7)
⎩
𝜓(𝜌, 𝜙) =
(︀
𝜌sin2(𝜙−𝜋/3)−sin(2𝜙)
)︀(︀
𝜌sin2(2𝜋/3−𝜙)+sin(2𝜙)
)︀
.
(8)
Равенства (5)–(8) определяют векторное поле в области (0, +∞)×R переменных (𝜌, 𝜙),
которое при помощи локального диффеоморфизма, заданного формулами (4), переносится
на проколотую плоскость R2∖{0} переменных (𝑥1, 𝑥2) и непрерывно продолжается в начало
координат нулем. Более того, продолженное поле, во-первых, непрерывно дифференцируемо
и имеет нулевое линейное приближение в нуле, а во-вторых, является непрерывно дифференцируемым на всей плоскости за счёт наличия в правой части системы множителей 𝜌2 и
(𝜌2−sin2(2𝜙))2. Из сказанного выше следует, что система (5) допускает нулевое решение, а
значит, является системой вида (1).
Заметим также, что полученное таким образом на плоскости переменных (𝑥1, 𝑥2) поле
является симметричным относительно обеих осей координат 𝑥1 и 𝑥2 в силу чётности функций 𝜙↦→P(𝜌, 𝜙), 𝜙↦→P(𝜌, 𝜋/2+𝜙) (вытекающей из чётности 𝜙↦→𝜒(𝜌, 𝜙), 𝜙↦→𝜒(𝜌, 𝜋/2+𝜙),
𝜙↦→𝜓(𝜌, 𝜙), 𝜙↦→𝜓(𝜌, 𝜋/2+𝜙) и равенств (6)), а также нечётности функций 𝜙↦→Φ(𝜌, 𝜙),
𝜙↦→Φ(𝜌, 𝜋/2+𝜙) при каждом фиксированном значении 𝜌> 0.
1. Сначала рассмотрим все ненулевые решения данной системы, начинающиеся на кривой
(четырёхлепестковая роза Гранди единичного радиуса [15])
Γ ≡
{︀
(𝜌, 𝜙) ∈(0, +∞)×R: 𝜌= | sin(2𝜙)|
}︀
.
(9)
Каждое такое решение является стационарным в силу наличия в правой части системы (5)
множителя (𝑟2 −sin2(2𝜙))2, следовательно, кривая Γ целиком заполнена особыми точками.
2. Рассмотрим ненулевые решения, начинающиеся в области (внутренность лепестков
розы Гранди)
𝐷∙≡
{︀
(𝜌, 𝜙) ∈(0, +∞)×R: 𝜌< | sin(2𝜙)|
}︀
.
,
˙
𝜙
)︃
= −𝜌2(𝜌2 −sin2(2𝜙))2
(︃
𝜌−| sin(2𝜙)|−2 cos2(2𝜙)
)︃
В этой области система (5) имеет вид
(︃
˙
𝜌
−sgn(sin(2𝜙)) cos(2𝜙)
,
= −
˙
𝜙
следовательно, качественное поведение таких решений точно такое же, как соответствующих
(т.е. начинающихся в тех же точках) решений системы
(︃
˙
𝜌
)︃
(︃
𝜌−| sin 2𝜙|−2 cos2 2𝜙
)︃
−sgn(sin 2𝜙) cos 2𝜙
2, 1/
√
2);
2) и (±1/
√
2, −1/
√
у которой
– на кривой Γ имеется ровно четыре особые точки — те, что образуют на плоскости
переменных (𝑥1, 𝑥2) квадрат с вершинами в точках (±1/
√
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№8
2024

МНОГОМЕРНАЯ АВТОНОМНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
1015
– каждое из остальных решений, начинающихся на кривой Γ, притягивается асимптотически при 𝑡→+∞к какой-либо из этих четырёх особых точек, поскольку его фазовая
кривая целиком лежит на этой кривой и на ней же справедливо неравенство
2;
˙
𝜌= 2 cos2(2𝜙) > 0,
(𝜌, 𝜙) ∈Γ,
| cos 𝜙| ̸= 1/
√
– любое решение, начинающееся внутри области 𝐷∙, в силу ограниченности 𝐷∙, справедливости неравенства
0 < −(𝜌−| sin(2𝜙)|) ⩽−(𝜌−| sin(2𝜙)|)+2 cos2(2𝜙) = ˙
𝜌,
(𝜌, 𝜙) ∈𝐷∙,
и теоремы существования и единственности решения задачи Коши (см., например, [16, гл. 2])
тоже асимптотически притягивается к одной из четырёх перечисленных выше особых точек
при 𝑡→+∞.
3. Обозначим
𝛾≡
{︀
(𝜌, 𝜙) ∈(0, +∞)×R: | cos 𝜙| < 1/2, 𝜓(𝜌, 𝜙) = 0
}︀
и рассмотрим решения, начинающиеся в области (часть внешней области лепестков розы
Гранди, содержащая ось координат 𝑥1)
𝐷∘
1 ≡𝐷∘
1,1 ⊔𝐷∘
1,2,
𝐷∘
1,1 ≡
{︀
(𝜌, 𝜙) ∈(0, +∞)×R: 𝜌> | sin(2𝜙)|, | cos 𝜙| < 1/2, 𝜓(𝜌, 𝜙) < 0
}︀
,
𝐷∘
1,2 ≡
{︀
(𝜌, 𝜙) ∈(0, +∞)×R: 𝜌> | sin(2𝜙)|, | cos 𝜙| ⩾1/2
}︀
.
.
(10)
˙
𝜙
𝜌3 sin(2𝜙)
В этой области система (5) имеет решения двух типов.
Тип 1. Решения, удовлетворяющие начальному условию sin 𝜙(0) = 0, стремятся к нулю
при 𝑡→+∞, поскольку их фазовые кривые лежат на оси координат 𝑥1 и на ней справедливо
неравенство ˙
𝜌= −2𝜌10 < 0.
Тип 2. В области 𝐷∘
1 система (5) записывается как
(︃
˙
𝜌
)︃
= −𝜌2(𝜌2 −sin2(2𝜙))2
(︃
2𝜌4 cos(2𝜙)
)︃
Из (10) при помощи деления одного уравнения на другое и интегрирования находим, что
в этой области все фазовые кривые системы (5) имеют вид
𝑟= 𝐶sin(2𝜙),
𝐶> 0,
т.е. являются дугами концентрических лепестков роз Гранди разных радиусов. Отсюда и
из справедливости при (𝜌, 𝜙) ∈𝐷∘
1 оценок
−1,
sin(2𝜙) > 0,
1,
sin(2𝜙) < 0
⎧
⎨
sgn ˙
𝜙= sgn
(︀
−𝜌5(𝜌2 −sin2(2𝜙))2 sin(2𝜙)
)︀
= −sgn(sin(2𝜙)) =
⎩
следует, что все решения системы (5), начинающиеся в области 𝐷∘
1, стремятся к нулю при
𝑡→+∞.
4. Наконец, рассмотрим решения, начинающиеся в области (часть внешней области лепестков розы Гранди, содержащая ось координат 𝑥2)
𝐷∘
2 ≡
{︀
(𝜌, 𝜙) ∈(0, +∞)×R: 𝜌> | sin(2𝜙)|, | cos 𝜙| < 1/2, 𝜓(𝜌, 𝜙) > 0
}︀
.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№8
2024

БОНДАРЕВ
Рисунок. Фазовый портрет системы (5).
˙
𝜙
𝜌3 sin(2𝜙)
В области 𝐷∘
2 система (5) записывается в виде
(︃
˙
𝜌
)︃
= −𝜌2(𝜌2 −sin2(2𝜙))2
(︃
2𝜌4 cos(2𝜙)+768𝜓2(𝜌, 𝜙)
)︃
и, следовательно, имеет решения двух типов.
Тип 3. Решения, удовлетворяющие начальному условию cos 𝜙(0) = 0, стремятся к нулю
при 𝑡→+∞, поскольку их фазовые кривые лежат на оси координат 𝑥2 и на ней справедливо
неравенство ˙
𝜌= −𝜌10 < 0.
Тип 4. Рассмотрим решения, удовлетворяющие начальному условию cos 𝜙(0)̸=0. Из справедливости при (𝜌, 𝜙) ∈𝐷∘
2 оценок
1,
sin(2𝜙) < 0
{︃
−1,
sin(2𝜙) > 0,
˙
𝜌< −2𝜌6(𝜌2 −sin2(2𝜙))2 cos(2𝜙),
sgn ˙
𝜙= sgn
(︀
−𝜌5(𝜌2 −sin2(2𝜙))2 sin(2𝜙)
)︀
=
(первая из которых означает, что радиальная скорость
˙
𝜌решений в области 𝐷∘
2 строго
меньше одноимённой величины для решений системы (10), рассматриваемой также и в
области 𝐷∘
2), а также ограниченности всех решений системы (10) в области 𝐷∘
2 (которая,
в свою очередь, доказывается рассуждениями, аналогичными проделанным в области 𝐷∘
1)
следует, что каждое решение системы (5) такого типа (а точнее, его фазовая кривая) в
некоторый момент 𝑡> 0 обязательно пересечёт кривую 𝛾и войдет в область 𝐷∘
1. Отсюда
и из исследованного выше качественного поведения решений в области 𝐷∘
1 следует, что
решения данного типа тоже стремятся к нулю при 𝑡→+∞.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№8
2024

МНОГОМЕРНАЯ АВТОНОМНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СИСТЕМА
1017
𝑦2
2 +. . .+𝑦2
𝑛
)︀
,
˙
𝑦1 = 𝑓1
(︀
𝑦1,
√︀
Этап II. Обозначим через 𝑓≡(𝑓1, 𝑓2):R2 →R2 правую часть системы (5), записанной при
помощи формул (4) в декартовых координатах (𝑥1, 𝑥2), и рассмотрим для произвольного
натурального числа 𝑛> 1 дифференциальную систему
⎧
⎪
⎨
𝑦2
2 +. . .+𝑦2
𝑛
,
𝑖= 2, 𝑛,
𝑦≡(𝑦1, . . . , 𝑦𝑛)T ∈R𝑛,
(11)
˙
𝑦𝑖= 𝑓2
(︀
𝑦1,
√︀
𝑦2
2 +. . .+𝑦2
𝑛
)︀
𝑦𝑖
√︀
⎪
⎩
которая является системой вида (1) (и к тому же ещё и автономной), а также обладает
нулевым линейным приближением вдоль нулевого решения, поскольку, во-первых, этими же
свойствами обладает система (5), а во-вторых, существуют непрерывно дифференцируемые
функции ℎ𝑖: ˜
𝐷∘
1 →R, 𝑖= 1, 2, удовлетворяющие условиям
𝑓𝑖(𝑢1, 𝑢2) = 𝑢𝑖ℎ𝑖(𝑢1, 𝑢2
2),
𝑖= 1, 2,
(𝑢1, 𝑢2) ∈˜
𝐷∘
1 ≡
{︀
(𝑥1, 𝑥2) ∈R2 : (𝜌, 𝜙) ∈𝐷∘
1
}︀
.
2, 1/
√
Существование функций ℎ𝑖, 𝑖= 1, 2, с указанными свойствами устанавливается непосредственными вычислениями.
5. Рассмотрим сначала решения 𝑦системы (11), удовлетворяющие начальному условию
𝑦2
3(0)+. . .+𝑦2
𝑛(0) = 0.
Точки (0, . . . , 0)T, (±1/
√
2, 0, . . . , 0)T и (±1/
√
2, −1/
√
2, 0, . . . , 0)T обращают в нуль
векторное поле, заданное равенствами (11), поэтому они являются особыми для рассматриваемой системы.
В двумерной плоскости
Π3,...,𝑛≡
{︀
𝑦∈R𝑛: 𝑦3 = . . . = 𝑦𝑛= 0
}︀
система (11) имеет такой же вид, как и система (5), записанная при помощи формул (4)
в декартовых координатах (𝑥1, 𝑥2). Отсюда следует, что фазовые кривые таких решений
целиком лежат в плоскости Π3,...,𝑛и, следовательно, их качественное поведение в точности
такое же, как и поведение решений системы (5).
6. Далее рассмотрим решения 𝑦, удовлетворяющие условию 𝑦2
3(0)+. . .+𝑦2
𝑛(0)̸=0, которое
эквивалентно существованию такого индекса 𝑖0, что
𝑦𝑖0(0) ̸= 0
и
3 ⩽𝑖0 ⩽𝑛.
С помощью интегрирования находим, что функции
Ψ𝑗(𝑦) ≡𝑦𝑗/𝑦𝑖0,
𝑗= 2, 𝑛,
𝑗̸= 𝑖0,
постоянны вдоль решений 𝑦системы (11) (являются её первыми интегралами), откуда
𝑦𝑗= 𝐶𝑗𝑦𝑖0,
𝐶𝑗∈R,
𝑗= 2, 𝑛,
𝑗̸= 𝑖0.
Подставив эти равенства в систему (11) и сделав замену переменных
𝑧𝑗= 𝑦𝑗,
𝑗= 1, 𝑛,
𝑗̸= 𝑖0,
𝑧𝑖0 = 𝐶0𝑦𝑖0,
𝐶0 ≡
(︂
1+
)︂
1/2
,
𝑗=2, 𝑗̸=𝑖0
𝐶2
𝑗
𝑛
∑︁
получим в двумерной плоскости
𝐶0
𝑧𝑖0, 𝑗= 2, 𝑛, 𝑗̸= 𝑖0
Π𝑖0;𝐶1,...,𝐶𝑛≡
{︂
𝑧∈R𝑛: 𝑧𝑗= 𝐶𝑗
}︂
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
том 60
№8
2024